• Перевірка на відповідність умовам теореми Гаусса - Маркова
  • Довірчі інтервали для параметра b регресії
  • Точковий та інтервальний прогнози


  • Дата конвертації23.07.2017
    Розмір18.49 Kb.
    Типконтрольна робота

    Скачати 18.49 Kb.

    економетрика

    8

    Контрольна робота

    За е конометрікі

    Огляд кореляційного поля

    Ці дані швидше за все можна апроксимувати за допомогою лінійної регресії виду y = а - b · x, як найпростішої.

    Розрахуємо необхідні суми і запишемо їх в таблиці № 1:

    Т Абліцов №1:

    i

    x

    y

    x?

    y?

    x · y

    y

    e

    e?

    A (%)

    1

    2,5

    69

    6,25

    4761

    172,5

    66,40

    2,60

    6,75

    3,76

    2

    3

    65

    9

    4225

    195

    64,85

    0,15

    0,02

    0,23

    3

    3,4

    63

    11,56

    3969

    214,2

    63,61

    -0,61

    0,37

    0,97

    4

    4,1

    59

    16,81

    3481

    241,9

    61,44

    -2,44

    5,94

    4,13

    5

    5

    57

    25

    3249

    285

    58,65

    -1,65

    2,71

    2,89

    6

    6,3

    55

    39,69

    3025

    346,5

    54,61

    0,39

    0,15

    0,70

    7

    7

    54

    49

    2916

    378

    52,44

    1,56

    2,43

    2,89

    сума:

    31,3

    422

    157,31

    25626

    1833,1

    422,00

    0,00

    18,38

    15,57

    середнє:

    4,471

    60,286

    22,473

    3660,857

    261,871

    -

    -

    -

    2,22%

    Коваріація між y і x розраховується за формулою, де,, . Дисперсія і середнє квадратичне відхилення для x і y знаходимо за формулами:

    = 2,479, = 26,490, 1,575, 5,147.

    = -7,692 / 2,479 = -3,103; = 60,286 + 3,103 · 4,471 = 74,159

    Отримали рівняння регресії: y = 74,159 - 3,103 · х (округлено до сотих).

    Оцінюємо якість отриманої лінійної моделі:

    а) TSS = 25624 - (31,3?): 7 = 185,492; RSS = TSS - ESS = 185,429 - 18,38 = 176,051, де ESS = = 18,38 (в таблиці №1); F - статистика = RSS · (n - m - 1): ESS = 176,051 · 5: 18,38 = 45,45.

    Табличне значення на 1% рівні значущості одно 16,26 (див. Таблицю розподілу Фішера - Снедекора). Фактичне значення F - статистики більше табличного на 1% рівні значущості, отже рівняння регресії в цілому значимо і на 5% рівні значимості.

    б) Середня помилка апроксимації дорівнює (УА) / 7 = ((УIy-yI: y) · 100%) / 7 = 15,57 / 7 = = 2,22%, що говорить про хорошу апроксимації залежності моделлю (2,22 % <6%).

    Висновок: модель вийшла прийнятна (в сенсі апроксимації).

    в) Коефіцієнт кореляції знаходимо за формулою: = -0,949: сильна зворотна лінійна залежність.

    г) Коефіцієнт детермінації знаходимо наступним чином: = 0,901 або варіація x визначає варіацію y на 90,1%.

    Перевірка на відповідність умовам теореми Гаусса - Маркова

    а) По таблиці №2 розрахуємо статистику Дарбіна - Уотсона:

    Таблиця №2

    i

    e?

    e

    e i-1

    (e i -e i-1)?

    = 16,050: 18,38 = 0,8734.

    1

    6,75

    2,60

    -

    -

    2

    0,02

    0,15

    2,598

    5,996

    3

    0,37

    -0,61

    0,149

    0,576

    4

    5,94

    -2,44

    -0,610

    3,342

    5

    2,71

    -1,65

    -2,438

    0,628

    6

    0,15

    0,39

    -1,646

    4,134

    7

    2,43

    1,56

    0,388

    1,373

    Разом:

    18,38

    -

    -1,559

    16,050

    Отримане значення потрапляє в область невизначеності: DW (0,7; 1,35). Це означає, що для прояснення питання щодо автокореляції залишків необхідно подальше дослідження ряду залишків іншими методами, в яких відсутня зона невизначеності.

    б) Скористаємося тестом серій Бройша - Годфрі:

    Таблиця №3

    t

    e t

    e t-1

    e? t-1

    e t · e t-1

    e t

    (y-bx)?

    1

    2,598

    0,149

    0,022

    0,387

    0,074

    6,371

    2

    0,149

    -0,610

    0,372

    -0,091

    -0,302

    0,204

    3

    -0,610

    -2,438

    5,944

    1,487

    -1,208

    0,358

    4

    -2,438

    -1,646

    2,709

    4,013

    -0,816

    2,632

    5

    -1,646

    0,388

    0,151

    -0,639

    0,192

    3,379

    6

    0,388

    1,559

    2,430

    0,605

    0,773

    0,148

    Разом:

    -1,559

    -2,598

    11,628

    5,763

    -1,287

    13,092

    На підставі отриманих даних побудуємо рівняння регресії без вільного члена виду y = b · x. При цьому стандартна помилка коефіцієнта регресії b, розрахована за формулою:

    ,

    , = 1,181,

    що менше значення t табл. = 2,57. Це означає, що автокорреляция першого рівня відсутній.

    Однак слід зазначити, що і тест Дарбіна - Уотсона і тест серій Бройша - Годфрі застосовуються тільки для вибірок досить великого розміру Крістофер Доугерті. Введення в економетрику. М .: Инфра М, 2001. С. 238. , В той час як запропонована нам для аналізу вибірка складається тільки з семи значень.

    в) За допомогою критерію серій перевіримо випадковість розподілу рівнів ряду залишків. З 95% ймовірністю розподіл ряду залишків вважається випадковим, якщо одночасно виконуються дві нерівності:

    1)

    загальне число серій має бути більше двох, і 2) - максимальна довжина серії повинна бути строго менше п'яти.

    Дані для розрахунків отримуємо з таблиці № 4.

    Таблиця № 4. Критерій серій лінійна модель не проходить:

    e i

    e i - e i -1

    серії

    Число серій = 2, Тривалість найдовшою серії

    дорівнює 3.

    2 = = [2.079] = 2. (не виконується),

    хоча 3 <5. Значить рівні розподілені не випадково.

    0,149

    -2,449

    +

    -0,610

    -0,759

    +

    -2,438

    -1,828

    +

    -1,646

    0,792

    -

    0,388

    2,033

    -

    1,559

    1,172

    -

    г) Відповідність ряду залишків нормальному закону розподілу перевіряємо, використовуємо RS-критерій:

    = 2,63, де.

    Значення нашого RS-критерію для 7 спостережень практично потрапляє в інтервал [2,67 3,69], (для 10 спостережень) хоча і цей критерій визначено для вибірок більше 10 одиниць.

    д) За допомогою тесту рангової кореляції Спірмена визначаємо відсутність або наявність гетероскедастичності.

    Таблиця № 5.

    Ранг Х

    Х

    I e i I

    Ранг е i

    D i

    D? i

    Коефіцієнт рангової кореляції визначається за формулою:

    1

    2,5

    2,60

    7

    -6

    36

    2

    3

    0,15

    4

    -2

    4

    3

    3,4

    0,61

    3

    0

    0

    4

    4,1

    2,44

    1

    3

    9

    5

    5

    1,65

    2

    3

    9

    6

    6,3

    0,39

    5

    1

    1

    7

    7

    1,56

    6

    1

    1

    Так як абсолютне значення статистики коефіцієнта рангової кореляції = 0,175 виявилася значно менше табличного значення, то гетероскедастичності відсутня.

    Висновок: лінійна модель не відповідає всіма передумовами регресійного аналізу (умовам теореми Гаусса-Маркова) і, хоча вона придатна для прогнозування, але виникає питання про її значущості.

    Довірчі інтервали для параметра b регресії

    Стандартні помилки для параметрів регресії знаходимо за формулами:

    = 0,46,

    = 2,18.

    Перевіримо на статистичну значущість коефіцієнт b моделі, для чого розрахуємо t -Статистика за формулою. отримана t -Статистика дорівнює -6,742, що по модулю більше табличного значення t = 2,57. Економічно цей параметр інтерпретується так: при зміні доходу споживачів на одну одиницю обсяги продажів зміняться на -3,103 од.

    Перевіримо на статистичну значущість коефіцієнт a моделі, для чого розрахуємо t -Статистика за формулою. Отримана t -Статистика дорівнює 33,992, що більше табличного значення t = 2,57. Довірчий інтервал параметра b визначаємо за формулою:

    ;

    s = = 1,917,

    Довірчий інтервал параметра b становить; або ( t табл. = 2.57, Д = 2,57 · 0,4602 = 1,1827).

    Проведений аналіз коефіцієнтів регресії говорить про те, що параметри регресії значущі, крім того і рівняння регресії в цілому значимо на 1% рівні значущості (cм. Вище). Це дозволяє використовувати побудовану нами модель для отримання прогнозів.

    Точковий та інтервальний прогнози

    Спочатку знаходимо точковий прогноз для значення х, на 25% перевищує середнє значення = 4,47 (тобто при = 5,589),. Тоді стандартна помилка прогнозу складе:

    ,

    t табл. = 2.57, Д = 2,57 · 2,18 = 5,604.

    Інтервальний прогноз для точкового прогнозу при = 5,589 () складе: або.