• 2.1.2 Довірчий інтервал для математичного очікування
  • (рис.
  • 2.1.3Доверітельний інтервал для математичного очікування
  • Приклад 2.
  • 2. Рішення.
  • Рішення.
  • 2.2 Генеральна сукупність.
  • 2.2.1 Побудова довірчого інтервалу для генеральної
  • 2.2.2 Побудова довірчого інтервалу для генеральної частки
  • 2.2.3Построеніе довірчого інтервалу для генеральної
  • Приклад 8.


  • Дата конвертації05.05.2017
    Розмір29.16 Kb.
    Типреферат

    Скачати 29.16 Kb.

    Довірчий інтервал, довірча ймовірність

    5

    зміст

    1. Введення

    2. Основна частина

    2.1.1 Поняття про довірчі інтервали

    2.1.2 Довірчий інтервал для математичного очікування нормальної випадкової величини при відомій дисперсії

    2.1.3 Довірчий інтервал для математичного очікування нормальної випадкової величини при невідомій дисперсії

    2.1.4 Довірчий інтервал для дисперсії нормальної випадкової величини

    2.2 Генеральна сукупність

    2.2.1 Побудова довірчого інтервалу для генеральної середньої по малій вибірці

    2.2.2 Побудова довірчого інтервалу для генеральної частки по малій вибірці

    2.2.3 Побудова довірчого інтервалу для генеральної дисперсії

    3. Висновок

    Список літератури

    1. Введення

    На практиці ми завжди маємо справу з обмеженим числом вимірів, і завдання, яке завжди стоїть перед оператором, полягає в тому, як оцінити точність вимірювань, тобто знайти його міру наближення до істинного значення на підставі групи результатів спостереження.

    В результаті окремих вимірювань ми отримуємо деякі строго фіксовані результати (точки) вимірюваної величини. Їх значення є випадковими з деяким розподілом. Випадкова похибка вимірювання утворюється під впливом великого числа факторів, що супроводжують процес вимірювання. Важливо зафіксувати відхилення і, при використанні отриманих результатів, використовувати підхід, який буде враховувати такі флуктуації. Відповідним рішенням є введення понять довірчого інтервалу і довірчої ймовірності.

    2. Основна частина

    2.1.1 Поняття про довірчі інтервали.

    Після отримання точкової оцінки та * бажано мати дані про надійність такої оцінки. Особливо важливо мати відомості про точність оцінок для невеликих вибірок (оскільки зі зростанням обсягу п вибірки Незміщеність і спроможність основних оцінок гарантується твердженнями математичної статистики). Тому точкова оцінка може бути доповнена інтервального оцінкою - інтервалом (і 1, і 2), всередині якого з наперед заданою вірогідністю г знаходиться точне значення оцінюваного параметра і. Завдання визначення такого інтервалу називають інтервальним оцінюванням, а сам інтервал - довірчим інтервалом. При цьому г називають довірчою ймовірністю або надійністю, з якою оцінюється параметр і потрапляє в інтервал (і 1, і 2).

    Найчастіше для визначення довірчого інтервалу заздалегідь вибирають число б = 1 - г, 0 <б <1, зване рівнем значущості, і знаходять два числа і 1 і і 2, що залежать від точкової оцінки та *, такі, що

    Р 1 <і <і 2) = 1 - б = р (1)

    У цьому випадку говорять, що інтервал (і 1, і 2) накриває невідомий параметр і з ймовірністю (1 - б), або в 100 (1 - б)% випадків. Межі інтервалу і 1 і і 2 називаються довірчими, і вони зазвичай знаходяться з умови Р (і <і 1) = Р (і> і 2) = б / 2 (рис. 1) [2].

    Малюнок 1 - Розподіл параметра і

    Довжина довірчого інтервалу, що характеризує точність інтервального оцінки, залежить від обсягу вибірки п і надійності г (рівня значущості r = 1 - б). При збільшенні величини п довжина довірчого інтервалу зменшується, а з наближенням надійності г до одиниці - збільшується. Вибір б (або г = 1 - б) визначається конкретними умовами. Зазвичай використовується б = 0,1; 0,05; 0,01, що відповідає 90, 95, 99% -м довірчим інтервалом.

    Загальна схема побудови довірчого інтервалу:

    1. З генеральної сукупності з відомим розподілом f (x, і) випадкової величини X витягується вибірка обсягу п, по якій знаходиться точкова оцінка і * параметра і.

    2. Будується випадкова величина Y (і), пов'язана з параметром і і має відому щільність ймовірності f (у, і).

    3. Здається рівень значимості б.

    4. Використовуючи щільність ймовірності випадкової величини Y, визначають два числа з 1 і з 2 такі, що

    . (2)

    Значення з 1 і з 2 вибираються як правило, з умов

    ; .

    Нерівність з 1 (і) <з 2 перетворюється в рівносильне і * - д <і <і + д таке, що Р (і * - д <і <і * + д) = 1 - б [1].

    Отриманий інтервал (і * - д <і <і * + д), що накриває невідомий параметр і з імовірністю 1 - б, і є інтервального оцінкою параметра і.

    Інтервальна оцінка також носить випадковий характер, так як вона безпосередньо пов'язана з результатами вибірки. Однак вона дозволяє зробити наступний висновок. Якщо побудований довірчий інтервал, який з надійністю р = 1 - б накриває невідомий параметр, і його межі розраховуються по До вибірках однакового обсягу п, то в (1 - б) До випадках побудовані інтервали накриють справжнє значення досліджуваного параметра.

    Оскільки в економетричних задачах часто доводиться знаходити довірчі інтервали параметрів випадкових величин, що мають нормальний розподіл, наведемо схеми їх визначення.

    2.1.2 Довірчий інтервал для математичного очікування

    нормальної випадкової величини при відомій дисперсії.

    Нехай кількісний ознака X генеральної сукупності має нормальний розподіл із заданою дисперсією у 2 і невідомим математичним очікуванням M (Х ~ N (т, у)). Побудуємо довірчий інтервал для т.

    1. Нехай для оцінки т витягнута вибірка х 1, х 2,..., х п обсягу n. тоді

    2. Складемо випадкову величину. Неважко показати, що випадкова величина u має стандартизоване нормальний розподіл, тобто u ~ N (0, 1) ().

    3. Задамо рівень значущості б.

    4. Застосовуючи формулу знаходження ймовірності відхилення нормальної величини від математичного очікування, маємо:

    . (3)

    Це означає, що довірчий інтервал накриває невідомий параметр т з надійністю 1 - б. Точність оцінки визначається величиною [6].

    Відзначимо, що число визначається по таблиці значень функції Лапласа з рівності (рис. 2) [2].

    Малюнок 2 - Стандартизоване нормальний розподіл випадкової величини

    Приклад 1. На основі тривалих спостережень за вагою X пакетів горішків, що заповнюються автоматично, встановлено, що стандартне відхилення ваги пакетів у = 10 м зважено 25 пакетів, при цьому їх середня вага склав = 244 м В якому інтервалі з надійністю 95% лежить справжнє значення середньої ваги пакетів?

    Логічно вважати, що випадкова величина X має нормальний закон розподілу: Х ~ N (m, 10). Для визначення 95% -го довірчого інтервалу знайдемо критичну точку = u 0,025 з додатка 1 по співвідношенню

    .

    Тоді за формулою (3) побудуємо довірчий інтервал:

    .

    2.1.3Доверітельний інтервал для математичного очікування

    нормальної випадкової величини при невідомій дисперсії.

    В реальності справжнє значення дисперсії досліджуваної випадкової величини, швидше за все, відомо не буде. Це призводить до необхідності використання іншої формули при визначенні довірчого інтервалу для математичного сподівання випадкової величини, що має нормальний розподіл.

    Нехай X ~ N (m, у 2), причому т і у 2 - невідомі. Необхідно побудувати довірчий інтервал, що накриває з надійністю р = 1 - б справжнє значення параметра т.

    Для цього з генеральної сукупності випадкової величини X витягується вибірка обсягу п: х 1, х 2,..., х п.

    1. Як точкової оцінки математичного очікування т використовується вибіркове середнє, а в якості оцінки, дисперсії у 2 - виправлена вибіркова дисперсія, якій відповідає стандартне відхилення.

    2. Для знаходження довірчого інтервалу будується статистика , Що має в цьому випадку розподіл Стьюдента з числом ступенів свободи v = п - 1 незалежно від значень параметрів т і у 2.

    3. Здається необхідний рівень значимості б.

    4. Застосовується наступна формула розрахунку ймовірності

    (4)

    де - критична точка розподілу Стьюдента, яка знаходиться по відповідній таблиці [5]. тоді

    .

    Це означає, що інтервал накриває невідомий параметр m з надійністю 1 - б.

    Приклад 2. Знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного очікування нормально розподіленої ознаки, якщо відомі: у = 2; = 5,4; n = 10; г = 0,95.

    Рішення.

    2Ф (t) = 0,95, Ф (t) = 0,5 * 0,95 = 0,475.

    Знайшовши t = 1,96, отримаємо.

    Довірчий інтервал

    (- д; + д) = (5,4 - 1,24; 5,4 + 1,24) = (4,16; 6,64).

    Приклад 3. Знайти мінімальний обсяг вибірки, при якому з надійністю 0,95 точність оцінки математичного очікування нормально розподіленої ознаки по вибірковій середній дорівнюватиме 0,2, якщо середньоквадратичне відхилення дорівнює 2.

    Рішення.

    Дано: r = 0,95; д = 0,2; у = 2. Знайти n.

    З формули знаходимо. з умови 2Ф (t) = 0,95 знаходимо t = 1,96. Тоді.

    Приклад 4. За заданим значенням характеристик нормально розподіленої ознаки знайти довірчий інтервал для оцінки невідомого математичного очікування:

    г = 0,95, n = 12, S = 1,5. = 16,8.

    Рішення.

    За даними г і n знаходимо t = 2,20, тоді.

    Довірчий інтервал: (16,8 - 0,95; 16,8 + 0,95) = (15,85; 17,75).

    2.1.4 Довірчий інтервал для дисперсії нормальної

    випадкової величини.

    Нехай X ~ N (т, у 2), причому т і у 2 - невідомі. Нехай для оцінки у 2 витягнута вибірка обсягу п:: х 1, х 2,..., х п.

    1. Як точкової оцінки дисперсії D (X) використовується виправлена вибіркова дисперсія якої відповідає стандартне відхилення.

    2. При знаходженні довірчого інтервалу для дисперсії в цьому випадку вводиться статистика, що має -розподіл з числом ступенів свободи v = п - 1 незалежно від значення параметра у 2.

    3. Здається необхідний рівень значимості б.

    4. Тоді, використовуючи таблицю критичних точок розподілу, неважко вказати критичні точки, для яких буде виконуватися рівність:

    . (5)

    Підставивши замість відповідне значення, отримаємо

    (6)

    Нерівність може бути перетворено в наступне:

    . (7)

    Таким чином, довірчий інтервал () накриває невідомий параметр з надійністю 1 - б. А довірчий інтервал () з надійністю 1 - б накриває невідомий параметр [7].

    2.2 Генеральна сукупність.

    Генеральною сукупністю називається безліч всіх можливих значень або реалізацій досліджуваної випадкової величини при даному реальному комплексі умов.

    Вибіркою називають частину генеральної сукупності, відібрану для вивчення.

    Вивчення всієї генеральної сукупності в багатьох випадках або неможливо, або недоцільно в силу великих матеріальних витрат, тому на практиці часто доводиться мати справу з вибірками невеликого обсягу п <10 - 20. У цьому випадку використовується зазвичай метод побудови інтервального оцінки для генеральної середньої (середнього арифметичного генеральної сукупності) і генеральної частки (частки елементів, що володіють необхідною ознакою) непридатний через дві обставини:

    1) необгрунтованим стає висновок про нормальний закон розподілу вибіркових середньої і частки w, тому що він заснований на центральній граничній теоремі при великих п;

    2) необгрунтованої стає заміна невідомих генеральної дисперсії у 2 і частки р їх точковими оцінками (або) або w, так як в силу закону великих чисел (спроможності оцінок) ця заміна можлива лише при великих п [4].

    2.2.1 Побудова довірчого інтервалу для генеральної

    середньої по малій вибірці.

    Завдання побудови довірчого інтервалу для генеральної середньої може бути вирішена, якщо в генеральній сукупності розглянутий ознака має нормальний розподіл.

    Теорема. Якщо ознака (випадкова величина) X має нормальний закон розподілу з параметрами, x 2 = 2, тобто , То вибіркова середня при будь-якому n має нормальний закон розподілу

    Якщо в разі великих вибірок з будь-яких генеральнихсукупностей нормальність розподілу обумовлювалася підсумовуванням великого числа однаково розподілених випадкових величин / n (Теорема Ляпунова), то в разі малих вибірок, отриманих з нормальною генеральної сукупності, нормальність розподілу випливає з того, що розподіл суми (композиція) будь-якого числа нормально розподілених випадкових величин має нормальний розподіл. Формули числових характеристик для отримані раніше.

    Таким чином, якби була відома генеральна дисперсія, то довірчий інтервал можна було б побудувати аналогічно викладеному вище і при малих n. Зауважимо, що в цьому випадку нормоване відхилення вибіркової середньої має стандартний нормальний розподіл N (0; 1), тобто нормальний розподіл з математичним очікуванням, рівним нулю, і дисперсією, яка дорівнює одиниці.

    Дійсно, використовуючи властивості математичного сподівання і дисперсії, отримаємо, що

    ,

    .

    Однак на практиці майже завжди генеральна дисперсія (Як і оцінюється генеральна середня) невідома. Якщо замінити її «найкращою» оцінкою за вибіркою, а саме «виправленої» вибіркової дисперсією, то великий інтерес представляє розподіл вибіркової характеристики (статистики) або з урахуванням малої вибірки, розподіл статистики.

    Уявімо статистику t у вигляді:

    . (8)

    Чисельник виразу (8) має стандартний нормальний розподіл N (0; 1). Можна показати, що випадкова величина має - розподіл з н = N - 1 ступенями свободи. Отже, статистика t має t - розподіл Стьюдента з н = п - 1 ступенями свободи. Зазначений розподіл не залежить від невідомих параметрів розподілу випадкової величини X, а залежить лише від числа н, званого числом ступенів свободи.

    Вище зазначено, що t - розподіл Стьюдента нагадує нормальний розподіл, і дійсно при н >? як завгодно близько наближається до нього.

    Число ступенів свободи до визначається як загальне число n спостережень (варіантів) випадкової величини X мінус число рівнянь l, що пов'язують ці спостереження, тобто н = п - l.

    Так, наприклад, для розподілу статистики число ступенів свободи н = п - 1, бо одна ступінь свободи «губиться» при визначенні вибіркової середньої (і спостережень пов'язані одним рівнянням).

    3ная t - розподіл Стьюдента, можна знайти таке критичне значення що ймовірність того, що статистика не перевищить величину (по абсолютній величині), дорівнює:

    (9)

    Функція, де - щільність ймовірності t - розподілу Стьюдента при числі ступенів свободи н табульованих. Ця функція аналогічна функції Лапласа Ф (t), але на відміну від неї є функцією двох змінних - t і н = п - 1. При н>? функція необмежено наближається до функції Лапласа Ф (t) [4].

    Формула довірчої ймовірності для малої вибірки може бути представлена ​​в еквівалентному вигляді:

    , (10)

    де

    (11)

    - гранична помилка малої вибірки. Довірчий інтервал для генеральної середньої, як і раніше, знаходиться за формулою:

    . (12)

    Приклад 5. Для контролю терміну служби електроламп з великої партії було відібрано 17 електроламп. В результаті випробувань виявилося, що середній термін служби відібраних ламп дорівнює 980 ч, а середньоквадратичне відхилення їх терміну служби - 18 ч. Необхідно визначити: а) ймовірність того, що середній термін служби ламп у всій партії відрізняється від середнього терміну служби відібраних для випробувань ламп не більше ніж на 8 год (по абсолютній величині); б) межі, в яких з ймовірністю 0,95 укладено середній термін служби ламп у всій партії.

    Рішення.

    Маємо за умовою п = 20, = 980 (ч), S = 18 год.

    а) Знаючи граничну помилку малої вибірки = 8 (ч), знайдемо із співвідношення (9):

    Тепер шукана довірча ймовірність

    , А знаходиться по таблиці значень при числі ступенів свободи = 16.

    Отже, ймовірність того, що розбіжність середніх термінів служби електроламп в вибірці і у всій партії не перевищить 8 ч (по абсолютній величині), дорівнює 0,906.

    б) З огляду на, що = 0,95 і t 0,95; 16 = 2,12, по (11) знайдемо граничну помилку малої вибірки (ч). Тепер по (12) шуканий довірчий інтервал або (Ч), тобто з надійністю 0,95 середній термін служби електроламп в партії укладено від 970,5 до 989,5 ч.

    2.2.2 Побудова довірчого інтервалу для генеральної частки

    по малій вибірці.

    Якщо частка ознаки у генеральній сукупності дорівнює р то ймовірність того, що у повторній вибірці обсягу п т елементів володіють цією ознакою, визначається за формулою Бернуллі:, де q = 1 - р, тобто розподіл повторної вибірки описується біноміальним розподілом. Так як при р? 0,5 біноміальний розподіл несиметрично, то в якості довірчого інтервалу для р беруть такий інтервал (p 1, p 2), що ймовірність влучення лівіше р 1 і правіше p 2 одна і та ж і дорівнює (1 - г) / 2:

    ,

    де - фактичне число елементів вибірки, що володіють ознакою.

    Малюнок 3 - Генеральна частка для г = 0,9

    Рішення таких рівнянь можна спростити, якщо використовувати спеціальні графіки, що дозволяють при даному обсязі вибірки п і заданої довірчої ймовірності р визначити межі довірчого інтервалу для генеральної частки р. Як приклад на малюнку 3 наведені такі графіки для г = 0,9.

    Приклад 6. Опитування випадково відібраних 15 жителів міста показав, що 6 з них будуть підтримувати чинного мера на майбутніх виборах. Знайти кордону, в яких з надійністю 0,9 укладена частка громадян міста, які будуть підтримувати на майбутніх виборах чинного мера.

    Рішення.

    Вибіркова частка жителів, що підтримують мера, w = т / п = 6/15 = 0,4. За малюнком 3 для г = 0,9 знаходимо при w = 0,4 і для п = 15 по нижньому графіку p 1 = 0,23, а по верхньому - р 2 = 0,60, тобто частка жителів міста, які підтримують мера, з надійністю 0,9 укладена в межах від 0,23 до 0,60. Очевидно, що більш точну відповідь на питання завдання може бути отриманий при збільшенні обсягу вибірки п.

    2.2.3Построеніе довірчого інтервалу для генеральної

    дисперсії.

    Нехай розподіл ознаки (випадкової величини) X в генеральної сукупності є нормальним N (, 2).Припустимо, що математичне сподівання М (Х) = (генеральна середня) відомо. Тоді вибіркова дисперсія повторної вибірки X 1, X 2,..., X n:

    ,

    її було слід плутати з вибіркової дисперсією

    і «виправленої» вибіркової дисперсією

    ,

    якщо S характеризує варіацію значень ознаки щодо генеральної середньої, то і - щодо вибіркової середньої [3].

    Розглянемо статистику

    З огляду на, M (X i) =, D (X i) = у 2, (i = 1, 2, ..., n) неважко показати, що М (t) = 0 і.

    Вище зазначено, що розподіл суми квадратів п незалежних випадкових величин, кожна з яких має стандартний нормальний розподіл N (0; l), представляє розподіл 2 з н = п ступенями свободи.

    Таким чином, статистика має розподіл 2 з н = п ступенями свободи.

    розподіл 2 не залежить від невідомих параметрів випадкової величини X, а залежить лише від числа ступенів свободи н.

    Щільність ймовірності розподілу має складний вигляд і інтегрування її є досить трудомістким процесом. Складено таблиці для обчислення ймовірності того, що випадкова величина, що має 2 - розподіл з н ступенями свободи, перевищить деяке критичне значення, тобто

    , де

    У практиці вибіркового спостереження математичне очікування, як правило, невідомо, і доводиться мати справу не з, а з S 2 або. Якщо Х 1, X 2,..., X n - повторна вибірка з нормально розподіленої генеральної сукупності, то, як вже сказано вище, випадкова величина (або) має розподіл 2 з н = п --1 ступенями свободи. Тому для заданої довірчої ймовірності р можна записати:

    (13)

    (Графічно це площа під кривою розподілу і рис. 4).

    Малюнок 4 - Крива розподілу 2

    Очевидно, що значення і визначаються неоднозначно при одному і тому ж значенні заштрихованої площі. зазвичай і вибирають таким чином, щоб імовірність подій <і> були однакові, т. е.

    .

    перетворивши подвійне нерівність в рівність (13) до рівносильному увазі, отримаємо формулу довірчої ймовірності для генеральної дисперсії:

    , (14)

    а для середньоквадратичного відхилення:

    . (15)

    При використанні таблиць ймовірностей необхідно врахувати, що через це умова

    рівносильно умові.

    Таким чином, значення і знаходимо з рівності:

    , (16)

    . (17)

    Приклад 7. На підставі вибіркових спостережень продуктивності праці 20 працівниць було встановлено, що середнє відхилення добового вироблення становить 15 м тканини на годину. Припускаючи, що продуктивність праці працівниці має нормальний розподіл, знайти кордону, в яких з надійністю 0,9 укладені генеральні дисперсія і середнє квадратичне відхилення добового вироблення працівниць.

    Рішення.

    маємо г = 0,9; (1 - г) / 2 = 0,05; (1 + г) / 2 = 0,95.

    При числі ступенів свободи н = n - 1 = 20 - 1 = 19 відповідно до (16) і (17) визначимо і для ймовірностей 0,95 і 0,05, тобто = 10,1 і = 30,1. Тоді довірчий інтервал для у 2 по (14) можна записати у вигляді:

    або і для у по (15):

    або 12,2 <у <21,1 (м / ч).

    Отже, з надійністю 0,9 дисперсія добового вироблення працівниць укладена в межах від 149,5 до 445,6, а її середнє квадратичне відхилення - від 12,2 до 21,1 метрів тканини на годину.

    Таблиці складені при числі ступенів свободи н від 1 до 30. При н> 30 можна вважати, що випадкова величина має стандартний нормальний розподіл N (0; l). Тому для визначення і слід записати, що

    P () = Ф (t) = г,

    звідки і, після перетворень,

    - таким чином, при розрахунку довірчого інтервалу треба думати,.

    Приклад 8. Вирішити завдання, наведену в прикладі 7, при п = 100 працівницям.

    Рішення.

    при Ф (t) = 0,9 t = 1,645, тому

    Далі рішення, аналогічне наприклад 7, призводить до довірчим інтервалам для у 2: 183,1 <у 2 <293,0 і для у: 13,5 <у <17,1 (м / ч).

    3. Висновок

    У цій роботі розглянуто поняття довірчого інтервалу і його різновиди в метрології.

    Провести нескінченне число вимірювань для отримання вірного результату в реальному житті неможливо, тому важливо дати об'єктивне уявлення результатів обмеженого числа вимірів, чому і покликаний допомогти досліджуваний підхід.

    Мета будь-якого оцінювання полягає в отриманні найбільш точного значення досліджуваної характеристики. Довірчий інтервал дозволяє з певною точністю отримати розподіл параметра, що дає гарне уявлення про досліджуваний об'єкт.

    Список літератури

    1. Бєляєв Ю.К., Носко В.П. Основні поняття і задачі математичної статистики. - М .: Изд - во МГУ, ЧеРо, 1998. С. 114

    2. Бородич С.А. Вступний курс економетрики: Навчальний посібник. - Мн .: БДУ, 2000. С. 46-48, 60-70

    3. Крамер Г. Математичні методи статістікі.- М .: Госіноіздат, 1948. С. 118-130

    4. Крамер Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика: Підручник для вузів. - М .: ЮНИТИ - ДАНА, 2002. С. 140-144

    5. Мешалкин Л.Д. Збірник завдань по теорії ймовірностей. - М .: Изд - во МГУ, 1963. С. 30-33

    6. Тутубалин В.Н. Теорія ймовірностей і випадкових процесів. Основи математичного апарату та прикладні аспекти. - М .: Изд - во МГУ, 1992.

    7. Тюрін Ю.М., Макаров А.А. Аналіз даних на комп'ютері. - М .: Инфра - М Фінанси і статистика, 1995.