Дата конвертації18.04.2017
Розмір15.75 Kb.
Типреферат

Скачати 15.75 Kb.

Дослідження емпіричної залежності

ДЕРЖАВНИЙ КОМІТЕТ

РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ з вищої

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ

МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ

ІНСТИТУТ радіотехніки, електроніки

І АВТОМАТИКИ

(ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ)

КУРСОВА РОБОТА

ТЕМА: «Дослідження емпіричної залежності».

КУРС: «Математичне моделювання економічних процесів».

Студентки групи МФ-3-95

Франківської К. І.

____________________________________________________________________________ Москва 1998

план

1. Введення

2. Вихідні дані

3. Дослідження на наближення до експоненціальної залежності

3.1. Побудова графіка емпіричної залежності в полулогарифмических координатах

3.2. побудова похідної

3.3. Побудова темпу похідної

4. Дослідження на наближення до статечної залежності

4.1. Побудова зворотного темпу зростання інтеграла статечної залежності

4.2. Побудова графіка B ÖX

4.3. Побудова графіка емпіричної послідовності в логарифмічних координатах

5. Висновок

6. Використана література

7. Додаток

1. Введення

Аналіз емпіричних даних використовується в якості аналізу багатьох економічних показників для можливості прогнозування зміни цих показників. Прогнозуванням різної економічної динаміки займаються технічний і фундаментальний аналізи. Технічний аналіз за результатами дослідження надає конкретне рішення щодо дій, а на базі фундаментального аналізу, можна побудувати прогноз динаміки зміни конкретного показника в майбутньому.

Як досліджуваної послідовності буде взятий емпіричний набір економічних даних, що має зростаючу тенденцію зміни в часі.

Дані дослідження емпіричних даних будуть проводитися з метою виявлення деяких функціональних залежностей між ними, а також математичної моделі, до якої найближче наближається емпірична залежність.

У цій роботі буде проведений аналіз двох емпіричних послідовностей на відповідність математичних моделей зростання, таким як експоненціальна залежність і ступенева залежність.

2. Вихідні дані

В якості вихідних послідовностей взяті статистичні дані з книги «Історична статистика Сполучених Штатів Америки» - Еміграція в США з Центральної Європи з 1886 по 1915 рік і Еміграція в США з СРСР і країн Балтії з 1886 по 1915 рік.

Графік вихідних даних представлений на аркуші 1 (див. Додаток).

Еміграція в США Еміграція в США

з Центральної Європи і СРСР і країн Балтії

(Угорщина, Австрія) (Литва, Естонія, Латвія, Фінляндія)



3.Ісследованіе на наближення до експоненціальної залежності

3.1 Побудова графіка емпіричної залежності в полулогарифмических координатах

Рівняння експоненційної функції має наступний вигляд:

X = Ce kt,

що є рішенням диференціального рівняння:

dX / dt = KX.

Проинтегрировав це рівняння отримаємо лінійну залежність lnX по t:

lnX = k t + lnC.

Еміграція з Центральної Європи Еміграція з СРСР і країн Балтії



Формула, зазначена вище дозволяє нам зробити твердження, що якщо дані послідовності емпіричних даних наближаються до експоненті, то графік залежності lnX від часу повинен знаходитися в лінійному коридорі.

Іншими словами, якщо послідовність являє собою експонентну функцію, то її графік у полулогарифмических координатах випрямляється.

За даним графіком визначається темп зростання, рівний

K = D2 / D1 = (lnX2 - lnX1) / (t2-t1),

параметр lnC впливає на розміщення прямої на площині.

Графіки залежності lnX від t представлені на аркуші 2 (див. Додаток). Темп зростання К, визначений за графіками, дорівнює для графіка залежності еміграції в США з Центральної Європи - 0,11, для графіка залежності еміграції з СРСР і країн Балтії - 0,13.

3.2 Побудова похідної

Похідна емпіричної послідовності розраховується за формулою:

X'(t i) = (X i - X i-1) / (t i - t i-1).

Графіки похідною зображені на аркуші 3 (див. Додаток) і є коливання, що мають збільшується амплітуду в часі. Це вказує на те, що швидкість росту обох емпіричних залежностей у часі збільшується.

Еміграція в США з Еміграція в США з СРСР і

Центральної Європи країн Балтії



3.3 Побудова темпу похідної

Графік зміни темпу похідною будується з використанням формули:

X'(t i) / X (t i) = (X i - X i-1) / X i (t i - t i-1).

Еміграція в США з Еміграція в США з

Центральної Європи СРСР і країн Балтії



В результаті побудов отриманий графік, який представляє собою коливання з різною амплітудою відносно прямої, що дорівнює темпу зростання К, який характеризує швидкість зростання логарифма емпіричної послідовності.

4. Дослідження на наближення до статечної залежності

4.1 Побудова зворотного темпу зростання інтеграла статечної залежності

Статечна функція має вигляд:

X = X 0 (t - t 0) B,

який є рішенням диференціального рівняння такого вигляду:

dX \ dt = BX / (t - t 0).

Похідна статечної функції дорівнює:

X'= BX 0 (t - t 0) B-1.

Темп зростання статечної функції дорівнює:

X'/ X = B / (t - t 0),

а зворотний темп зростання статечної функції має наступний вигляд:

X / X'= (t - t 0) / B.

Але графік зворотного темпу має дуже сильні коливання, що не дозволяє з великою точністю відстежити тенденцію графіка. В наслідок цього буде побудований графік зворотного темпу інтеграла статечної функції, що має більш згладжені коливання і дозволяє досить точно визначити тегнденцію графіка. Графік зворотного темпу інтеграла в ідеальному випадку має вигляд прямої з коефіцієнтом нахилу рівним В, яка перетинає вісь абсцис в точці t 0.

Інтеграл статечної функції обчислюється за формулою:

Y = X'(t - t 0) B + 1 / B + 1.

А зворотний темп зростання інтеграла дорівнює:

Y'/ Y = X / Y = (B + 1) / (t - t 0).

Коефіцієнт нахилу прямий У може бути знайдений з графіка по формулі:

B = ctga - 1,

або, іншими словами, різниці відношення приросту аргументу (D1) до приросту функції (D2) і 1.

Зворотний темп інтеграла статечної залежності розраховується за формулою:

Y / Y'= S (XDt) / X.

Еміграція в США Еміграція в США

з Центральної Європи і СРСР і країн Балтії



Отримані графіки розташовані на аркуші 5 (див. Додаток).

Так як графіки залежностей не мають яскраво вираженої тенденції по наближенню до статечної функції, як шуканої прямий було взято загальна тенденція зростання даного графіка, отримана за допомогою методу найменших квадратів.

На основі даних графіків отримані наступні значення параметрів прямой:

¨ Графік зворотного темпу інтеграла залежності Еміграція в США з Центральної Європи: t 0 = 1877, B = 2.5

¨ Графік зворотного темпу інтеграла залежності Еміграція в США з СРСР і країн Балтії: t 0 = 1875.5, B = 2.9

4.2 Побудова графіка B ÖX

Для перевірки правильності значень коефіцієнта нахилу В і початкового часу t 0, побудований графік залежності B ÖX від часу.

Отримані графіки розташовані на аркуші 6 (див. Додаток).

Оскільки, як і в попередньому випадку, неможливо виділити чітку лінійну тенденцію графіків емпіричних послідовностей. Тому шляхом проведення прямий через мінімуми графіка і прямої через максимуми графіка, шукається пряма, розташована на однаковій відстані від обох прямих.

В результаті проведених побудов визначилися значення t 0.В обох випадках вони не збігаються зі значеннями, отриманими в результаті попередніх побудов.

¨ Для послідовності Еміграція в США з Центральної Європи нового значення t 0 = 1890.

¨ Для послідовності Еміграція в США з СРСР і країн Балтії нове значення t 0 = 1883.

Еміграція в США Еміграція в США

з Центральної Європи і СРСР і країн Балтії



4.3 Побудова графіка емпіричної послідовності в логарифмічних координатах

Як було сказано вище, статечна функція має вигляд:


X = X 0 (t - t 0) B.

Прологаріфміровав обидві частини, одержуємо лінійну залежність lnX від lnT, де Т = t - t 0:

LnX = lnX 0 + B ln (t - t 0).

Графіки залежності lnX від lnТ побудовані з урахуванням обох значень t 0.

Для значень t 0 (t - t 0 = T1, t 0 = 1877 для послідовності Еміграція в США з Центральної Європи, t 0 = 1875,5 для послідовності Еміграція в США з СРСР і країн Балтії), отриманих при дослідженні графіків зворотного темпу зростання інтеграла емпіричної послідовності, графіки мають вигляд, представлений на аркуші 7 (див. Додаток).

Еміграція в США Еміграція в США

з Центральної Європи і СРСР і країн Балтії



Як і в попередньому випадку, проводиться пряма, яка перебуває на однаковій відстані від прямої, проведеної через мінімуми графіка і прямої, проведеної через максимуми графіка. Коефіцієнт нахилу даної прямої в цьому випадку буде дорівнювати

¨ Для послідовності Еміграція в США з Центральної Європи У = 2,39;

¨ Для послідовності Еміграція в США з СРСР і країн Балтії У = 2,73.

Для значень t 0 (t - t 0 = T2, t 0 = 1890 для послідовності Еміграція в США з Центральної Європи, t 0 = тисячу вісімсот вісімдесят три для послідовності Еміграція в США з СРСР і країн Балтії), отриманих при дослідженні графіків B ÖX, графіки мають вид, представлений на аркуші 8 (див. Додаток).

Еміграція в США Еміграція в США

з Центральної Європи і СРСР і країн Балтії



З аналогічно обработанноих графіків емпіричних послідовностей отримані нових значень коефіцієнтів нахилу прямих, рівні

¨ Для послідовності Еміграція в США з Центральної Європи У = 2,44;

¨ Для послідовності Еміграція в США з СРСР і країн Балтії У = 1,82.

5.Заключеніе

В результаті проведених досліджень були побудовані графіки емпіричних залежностей і з них отримано:

· Емпірична послідовність Еміграція в США з Центральної Європи наближається до експоненційною залежності з темпом зростання К = 0,11

· Емпірична послідовність Еміграція в США з СРСР і країн Балтії наближається до експоненційною залежності з темпом зростання К = 0,13

· Емпірична послідовність Еміграція в США з Центральної Європи наближається до статечної залежності з параметрами В і t 0. При побудові графіків було отримано такі значення параметрів:

В = 2,5 t 0 = 1877

В = 2,39 t 0 = 1890

В = 2,44

· Емпірична послідовність Еміграція в США з СРСР і країн Балтії наближається до статечної залежності з параметрами В і t 0. При побудові графіків було отримано такі значення параметрів:

В = 2,9 t 0 = 1875,5

В = 2,73 t 0 = тисячі вісімсот вісімдесят три

В = 1,82

6. Використана література

1. Statistical History of USA.

7. Додаток