• Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз.
  • Побудова математичної моделі.
  • Математичний аналіз моделі.
  • Підготовка вихідної інформації.
  • Чисельне рішення.
  • Аналіз чисельних результатів і їх застосування.


  • Дата конвертації23.04.2017
    Розмір32.5 Kb.
    Типкурс лекцій

    Економічні функції і їх моделювання

    лекція 1

    1. При підготовці менеджерів в США та інших країнах використовуються два напрямки:

    1) Вивчення звітів про діяльність фірм (досьє).

    2) Вивчення ЕММ і моделей.

    У напрямку 1 студенту треба за дві години вивчити досьє на фірму, наприклад «Дженерал моторс» на 20 сторінках і потім за 80 хвилин обговорити можливі напрямки діяльності фірми і вибрати найкращі. У напрямку 2 використовуються банки моделей, статистичні банки. У банку моделей знаходяться моделі розрахунку цін на товари і послуги, модель розташування фірми або торгової точки, модель розробки рекламного бюджету та ін. Статистичний банк - сукупність сучасних методик статистичної обробки інформації. Банк моделей - набір математичних моделей, що дозволяють приймати оптимальні управлінські рішення. Ці методики і моделі дозволяють відповісти на питання:

    1) Які види діяльності необхідно розвивати?

    2) Які товари доцільно випускати?

    3) З яких змінним найкраще сегментувати ринок?

    4) Що станеться з ринком, якщо ціну товару підняти на 10%, а витрати на рекламу збільшити на 20%?

    5) Що є змінними, що впливають на збут?

    За останні роки розроблено безліч моделей, в основі яких лежать ЕММ.

    Предметом дисципліни є методологія, методи і процеси економіко-математичного моделювання.

    Сутністю дисципліни є визначення внутрішніх закономірностей економічних процесів і явищ. Це можна зробити за допомогою моделей. Тут гостро постає питання про адекватність математичної моделі економічної структури. Будь-яка модель будь-якого явища вважає абстрагування від багатьох реальних властивостей. Що ж стосується моделювання в економіці, то тут реальний об'єкт по своїй складності перевершує багато об'єктів фізичної природи. Разом з тим перевірка адекватності ЕМ моделі за допомогою єдиного критерію істини - практики утруднена, так як економічний експеримент пов'язаний найчастіше з колосальними витратами і тому не завжди можливий.

    Деякі моделі добре зарекомендували себе. Останнім часом три математичних теорії є основним інструментом при дослідженні економічних завдань: лінійне програмування, моделі типу «витрати - випуск» і теорія виробничих функцій.

    Метою дисципліни є формування системи знань з методології, методики та інструментарію побудови економічних моделей, їх аналізу та використання.

    До завдань дисципліни відносяться вивчення теорії та отримання практичних навичок моделювання і аналізу економічних об'єктів і процесів на макро-, мезо- і мікроекономічних рівнях.

    Даний курс пов'язаний з дисциплінами математичного циклу та економічного циклу.

    2. Першу економічну модель в економіці сформулював в 16-17 ст французький вчений, придворний лікар Франсуа Кене. Кене довго розмірковував над розподілом в суспільстві праці і доходів. Він викреслив схему, яка увійшла в історію під ім'ям «Зигзаг доктора Кене» і «Арифметична формула».

    Справжнім першовідкривачем математичної економіки в Європі визнається французький економіст Антуан Огюстен Курно, який в 1838 році запропонував математичний апарат фірми, показав попит як падаючу функцію ціни. А.О. Курно написав книгу «Дослідження про математичних принципах теорії багатств».

    У 1847 році в Лозанні вийшла книга Леона Вальраса, в якій він писав «Чиста теорія економіки є наука, що нагадує у всьому фізико-математичні науки». Леон Вальрас розробив теорії загального конкурентного рівноваги і побудував узагальнену модель капіталістичної економіки.

    Необхідно відзначити роботи по моделіровапнію економіки В. Леонтьєва, Дж. Фон Неймана, В. Парето, Е. Енгель, Ф. Еджворта.

    Василь Леонтьєв (1906-1999 р.р.) - американський економіст, росіянин за походженням. Основоположник напрямки, названого їм методом «витрати - випуск» або по вітчизняній термінології, методу міжгалузевого балансу. Отримав Нобелівську премію.

    Дж. Фон Нейман (1903 - 1957 р.р.) - американський математик, виходець з Угорщини. Розробив логічні основи ЕОМ і автоматів, побудував разом з О. Моргенштерн теорію ігор. Відома його математична модель «розширюється» економіки.

    В. Парето (1848 - 1927 р.р.) - італійський економіст і соціолог. У 1897 році він винайшов формулу, що блага розподіляються нерівномірно, розробив принцип багатоцільовий «оптимальності».

    Німець Е. Енгель придумав теорії функцій попиту і еластичності показників.

    Англієць Ф. Еджворт запропонував криві байдужості.

    В кінці 19 століття в Європі і США отримали великий розвиток статистичні дослідження (з потреб астрономії для усунення помилок у спостереженнях) і виник метод найменших квадратів, регресивний аналіз (з потреб біології). Вони увійшли важливою складовою частиною в економетрію.

    Серед вітчизняних вчених, які внесли значний вклад в ЕМ моделювання необхідно назвати Е .Е. Слуцького, Л.В. Канторовича, В. С. Немчинова, Н. П. Федоренко, Г. А. Аганбегяна.

    У 1939 році відбулося подія, яка спочатку ніким не було помічено, але потім відгукнулося в усьому світі. Молодий професор Ленінградського університету Л.В. Канторович (1912 - 1986 р.р.) надумав застосувати математичні прийоми до вирішення виробничих завдань. Такі завдання йому запропонував існуючий тоді Фанерний трест. Як розкроїти фанерні листи з мінімальними відходами, як розподілити роботу по верстатах, щоб результати були максимальними? Результати були вражаючі. Математичний розрахунок пропонував єдиний найбільш ефективний варіант використання ресурсів.

    У 1958 році майбутній академік В. С. Немчинов створив першу в країні ЕМ лабораторію. У 1963 р на базі лабораторії Немчинова був організований Центральний ЕМ інститут. Директором був призначений Н. П. Федоренко, котрий став академіком. У Новосибірську був створений Інститут економіки і організації промислового виробництва АН СРСР, який очолив академік Г.А.Аганбегян.

    Нижче наведені дані про вітчизняних учених, які зробили найбільший внесок у моделювання економіки.

    Слуцький Євген Євгенович (1880 - 1948 р.р.) - радянський математик, економіст і статистик, працював в обласній теорії попиту і споживання, вивів «рівняння Слуцького» (що характеризує залежність між зміною цін на окремі товари і доходів споживачів з одного боку, і структурою покупки попиту з іншого).

    Канторович Леонід Віталійович (1912 - 1986 р.р.) - радянський математик і економіст, зробив внесок у розвиток ціноутворення, теорії ефективності капіталовкладень, а також розвитку ОТ. Лауреат Нобелівської премії з економіки.

    Немчинов Василь Сергійович (1894 - 1964 р.р.) - основоположник ЕМ напрямки науки в країні, керував роботами по міжгалузевим балансам країни і регіонів.

    Аганбегян Абел Газевіч (р. 1932 г.), академік, основні праці з проблем продуктивності праці, галузевої оптимізації.

    Фельдман Григорій Олександрович (1884 - 1958 р.р.), радянський економіст, створив першу динамічну модель економічного зростання.

    Федоренко Микола Прокопович (р. 1917 г.) академік, радянський економіст, організатор і директор ЦЕМІ до 1985 року, працював в області загальних проблем застосування ЕММ в народному господарстві.

    Лекція 2

    Тема: Класифікація ЕММ і моделей

    ЕМ методи - узагальнююча назва дисциплін, що знаходяться на стику економіки, математики і кібернетики, введене В. С. Немчинова на початку 60-х років 20 ст.

    Розглянемо схему ЕММ і моделей:

    1. Математична статистика - розділ прикладної математики, заснований на вибірці досліджуваних явищ.

    2. Математична економіка і економетрія - науки, що займаються перевіркою економічних теорій на фактичному матеріалі з використанням математичної статистики і математичних моделей.

    Економетрія - наука вивчає конкретні кількісні закономірності та взаємозв'язки економічних об'єктів і процесів за допомогою математичних і математико-статичних методів і моделей.

    Математична економіка - наука, що вивчає ті ж питання, що і економетрія, тільки без статистичної конкретизації економічних параметрів, у вигляді загальних економічних залежностей.

    Математичної економікою - називають прикладну частину математичної економіки.

    Виробничі функції - ЕМ рівняння зв'язують змінні величини витрат з величинами продукції, застосовується в макроекономічних розрахунках і на рівні підприємств.

    Міжгалузевий баланс - каркасна модель економічної таблиці, в якій показуються різноманітні натуральні і вартісні зв'язку в народному господарстві (за кордоном називають методом «витрати - випуск»).

    Теорія економічного зростання - дозволяє моделювати загальне і соціальний розвиток країн в цілому.

    Регіональний аналіз - досліджує рівні економічного розвитку регіонів, їх спеціалізації, галузеві структури.

    Просторовий аналіз - досліджує розміщення населених центрів в зв'язку з їх економічним значенням, сферою збуту продукції. Галузі діляться на пространствоемкіе (сільське господарство, рибальство), точкові (обробна промисловість), що скорочує відстань (транспорт і зв'язок).

    3. Економічна кібернетика розглядає застосування загальних законів кібернетики в вивченні економічних явищ (системний аналіз економіки, теорія економічної інформації).

    Системний аналіз економіки - розглядає економічні об'єкти як систему, головний інструмент - модель досліджуваної системи.

    Теорія економічної інформації - розглядає процеси відбуваються в економіці, тільки з інформаційної боку, раціоналізацію потоків економічної інформації , Її корисність.

    4. Методи прийняття оптимальних рішень (теорія ігор, масового обслуговування, управління запасами і ін.).

    2. Модель - поняття, яке визначити важко. В одній роботі було перераховано 31 визначення. Це поняття знайоме кожному: іграшковий літак - модель літака. Фотознімок пейзажу - це модель місцевості,

    s = vt (шлях = швидкість * на час, модель рухомого тіла, математична модель).

    Моделі можуть бути більш-менш точні, більш-менш прості або складні, матеріальні (речові) та знакові (наприклад, графічні).

    Матеріальні моделі - моделі гідроелектростанцій, які відтворюють річку, гори;

    Термін «модель» походить від латинського слова «modulus» - зразок

    Моделлю деякого об'єкту, явища називається штучна система або об'єкт, які в певних умовах можуть замінити оригінал шляхом відтворення властивостей і характеристик оригіналу.

    Модель є допоміжним засобом, який в певній ситуації замінює оригінал при дослідженні його властивостей.Розрізняють моделі наступних видів

    1) фізичні (зовнішньої подібності),

    2) схематичні (графічні),

    3) словесні (вербальні),

    4) математичні.

    Математичні моделі є найбільш абстрактними.

    Під ЕМ моделями розуміються математичні моделі, що застосовуються для вирішення економічних завдань і опису економічних процесів або явищ. ЕМ моделі бувають

    1 теоретико-аналітичні і прикладні,

    2 загальні і приватні,

    3 безперервні і дискретні,

    4 статичні і динамічні,

    5 детерміновані і стохастичні,

    6 матричні і ін.

    Велике значення в економіки мають оптимізаційні моделі. Вони складаються з цільової функції або критерію оптимальності і обмежень.

    Цільова функція - (або функція мети, назва оптимізується функції) - функція, оптимум якої потрібно знайти

    ѓ (х) opt (max, min).

    Критерій оптимальності - ознака, що характеризує якість прийнятого рішення.

    К = opt ѓ (х), x є X.

    Обмеження виражаються рівностями і нерівностями

    F1 (х)> A,

    F2 (х) = В.,

    Важлива властивість ЕМ моделей - їх придатність до різних ситуацій. Наприклад випуск продукції і внесення добрив можна описати однаковою моделлю.

    Лекція 3 Тема: Етапи економіко-математичного моделювання

    1. Процес моделювання, в тому числі і економіко-математичного, включає в себе три структурні елементи: об'єкт дослідження; суб'єкт (дослідник); модель, опосередковують відносини між суб'єктом, що пізнає і пізнаваним об'єктом. Розглянемо загальну схему процесу моделювання, що складається з чотирьох етапів.

    Нехай є деякий об'єкт, який ми хочемо дослідити методом моделювання. На першому етапі ми конструюємо (або знаходимо в реальному світі) інший об'єкт - модель вихідного об'єкта-оригіналу. Етап побудови моделі припускає наявність певних відомостей про об'єкт-оригіналі. Пізнавальні можливості моделі визначаються тим, що модель відображає лише деякі суттєві риси вихідного об'єкта, тому будь-яка модель заміщає оригінал в строго обмеженому сенсі. З цього випливає, що для одного об'єкта може бути побудовано декілька моделей, що відображають певні сторони досліджуваного об'єкта або характеризують його з різним ступенем деталізації.

    На другому етапі процесу моделювання модель виступає як самостійний об'єкт дослідження. На приклад, одну з форм такого дослідження становить проведення модельних експериментів, при яких цілеспрямовано змінюються умови функціонування моделі і систематизуються дані про її поведінці. Кінцевим результатом цього етапу є сукупність знань про моделі щодо істотних сторін об'єкта-оригіналу, які відображені в даній моделі. Третій етап полягає в перенесенні знань з моделі на оригінал, в результаті чого ми формуємо безліч знань про вихідний об'єкті і при цьому переходимо з мови моделі на мову оригіналу. З достатньою підставою переносити будь-якої результат з моделі на оригінал можна лише в тому випадку, якщо цей результат відповідає ознакам схожості оригіналу і моделі (іншими словами, ознаками адекватності).

    На четвертому етапі здійснюються практична перевірка отриманих за допомогою моделі знань і їх використання як для побудови узагальнюючої теорії реального об'єкта, так і для його цілеспрямованого перетворення або управління ім. У підсумку ми знову повертаємося до проблематики об'єкта-оригіналу.

    Моделювання являє собою циклічний процес, т. Е. за перші чотирьохетапну циклом може відбутися другий, третій і т. д. При цьому знання про досліджуваний об'єкт розширюються і уточнюються, а спочатку побудована модель поступово вдосконалюється. Таким чином, в методології моделювання закладені великі можливості самовдосконалення.

    Перейдемо тепер безпосередньо до процесу економіко-математичного моделювання, т. Е. Опису економічних і соціальних систем і процесів у вигляді економіко-математичних моделей. Цей різновид моделювання має ряд істотних особливостей, пов'язаних як з об'єктом моделювання, так і з застосовуваними апаратом і засобами моделювання. Тому доцільно більш детально проаналізувати послідовність і зміст етапів економіко-математичного моделювання, виділивши наступні шість етапів: постановка економічної проблеми, її якісний аналіз; побудова математичної моделі; математичний аналіз, моделі; підготовка вихідної інформації; чисельне рішення; аналіз чисельних результатів і їх застосування. Розглянемо кожен з етапів більш детально.

    1. Постановка економічної проблеми та її якісний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати суть проблеми, що приймаються передумови і припущення. Необхідно виділити найважливіші риси і властивості об'єкта, що моделюється, вивчити його структуру і взаємозв'язок його елементів, хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поведінку і розвиток об'єкта.

    2. Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, тобто вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей та ін.). Побудова моделі підрозділяється в свою чергу на кілька стадій. Спочатку визначається тип економіко-математичної моделі, вивчаються можливості її застосування в даній задачі, уточнюються конкретний перелік змінних і параметрів і форма зв'язків. Для деяких складних об'єктів доцільно будувати кілька різноаспектну моделей; при цьому кожна модель виділяє лише деякі сторони об'єкта, а інші сторони враховуються агрегованих і наближено. Чи виправдане прагнення побудувати модель, що відноситься до добре вивченого класу математичних задач, що може зайняти певний спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворює основних рис модельованого об'єкта. Однак можлива й така ситуація, коли формалізація проблеми призводить до невідомої раніше математичної структурі.

    Математичний аналіз моделі. На цьому етапі чисто математичними прийомами дослідження виявляються загальні властивості моделі і її рішень. Зокрема, важливим моментом є доказ існування рішення сформульованої задачі. При аналітичному дослідженні з'ясовується, єдино чи рішення, які змінні можуть входити в рішення, в яких межах вони змінюються, які тенденції їх зміни і т. Д. Однак моделі складних економічних об'єктів з великими труднощами піддаються аналітичному дослідженню; в таких випадках переходять до чисельних методів дослідження.

    Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, так як справа не зводиться до пасивного збору даних. Математичне моделювання пред'являє жорсткі вимоги до системи інформації; при цьому треба брати до уваги не тільки принципову можливість підготовки інформації необхідної якості, а й витрати на підготовку інформаційних масивів. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної і математичної статистики для організації вибіркових обстежень, оцінки достовірності даних і т.д. При системному економіко-математичному моделюванні результати функціонування одних моделей служать вихідною інформацією для інших.

    5. Чисельне рішення. Цей етап включає розробку алгоритмів чисельного розв'язання задачі, підготовку програм на ЕОМ і безпосереднє проведення розрахунків; при цьому значні труднощі викликаються великою розмірністю економічних задач. Зазвичай розрахунки на основі економіко-математичної моделі носять різноманітний характер. Численні модельні експерименти, вивчення поведінки моделі при різних умовах можливо проводити завдяки високій швидкодії сучасних ЕОМ. Чисельне рішення істотно доповнює результати аналітичного дослідження, а для багатьох моделей є єдино можливим.

    6. Аналіз чисельних результатів і їх застосування. На цьому етапі перш за все вирішується найважливіше питання про правильність і повноту результатів моделювання і застосування їх як у практичній діяльності, так і з метою удосконалення моделі. Тому в першу чергу повинна бути проведена перевірка адекватності моделі за тими властивостями, які обрані в якості істотних (іншими словами, повинні бути зроблені верифікація та валідація моделі). Застосування чисельних результатів моделювання в економіці спрямоване на вирішення практичних завдань (аналіз економічних об'єктів, економічне прогнозування розвитку господарських і соціальних процесів, вироблення управлінських рішень на всіх рівнях господарської ієрархії).

    Перераховані етапи економіко-математичного моделювання знаходяться в тісному взаємозв'язку, зокрема, можуть мати місце зворотні зв'язки етапів. Так, на етапі побудови моделі може з'ясуватися, що постановка задачі або суперечлива, або призводить до занадто складної математичної моделі; в цьому випадку вихідна постановка задачі повинна бути скоригована. Найбільш часто необхідність повернення до попередніх етапів моделювання виникає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідна інформація відсутня або витрати на її підготовку занадто великі, доводиться повертатися до етапів постановки задачі і її формалізації, щоб пристосуватися до доступної досліднику інформації.

    Вище вже сказано про циклічний характер процесу моделювання. Недоліки, які не вдається виправити на тих чи інших етапах моделювання, усуваються в наступних циклах. Однак результати кожного циклу мають і цілком самостійне значення. Почавши дослідження з побудови простої моделі, можна отримати корисні результати, а потім перейти до створення більш складної і більш досконалої моделі, що включає в себе нові умови і більш точні математичні залежності. 2. Для створення моделі системи необхідно спочатку дати її вербально-інформаційний опис, (слово вербальний означає «словесний» від лат. "Verbalis")

    Його складові описують:

    1) зовнішнє середовище;

    2) зв'язку системи із зовнішнім середовищем;

    3) елементарний склад системи, її частини, які можуть розглядатися як системи меншого розміру;

    4) опис зв'язків між елементами системи і ПС або головні зв'язки між елементами і ПС, якщо не можна дати всі зв'язки;

    5) дія системи ..

    Такий опис можна вважати початковою моделлю системи, базою для створення інших більш спеціалізованих моделей вищого рівня.

    Деякі частини опису можуть бути неповними. Іноді (якщо система складна) моделювання закінчується вербальним описом. Якщо вербальна модель вдала, то вона дозволяє приймати ефективні рішення, вирішувати різні проблеми, знаходити підходи управління системою.

    3. Використання чисельних математичних методів моделювання дозволило створити моделі світової економіки. Так як ресурси Землі обмежені, то цікавою є проблема дослідження можливих наслідків економічного зростання. Ця проблема тісно пов'язана з економічними факторами.

    Американський вчений Дж. Форрестер запропонував модель світової динаміки. Інтегральна вихідна величина моделі - індекс матеріального зростання життя

    M = C / P * N (1-a),

    де С - сумарний капітал, (інвестиції в промисловість),

    Р - чисельність населення;

    N - наявність природних ресурсів;

    a - індекс сільськогосподарського капіталу.

    Всі змінні тут є усередненими величинами по всьому світу.

    Взаємозв'язок змінних описувалася системою з 20 нелінійних рівнянь. Використовувалося імітаційне моделювання.

    Результати виявилися невтішними:

    1) якщо світ не зміниться, то якість життя буде знижуватися після max в 70-і роки.

    2) збільшення капіталовкладень в промисловість викличе забруднення навколишнього середовища.

    3) деякий стабільний стан можна досягти, якщо зменшити капіталовкладення в промисловість, народжуваність і користування природних ресурсів.

    Дослідження світової динаміки продовжив Д.Медоуза. Його модель характеризується величинами:

    1 - наявність ресурсів;

    2 - обсягом виробництва продуктів харчування на душу населення;

    3 - чисельність населення;

    4 - об'ємом промислової продукції на душу населення;

    5 - рівнем забруднення навколишнього середовища;

    6 - загальним темпом смертності;

    7 - загальним темпом народжуваності;

    8 - обсягом виробництва послуг на душу населення (за рік).

    Процес побудови моделі включав 4 етапи.

    1) визначення зв'язків між 8 характеристиками системи;

    2) складання залежностей між характеристиками;

    3) комп'ютерний розрахунок загального поведінки цих залежностей у часі;

    4) дослідження впливу на глобальну систему різних стратегій розвитку.

    Відповідно до цієї моделі виробництво продуктів харчування і чісленност' населення ростуть, поки їх не загальмує швидке зниження ресурсних запасів. Забруднення природного середовища і чисельність населення зростають після піку промислового розвитку настільки, що викличуть економічну, демографічну та екологічну катастрофу.

    Щоб прибрати крах світової системи, в модель послідовно вводили 4 стратегії технічного прогресу:

    1) широке використання ядерної енергетики, щоб подвоїти ресурси, переробка відходів. 2) контроль забруднення природного середовища. 3) збільшення продуктивності землі в 2 рази. 4) контроль за народжуваністю. Однак моделювання показало, що навіть при одночасному використанні всіх 4 стратегій зменшується виробництво продуктів харчування і промислової продукції на душу населення.

    Тоді розробили стабілізуючу стратегію, яка включала такі пропозиції:

    1) ідеальний контроль за народжуваністю (2-є дітей в сім'ї);

    2) збільшення амортизаційних відрахувань;

    3) переробка вторинних ресурсів, контроль над станом навколишнього середовища, збільшення термінів служби всіх видів капіталу, оновлення ерозійних земель.

    Ці заходи повинні були бути введені ще в 1975 р., Інакше вихід світу до стабільного стану буде неможливий.

    Ці висновки викликали жваву дискусію. До критичних думок ставилися: сильна агрегованість моделі, ігнорування великих відмінностей між регіонами Землі.

    Інші моделі були взагалі незрозумілими.

    У наукових колах моделі світової динаміки викликали "футурошок" тобто шок від майбутнього.

    Лекція 4 Тема: Моделювання економічних функцій

    1. Аналіз витрат містить вивчення впливу витрат виробництва на обсяг виробництва та інші ТЕ показники.

    Найчастіше розглядається функція виду:

    Z = F (x) + Уbivi, i = 1, n,

    де Z - сумарні витрати;

    x - кількість продукції;

    vi - інші умови, відображають різну структуру ОПФ, різні умови виробництва, різну організацію праці в різних галузях.

    Поділимо обидві частини на X

    ,

    де - питомі витрати.

    Відвернемося від впливу факторів, що, можливо при вивченні витрат в загальнодержавних масштабах. тоді

    Z = f (x),

    ,

    Лінійна функція витрат має вигляд:

    Z = f (x) = b0 + bix.

    Функція питомих витрат буде спадною. Параметри можна інтерпретувати за допомогою граничних величин

    , I = 1, n;

    фактор? Vi при незмінних рівні випуску продукції збільшує витрати на? Z,

    ? Z = bi? Vi.

    Якщо? Vi = 1, то? Z = bi ..

    Коли Vi висловлює якийсь процес чи така зміна організаційної структури, при якому витрати повинні знизиться, то bi має мати негативний знак.

    2. Функція попиту виражає залежність попиту від економічних (доходи, ціни) і зовнішньоекономічних (споживчі звички) чинників. Функції попиту можуть бути як макроекономічними, якщо охоплюють всю сферу споживання і мікроекономічними описують попит індивідуальних споживачів.

    D (p) - функція попиту або просто попит (по англ. "Demand" - попит) (кількість товару, що купується на даному ринку за одиницю часу по цін Р за одиницю). Фундаментальна властивість функції попиту виражає наступна аксіома: функція попиту є спадною, при збільшенні ціни величина попиту на товар зменшується до 0, при зменшенні ціни товару величина попиту збільшується.

    Розглянемо наступні функції попиту:

    a) б) в)

    а) лінійно спадна

    D (p) = а-bp,.

    б) зворотна

    D (p) = 1 / p, р> 0,

    в) логарифмічна

    D (p) = ln (1 + p) / p, p> 0.

    При зміні умов на ринку або поза ним функція попиту може зміниться, тоді говорять про зміну попиту. Зміна попиту треба відрізняти від зміни величини попиту при пересуванні по графіку цієї функції попиту. Наприклад, при підвищенні цін на бензин цілком може підвищиться попит на велосипеди. Це означає, що вся крива попиту пересунеться вправо.

    Розглянемо математичні характеристики кривої попиту і їх економічні ілюстрації. Похідна функції попиту за ціною

    ,

    показує наскільки зміниться величина попиту при зміні ціни товару на 1 од. Оскільки функція попиту спадна, то еластичність попиту за ціною показує на скільки% зміниться величина попиту при зміні ціни товару на 1%.

    позначається еластичність

    .

    3. S (p) - функція пропозиції або пропозиція (від англ. "Supply" - пропозиція) (кількість товару, що поставляється на даний ринок за одиницю часу при ціні р за од. Товару). Функція пропозиції є зростаючою. Аксіома пропозиції: при збільшенні ціни величина пропозиції товару необмежено збільшується, при зменшенні ціни величина пропозиції зменшується, наближаючись до 0.

    Розрізняють функції пропозиції

    а Б В)

    а) лінійно зростаюча

    S (p) = - C + dp ,,

    б) статечна

    ,

    в) логарифмічна

    .

    При зміні умов на ринку або поза ним функція пропозиції може зміниться, тоді говорять про зміну пропозиції. При відкритті поблизу родовища алмазів може збільшиться пропозиція необроблених алмазів а можливо через деякий час - ювелірних прикрас.

    Розглянемо математичні характеристики кривої пропозиції і їх економічні ілюстрації.

    Похідна функції за ціною

    ,

    показує наскільки зміниться величина пропозиції при зміні ціни товару на 1 од. Оскільки функція пропозиції зростаюча, то

    Еластичність пропозиції за ціною показує на скільки% зміниться пропозиція при зміні ціни товару на 1%. позначається еластичність

    ;

    Розглянемо.

    a)

    ;

    б);

    ;

    в);

    .

    4 Система переваг індивіда вказує, який з двох наборів краще для нього. У багатьох випадках, однак, дуже бажано і зручно оціни вать привабливість набору товарів кількісно, приписати кожному набору X з п ространство товарів З якесь число і (Х). Виходить функція і: З R. Головна вимога до такої функції, щоб вона відображала ставлення (слабкого) переваги на С, тобто задовольняла умовам:

    і (Х) якщо і тільки якщо X

    і (Х) = u (Y), якщо і тільки якщо X ~ Y, значить і

    і (Х) <і (У), якщо і тільки якщо Х

    Така функція називається функцією корисності. Видно, що функція корисності постійна на кожному класі рівноцінності, так що її і цілком правильно уявляти собі як функцію, "перераховуються" класи рівноцінності в бік все більшого переваги наборів товарів.

    Працювати з функцією корисності набагато зручніше, ніж з системою. Однак математики з'ясували, що якщо на систему не накладаються ніяких обмежень, окрім вже розглянутих раніше, а саме, транзитивність, досконалість і рефлексивність, то функції корисності може і не існувати. Проте при деяких природних умовах, накладених на систему функція корисності існує.

    Тепер можна сформулювати умови, при яких існує функція корисності.

    Теорема Якщо система переваг неперервна, то існує безперервна функція корисності.

    рис.4.1

    Треба відзначити, що функція корисності, якщо вона існує, не визначається єдиним чином (рис.4.1).

    Основні властивості функції корисності випливають з її зв'язку і підпорядкованості системі переваг. Функція корисності неубутна і диференційована.