• 1. Мета роботи
  • 2. Дослідження лінійних моделей парної (ЛМПР) і
  • 2.2 Контрольна завдання № 2
  • 3. Контрольна завдання № 3


  • Дата конвертації25.03.2017
    Розмір12.99 Kb.
    Типконтрольна робота

    Скачати 12.99 Kb.

    економетрика 3

    Інститут економіки і підприємництва

    (ІНЕП)

    Контрольна робота з дисципліни

    «Економетрика»

    Варіант 1

    виконав:

    студент групи №

    перевірив:

    викладач ІНЕП,

    кандидат технічних наук

    Ю.М. Давидов

    м Лосіно-Петровський

    2008-2009 н. рік


    1. Мета роботи

    Мета контрольної роботи - демонстрація отриманих теоретичних знань і набутих практичних навичок з економетрики - як синтезу економічної теорії, економічної статистики та математики, в тому числі дослідження лінійних моделей парної (ЛМПР) і множинної регресії (ЛММР), трендових моделей, методом найменших квадратів (МНК ).

    Для проведення розрахунків використовувалося додаток до ПЕОМ типу EXCEL.


    2. Дослідження лінійних моделей парної (ЛМПР) і

    множинної регресії (ЛММР) методом найменших

    квадратів (МНК).

    2.1 Контрольна завдання № 1

    2.1.1. Досліджуємо залежність продуктивності праці Y (т / год) від рівня механізації Х (%).

    Вихідні дані для 14 однотипних підприємств наводяться в таблиці 1:

    Таблиця 1

    xi

    32

    30

    36

    40

    41

    47

    56

    54

    60

    55

    61

    67

    69

    76

    yi

    20

    24

    28

    30

    31

    33

    34

    37

    38

    40

    41

    43

    45

    48

    2.1.2 Матрична форма запису ЛМПР (ЛММР):

    Y ^ = X * A ^ (1), де А ^ - вектор-стовпець параметрів регресії;

    x i 1 - зумовлені (що пояснюють) змінні, n = 1;

    ранг матриці X = n + 1 = 2

    Вихідні дані представляють у вигляді матриць.

    (1 32) (20)

    (1 30) (24)

    (1 36) (28)

    (1 40) (30)

    (1 41) (31)

    (1 47) (33)

    X = (1 56) Y = (34)

    (1 54) (37)

    (1 60) (38)

    (1 55) (40)

    (1 61) (41)

    (1 67) (43)

    (1 69) (45)

    (1 76) (48)

    Значення параметрів А ^ = (а 0, а 1) T і s 2 - нам невідомі і їх потрібно визначити (статистично оцінити) методом найменших квадратів.

    Так як матриця Х, за умовою, є прямокутної, а зворотний матрицю Х -1 можна розрахувати тільки для квадратної матриці, то зробимо невеликі перетворення матричного рівняння тіпаY = X * A, помноживши ліву і праву частини на транспоновану матрицю Х Т.

    Отримаємо X T * X * A ^ = X T * Y,

    звідки A ^ = (X T * X) -1 * (X T * Y) (3),

    де (X T * X) -1 - обернена матриця.

    2.1.2. Рішення.

    а) Знайдемо транспоновану матрицю Х Т:

    (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)

    X T = (32 30 36 40 41 47 56 54 60 55 61 67 69 76)

    в) Знаходимо твір матриць X T * X:

    (14 724)

    X T * X = (724 40134)

    г) Знаходимо твір матриць X T * Y:

    (492)

    X T * Y = (26907)

    д) Обчислюємо зворотну матрицю (X T * X) -1:

    (1,064562 -0,0192)

    (X T * X) -1 = (-0,0192 0,000371)


    е) Множимо зворотну матрицю (X T * X) -1 на твір

    матриць (X T * Y) і отримуємо вектор стовпець A ^ = (a 0, a 1) T:

    (7,0361)

    A ^ = (X T * X) -1 * (X T * Y) = (0,543501).

    Рівняння парної регресії має наступний вигляд:

    у i ^ = 7,0361 + 0,543501 * x i 1 (4).

    у i ^ (60) = 7,0361 + 0,543501 * 60 = 39 , 646.

    2.1.3 Оцінка якості знайдених параметрів

    Для оцінки якості параметрів Â застосуємо коефіцієнт детермінації R 2. Величина R 2 показує, яка частина (частка) варіації залежної змінної обумовлена пояснює змінної. Чим ближче R 2 до одиниці, тим краще регресія апроксимує експериментальні дані.

    Q = Σ (y i - y¯) 2 (5) - загальна сума квадратів відхилень залежною змінною від середньої; Q R = Σ (y ^ i - y¯) 2 (6) - сума квадратів, обумовлена регресією; Q е = Σ (y i - y ^ i) 2 (7) - залишкова сума квадратів, що характеризує вплив неврахованих факторів; Q = Q R + Q е (8).

    Q = 847,714; Q R = 795,453; Q е = 52,261.

    Q = Q R + Q е = 795,453 + 52,261 = 847,714.

    R 2 = Q R / Q = 795,453 / 847,714 = 0,9383.

    R 2 = 1 - Q e / Q = 1 - 52,261 / 847,714 = 0, 9383.

    У нашому прикладі коефіцієнт детермінації R 2, дуже високий, що показує на хорошу якість регресійній моделі (4).

    2.2 Контрольна завдання № 2

    2.2.1. Досліджуємо залежність врожайності зернових Y від ряду змінних, що характеризують різні фактори:

    Х 1 - кількість добрив, які витрачаються на гектар (т \ га);

    Х 2 - кількість хімічних засобів захисту рослин на гектар (ц \ га).

    Вихідні дані для 5 районів області наводяться в таблицях:

    Таблиця 2

    I (номер району)

    y i

    х i 1

    х i 2

    1

    9,7

    0,32

    0,14

    2

    8,4

    0,59

    0,66

    3

    9,3

    0,3

    0,31

    4

    9,6

    0,43

    0,59

    5

    9,6

    0,39

    0,16

    2.2.2. Матрична форма запису ЛММР:

    Y ^ = X * A ^ (1), де А ^ - вектор-стовпець параметрів регресії;

    х i 1, х i 2 - зумовлені (що пояснюють) змінні, n = 2;

    Ранг матриці X = n + 1 = 3

    Вихідні дані представляють у вигляді матриць.

    (1 0,32 0,14) (9,7)

    (1 0,59 0,66) (8,4

    X = (1 0,3 0,31) Y = (9,3)

    (1 0,43 0,59) (9,6)

    (1 0,39 0,16) (9,6)

    Значення параметрів А ^ = (а 0, а 1, а 2) T і s 2 - нам невідомі і їх потрібно визначити (статистично оцінити) методом найменших квадратів.

    Для знаходження параметрів A ^ застосуємо формулу (3) завдання № 1

    A ^ = (X T * X) -1 * X T * (3),

    де (X T * X) -1 - обернена матриця.

    2.2.3. Рішення.

    а) Знайдемо транспоновану матрицю Х Т:

    (1 1 1 1 1)

    X T = (0,32 0,59 0,38 0,43 0,39)

    (0,14 0,66 0,53 0,59 0,13).

    в) Знаходимо твір матриць X T * X:

    (5 2,11 2,05)

    X T * X = (2,11 0,932 0,94)

    (2,05 0,94 1,101).

    г) Знаходимо твір матриць X T * Y:

    (46,6)

    X T * Y = (19,456)

    (18,731).

    д) Обчислюємо зворотну матрицю (X T * X) -1:

    (5,482 - 15,244 2,808)

    (X T * X) -1 = (-15,244 50,118 -14,805)

    (2,808 -14,805 7, 977).

    е) Множимо зворотну матрицю (X T * X) -1 на твір

    матриць X T * Y і отримуємо вектор стовпець A ^ = (a 0, a 1, a 2) T:

    (11, 556)

    A ^ = (X T * X) -1 * (X T * Y) = (-5, 08)

    (0, 0219)

    Рівняння множинної регресії має наступний вигляд:

    y i ^ = 11,456 - 5,08 * x i 1 - 0,0219 * x i 2 (4).

    2.2.4. Оцінка якості знайдених параметрів

    Для оцінки якості знайдених параметрів а ^ 0, a ^ 1.a ^ 2 необхідно знайти оцінку дисперсії за формулою

    1

    s ^ 2 = ------------ (Y - X * A ^) T * (Y - X * A ^),

    k - n - 1

    після чого можна знайти среднеквадратические помилки S L за формулою S L = s ^ √h ii, де h ii елементи головної діагоналі матриці (X T * X) -1.

    А. Твір матриць X * A ^:

    (9,833)

    (8,472)

    Y ^ = X * A ^ = (9,536)

    (9,283)

    (9,476).

    Б. Різниця матриць (Y - X * A ^):

    (-0,132)

    (- 0,072)

    (Y - X * A ^) = (- 0,036)

    (0,116)

    (0,0835).

    В. (Y - X * A ^) T = (-0,132; -0,072; -0,036; 0,116; 0,0835)

    Г. Твір (Y - X * A ^) T * (Y - X * A ^) = 0,04458.

    З урахуванням того, що в нашому прикладі до = 5 і n = 2

    1 + 1

    s ^ 2 = ------------ (Y - X * A ^) T * (Y - X * A ^) = ------ * 0,04458 = 0,0223.

    k - n - 1 | 2

    s ^ = Ö 0,0223 = 0,1493.

    Г. Среднеквадратическая помилки оцінок параметрів дорівнюватимуть:

    S 0 = 0,0223 * Ö 5,482 = 0,3496;

    S 1 = 0,0223 * Ö 50,118 = 1,057;

    S 2 = 0,0223 * Ö 7,977 = 0,4217.

    Среднеквадратические помилки мають різне значення, що іноді перевищували оцінки параметрів, що пов'язано з малою кількістю статистичних даних.


    3. Контрольна завдання № 3

    Оцінки параметрів трендового моделі.

    3.1. За даними про роздрібний товарооборот регіону потрібно

    провести аналіз основної тенденції розвитку товарообігу.

    Таблиця 3

    рік

    Обсяг роздрібного товарообігу, млрд. Руб.

    Темп зростання по роках,%

    Абсолютний приріст по роках, млрд. Руб.

    1

    2

    3

    4

    1

    18,4

    -

    -

    2

    18,9

    103,5

    0,5

    3

    19,8

    105,3

    0,9

    4

    20,3

    102,6

    0,5

    5

    21,1

    104,4

    0,8

    В середньому

    19,7

    103,9

    0,67

    3.2. Рішення завдання будемо проводити методом множинної регресії з оцінкою параметрів а 0, а 1, а 2, а 3, так як: по-перше, абсолютний приріст нерівномірний по роках; по-друге, темпи зростання також нерівні між собою, тобто необхідно оцінювати параметри а 2 і а 3.

    Матриця Х розмірами 5 × 4 і вектор-стовпець Y розмірами 5 × 1, матимуть такий вигляд:

    (1 + 1 1 + 1) (1,84E + 10)

    (1 2 4 8) (1,89E + 10)

    X = (1 3 9 27) Y = (1, 98E + 10)

    (1 4 16 64) (2, 03E + 10)

    (1 5 25 125) (2,11E + 10)

    Рішення завдання за допомогою п ріложенія EXCEL дозволило отримати наступні оцінки параметрів Â і відповідно апроксимується значення Y ^:

    0) (1,79E + 10) (1, 838E + 10)

    1) (3,976E + 08) (1,899E + 10)

    Â = (а 2) = (8,929E + 07) Y ^ = (1, 967E + 10)

    3) (- 8,333E + 06) (2, 039E + 10)

    (2, 108E + 10).

    Негативне значення параметра а 3 = - 8,333Е + 06 говорить про те, що прискорення (темп зростання) сповільнюється, що якісно можна оцінити і з вищенаведеної таблиці.

    3.3. Аналіз отриманої трендової моделі на якість апроксимації зробимо допомогою коефіцієнта детермінації R 2.

    Значення коефіцієнта детермінації R 2 = 0,9931 говорить про дуже хорошій якості трендового моделі

    y t (млрд.руб) = 17,9 + 0,3976 * t + 0,08929 * t 2 - 0,008333 * t 3.