• Процес моделювання включає три елементи


  • Дата конвертації24.03.2017
    Розмір52.4 Kb.
    Типконтрольна робота

    Балансовий метод планування

    Університет Сучасних Знань

    Контрольна робота

    з дисципліни «Моделювання економічних процесів»

    студентки гр. РП3 - 9-05 Б1Ф (4,6 з)

    спеціальністю фінанси

    Руденко Ірини Володимирівни

    Луганськ - 2009


    зміст

    Вступ

    1. Балансовий метод планування

    2. Моделі Леонтьєва

    2.1 Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

    2.2 Продуктивні моделі Леонтьєва

    3. Вектор повних витрат

    4. Модель рівноважних цін

    висновок

    завдання 1

    завдання 2

    завдання 3

    завдання 4

    Список літератури


    Вступ

    Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в глибоку давнину і поступово захоплювало все нові області наукових знань: технічне конструювання, будівництво і архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великих успіхів і визнання практично у всіх галузях сучасної науки приніс методу моделювання ХХ ст. Однак методологія моделювання довгий час розвивалася незалежно окремими науками. Була відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлювати роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.
    Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності і має безліч смислових значень. Розглянемо тільки такі "моделі", які є інструментами отримання знань.
    Модель - це такий матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригіналі.

    Моделювання - це основний специфічний метод науки, який використовується для аналізу і синтезу систем керування. Це особливий пізнавально спосіб, коли суб'єкт дослідження замість безпосереднього досліджуваного об'єкта пізнання вибирає або створює подібний до нього допоміжний об'єкт - образ або модель, досліджує його, а отримані нові знання переносить на об'єкт-оригінал. Завдяки активній ролі суб'єкта сам процес моделювання має творчий, активний характер.

    Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення і застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін. Процес моделювання обов'язково включає і побудова абстракцій, і умовиводи за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.
    Головна особливість моделювання в тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об'єктів-заступників. Модель виступає як своєрідний інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою і об'єктом і за допомогою якого вивчає цікавить його. Саме ця особливість методу моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій і методів пізнання.

    Для аналізу і синтезу систем керування в економіці використовують різні економіко-математичні методи і моделі. Важливими є умова і особливості їх застосування в залежності від мети дослідження, прийнятої системи гіпотез і т.д.

    Необхідність використання методу моделювання залежить від того, що багато об'єктів (або проблеми, які стосуються цих об'єктів) безпосередньо досліджувати чи взагалі неможливо, або ж це дослідження вимагає багато часу і коштів.

    Процес моделювання включає три елементи:

    суб'єкт (дослідник),

    об'єкт дослідження,

    модель, опосредствующее відносини пізнає суб'єкта і пізнаваного об'єкта.

    Предметом моделювання економічних процесів є математичні моделі реальних економічних об'єктів. Об'єктом вивчення моделювання економіки є економіка і її підрозділи.


    1. Балансовий метод планування

    У методології планування пропорцій, темпів і об'ємних показників провідне місце належить балансовим методом, який дозволяє порівнювати народногосподарські потреби з можливостями їх задоволення, тобто з наявними та й майбутніми ресурсами.

    Розробка плану супроводжується зіставленням матеріальних балансів декількох тисяч видів продукції. Крім того, розробляються баланси основних фондів і виробничих потужностей, баланси праці і робочої сили, система фінансових балансів, транспортні, паливні та інші види балансів. Вони відображають конкретні пропорції між суспільними потребами і ресурсами.

    Баланс народного господарства є найбільш загальною взаємозалежної системою економічних показників, що характеризують процес розширеного відтворення. Основне завдання балансу полягає у визначенні на плановий період необхідного обсягу і темпів зростання сукупного суспільного продукту, а також пропорцій в його виробництві, розподілі та кінцевому використанні. Схема балансу народного господарства включає чотири основні розділи.

    Основним розділом є баланс сукупного суспільного продукту. Він характеризує виробництво суспільного продукту в галузевому та соціально-економічному (за формами власності) розрізах, його використання на виробниче і невиробниче споживання і накопичення. Крім того, в балансі міститься характеристика сукупного продукту за двома підрозділам суспільного виробництва. В баланс сукупного суспільного продукту входять матеріальні баланси, а також міжгалузевий баланс.

    Складовою частиною балансу народного господарства є баланс виробництва, розподілу, перерозподілу і кінцевого використання національного доходу. Він включає в себе баланси грошових доходів і витрат населення, баланси доходів і витрат підприємств, бюджет держави і областей.

    Зведений баланс трудових ресурсів як складова частина балансу народного господарства характеризує трудові ресурси держави і їх використання.

    Баланс основних фондів показує рух основних фондів, їх склад і структуру. Його складовою частиною є баланс виробничих потужностей.

    Зазначена система балансів не дозволяє отримати загальну характеристику міжгалузевих зв'язків. Вона не дає розгорнутої характеристики розподілу конкретних видів продукції в вартісному і натуральному вираженні по окремих галузях. Тому важливого значення набуває побудова міжгалузевого балансу виробництва та розподілу продукції, що охоплює рух сукупного суспільного продукту з виділенням галузей.

    Синтезуючи в єдиній таблиці приватні матеріальні баланси, міжгалузевий баланс являє собою систему показників, що дають детальну характеристику відтворення сукупного суспільного продукту за вартістю (виробництво продукції - стовпчики таблиці) і по натурально-речовому складу (розподіл продукту - рядки таблиці) як в цілому по народному господарству , так і по окремих галузях.

    За економічним змістом і характером інформації виділяють дві основні різновиди міжгалузевих балансів: звітні і планові. У свою чергу, всі міжгалузеві баланси модно класифікувати відповідно до одиниць виміру продукції на вартісні, натурально-продуктові і трудові. Міжгалузеві баланси діляться також на статичні і динамічні. Статичні відображають економічні зв'язки, що складаються в межах певного періоду часу (звичайно року). Динамічні описують динамічні зв'язки, що складаються в народному господарстві і обумовлені характером і способом розподілу сукупного продукту на фонди відтворення.

    Поряд з міжгалузевими розробляються регіональні баланси.

    Отже, розглянемо деякі види моделей.


    2. Моделі Леонтьєва

    2.1 Модель Леонтьєва багатогалузевої економіки

    Ефективне ведення народного господарства передбачає наявність балансу між окремими галузями. Кожна галузь при цьому виступає двояко: з одного боку, як виробник деякої продукції, а з іншого - як споживач продуктів, що виробляються іншими галузями. Для наочного вираження взаємного зв'язку між галузями користуються певного виду таблицями - так званими таблицями міжгалузевого балансу. Ідея таких таблиць була сформульована в роботах радянських економістів, а перша таблиця опублікована в ЦСУ в 1926 р Однак цілком розвинена математична модель міжгалузевого балансу, яка припускає широкі можливості аналізу, з'явилася пізніше (1936 г.) в працях економіста В. Леонтьєва. У даній роботі я представлю її основне математичний зміст.

    Отже, будемо вважати, що вся виробляє сфера народного господарства розбита на деяке число n галузей, кожна з яких виробляє свій однорідний продукт, причому різні галузі виробляють різні продукти. Зрозуміло, таке уявлення про галузь є в значній мірі абстракцією, так як в реальній економіці навіть на окремому підприємстві виробляється значна різноманітність продукції, що випускається. Однак уявлення про галузь в зазначеному вище сенсі (як «чистої» галузі) все ж корисно, так як воно дозволяє провести аналіз ситуації, технологічної структури народного господарства, вивчити функціонування народного господарства «в першому наближенні».

    Отже, припускаємо, що є n різних галузей O 1,..., Про n, кожна з яких виробляє свій продукт. В процесі виробництва свого продукту кожна галузь потребує продукції інших галузей (виробниче споживання). Будемо вести мову про деяке певному проміжку часу [Т 0, Т 1] (зазвичай таким проміжком служить плановий рік) і введемо наступні позначення:

    х i - загальний обсяг продукції галузі i за даний проміжок часу - так званий валовий випуск галузі i;

    х ij - обсяг продукції галузі i, споживаний галуззю j в процесі виробництва;

    y i - обсяг продукції галузі i, призначений до споживання в невиробничій сфері, - обсяг кінцевого споживання.

    Цей обсяг складає зазвичай більше 75% всієї виробленої продукції. У нього входять створювані в господарстві запаси, особисте споживання громадян, забезпечення суспільних потреб (освіта, наука, охорона здоров'я, розвиток інфраструктури і т.д.), поставки на експорт.

    Вказівка ​​величини можна звести в табл. 1.1. Балансовий характер цієї таблиці виражається в тому, що при будь-якому i = 1, ..., n має виконувати співвідношення

    х i = х i1 + х i2 + ... + х in + у i, (1.1)

    що означає, що валовий випуск х i витрачається на виробниче споживання, рівне х i1 + х i2 + ... + х in, і невиробниче, рівне у i. Будемо називати (1.1) співвідношеннями балансу.

    Таблиця 1.1

    виробниче споживання кінцеве споживання валовий випуск

    х11 х12 ... х1n

    х21 х22 ... х 2n

    ........................

    х n1 хn2 ... хnn

    в1

    у2

    ...

    уn

    х1

    х2

    ...

    хn


    Одиниці виміру всіх зазначених величин можуть бути або натуральними (кубометри, тонни, штуки тощо), або вартісними; в залежності від цього розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланси. Для визначеності надалі будемо мати на увазі (якщо не визначено інше) вартісний баланс.

    В.Леонтьєв розглядаючи розвиток американської економіки в 30-ті роки ХХ століття, звернув увагу на важливу обставину. А саме величини ij = залишаються незмінними протягом ряду років. Це обумовлюється зразковим постійністю використовуваної технології.

    У відповідності зі сказаним зробимо таке припущення: для випуску будь-якого обсягу х j продукції галузі j необхідно затратити продукцію галузі i в кількості а ij х j, де а ij - постійний коефіцієнт. Простіше кажучи, матеріальні витрати пропорційні обсягу виробленої продукції. Це припущення постулює, як то кажуть, лінійність існуючої технології. Принцип лінійності поширюють і на інші види витрат (наприклад, на оплату праці), а також на нормативну прибуток.

    Отже, відповідно до гіпотези лінійності маємо

    х ij = а ij х i (i, j = 1, ..., n). (1.2)

    Коефіцієнти а ij називають коефіцієнтами прямих витрат (коефіцієнтами матеріаломісткості).

    Підставляючи співвідношення (1.2) в рівняння балансу (1.1), отримуємо систему n лінійних рівнянь щодо змінних х 1, х 2,..., х n:

    х 1 = а 11 х 1 + а 12 х 2 + ... а 1n х n + у 1,

    х 2 = а 21 х 1 + а 22 х 2 + ... а 2n х n + у 2,

    ....................................... ..

    х n = а n1 х 1 + а n2 х 2 + ... а nn х n + у n,

    або, в матричної записи,

    х = Ах + у, (1.3)

    де а 11 а 12... а 1n х 1 у 1

    А = а 21 а 22... а 2n, х = х 2, у = у 2.

    ................ ... ...

    а n1 а n2... а nn х n у n

    Вектор х називається вектором валового випуску, вектор у - вектором кінцевого споживання, а матриця А - матрицею прямих витрат. Співвідношення (1.3) називається рівнянням лінійного міжгалузевого балансу. Разом з викладеною інтерпретацією матриці А і векторів х і у це співвідношення називають також моделлю Леонтьєва.

    2.2 Продуктивні моделі Леонтьєва

    Визначення. Матриця А ≥ 0 називається продуктивною, якщо для будь-якого вектора у ≥ 0 існує рішення х ≥ 0 рівняння

    х = Ах + у (2.4)

    В цьому випадку модель Леонтьєва, яка визначається матрицею А, теж називається продуктивною. Іншими словами, модель продуктивна, якщо будь-яке кінцеве споживання у можна забезпечити при відповідному валовому випуску х.

    Рівняння Леонтьєва (2.4) можна записати в такий спосіб:

    (Е - А) х = у, (2.5)

    де Е - одинична матриця. Виникає, природно, питання про звернення матриці Е - А. Зрозуміло, що якщо зворотна матриця (Е - А) -1 існує, то з (2.5) випливає

    х = (Е - А) -1 у. (2.6)

    Теорема 1 (перший критерій продуктивності).

    Матриця А ≥ 0 продуктивна тільки тоді, коли матриця (Е - А) -1 існує і неотрицательна.

    Доведення.

    Якщо матриця (Е - А) -1 існує і неотрицательна, то з (2.6) відразу ж слід продуктивність матриці А.

    Назад, нехай матриця А продуктивна. Розглянемо наступні системи рівнянь:

    (Е - А) х = е 1, (Е - А) х = е 2,..., (Е - А) х = е n,

    Де е 1, е 2,..., е n - стовпці одиничної матриці. Кожна з цих систем в силу продуктивності матриці А має невід'ємне рішення, тобто існують такі вектори (стовпці) з 1 ≥ 0, з 2 ≥ 0, ..., з n ≥ 0, що

    (Е - А) з 1 = е 1, (Е - А) з 2 = е 2,..., (Е - А) з n = е n (2.7)

    Позначимо через С матрицю, складену з стовпців з 1 з 2,..., з n. Тоді замість n рівностей (2.7) можна написати одне:

    (Е - А) С = Е.

    Отже, матриця Е-А має зворотну С, причому С ≥ 0.

    Теорема доведена.

    Теорема 2 (другий критерій продуктивності).

    Ненегативна квадратна матриця А продуктивна тоді і тільки тоді, коли її число Фробеніуса менше одиниці.

    Доведення.

    Нехай неотрицательная матриця А продуктивна. Тоді для будь-якого невід'ємного вектора у існує рішення х ≥ 0 рівняння (2.4) Нехай у> 0, тоді, очевидно, х> 0. Помноживши рівність (2.4) зліва на лівий вектор Фробеніуса р Т А і враховуючи, що

    р Т А А = λ А р Т А, (2.8)

    отримаємо

    λ АТ А х) + р Т А у = р Т А х,

    або

    (1 - λ А)Т А х) = р Т А у.

    Так як р Т А ≥ 0 і у ≥ 0, х ≥ 0, то р Т А у> 0, р Т А х> 0. Тому з останнього рівності випливає, що λ А <1.

    Назад, нехай неотрицательная матриця А має число Фробеніуса λ А <1. Покажемо, що вона є продуктивною. Візьмемо ненегативний вектор у і покажемо, що у системи (2.4) існує рішення х ≥ 0.

    Розглянемо наступну неотрицательную матрицю розміру (n + 1) (n + 1):

    а 11 а 12... а 1n у 1

    а 21 а 22... а 2n у 2

    А = ................

    а n1 а n2... а nn у n

    0 0 ... 0 1

    Де а ij - елементи матриці А і у 1,..., у n - координати вектора у. У більш компактній формі матрицю можна записати так:

    А = А у

    0 1

    Помноживши цю матрицю зліва на вектор р Т = (0, ..., 0,1), легко переконатися, що

    р Т А = р Т.

    Отже, одним з власних значень матриці А є вектор λ = 1.

    Нехай вектор Х = (х 1,..., х n, х n + 1) = (х, х n + 1) є власним вектором матриці А, тобто АХ = λХ. В силу визначення матриці А еторавносільно того, що

    А у х = λ х

    0 1 х n + 1 х n + 1

    або

    Ах + у х n + 1 = λх,

    х n + 1 = λ х n + 1. (2.9)

    Якщо λ ≠ 1, то з другого співвідношення системи (2.9) випливає, що х n + 1 = 0, в силу чого перше рівняння має вигляд Ах = λх. Отже, λ - власне значення матриці А і, за нашим припущенням | λ | <1. Таким чином, λ А = 1 є позитивним і максимальним по модулю власним значенням, отже є числом Фробениуса. За теоремою Фробеніуса-Перрона у матриці А існує невід'ємні власний вектор х А = (х А, х n + 1), що відповідає λ А = 1. Очевидно, що х n + 1 ≠ 0, тому що в противному випадку з (2.9) слід було б, що Ах = х. А це суперечить тому, що число Фробеніуса λ А <1. Тому ми можемо вважати, що х n + 1 = 1. В силу того, що х n + 1 = 1, рівність (2.9) приймає вигляд

    Ах А + у = х А.

    Оскільки х А = (х А, х n + 1) ≥ 0, то х А ≥ 0.

    Отже, матриця А продуктивна.

    Слідство.

    Якщо для неотрицательной матриці А і некоториого позитивного вектора у рівняння (2.4) має невід'ємне рішення х, то матриця А продуктивна.

    Доведення.

    Як було вже показано, з існування позитивного рішення у рівняння (2.4) випливає, що λ А <1. На підставі теореми Фробениуса матриця А продуктивна.

    Теорема 3 (третій критерій продуктивності).

    Ненегативна матриця А продуктивна тоді і тільки тоді, коли сходиться нескінченний ряд

    Е + А + А ² + ... (2.10)

    Доведення.

    Нехай сходиться ряд (2.10). Згідно лемі його сема дорівнює (Е - А) -1. При цьому сума зазначеного ряду буде неотрицательна, оскільки всі складові ряду невід'ємні. Отже, матриця (Е - А) -1 існує і неотрицательна. Звідси по теоремі 1.3 слід продуктивність А.

    Протилежне твердження (якщо А продуктивна, то ряд (2.10) сходиться) доводити не будемо.


    3. Вектор повних витрат

    Нехай А ≥ 0. Рівність

    (Е - А) -1 = Е + А + А 2 + ... (3.11)

    справедливо, як ми вже знаємо, в тому випадку, коли матриця А продуктивна, має економічний сенс.

    х = у + Ау + А 2 у + ... (3.12)

    У чому сенс розпаду вектора х на складові у, Ау, А 2 у і т.д.? Для отримання валового випуску, що забезпечує кінцеве споживання у, потрібно перш за все провести набір товарів, що описується вектором у. Але цього мало - адже для отримання у потрібно затратити (а значить, спочатку зробити) продукцію, яка описується вектором Ау. Але і цього мало - для отримання Ау потрібно здійснити додаткові витрати, що описуються вектором А (Ау) = А 2 у, і т.д. У підсумку приходимо до висновку, що весь валовий випуск х повинен складатися з доданків у, Ау, А 2 у і т.д., що і зафіксовано у формулі (3.12). Відповідно до цих міркувань суму у + Ау + А 2 у + ... називають вектором повних витрат, а зроблене вище висновок формулюють так: вектор валового випуску х збігається з вектором повних витрат.

    Щоб зробити висновок конкретнішим, розглянемо такий приклад. Нехай мова йде про блок з трьох промислових галузей:

    1) металургія;

    2) електроенергетика;

    3) вуглевидобуток.

    Для отримання кінцевого випуску у = (у 1, у 2, у 3) Т необхідно перш за все провести:

    у 1 т металу; у 2 кВт.год електроенергії; у 3 т вугілля.

    Але для виробництва у 1 т металу, в свою чергу, необхідно затратити (а значить, спочатку зробити) якісь кількості металу, електроенергії та вугілля. Те ж саме мправедліво і щодо виробництва у 2 кВт.год електроенергії та у 3 т вугілля

    У свою чергу, для виробництва у 11 т металу необхідно затратити якісь кількості металу, електрики і вугілля, і т.д. Шуканий валовий випуск х являє собою суму витрат 0-го порядку (вектор у), 1-го порядку (вектор Ау), 2-го порядку (А 2 у) і т.д.


    4. Модель рівноважних цін

    Розглянемо тепер балансову модель, двоїсту до моделі Леонтьєва - так звану модель рівноважних цін. Нехай, як і раніше, А - матриця прямих витрат, х = (х 1, х 2,..., х n) Т - вектор валового випуску. Позначимо через р = (р 1, р 2,..., р n) Т вектор цін, i координата якого дорівнює ціні одиниці продукції i-й галузі; тоді, наприклад, перша галузь отримає дохід, рівний р 1 х 1. Частину свого доходу ця галузь витратить на закупівлю продукції у інших галузей. Так, для випуску одиниці продукції, їй необхідна продукція першої галузі в обсязі а 11, другий галузі в обсязі а 21, і т.д., n-й галузі в обсязі а n1. На покупку цієї продукції нею буде витрачена сума, рівна а 11 р 1 + а 21 р 2 + ... + а n1 р n. Отже, для випуску продукції в обсязі х 1 першої галузі необхідно витратити на закупівлю продукції інших галузей суму, рівну х 111 р 1 + а 21 р 2 + ... + а n1 р n). Частину доходу, звану доданою вартістю, ми позначимо через V 1 (ця частина доходу йде на виплату зарплати і податків, підприємницький прибуток і інвестиції).

    Таким чином, має місце рівність:

    х 1 р 1 = х 111 р 1 + а 21 р 2 + ... + а n1 р n) + V 1.

    Розділивши цю рівність на х 1 отримуємо:

    р 1 = а 11 р 1 + а 21 р 2 + ... + а n1 р n + v 1,

    де v 1 = V 1 / х 1 - норма доданої вартості (величина доданої вартості на одиницю продукції, що випускається). Подібним же чином отримуємо для інших галузей

    р 2 = а 12 р 1 + а 22 р 2 + ... + а n2 р n + v 2,

    р n = а 1n р 1 + а 2n р 2 + ... + а nn р n + v n.

    Знайдені рівності можуть бути записані в матричної формі наступним чином:

    р = А Т р + v,

    де v = (v 1, v 2,..., v n) Т - вектор норм доданої вартості. Як ми бачимо, отримані рівняння дуже схожі на рівняння моделі Леонтьєва, з тією лише різницею, що х замінений на р, у - на v, А - на А Т.


    висновок

    Модель рівноважних цін дозволяє, знаючи величини норм доданої вартості, прогнозувати ціни на продукцію галузей. Вона також дозволяє прогнозувати зміну цін і інфляцію, що є наслідком зміни ціни одного з галузей.

    Балансовий метод - це метод взаємного зіставлення ресурсів (матеріальних, трудових, фінансових) та потреб у них. Серед безлічі різновидів балансового методу найбільш поширений міжгалузевий баланс, що погоджує джерела і напрямки використання ресурсів. Як правило, при застосуванні балансового методу виробляються варіантні розрахунки за допомогою обчислювальної техніки

    Міжгалузевий баланс являє собою економіко-математичну модель народного господарства, що дозволяє проводити різноманітні розрахунки структури суспільного виробництва за заданим обсягом і структурі кінцевого продукту. Це має важливе значення на попередній стадії складання плану для здійснення варіантів розрахунків пропорцій, темпів і галузевої структури економіки, а також на подальших стадіях планування для підвищення рівня збалансованості галузей і аналізу міжгалузевих зв'язків. Таким чином, розробка міжгалузевого балансу є однією з передумов розвитку методології оптимального планування.

    Дані отримані за моделлю міжгалузевого балансу, дають можливість судити про тенденції розвитку технічного прогресу, про насичення економіки виробничими фондами, капітальними вкладеннями, трудовими ресурсами тощо Такий аналіз можливий на основі зіставлення матриць прямої і повної фондо-, капітало-, трудомісткості та ін.

    Міжгалузевий баланс, розроблений в трудових одиницях, дає інформацію, необхідну для побудови раціональної системи цін.

    Отже, балансовий метод містить в собі використання балансів для взаємного зіставлення ресурсів (матеріальних, трудових, фінансових) та потреб у них.


    завдання 1

    Компанія виробляє продукцію двох видів А і В. Обидві вимагають роботи двох цехів складального і оздоблювального. Відомості про виробництво:

    цех Продукція Разом необхідно робочих годин
    А В
    складальний 3 5 15
    обробний 5 2 10
    Валовий прибуток на одиницю 5 32

    Компанія зацікавлена ​​в найбільшій прибутковості цих комбінацій продукції. Знайти скільки треба виробляти продукції А і В, щоб валовий прибуток була максимальна.

    Рішення

    Введемо змінні:

    х 1 - кількість продукції виду А;

    х 2 - кількість продукції виду В.

    Будуємо математичну модель:

    F мах = 5х 1 + 32х 2 за умов:

    1 + 5х 2 ≤ 15;

    1 + 2х 2 ≤ 10.

    х 1 ≥ 0, х 2 ≥ 0, тому що продукція випускається не може бути негативною.

    Завдання можна вирішити графічним методом і можна вирішити або перевірити симплекс-методом.

    Для вирішення графічним методом запишемо граничні прямі:

    1) 3х 1 + 5х 2 = 15;

    2) 5х 1 + 2х 2 = 10.

    Будуємо граничні прямі на площині, але для цього знайдемо точки для побудови прямих:

    1) х 2 = 0; х 1 = 5; х 1 = 0; х 2 = 3;

    2) х 2 = 0; х 1 = 2; х 1 = 0; х 2 = 5.

    ОДЗ - багатокутник ОАВСD.

    Для визначення ОДЗ (області допустимих значень) необхідно визначити напрям напівплощин.

    Для випробування беремо точку О (0; 0) і підставляємо її координати в нерівність (1) і (2), якщо нерівність задовольняється, то напівплощина спрямована до точки (0; 0). При накладенні напівплощин один на одного отримаємо ОДЗ.

    Будуємо вектор цільової функції С, перпендикулярно до нього проводимо лінію рівня (пунктирна лінія). Переміщаємо лінію рівня по ОПЗ в напрямку вектора цільової функції С і найвіддаленіша точка від початку координат - це точка А (0; 3) в ній х опт.

    Підставами координати (0; 3) в цільову функцію і отримаємо її максимальне значення

    F mах = 5 * 0 + 3 * 32 = 96 од. вартості в точці А (0; 3).

    Для отримання прибутку дорівнює 96 ед.ст. необхідно включити в план продукцію типу В.


    завдання 2

    Фірма додатково освоїла випуск продукції чотирьох видів В1, В2, В3, В4. Для випуску це продукції необхідно сировину чотирьох видів А 1, А 2, А 3, А 4, яке фірма може щомісяця купувати в обмеженій кількості. Кількість сировини кожного виду, яке необхідно для виробництва кожного виду асортименту продукції, а також щомісячне надходження кожного виду сировини наведені в таблиці.

    види сировини Щомісячне надходження сировини Витрати сировини на одиницю кожного виробу
    В 1 В 2 У 3 В 4
    А1 1290 2 4 6 8
    А2 990 2 2 0 6
    А3 620 0 1 1 2
    А4 300 1 0 1 0
    Прибуток від реалізації одиниці виробу 8 10 12 18

    Побудувати математичну модель і визначити, який асортимент продукції і в якій кількості повинна виробляти фірма, щоб прибуток від реалізації був максимальним.

    Рішення

    Введемо змінні:

    х 1 - кількість продукції типу В 1;

    х 2 - кількість продукції типу В 2;

    х 3 - кількість продукції типу В 3;

    х 4 - кількість продукції типу В 4.

    Будуємо математичну модель задачі:

    F mах = 8х 1 + 10х 2 + 12х 3 + 18х 4

    при умовах:


    1 + 4х 2 + 6х 3 + 8х 4 ≤ 2110;

    1 + 2х 2 + 0 * х 3 + 6х 4 ≤ 1810;

    0 * х 1 + х 2 + х 3 + 2х 4 ≤ 1440;

    х 1 + 0 * х 2 + х 3 + 0 * х 4 ≤ 1120.

    х j ≥ 0; j = 1,4.

    Наводимо систему обмежень до канонічного виду:

    1 + 4х 2 + 6х 3 + 8х 4 + х 5 = 2110;

    1 + 2х 2 + 6х 4 + х 6 = 1810;

    х 2 + х 3 + 2х 4 + х 7 = 1440;

    х 1 + х 3 + х 8 = 1120.

    х j ≥ 0; j = 1,8.

    Наводимо систему обмежень до виду зручному для рішення. Для цього перевіримо наявність одиничного базису в системах обмежень і так як він є, то вирішуємо завдання прямим симплекс-методом.

    № оп.пл. базис З bi 8 10 12 18 0 0 0 0
    х1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8
    х5 0 2110 2 4 6 <8> 1 0 0 0
    х6 0 1 810 2 2 0 6 0 1 0 0
    х7 0 1440 0 1 1 2 0 0 1 0
    х8 0 1120 1 0 1 0 0 0 0 1
    Fj - Сj 0 -8 -10 -12 -18 0 0 0 0
    х4 18 263,75 0,25 0,5 0,75 1 0,125 0 0 0
    х6 0 227,5 <0,5> -1 -4,5 0 -0,75 1 0 0
    х7 0 912,5 -0,5 0 -0,5 0 -0,25 0 1 0
    х8 0 1120 1 0 1 0 0 0 0 1
    Fj - Сj 4747,5 -3,5 -1 1,5 0 2,25 0 0 0
    х4 18 150 0 1 <3> 1 0,5 -0,5 0 0
    х1 8 455 1 -2 -9 0 -1,5 2 0 0
    х7 0 1140 0 -1 -5 0 -1 1 1 0
    х8 0 665 0 2 10 0 1,5 -2 0 1
    Fj - Сj 6340 0 -8 -30 0 0,1667 7 0 0
    х3 12 50 0 0,3333 1 0,3333 0,1667 0,1667 0 0
    х1 8 905 1 1 0 3 0,5 0,5 0 0
    х7 0 1390 0 0,6667 0 1,6667 0,1667 0,1667 1 0
    х8 0 165 0 -1,333 0 -3,333 -0,333 -0,333 0 1
    Fj - Сj 7840 0 2 0 10 2 2 0 0

    Відповідь: F mах = 7840 од.вартості; х опт = (905; 0; 50; 0; 0; 0; 1390; 165).

    Для отримання прибутку дорівнює 7840 од. вартості необхідно включити в план продукцію першого і третього виду в кількостях:

    В 1 = 905 од .;

    У 3 = 50 од.,

    При цьому залишилися недовикористані ресурси в кількостях:

    А 3 = 1390 од.

    А 4 = 165 од.


    завдання 3

    Для відгодівлі групи тварин на фермі необхідна наявність в щоденному раціоні не менше як В1, одиниць поживних речовин В 2 і т.д. - Не менше як В m. Зазначені поживні речовини містяться в n різних кормових продуктах, які можна закупити.

    Скласти такий щоденний кормовий раціон, при якому буде задоволена потреба в поживних і витрати на відгодівлю будуть мінімальні.

    Поживні речовини кормові продукти

    добова потреба

    Вi = В0 + n1

    В 1 В 2 У 3 В 4
    А1 1 2 2 1 64 + 9
    А2 0 3 1 1 39 + 9
    А3 2 1 0 3 35 + 9
    Вартість 1 кг кормів 2 1 3 4

    Скласти математичну модель і вирішити ЗЛП.

    Рішення

    Введемо змінні:

    х 1 - кількість кормового продукту В 1

    х 2 - кількість кормового продукту В 2

    х 3 - кількість кормового продукту В 3

    х 4 - кількість кормового продукту В 4

    Будуємо математичну модель:

    F mах = 2х 1 + х 2 + 3х 3 + 4х 4

    при умовах:


    х 1 + 2х 2 + 2х 3 + х 4 ≥ 155;

    2 + х 3 + х 4 ≥ 130;

    1 + х 2 + 3х 4 ≥ 126;

    х j ≥ 0; j = 1,4.

    Наведемо систему обмежень до канонічного виду:

    х 1 + 2х 2 + 2х 3 + х 4 - х 5 = 155;

    2 + х 3 + х 4 - х 6 = 130;

    1 + х 2 + 3х 4 - х 7 = 126;

    х j ≥ 0; j = 1,7.

    Наведемо систему обмежень до виду зручному для рішення:

    х 1 + 2х 2 + 2х 3 + х 4 - х 5 + х 8 = 155;

    2 + х 3 + х 4 - х 6 + х 9 = 130;

    1 + х 2 + 3х 4 - х 7 + х 10 = 126;

    х j ≥ 0; j = 1,10.

    Змінні х 8, х 9, х 10 є штучними і вони введені на знак «=», тому для коригування завдання ці змінні вводять в цільову функцію з коефіцієнтом + М.

    F min = 2х 1 + х 2 + 3х 3 + 4х 4 + МХ 8 + МХ 9 + МХ 10.

    Завдання вирішується модифікованим симплекс-методом (метод штучного базису).


    о / п

    ба

    зис

    З bi С1 = 2 С2 = 1 С3 = 3 С4 = 4 С5 = 0 С6 = 0 С7 = 0 С8 = М С9 = М С10 = М
    Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6 Х7 Х8 Х9 Х10
    х8 М 155 1 2 2 1 -1 0 0 1 0 0
    х9 М 130 0 <3> 1 1 0 -1 0 0 1 0
    х10 М 126 2 1 0 3 0 0 -1 0 0 1
    Fj - Сj 0 -2 -1 -3 -4 0 0 0 0 0 0
    М 411 3 6 3 5 -1 -1 -1 0 0 0
    х8 М 1 0 4/3 1/3 -1 2/3 0 1 0
    х2 1 0 1 1/3 1/3 0 -1/3 0 0 0
    х10 0 <2> 0 -1/3 8/3 0 1/3 -1 0 1
    Fj - Сj -2 0 -8/3 - 0 -1/3 0 0 0
    М 151 3 0 1 3 -1 1 -1 0 0
    х8 М 27 0 0 < > -1 -1 1/2 1/2 1
    х2 1 0 1 1/3 1/3 0 -1/3 0 0
    х1 2 1 0 -1/6 4/3 0 1/6 -1/2 0
    Fj - Сj 126 0 0 -3 -1 0 0 -1 0
    М 27 0 0 3/2 -1 -1 1/2 1/2 0
    х3 3 18 0 0 1 -2/3 -2/3 1/3 <1/3>
    х2 1 0 1 0 5/9 2/9 -4/9 -1/9
    х1 2 1 0 0 11/9 -1/9 2/9 -4/9
    Fj - Сj 180 0 0 0 -3 -2 1 0
    х6 0 54 0 0 3 -2 -2 1 1
    х2 1 0 1 4/3 -1/3 -2/3 0 1/3
    х1 2 1 0 -2/3 5/3 1/3 0 -2/3
    Fj - Сj 126 0 0 -3 -1 0 0 -1

    Кожний опорний план перевіряємо на оптимальність.

    У 5-му опорному плані в індексному рядку всі різниці F j - З j ≤ 0, отже цей план є оптимальним (F → min).

    Можна записати відповідь:

    F min = 126 ед.стоімості,

    Х опт = (97/3 = 32,33; 184/3 = 61,33; 0; 0; 0; 54).

    Для отримання мінімальної собівартості на виготовлення кормової продукції рівній 126 од. ст. необхідно включити в план кормові продукти 1-го В 1 = 32,33 од. і другого виду В 2 = 61,33 од. і залишилися недовикористані ресурси по А 3 в кількості 54 од.


    завдання 4

    З чотирьох кар'єрів до трьох керамічним заводам перевозять глину.

    кар'єри керамічні заводи

    потужність кар'єра

    В j = Воj + n

    В 1 В 2 У 3
    А1 15 6 12 45 + 9
    А2 4 6 8 38 + 9
    А3 24 21 5 23 + 9
    А4 12 9 12 84
    В j + Воj + n 70 + 9 65 + 9 55 + 9 190 + 3 * 9

    Зробити математичну постановку задачі і спланувати перевезення глини на керамічні заводи так, щоб транспортні витрати були мінімальні.

    Рішення

    Дане завдання відноситься до типу транспортних завдань лінійного програмування і її математична модель у скороченій формі запису буде виглядати так:

    mn

    S min = Σ Σ C ij Х ij,

    i = 1 j = 1

    за умов по ресурсам:

    n

    Σх ij = А i,, i = 1, m

    j = 1

    m

    Σх ij = В j, j = 1, n

    i = 1

    х ij ≥ 0; i = 1, m; j = 1, n.


    Існує два види моделей:

    mn

    закрита ΣА i = Σ В j;

    i = 1 j = 1

    mn

    відкрита ΣА i ≠ Σ В j.

    i = 1 j = 1

    Якщо в умові завдання дана відкрита модель, то її потрібно привести до закритої, шляхом введення фіктивного постачальника або споживача з нульовими вартостями перевезень, але нуль вважається як максимально велике число. Закриту модель можна вирішити методом потенціалів.

    Перевіряємо в даній задачі тип моделі:

    Σ А i = 217; Σ В j = 217.

    Будуємо перший опорний план за правилом мінімального елемента:

    постачальники споживачі U
    В1 = 79 В2 = 74 В3 = 64
    А1 = 54

    15

    32 ρ

    6

    22 + ρ

    12 U1 = 0
    А2 = 47

    4

    47

    6 8 U2 = -11
    А3 = 32 24 21

    5

    32

    U3 = -4
    А4 = 84

    12

    + ρ

    9

    52-ρ

    12

    32

    U4 = 3
    V V1 = 15 V2 = 6 V3 = 9 Smin = 1812

    Далі робиться перевірка системи обмежень:

    nm =

    Σ х ij = А i,, Σ х ij = В j,

    j = 1 i = 1

    переконуємося, що всі ресурси розподілені і споживачі задоволені максимальним чином.

    Перевіряємо план на вирожденність: кількість заповнених клітин має дорівнювати: m + n - 1 = 4 + 3 - 1 = 6.

    Вважаємо вартість перевезень:

    S min = 15 * 32 + 6 * 22 + 4 * 47 + 5 * 92 + 9 * 52 + 12 * 32 = 1812 .

    Так як невідомо, чи є цей план оптимальним, тобто вартість перевезень = 1812 ед.ст. або її можна зменшити, то перевіримо кожну вільну клітину на оптимальність, а для цього необхідно знайти потенціали U і V, вони знаходяться для заповнених клітин за формулою:

    З ij = U i + V j, х ij> 0.

    Після чого перевіряємо вільні клітини на оптимальність за формулою:

    S ij = С ij - (U i + V j) ≥ 0.

    Виявилося, що одна клітина не оптимальна S 41 = -6.

    Ставимо в цю клітку + ρ - це величина для перерозподілу ресурсів. Від цієї клітини будуємо цикл перерахунку - це багатокутник будь-якої конфігурації з прямими циклами, розташованими в заповнених клітках. По кутах цього циклу (прямокутника) ставимо + ρ і -ρ, щоб був баланс по рядках і стовпцях.

    Визначаємо величину перерозподілу вантажу (ресурсів):

    ρ = min {32; 52} = 32.

    Будуємо новий опорний план:


    постачальники

    споживачі U
    В1 = 79 В2 = 74 В3 = 64
    А1 = 54

    15

    6

    54

    12 U1 = 0
    А2 = 47

    4

    47

    6 8 U2 = -5
    А3 = 32 24 21

    5

    32

    U3 = -4
    А4 = 84

    12

    32

    9

    20

    12

    32

    U4 = 3
    V V1 = 9 V2 = 6 V3 = 9 Smin = 1620

    і весь алгоритм повторюється знову:

    S min 2 = 6 * 54 + 4 * 47 + 5 * 32 + 12 * 32 + 9 * 20 + 12 * 32 = 324 + 188 + 160 + 384 +180+ + 384 = 1620 .

    Всі S ij ≥ 0, отже 2-й опорний план є оптимальним.

    Відповідь: мінімальна вартість перевезень дорівнює 1620 од. вартості.

    Поставки глини: х 12 = 54 т; х 21 = 47 т; х 33 = 32 т; х 41 = 32 т; х 42 = 20 т; х 43 = 32 т.


    Список літератури

    1. Акулич І.Л. Математичне програмування в прикладах і завданнях. - М .: Вища школа, 1986.

    2. Архангельський Ю.С., Коваленко І.І. Міжгалузевий баланс. - К .: Вища шк. Головне вид-во, 1988.

    3. Ашманов С.А. Введення в математичну економіку. - М .: Наука, 1984.

    4. Вентцель Е.С. Дослідження операцій: Завдання, принципи, методологія. - М .: Наука, 1980

    5. Вівальнюк Л.М. Елементи лінійного програмування. - К .: Вища школа, 1975.

    6. Гейл Д. Теорія лінійних економічних моделей. - М .: ІЛ, 1963.

    7. Гольштейн Є.Г., Юдін Д.Б. Лінійне програмування (теорія, методи та програми). - М .: Наука, 1969.

    8. Данциг Дж. Лінійне програмування, його узагальнення і додатки. - М .: Прогрес, 1966.

    9. Деордица Ю.С., Нефедов Ю.М. Дослідження операцій в плануванні та управлінні. - К .: Вища школа, 1991.

    10. Єфімов Н.В. Квадратичні форми і матриці. - М .: Наука, 1972.

    11. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. - К .: Вища школа, 1979.

    12. Дослідження операцій. / Под ред. Н.С. Кремера. - М .: Бізнес і банки, ЮНИТИ, 1997..

    13. Кузнєцов Ю.М. та ін. Математичне програмування. - М .: Вища школа, 1980.

    14. Карпелевіч Ф.М., Садовський Л.Є. Математичне программми-вання. - І .: Наука, 1967.

    15. Лотов А.В. Введення в економіко-математичне моделювання. - М .: Наука, 1984.

    16. Математика в економіці: Підручник: у 2-х ч. Ч.1 / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браїлів, І.Г. Шандра. - 2-е изд., Перераб. і доп. - М .: Фінанси і статистика, 2006.

    17. Математичні методи і моделі в плануванні та управлінні. Збірник завдань. К .: Вища школа, 1985.

    18. Терехов Л.Л., Куценко В.А.Ж, Сідней С.П. Економіко-математичні методи і моделі в плануванні та управлінні. - К .: Вища школа, 1984.