• 1.1. РОЗВИТОК Методології економіко-математичне моделювання
  • 1.1.2. Економіко-математичні методи и моделі в Працюю зарубіжніх дослідніків
  • 1.1.3. Економіко-математичні методи и моделі в Працюю вітчізняніх економістів
  • 1.2. Математичне моделювання І ЗОВНІШНЬОПОЛІТІЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ
  • 1.2.2. Необходимость побудова математичних моделей зовнішньополітічної поведінкі на єдіній методологічній Основі
  • 1.2.4. Основні підході вікорістовування систем індікаторів для АНАЛІЗУ зовнішньополітічніх процесів
  • 1.2.5. Простір індікаторів в системе міжнародніх отношений: основні задачі метатеорії


  • Дата конвертації24.03.2017
    Розмір161.33 Kb.
    Типреферат

    Скачати 161.33 Kb.

    Економіко-математичне моделювання

    Курсова робота з інформатики

    Тема. Економіко - математичне моделювання


    Зміст

    1. Вступ.

    2. Розвиток Методології економіко-математичного моделювання:

    a) Історія економіко - математичної Ідеї;

    b) Економіко-математичні методи и моделі в Працюю зарубіжніх дослідніків;

    c) Економіко-математичні методи и моделі в Працюю вітчізняніх економістів.

    3. Математичне моделювання и зовнішньополітічні дослідження:

    a) Проблема методу в політічніх дослідженнях;

    b) необходимость побудова математичних моделей зовнішньополітічної поведінкі на єдіній методологічній Основі;

    c) Функціональні простори и проблема представлення залежності як суперпозіції елементарних;

    d) Основні підході вікорістовування систем індікаторів для АНАЛІЗУ зовнішньополітічніх процесів;

    e) Простір індікаторів в системе міжнародніх отношений: основні задачі метатеорії.

    4. Висновок.

    5. Список використаної літератури.


    Вступ

    Математичне моделювання як кількісній інструментарій дослідника по суті своїй Належить НЕ только математиці - воно має Самостійне значення, и свою Історію. Прімітно, что один и тієї ж математичний апарат зустрічається в опісі різніх об'єктів в різніх наукових дісціплінах. Тім самим математичне моделювання є міждісціплінарною Категорією. Математичні методи, что зарекомендувалі собі в Першу Черга у фізіці и других пріроднічонауковіх дісціплінах, Згідно з розвитку самой математики нашли успішне вживання и в гуманітарних науках. Економіко-математичне моделювання и моделювання Політичної СФЕРИ віявляють собою наочно приклад плідного вживання математичної Ідеї в наукових дослідженнях.


    1.1. РОЗВИТОК Методології економіко-математичне моделювання

    1.1.1. Історія економіко - математичної Ідеї

    Розвиток Методології економіко-математичного моделювання має довгу Історію. Становлення двох по суті різніх наукових дисциплін - економіки і математики - в течение багатьох століть проходило по Власний законах, что відображалі природу ціх дисциплін, и одночасно стікаючісь один з одним.

    Зародження економіко-математичної Ідеї сходити корінь до глібокої старовини. Так, зведення Законів царя Хаммурапі (1792-1790 рр. До н.е.) дает можлівість сделать Висновок про вельми Значний розвиток товарно-копійчану отношений у Вавілонії. У Трактаті Ксенофонта (430-354 рр. До н.е.) "Про домашнє господарство", а такоже "Про доходи" вводитися Поняття мінової вартості товару як здібності обмінюватіся на Інший товар. У Трактаті Арістотеля (384-322 рр. До н.е.) "Політика" гроші віступають в роли вімірювача при обміні, и т.п. Тім самим ще в глібокій старовіні з розвитку товарно-копійчану отношений в економіці з'являються кількісні величини як міра якості, что можна Характеризувати як вживання арифметики в економіці. Поступово наївне уявлення про число як мірі розшірілося до розуміння того, як збіраті и сістематізуваті дані. Це розуміння привело до создания дисципліни "статистика", сам срок якої довгий час вважався сінонімом терміну "державознавство". Так, в німецькому віданні за статистикою, віпущеному в 1774 р., Затверджується, що »статистика, або державознавство - це наука або область знань про сучасне політичне положення держави". Потреба в зборі и сістематізації Даних про ті або інші Особливості людського буття сходити настолько далеко, что є всі Підстави вважаті, что дерло статистиком БУВ Бог і статистика як збір Даних Створена їм разом з світом: "... і сказавши панове Мойсея: ПІШЛИ від собі людей, щоб смороду віглянулі землю Ханаанську, якові я даю синам ізраїлевім и пославши Мойсей людей віглянуті землю Ханаанську и сказавши їм: підіть в Цю південну сторону, и зійдіть на гору, и огляньте землю, яка вона и народ, что живе в ній - Сильний ВІН або Слабкий, нечисельні або чисельності ". Очевидно, апофеозом Арифметичний підходу в економічних ідеях з'явилися Ідеї Уїльяма Петі (1623-1687), основоположника так званої класичної школи політичної економії в Англии. В своїй "Політичній аріфметіці" У. Петі показавши, что его привертають Перш за все статистичні зіставлення, розрахунки, цифри. У ній У. Петі обґрунтував Початкові положення статистики, відзначівші, что "точна обізнаність государів про майно їх підданіх НЕ Несе останнім ніякої шкоди". Прізнається, что Історично перша модель национальной економіки Створена Французька економістом Франсуа Кене (1694-1774), яка здобула назви "Економічна таблиця Кене", В якій містіліся зачатки моделей економічної динаміки.

    Успіхи вживання математичних методів в економіці Яскрава виявило за часів розвитку самой математики, ее основоположних досягнені, пов'язаних з розвитку математичного АНАЛІЗУ.

    Математізація науки є закономірнім и природнім процесом. Если диференціація наукового знання приводити до з'явиться Нових гілок науки, то інтеграційні процеси в пізнанні світу приводять до своєрідної дифузії наукових Ідей з однієї області в іншу. У XVIII столітті Еммануїл Кант только проголошує гасло "всяка наука остількі наука, оскількі вона математика), но и скарбі Ідеї аксіоматічної побудова геометрії Евкліда в палю концепцію апріорізму. Тоді як в пріродознавстві математика Швидко і міцно зайнять ведучі позіції, в області СОЦІАЛЬНИХ наук ее Успіхи виявило скромніше. Вживання математичних методів виявило Виправдання там, де Поняття носять стабільний характер и становится змістовною задача встановлення зв'язку между цімі Поняття, а не нескінченного перевізначення самих зрозуміти. Моделювання є дієвім інструментарієм, что дозволяє пояснюваті и прогнозуваті досліджуваній спостережуваний об'єкт. Представник точно (природних) и гуманітарних наук в Поняття моделі вкладають неоднакове значення - спостерігається так: кличуть входити методологічна діхотомія, коли протіставляється інтуїтівно-логічний підхід представителей гуманітарних наук аналітико-прогностичних підходу, зв'язаних Із ЗАСТОСУВАННЯ методів точних наук. Математізація економічної науки не в Останню черга обумовлена ​​Прагнення вдягнуті свои положення и Ідеї в Точні абстрактні математичні форми и моделі, Бажанов деідеологуваті свои результати. У теж час математика в економіці дозволяє точно прорахуваті и прогнозуваті ОКРЕМІ процеси, что складає очевидну предпочтение перед методом "на очко".

    На мнение відомого російського дослідника професора Мапіхіна В.І. вживання математичних методів в економіці идет по трьох безпосередньо: математична економіка, математичні моделювання економіки і економіко-математичні методи. При цьом математична економіка розуміється як чисто математична теорія економіки - аксіомі від економіки, інше від математики. Дисципліна пріпускає Надзвичайно високий рівень абстракції, докази теорем вікорістовується могутні математичні методи (теорема нерухомої крапки, селекції багатозначніх відображень и т.п. Математичне моделювання економіки - цею описание математичних моделей економіки їх создания, аналіз. Такими є, например, моделювання виробничих процесів, моделі СПІВПРАЦІ и конкуренція, моделі рінків, глобальні моделі міжгалузевого балансу, моделі Солоу, Неймана и т.п. Нарешті, економіко-математичні методи як сукупність математичних методів, что використ вуються для создания математичних моделей економіки. До таких, например, відносяться: Лінійне програмування, нелінійне и дінамічне програмування, методи дослідження операцій, у тому чіслі теорія ігор и т.п.

    ЦІ Висновки є видимими ще в роботах французького дослідника А. Курно: "дослідження про математичні принципи Теорії багатств" від одна тисяча вісімсот тридцять вісім р., Де систематично Використовують математичні методи. В своїй Книзі в 1874 р. У. Вальрас писав: "чиста теорія економіки є наука, что нагадує у всьому фізико-математичні науки ... ми повінні узяті з практики основні Поняття, Такі як обмін, Попит, пропозіцію, ринок, капітал, дохід, послуги, продукти. Від цих реальних зрозуміти треба абстрагуватіся и візначіті відповідні ідеальні Поняття. Звернення до дійсності и практичного вживання потім можливо только после создания Теорії ... чиста теорія винна передуваті прикладній економіці ".

    На раннього етапі розвитку математичної економіки в XVIII-XIX столітті Основним математичного апаратом Було діференціальне и інтегральне числення. Останнім часом Різні математичні Теорії Сталі інструментом решение економіко-математичних задач - це в Першу Черга Лінійне програмування, теореми про нерух Крапка и теорія лінійніх Операторів, а такоже теорія ігор. Математичний апарат став тією Методологічною основою, яка об'єднує клас економічних задач "допускаючіх математичну: формалізацію. Як відзначів академік А.Н. Колмогоров: "в нерозрівному зв'язку Із запит техніки і природознавства запас кількісніх отношений и просторова форм вівчаються математиками, Безперервна розшіряється так, что визначення математики наповнюється все більш багатим змістом". Чи не слід думати, что математізація економічних ДОСЛІДЖЕНЬ спріймається в економічних колах як абсолют. Так, нобелівській лауреат Р. Лукас в 1993 р. писав: Чи "можна Придбати знання про реальність с помощью пера и паперу? Математичні моделі - це вігадані світи, прідумані економістамі. Всі розглянуті мною моделі могли б буті, но НЕ були зіставлені з наочний. Чи не Дивлячись на це, Я вважаю, що процес создания моделей, в Який ми залучені, абсолютно необхідній, и я не можу уявіті Собі, як без него ми могли б організуваті и вікорістаті масу наявний даних ".

    На мнение відомого російського економіста Г.Б. Клейнера вірогідність Визнання практично будь-якої новой економічної теорії або Концепції навряд чи не у вірішальному Ступені Залежить від того, Якою мірою ця концепція допускає математичну формалізацію, наскількі цікавий апарат, что вікорістовується при цьом, и наскількі вражаються Одержані при дослідженні моделі математичні результати. У західній Економічній літературі прігнічуючі більшість теоретичного и прикладної Наукової статі в області економіки містять як Центральна частина ту або іншу математичну модель, розроблення для Перевірки або ілюстрації гіпотез. У вітчізняній Економічній науке пропорції между "математізованімі" і "нематематізованімі" роботами схіляються швідше на Користь інших, хоча и спостерігається тенденція до Зміни у БІК дерти. Слід Визнати, что вітчізняні моделі з часів Л.В. Канторовича традіційно є більш прикладними, спрямованих на оптімізацію конкретних РІШЕНЬ, на протівагу західнім моделям, Які носять більш теоретичний характер. Відомо такоже, что примерно половина Нобелівськіх премій по економіці присуджено за роботи на стику економіки і математики.

    Чи не Дивлячись на великий історичний период розвитку математичного моделювання економіки проблема побудова економіко-математичних моделей далека від залишкового решение: існують Різні моделі одного и того ж об'єму, відсутня єдина методологічна база, що не всегда Надійна перевірка на адекватність. Всі более дослідніків заміслюються про необходимость інвентаризації Накопичення економіко-математичних моделей, створене; належно чином сістематізованого довідника по моделях реальної економіки. До витрат економіко-математичного моделювання слід Віднести и можлівість під будь-який економічний план формально создать макроекономічну модель. Математична мовою могут буті запісані як наукові Теорії, так и Помилкові Концепції, что такоже треба мати у виде.

    Тому у взаємовідношенні економічного качана и математичного в реальній Економічній ситуации треба всегда пам'ятати, что математика лишь інструментарій в руках економіста-дослідника, і аналіз подібніх явіщ винен носить змістовній, а не формальний характер.


    1.1.2. Економіко-математичні методи и моделі в Працюю зарубіжніх дослідніків

    Економіко-математичні методи, математична економіка і Економетрія, что розуміється як набір статистичних методів для Нагляду за ходом розвитку економіки, ее АНАЛІЗУ и прогнозів, пройшли трівалій шлях свого розвитку.

    Економетрія (разом з мікроекономікою и макроекономікою) входити в основу сучасного Утворення дослідника-економіста. Економісти часто по різному визначаються Поняття економетрії. Так, академік В.Л. Макаров, директор Центрального економ и ко-математичного інституту РАН считает, что в протілежність до економічної теорії, яка займається причинно-наслідковімі зв'язками, Економетрія займається зв'язками без Виявлення їх причин. "Основна задача Економетрія - наповніті емпірічнім змістом апріорні економічні міркування" (Клейн).

    Тім годиною, Економетрія не могла буті належно чином розвинено, починаючі з роботами ее основоположника У. Петі (1623-1627), до тих пір, поки НЕ здобули належно розвитку теорія вірогідності и математична статистика. Перші Ідеї, з якіх Згідно и оформити ЦІ дисципліни, грунтувалися на міркуваннях Теорії азартних ігор (Кардано, Ферма, Паскаль и ін.). Закон великих чисел, доведень у виде теореми Якобом Бернуллі (1654-1705), БУВ дере теоретичного обгрунтовуванням Накопичення Ранее Фактів. Теорія вірогідності становится струнку математичних наук лишь в XIX-XX століттях з з'явилася основоположних праць П. Л. Чебишева, а такоже. А. Маркова, AM Ляпунова и потім С.Н. Бернштейна, А.Н. Колмогорова. За суті лишь в роботах А. Н. Колмогорова, Якими БУВ закладеності аксіоматічній фундамент в підставу дисципліни, теорія вірогідності прідбаває таку ж Евклідову строгість, як и діференціальне и інтегральне числення.

    Тім самим, Економетрія в ее нінішньому розумінні є в Деяк розумінні вершиною трівалого розвитку економіко-математичної Ідеї, что вікорістовує Новітні Досягнення математичної науки.

    Тім годиною, математична сторона економіко-математичної Ідеї має Власні корені.

    Математика як така зародилася з практичних потреб Рахунку, числення часу, вимірювання ділянок и об'ємів Судін. Накопичення фактичного матеріалу йшлось по шляху розвитку уявлень про числа и фігурі, создание усної и пісьмової системи числення, Виникнення зачатків арифметики и геометрії. Вважаючі Евкліда основоположником побудова математичної Теорії "від аксіом до вісновків" слід Зазначити, что уявлення про аксіоматічній метод з'явилися Задовго до Евкліда. Так, попередниками Евкліда в аксіоматічному методі є, зокрема, Гіппократ, Платон и Арістотель. У тій же година "Початки" Евкліда з'явилися зразки побудова будь-якої змістовної Теорії и стали Еталон. В геометрії Евкліда постулюються (аксіоматізуються) накопічені тісячоліттямі геометричні знання. Таке розуміння аксіоматізації здобуло Назву змістовного (інтуїтівного) и лишь в XIX столітті МАВ місце Перехід до формального розуміння аксіоматічного методу, коли булу Відкрита неевклідові геометрія. Саме з з'явилася неевклідовіх геометрії зрозуміла можлівість создания математичних теорій Шляхом правильно віконаної абстракції від обмежень, что накладаліся Ранее. У зв'язку з вініклім харчування про несуперечність Нових аксіоматічніх теорій (зокрема, неевклідовіх геометрії) вінікло питання про побудову конкретної моделі, на Якій та або Інша аксіоматіка реалізується. У роботах західніх дослідніків Бельтрамі, Клейна и Пуанкаре и БУВ Повністю досліджено питання про несуперечність неевклідовіх геометрії.

    Академік А.І. Колмогоров розділяє всю Історію математики на Чотири періоді: періоді Зародження математики, елементарної математики, математики змінніх величин и сучасної математики.

    Період елементарної математики (від VI ст. До н.е. по XVI в. Включно) почінається з приведення Накопичення знань в систему и характерізується в основному успіхамі у вивченні постійніх величин. Цей период закінчується качанами Вивчення процесів руху.

    Період математики змінніх величин (XVII-XIX століття) почінається з аналітичної геометрії Декарта и Вивчення змінніх величин в Працюю І. Ньютона и Р. Лейбніца. У математику міцно входити віказана ще стародавнімі греками ідея безперервності, и створюються математичні методи Вивчення руху.

    Період сучасної математики (середина XIX століття и до теперішнього часу) характерізується вкрали широким розгалуженням математики. Д. Гільберт, в докладі на міжнародному математичного конгресі 1900 р. відзначів: "... чи осуджена математика на Загибель подібно іншім наукам, что розділіліся на ОКРЕМІ Галузі, представник якіх ледве розуміють один одного, и зв'язок между Якими становится все більш Слабкий? ... я не вірю в це и не бажаю цього. Математична наука, в моєму розумінні, є неподільне ціле, організм, жіттєвість которого обумовлена ​​зв'язком его частин ... нам ясна схожість логічніх апаратів, Взаємозв'язок Ідей в математиці як в цілому и чісленні аналогії между ее різнімі областями ... радісно , что з розвитку математики ее органічний характер НЕ только НЕ втрачається, но и віявляється ще більш ясно .., чим далі розвівається математична теорія, тім более гармонійно и однорідно розвівається ее конструкція и відкріваються безперечні зв'язки между далекими до того областями науки ".

    На жаль, час вносити свои корективи, и на рубежі тисячоліть, що не Дивлячись на всі Спроба повторити и поповніті прогнози Гільберта, більш Менш струнку и полного відповідника не Вийшла. Ширше думка, что з відходом А.Н. Колмогорова в мире НЕ залиша математика, здатно розуміті співтоваріство своих колег, что Неймовірно розшірілося, що не так Вже и недівно, если врахуваті, что експоненціальне зростання кількості информации перевершує фізіологічні здібності людського мозком до нарощування осмісленої информации.

    Розуміння того факту, что якісне вікорістовування напрацьованого століттямі економіко-математичного апарату Неможливо без АНАЛІЗУ и розуміння вітоків его Виникнення и основних віх розвитку, приводити до необхідності дослідження в повній відповідності з принципом сістемності: від дерло дослідів побудова математичних моделей в економіці до їх сучасного стану.

    Побудова математичних моделей в суспільніх науках має, ймовірно, корені у вікорістовуванні фізичних аналогій при вівченні СОЦІАЛЬНИХ процесів - соціальна фізика XVII-XVIII ст. Так, Спіноза вважать, что люди один одного відштовхують через фізичний закон, навпаки, Г. Гроцій вважать, что має місце зворотнє тяжіння людей один до одного. О. Фур'є в своєму "Вченні про пристрасті" Вважаю атрибутом (невід'ємною частина) людини его Прагнення до об'єднання в групи, что візначається псіхологічнімі Чинник. Поведінкові Теорії в своих Спроба поясніті ті або інші процеси в соціальному ареалі Шукало аналогії в тварин мире. Так, в політіці на базі Теорії біхейвіорізму з'явився направление "біхейвіоралізм". Поняття Функції корисності сходити в своєму розвитку до статті Д. Бернуллі від 1738 р., А перша спроба кількісно описати національну економіку Належить французькому економісту Ф. Кене (1694-1774).

    Сам срок "економіко-математичні методи и моделі" з'явився лишь в XX столітті. До цього економіко-математична наука розвивалася лишь в рамках політичної економії, а пізніше в рамках чистої економічної теорії. Термін "політична економія" був введений во Франции в 1614 р. Антуаном де Монкретьєном и позначали науку про державне господарство, про економіку національніх держав. Політична економія розглядалася А.Смітом як галузь знання, необхідна державному діячу и законодавцю, як наука "про збагачення як народу, так и держави".

    З моменту виходе книги англійського економіста Альфреда Маршалла "Принципи економіки" в 1890 р. з'являється срок "економічна теорія", что розуміється як суспільна наука, что вівчає поведение людей в процесі виробництва, обміну и споживання благ и услуг. Термін "політична економія" зберігся лишь в тій части економічної теорії, яка торкається роли в регулюванні економіки.

    Перша кількісна модель економіки, належно Франсуа Кене (1694-1774), містіла зачатки таких майбутніх теорій як теорія Сайти Вся, модель мультіплікатора, теорія економічної динаміки и т.п.

    Вальрас Леон (1834-1910), Швейцарський економіст, побудував узагальнену модель економіки, очолюючі кафедру політичної економії в лозаннському Університеті.

    Парето Вільфредо (1848-1923) змінів Вальраса на посту завідуючого кафедрою лозаннського університету. Відомій своим знаменитим принципом Парето: "всяка зміна, яка нікому не приносить збитків, и яка Деяк людям приносити Користь (за їх, власною оцінкою), є поліпшенням".

    Засновник маржіналістськіх (граничних) теорій в економіці - граничної корисності, граничної прібутковості, граничної продуктивності праці Стенлі Джевонс Уїльям (1835-1882) и Кларк Джон Бейтс (1847-1938).

    Маршал Альфред (1842-1924), англійський економіст, керівник кафедри політекономії кембріджського університету, Засновник неокласічної економічної теорії, математичної економіки.

    Кейнс Джон Мейнард (1883-1946), англійський економіст и державний діяч, Засновник макроекономіки, активний Прихильники державного регулювання економіки. Розроб модель Загальної економічної рівновагі, розвінув Поняття мультіплікатора, автор моделей грошового обігу, інфляції, міжнародної грошової системи.

    Істотній Внесок в створенні и вікорістовуванні економетричних моделей внесли Рональд Фішер (1890-1962) - англійський статист и генетик, Рагнар Фріш (1895-1973) - норвезькій економіст, лауреат Нобелівської премії по економіці тисяча дев'ятсот шістьдесят дев'ять р. за "науковий Внесок у формирование зрозуміти економетрії и математичної економіки".

    Історично Правильний виклад динаміки Зародження и становлення Ідеї економіко-математичного походу є складаний задачею зважаючі на Величезне Кількість фактичного матеріалу, різноманітності різніх шкіл и Переконаний, їх взаємозв'язків и переплетень, різного відношення економістів до основ економічної теорії, ее розвитку и структур.

    Неоднозначність, поглядів и наявність різніх шкіл и направлений в Економічній науке пояснюється різнімі підходамі до АНАЛІЗУ економічної дійсності. Таким же чином пояснюються и Різні тіпології, тобто Способи розподілу економістів по школах и безпосередньо ДОСЛІДЖЕНЬ. Вінікає питання про класіфікацію класіфікацій, тобто про встановлення методів ранжірування економічних шкіл и концепцій. Природньо и питання про впорядковування подібніх шкіл и концепцій по їх статусу. Відомо, что Найвищий статус в подібній класіфікації ма ють макро - и мікротеорії, потім йдут Економетрія, кредитно-Грошові отношения, міжнародна торгівля, фінанси, історія економічної науки и теорія порівняння економічних систем - компаравістіка. У формуванні тих або других шкіл могут домінуваті як імена окремий видатних осіб, так и інші, например, географічні принципи (кембріджська, Стокгольмському школи), а такоже ОКРЕМІ наукові принципи (позітівізм, норматівізм, меркантилізм). Прийнято вважаті, что знання історії економіко-математичної думки НЕ Належить Виключно історії - воно Несе елементи наших сьогоднішніх и завтрашніх уявлень и поглядів. Для глибокого розуміння дійсності недостатньо Знайомство З якою-небудь однією концепцією або теорією в чистому виде НЕ застосовується по суті Жодна з теорій, что вівчаються.

    При класіфікації економічних теорій слід Зазначити, что з часом міняються НЕ только їх назви, но и їх Зміст, смороду переживаються періоді еволюції Головна, зростання и спаду популярності. Будь-яка класифікація так чи інакше суб'єктивна - вона відображає в тій чи іншій мірі смакують и подивись Укладач, его оцінку тих або других наукових установ и області дослідження.

    У різніх економічних теоріях по різному Використовують економіко-математичні Ідеї. У цьом значенні можна Говорити про більш "математізовані" теорії (школах), або менших "математізованіх". Учені-економісти створювалі свое уявлення про економіку, або свою модель економіки, на шляхах поиска закономірностей смороду віділялі на їх мнение Головні, зводу їх в принципи и намагались логічно вівесті з них ОКРЕМІ (ПРИВАТНІ) економічні закони. При аналізі економічних процесів Математична методами неминучий доводитися Дотримуватись тієї або Іншої економічної Концепції. Сукупність вживаних приватних Принципів и економічних Законів часто назівають Економічною політікою. У будь-Якій Концепції економіко-математичного моделювання ця економічна основа є видимою - так, відомій фахівець в області математичного моделювання економіки В.І. Маліхін Постійно підкреслює, что дотрімується так званого неокласичного напряму в економіці, має корені в навчанні Адама Сміта (1723-1790), что вважать, что ОКРЕМІ учасники економіки діють Незалежності один від одного, Якась "невидима рука" проти коордінує їх Дії, роль держави Мінімальна.

    Послідовніків А.Сміта назівають "Класік". Відзначімо такоже послідовніків Джона Кейнса (1883-1946), Які назіваються "кейнсіанцямі", вважаючі, что в певні моменти роль держави может буті визначаючи, грошовий обіг має Самостійне значення, а не є только віддзеркалення обігу товарів и услуг.

    Попередниця класичної Теорії є Ідеї стародавнього світу, цівілізацій Стародавнього Сходу и Стародавньої Греції, пов'язані з іменамі Конфуція (551-479 рр. До н.е.), Ксенофонта (430-354 рр. До н.е.), а такоже Платона (423-347 рр. до н.е.) и Арістотеля (384-322 р.р. до н.е.). Економічна думка середньовіччя (Хома Аквінській, 1225-1274 рр. И ін.) И пізнього феодалізму дали Поштовх до більш змістовніх економічних теорій, характерним прикладом якіх є концепція меркантілізму. Послідовнікі меркантілізму бачили в Зовнішній торгівлі джерело багатства за рахунок активного торгового балансу. Меркантілістамі в самому закінченому виде булу розвинено металістічна теорія грошей як багатстві нації. Найвідоміші послідовнікі меркантілізму в Англии - У.Стаффорд (1554-1612), Т. Манн (1571-1641). У Франции велику Популярність здобули А. Монкретьєн (1575-1621) и Ж. Кольбер (1619-1693).

    Класичний направление в економіці Заснований на трудовій Теорії вартості, головного принципом которого Було ПОВНЕ невтручання держави в питання економіки. Біля вітоків цієї школи стояли У. Петі (Англія), 1623-1687) и П. Буагільбер (Франція, 1646-1714). Розвиток цієї школи пов'язаний з іменамі А. Сміта, Д. Рікардо, Т. Мальтуса, Ж.-Б. Сіючи, Ф. Бастіа - Процес розвитку класичної школи завершується працями Дж. С. Міля і До. Маркса.

    Класичний направление в економіці давши такоже теорію фізіократії, пов'язану з дослідженнямі во Франции, основною задачею якіх ставили сільсько-господарське виробництво. Основоположник школи фізіократів Ф. Кене (1694-1774) БУВ автором "Економічної табліці", В якій показано, як Сукупний річний продукт, Створений в сільському господарстві, розподіляється между класами. Іншім видно представником Теорії фізіократії БУВ А. Тюрго (1727-1781), Вперше что сформулювано закон убуваючої родючості грунтів.

    Класична школа мала Різні напрями свого Подальшого розвитку. Одним з направлений переходу до неокласицизму булу концепція вікорістовування Теорії граничних величин в економіці - маржиналізм. Перший етап маржіналізму - 70-80 роки XIX століття пов'язаний з іменамі У. Джевонса (1835-1882), засновника математичної школи, К. Менгера (1840-1921) - засновника австрійської школи и Л. Вальраса (1834-1910) засновника лозаннской школи. Цей етап здобувши назви "суб'єктивного напряму" в Політичній економії, внаслідок Введення умови визначення цінності товару. Другий етап маржіналізму відносять до 90-м рокам XIX століття и пов'язують з іменамі А. Маршалла (1842-1924) и Д. Кларка (1847-1938). Видно розробниками Теорії маржіналізму були, такоже Засновник англійської школи маржіналізму А. Пігу (1877-1958) и австрійський економіст І. Шумпетер (1883-1950).

    Історічною школою економічної теорії назівається направление Другої половини XIX століття, представник якої розглядалі політічну економію як науку про національне господарство. Основні етапи розвитку цього напряму - "стара" історична школа (40-е роки XIX століття) і "молода" історична школа (80-е роки XIX століття).

    Інстітуціальнім безпосередньо економічної теорії назівається направление 20-30 рр. XX століття, сформованому для дослідження соціально-економічних чінніків и СОЦІАЛЬНОГО контролю Суспільства над економікою.

    Поєднання Ідей психології и економіки призвело до создания психологічної Теорії економічного розвитку Т. Веблена (1857-1929) послідовнікамі которого були соціально-правовий інстітуціоналізм Дж. Коммонса (1862-1945) и кон'юнктурних-статистичний інстітуціоналізм У. Мітчелла (1874-1948) .

    Неоліберальне направление економічної теорії як вчення про державне регулювання господарських процесів зв'язаний, з ім'ям Ф. Хаєка (1899-1992). австрійського економіста и соціолога. Слід Зазначити и інші напрями економічної теорії, пов'язані з іменамі 3, Чемберліна (1899-1967) - автора Теорії монополістічної конкуренції, Джо Робінсона (1903-1983) ( "теорія недосконалої конкуренції") и т.п. Неолібералізм австрійського економіста Л. Мізеса (I88M973) характерний контролем за ценам и заробітною платною.

    Монетаристських направление (зародилося в 60-роки XX століття) Заснований на візначальній роли грошової масі, что находится в обігу. Засновник и лідером цієї Теорії є американський економіст М. Фрідмен (рід. 1912р.) И т.п.

    Всі ЦІ напрями економічної думки в тому або ІНШОМУ Ступені або Використовують кількісні співвідношення между величинами, что вівчаються, и так чи інакше пов'язані з моделювання (уявленням) економіки, або з'явилися основою економіко-математичного моделювання. Моделюваті економіку и буті вільним від ее економічних основ и Переконаний Неможливо.

    Математик, працюючої у сфері економічних категорій, повинен мати чітке уявлення про предмет моделювання, его истории, категорійному и понятійному апаратах, уміті орієнтуватіся в різноманітті економічних підходів и шкіл. Змістовній економіст, охочий застосуваті математичні методи и моделі для АНАЛІЗУ економічної діяльності, у свою Черга винен орієнтуватіся в різніх Розділах математики, Бачити їх Взаємозв'язок и шляхи розвитку.

    Сімбіозом економіко-математичного СПІВПРАЦІ є стадія змістовної інтерпретації результатів економіко-математичного моделювання, что є плодом комунальної ДІЯЛЬНОСТІ змістовного економіста и прикладного математика

    1.1.3. Економіко-математичні методи и моделі в Працюю вітчізняніх економістів

    Економіко-математична ідея в Працюю вітчізняніх економістів вінікла в особливо условиях, пов'язаних як з природною ізоляцією России від решті світу, так и через спеціфіку российских умів.

    Особлівість російської економічної думки пов'язана з сильним Вплив Теорії марксизму, важлівістю селянського питання и других спеціфічніх Чинник. У Книзі О.Н, Радіщева "Подорож з Петербургу до Москви» (1790 р.) Розглядався разом з політічнімі и ряд економічних вопросам, у тому чіслі необходимость, проведення государственной политики протекціонізму розвитку власної промісловості, віділення ознака інфляції и характеристика праці як джерела багатства . Економічні питання зачіпаліся в Працюю П.І. Пестеля (1793-1826) - повстанці декабристів. Н.І. Чернишевського (1828-1889), відомого російського письменника. Що веде перебіг російської суспільної думки - народніцтво кінця XIX століття, ідеологамі которого вважаються М.А. Бакунін (1814-1876), П.М. Ткачов (1844-1885), П.Л. Лавров (Міртів) (1823-1900), мало економічну програму. Так, М.А. Бакунін уявляю Собі соціалізм в России у виде Вільної Федерации робочих и сільськогосподарських громад, де Кожний буде зобов'язаний трудити. М.А. Бакунін дотрімувався Ідей анархізму, бачивши у власти причину ЕКСПЛУАТАЦІЇ.

    Один з феноменів російської науки - плідна розробка Ідей економіко-математичного моделювання, засновано на базі як "чистих" математіків, что направили свои зусилля в економіку, так и розробок ПРОФЕСІЙНИХ економістів.

    Перші російські економісти-математики (Ю.Г. Жуковській, І.А.Столяров, В. З. Войтінській, В. До. Дмітрієв, Е. Е. Слуцький, и ін.) Відрізняліся конкретністю проведених ДОСЛІДЖЕНЬ. Так, Ю.Г. Жуковський побудував модель ренти в землеробстві, І. А. Столяров обгрунтував функцію суспільної корисності для господарських благ, BC Войтінській провів аналіз взаємозв'язків между ціною, Попит и корісністю.

    В. К. Дмітрієв (I368-I9I3) епіграфом до своєї книги "Економічні нариси" узявсь фразу Леонардо да Вінчі "Ніяке Людський дослідження НЕ может назіватіся справжнім знанням, если воно НЕ пройшло через математичні докази".

    Е. Е. Слуцький (1830-1948) в своїй работе "До Теорії збалансований бюджету споживача" обгрунтував основні положення математичної Теорії корисності. Загальновізнано, что роботи Е. Е. Слуцького Надал чималий Вплив на формирование економетрії. Одним з найпопулярнішіх и Визнання в странах и за кордоном економістів БУВ М. Туган-Барановський (1865-1919). При діалізі криз и ціклів М. І. Туган-Барановській, зокрема, обгрунтовував функціональну залежність и зв'язки, віявляючімі відомімі аналогами мультіплікатора и акселератора. Відомою критикою економічної теорії народніцтва проявивши себе П.Б. Струве (1870-1944). Теорія сільськогосподарської КООПЕРАЦІЇ А. В. Чаянова (1888-1937) по праву увійшла до історії російської економічної думки. Одним з талановитих теоретіків рінкової економіки і фінансового господарства проявивши себе Л.І. Юровський (1884-1938).

    Н. Д. Кондратьєв (1892-1938) предложили, зокрема, теорію Довгих хвиля в економіці, Існування великих періодичних ціклів трівалістю примерно 50 років.

    Одним з найзначнішіх досягнені в області економіко-математичних ДОСЛІДЖЕНЬ є Відкриття Л. В. Канторовичем (1912-1986) методу лінійного програмування, за Пожалуйста ВІН сумісно з американсько економістом Т, Купмансом здобувши в 1975 Нобелівську премию по економіці.

    Вітчизняна економічна школа активно формується при безпосередній участия Л. В. Канторовича и его колег В. В. Новожилова (1892-1970), BC Немчинова (1894-1964). Основним безпосередньо ДОСЛІДЖЕНЬ на качана 60-х років XX століття є в СРСР розробка системи моделей оптимального Функціонування економіки.

    Післявоєнній период в стране ознаменувався Створення крупних наукових колектівів, наукових шкіл и направлений. Видно місце Займаюсь напрями, очолювані Е. С. Варгой (1879-1964), Н. А. Вознесенський (1903-1950), А І. Анчішкінім (1933-1987), Економіко-математичні дослідження концентруваліся в стінах інстітутів Академії Наук: ЦЕМІ , ІЕ, ІМЕМО и ін.

    Якісно змінілося Утворення спеціалістів-економістів, в багатьох інстітутах и ​​універсітетах як обов'язковий курс чітається дисципліна "Економіко-математичне моделювання". Спеціальність "Математичні и Інструментальні методи економіки" одержувала Визнання и ВАК - вищої атестаційної КОМІСІЇ РФ.

    Методологія економіко-математичного моделювання по суті відносіться до фундаментальних основ економічних ДОСЛІДЖЕНЬ. Самостійність економіко-математичного моделювання як елемента розвитку економічної науки в цілому Неодноразово ставить під сумнів. Спожівацьке відношення користувача до науково-дослідного продукту, створенного науково-досліднімі інстітутамі, виробляти часто до того, что економіко-математичний інструментарій становится, на мнение відоміх российских економістів (Г.Б. Клейнер и ін.) Внутрішньою делом економічної науки. Підсумком такого положення є недостатній розвиток економіко-математичного моделювання останнім часом.

    Тім годиною, об'єктною сферою економіко-математичного моделювання є економіка, и самє в рамках АНАЛІЗУ економіки економіко-математичне моделювання повинною Забезпечити Собі відомій ПРІОРИТЕТ в розвитку. Таке решение можливе на шляхах якісного Поліпшення стану дисципліни, упровадження Нових підходів и Ідей.

    Віказана відомим російськім економістом А.К. Суботінім ідея побудова універсальної моделі СВІТОВОГО розвитку як банку національніх, регіональніх и світовіх моделей економічного розвитку, є у зв'язку з ЦІМ Привабливий інструментарієм на шляху Подальшого продвижения апарату економіко-математичного моделювання. Така універсальна модель є оптимальною на всьому класі Даних економічних завдань, у кожному конкретному випадка настроюється на оптимальну модель з банку.

    На цьом шляху таксономія (Типологія) існуючіх економіко-математичних моделей и шкіл є необхіднім елементом наукового підходу до проблеми.

    1.2. Математичне моделювання І ЗОВНІШНЬОПОЛІТІЧНІ ДОСЛІДЖЕННЯ

    1.2.1. Проблема методу в політічніх дослідженнях

    Як отмечает А.Н. Тіхонов1 "Математична модель - Наближення описание которого-небудь класу явіщ зовнішнього світу, вираженими с помощью математичної сімволікі". Під математичне моделювання розуміється, звичайна, Вивчення явіща с помощью его математичної моделі. У цітованій статті А.Н. Тихонов підрозділяє процес математичного моделювання на 4 етапи.

    1.Формування закону, зв'язуючі основні об'єкти моделі, что требует знання Фактів и явіщ, что відносяться до явіщ, что вівчаються, - ця стадія завершується записом в математичних термінах сформульованіх якісніх уявлень про зв'язки между об'єктами моделі.

    2.Дослідження математичних задач, до якіх приводити математична модель. Основне питання цього етапу - решение прямої задачі, тобто Отримання через модель вихідних Даних описування об'єкту - типові математичні задачі тут розглядаються як самостійній об'єкт.

    3. Третій етап пов'язаний з перевіркою Узгодження побудованої моделі крітерію практики. У випадка, если вимагається візначіті Параметри моделі для забезпечення ее Узгодження з практикою, - Такі задачі назіваються зворотнього.

    4. Нарешті, Останній етап пов'язаний з аналізом моделі и ее модернізацією в зв'язку з Накопичення емпірічніх Даних.

    5. Опис Політичної поведінкі держав на міжнародній Арені є слабо структурованій, погано піддавалася формалізації багатофакторною задачею. У Спроба теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XX століття вісуваліся Різні Ідеї, початок якіх має витоки в політічному жітті антічної Греції и Риму - течію в рамках історико-філософської, морально-етічної и правової підходів одержало назви "політічного ідеалізму", сінонімамі якої є такоже назви "моралізм", "норматівізм", "легалізм". Практичний досвід передвоєнної кризиса и Другої Світової Війни вісунув Нові Ідеї прагматизму, Який дозволив би пов'язати теорію и практику зовнішньої політики з реальностями XX століття. ЦІ Ідеї послужили основою для создания школи "політічного реалізму", лідером якої став професор університету Чікаго Р. Моргентау. Від ідеології реалісті все Частіше стали Звертатися до дослідження емпірічніх Даних математичного методами. Так з'явився перебіг "модерністів", Які часто абсолютізувалі математичні методи в політіці як єдіно достовірні. Самим зваження підходом відрізняліся роботи Д. Сінгера, До. Дойча, Які бачили в математичних методах лейственній інструментарій, но НЕ віключає з системи Ухвалення решение людини. Відомій математик Дж. Фон Нейман вважать, что політика винна віробіті свою математику; з існуючіх математичних дисциплін самой застосовної в політічніх дослідженнях рахувать теорію ігор. У різноманітті формалізованіх методів Частіше за все зустрічаються методи конвент-аналізу, івентаналізу и метод когнітівного картируванням.

    Ідеї ​​контент-аналізу (аналіз вмісту тексту) як методу АНАЛІЗУ поєднань, что часто зустрічаються, в політічніх текстах прівнесені в політіку американских дослідніком Г. Лассуєлом. ІВЕНТ-аналіз (аналіз Даних подій) пріпускає наявність обшірної бази даних з питань комерційної торгівлі їх сістематізацією і обробка матриць Даних. Метод когнітівного картируванням розроблення на качана 70-х років спеціально для політічніх ДОСЛІДЖЕНЬ. Его суть Полягає в побудові комбінаторного графа, у Вузли которого коштують цілі, а ребра задають характерізацію можливий зв'язків между цілямі. Вказані методи все ж таки не можна Віднести до математичних моделей, оскількі смороду направлені на уявлення, структурізацію Даних и складають лишь підготовчу часть кількісної Обробка даних. Дерло математичного моделлю, розроблення для чисто Політичної науки, є відома модель динаміки озброєнь шотландського математика и метеоролога Л. Річардсона, Вперше опублікована в 1939 р. Л. Річардсон, припустивши, что зміна Сукупний розміру озброєнь боку, что бере участь в гонці Озброєння пропорційно наявний озброєнням протілежної сторони, причому стрімуючім Чинник є власна економіка, что НЕ вітрімує нескінченного тягара озброєнь. ЦІ Прості міркування, переведені на математична мова, дають систему лінійніх диференціальних рівнянь яка может проінтегруваті:

    .

    Обчислено КОЕФІЦІЄНТИ kt /, m, І, Л. Річардсон здобувши дивно Точні! Узгодження розрахункових Даних з емпірічнімі на прікладі 1-ої Світової Війни, коли з одного боку були Австро-Угорщина и Німеччина, а з іншою Росія на Франція. Рівняння дозволили поясніті дінаміку озброєнь конфліктуючіх сторон. Саме математичні методи дозволяють поясніті дінаміку зростання населення, оцініті характеристики інформаційних потоків и других явіщ в соціальному мире. Пріведемо, например, оцінку динаміки Розповсюдження математичних методів в міжнародніх дослідженнях. Хай X (t) - Частки математичних методів в Сукупний об'ємі ДОСЛІДЖЕНЬ з міжнародної тематики на момент часу t. Допускаючі, что Приріст ДОСЛІДЖЕНЬ по Теорії міжнародніх отношений, что Використовують математичні методи, пропорційній їх наявній частці, а такоже Ступені віддаленості від насічення AM маємо діференціальне Рівняння:

    рішенням которого є логістична крива.

    Найбільшіх Успіхів у міжнародніх дослідженнях Добилися методи, что дозволяють статистично обробляті сукупність Даних зовнішньополітічної информации. Методи, кластерного и кореляційного АНАЛІЗУ Чинник дозволили поясніті, зокрема, характер поведінкі держав при голосуванні в колективних органах (например, в конгресі США або на Генеральному Асамблеї ООН). Фундаментальні результати в цьом напрямі належати американских ученим. Так, проект "А Cross-Polity Survey" віконувався під керівніцтвом А. Банкс и Р. Текстор в Масачусетському технологічному інституту. Проект "Correlates War Project: 1918-1965", Який очолював Д. Сінгер, присвячений статистичній обробці об'ємної информации про 144 нації и 93 війнах за период 1818-1965 роки. У проекті "Dimentions Nations", Який розроблявся в Північно-ЛЬВОВІ ТА Університеті вікорістовуваліся комп'ютерні реализации методів Чинник-аналізу обчислювальних центрів Індіанського, Чікаго и Ієльського УНІВЕРСИТЕТІВ и т.п. Практичні задачі по розробці анаштічніх методик по конкретних сітуаціях Неодноразово ставить Держдепартамента США перед дослідніцькімі центрами. Так, например, Д. Кіркпатрік - Постійний представник США в раді Безпеки, попросила Розробити методику, по Якій американська допомога країнам, что розвіваються, ставши б в чітку кореляційну залежність від результатів голосування на Генеральній Асамблеї ООН ціх стран в порівняння з позіцією США. Держдепартамента США такоже робіліся Спроба с помощью АНАЛІЗУ Даних експертного опита оцініті вірогідність Захоплення американського посольства в Тегерані під час відоміх подій. Достатньо повні оглянувши по вживаності математичних методів в Теорії міжнародніх отношений складені, например, М. Ніколсоном, М. Уордом и ін.

    Основна ідея управління потоками зовнішньополітічної информации на базі синтетичного крітерію могутності держави сходити до ранніх робіт Г. Моргентау. Індикатори могутності держави, пріведені в одній з своих робіт американских дослідніком Д. Смітом, вікорістовуваліся Робоча група під керівніцтвом професора Діпломатічної академии МЗС Россії А.К. Суботіна для создания моделі управління інформаційнімі ресурсами, Побудова математично коректний моделей управління потоками зовнішньополітічної информации з Використання синтетичне крітеріїв представляється складаний задачею. З одного боку, згортка набору одінічніх показніків в єдиний універсальний Показник даже задовольняючій необхіднім умів інваріантності, очевидно, приводити до Втрати информации, З іншого боку, Альтернативні методи типу Парето-оптимальних крітеріїв не в змозі вірішіті сітуацію у разі незрівнянніх систем показніків (максимальних елементів в частково впорядкованій множіні). Одним з підходів, что вірішують Дану сітуацію, может буті підхід автора з Використання апарату функціональніх просторів. Зокрема, в пространстве показніків (індікаторів, компонент) могутності держави віділяється підмножіна синтетичне показніків.

    Система одінічніх показніків (індікаторів), что характеризують державу або політичний процес, є основною інформаційною базою для Ухвалення зовнішньополітічного решение. Ухвалення РІШЕНЬ по різніх системах показніків приводити, Взагалі Кажучи, до неузгоджено, Якщо не Сказати прямо протилежних Висновки. Коли подібні Висновки робляться Із ЗАСТОСУВАННЯ кількісніх процедур, то це підріває довір'я до вікорістовування математичних методів в міжнародніх дослідженнях. Для виправлення подібного положення повінні буті розроблені процедури ОЦІНКИ Міри узгодженості вібірок індікаторів. За відсутності таких алгоритмів ставиться під сумнів НЕ только можлівість скільки-небудь адекватного математичного 'Моделювання в системе міжнародніх отношений, но и сама наявність наукового підходу до цієї проблеми. Відомій американський дослідник Мортон Каплан ЦІ сумніві виразі в работе: Чи "пріпускає предмет міжнародні I отношений скільки-небудь зв'язне дослідження або ж це звичайний мішок, з которого віймається и вібірається, что в Сейчас нас зацікавіло и до чого Неможливо застосуваті скільки -небудь зв'язного теорію "узагальнення або уніфікуваті методи?". Усунення суперечностей у висновка, одержаних на підставі ОБРОБКИ результатів наглядів за різніх підсістемах індікаторів, в работе Пропонується здійсніті таким чином. Природно рахувати всі міслімі показатели (Індикатори), что опісують систему міжнародніх отношений, якоюсь спочатку існуючою множини, яка, очевидно, Нескінченна. Ця множини передбачається вважаті актуально нескінченнім як завершення, закінчену сукупність показніків, доступні нашому Огляду. Слідуючі С. Клнні "ця нескінченність нами розглядається як актуальна або завершена, або протяжна або екзистенційна. Нескінченна множини розглядається як існуюче у виде завершеної сукупності, до и Незалежності від всякого процесса породження або побудова его ЛЮДИНОЮ, неначебто воно Повністю лежало перед нами для нашого огляд ". Согласно абстракції актуальної нескінченності в нескінченній множіні можна віділіті (індівідуалізуватіся) Кожний его елемент, но насправді зафіксуваті и описати Кожний елемент нескінченної множини принципова Неможливо. Абстракція актуальної нескінченності и є відверненням від цієї неможлівості "... спіраючісь на абстракцію актуальної нескінченності ми дістаємо можлівість Зупинити рух, індівідуалізуватіся Кожний елемент нескінченної сукупності". Абстракція актуальної нескінченності в математиці має своих пріхільніків и супротівніків. Протилежних точка зору конструктівістів - Абстракція потенційної нескінченності спірається на строге математичне Поняття алгоритму: прізнається Існування лишь тих об'єктів, Які можна побудуваті в результате деякої процедури. Прикладом таких формалізованіх підходів до вибор номенклатури показніків досліджуваного об'єкту є, например, методики, что Використовують в органах государственной стандартизації. В рамках задачі розробки процедур Узгодження результатів, одержаних за різніх вібірках системи індікаторів, вінікає проблема простору, в категоріях которого будується відповідна математична модель, або, что практично Одне и ті ж - проблема метрики в системе індікаторів. Найпошіреніші метрики Евкліда, Мінковського, Хеммінга, будучи введеними на безлічі індікаторів, визначаються тип абстрактного простору, в якому будується Шукало математична модель. Саме, наявність метрики дозволяє Говорити про степень блізькості держав по відношенню один до одного и одержуваті Різні кількісні характеристики. Введені простори Фактично віявляються лінійнімі нормованімі просторами з однойменнімі нормами, тобто, Банаха просторами. Основним методом в Теорії лінійніх просторів є метод Вивчення властівостей системи векторів по відношенню до лінійніх Перетворення самого простору. Так, основною ідеєю АНАЛІЗУ Чинник Даних, что набув найбільше Поширення в міжнародніх дослідженнях, є поиск відповідного ортогонального превращение, что переводити початкових сукупність векторів наочний в іншу, інтерпретація властівостей якої є більш простою и наочно задачею. Легко Бачити, что ортогональні превращение в L НЕ зберігають метрику в просторах Мінковського If для випадка р # 2, тому природньо питання на якіх підпросторах метрики L 'і If еквівалентні. Завдання прідбаває коректний формулювання у разі конкретних ортогональних Перетворення. Постановка подібної задачі для спеціального ортогонального превращение - дискретного превращение Фур'є - дозволяє зрозуміті всю складність и Глибина проблеми. Тім годиною, самє превращение Фур'є знаходится Широке вживання в Теорії передачі информации. Ідея представлення сигналу як суперпозіції окремий гармонік простого вигляд Набуль Широке Поширення в електротехніці. Слід Зазначити, что негармонійні коливання, что вінікають в електронній системах (диполь Герца, мікрофон) вімагають для свого Вивчення других, нетрігонометрічніх ортогональних систем, например, системи функцій Уолша1. У багатьох випадка Властивості Функції (сигналом, системи індікаторів) могут зрозуміті на підставі властівостей ее превращение Фур'є, або, Кажучи іншою мовою, ее спектрального розкладання. Завдання однорідності системи індікаторів может буті сформульована в термінах спектральної Функції такой системи - яка винна буті структура спектру, щоб функція булу "однорідною" на безлічі Вибране показніків. При чіткому візначенні Поняття "однорідності" або "моногенності" вінікають Різні математичні задачі. Зокрема, коректний постановка згаданої задачі про вибір підпростору, на якому метрики L2 и L? еквівалентні, одержує Наступний форму: при якому Ступені лакунарності спектру Функції J (x) eL ця функція Належить простору If при Деяк р> 1.З міркувань спільності Не виходить обмежуватіся РОЗГЛЯДУ только дискретних Перетворення Фур'є, оскількі вінікаючі проблеми є загально и для континуальної випадки. Інші випадки "однорідності" системи показніків беруть свой початок з однією з робіт відомого математика С. Мандельброта від 1936р. Класичним прикладом ортогонального превращение для випадка дискретного превращение Фур'є є превращение з матрицею Адамара, тому превращение Фур'є для ортогональної системи Уолша інакше назівають перетворенням Адамара. Согласно А.Г, Драгаліну "сукупність математичних теорій, что Використовують при вівченні формальних теорій, назівається метаматематику; метатеорія - це сукупність ЗАСОБІВ и методів для описування і визначення деякої формальної Теорії, а такоже дослідження ее властівостей. Метатеорія є найважлівішою становлячою частина методу формалізації

    У різноманітті всех міжнародніх відношенні (Політичні, економічні, військові и т.д.) особливе місце займають Політичні отношения.

    Історично дерло формою Пізнання політики Було ее Релігійно-міфологічне трактування, в Основі Якій лежали уявлення про божественне походження Політичної власти и існуючіх порядків в суспільстві. У середіні 1-го тисячоліття до н.е. на зміну їй прийшла філософсько-етичне форма, засновано на теоретичний дослідженні політики (Конфуцій, Платон, Арістотель). Цій форме властіво розглядаті політіку в єдності з етики, Іншімі словами, політика винна ВІДПОВІДАТИ інтересам людей, тобто буті етичним. У Середні століття затверджується Релігійно-етичний форма (Хома Аквінській), I в Основі якої лежала ідея про божественне встановлення Політичної власти и право народу на ее скидання у разі Порушення нею воля Божої. Становлення сучасної форми Пізнання політики пов'язано з ім'ям Н. Макіавелі, Який звільнів політіку від теології, ставши розглядаті ее як ​​прояв природного розумного качана в жітті Суспільства. Прийнято вважаті, что теоретичні основи політики були закладені Арістотелем: (ВІН Рівно як и Конфуцій, Платон) розумів політічну науку як науку про вищє благо людини й держави, про якнайкращій державний Пристрій. Відмінність Арістотеля, которого часто назівають батьком Політичної науки, від Н. Макіавелі Полягає в тому, что именно Н. I Макіавелі поставивши в центр ДОСЛІДЖЕНЬ проблему государственной власти, провів чітке розділення предметів політології з одного боку і етика и філософією з іншою. Існує думка, "що Кожна суспільна наука, у тому чіслі и політологія проходити три Ступені розвитку: філософську, емпірічну и стадію рефлексії, ревізії емпірічного стану. Стосовно політології перший период ее розвитку - це період з часів Арістотеля до Громадянської Війни в Амеріці 1861-1865 років. Другий период відносіться до проміжку между Громадянська війною в Амеріці и Другою світовою війною. Нарешті, третій период почався после Другої Світової Війни і триває до наших днів. Тимчасовий вигляд політологія набуває во второй половіні XIX століття, коли відбувається становлення Політичної науки як Самостійної академічної дисципліни. Так, в 1857р. в колумбійському коледжі США створюється (Френсіс Лібер) кафедра Історія и політична наука. У 1903 р. Створена американська асоціація політічніх наук, что налічує до справжнього моменту прежде 16 тис. Членів. У 1949р. під егідою ЮНЕСКО булу Створена Міжнародна асоціація Політичної науки. У 1990 р. Державним комітетом СРСР Із науки и техніки булу Офіційно Визнана номенклатура науковців під загальною назв "Політичні науки" - до цього ПЕРІОДУ на політології в СРСР лежало ідеологічне табу, вона потрактувала як лженаука, В Сейчас годину політологія розуміється Частіше Всього в широкому значенні цього слова як наука про політіку, Політичні процеси, політічну владу. Терміни, что Використовують у вітчізняній и зарубіжній літературі, "політична наука", "політична соціологія", "наука про політіку" відображають традиції и Особливості національніх и регіональніх політологічніх шкіл. Навпаки, в работе політологія потрактує як одна з політічніх наук разом з такими політічнімі дісціплінамі як політична соціологія, політична географія, політична психологія и т.п. Політологія ж передбачається пов'язаної лишь з інстітуційнім аспектом політики и Перш за все прістроєм и діяльністю держави, Всього механізму Політичної власти. У ряді робіт панує думка про недоцільність дроблення політічніх дисциплін, оскількі розмівається сам предмет дослідження, ціле НЕ всегда пізнається по Частина, дотрімуючісь дісціплінарніх між дослідник здатно здобудуть лишь фрагментарні знання. Розуміння політології як науки про політіку в широкому значенні цього слова, тобто науки про соціальну діяльність, спрямовану на Досягнення, Утримання, Зміцнення и реалізацію власти знаходится все більш Широке розуміння среди дослідніків. Історія розвитку Політичної думки вісловлена ​​в різніх монографіях. Ще Арістотель говорів, что "для розуміння справжнього значення поглядів того або Іншого мислителя нужно враховуваті обстановку, что породила їх, а не судити з подивимось теперішніх умов" в цьом Полягає принцип історізму. Політична думка вторинна, оскількі вона породжується життям Суспільства. Праці дослідника могут передбачаті Істинний шлях розвитку Суспільства, а могут буті грою уяви и належать жанру Утопії. Конфуцію пріпісують віслів "Вивчення неправильно поглядів шкідліво". Тім годиною, політологі належати, мабуть, до тих наук, в якіх більш доречні помірні погляди, например, Гуго Гроція, Голландський юриста XVII століття ". Немає такой філософської школи, Якій би була доступна вся істина, хоча немає и такой, яка НЕ ​​містіла б часткової істини ". Зовнішня політика як Особливий вид ДІЯЛЬНОСТІ держави в міжнародніх справах для всегда здійснювалася відповідно до Принципів и цілей держави. Залежних від цих чінніків Складанний и міжнародні отношения держав: смороду прийомів характер СПІВПРАЦІ або суперніцтва. Міжнародні відносини НЕ зводяться только до політічніх отношений, оскількі міжнародні отношения пріпускають сукупність разом з політічнімі такоже и економічні, ідеологічні, діпломатічні, військові, наукові и інші зв'язки между державами, організаціямі и Рухами на мировой Арені. Нарешті, засоби зовнішньої політики є дипломатія, тобто офіційна діяльність глав держав, Урядів и спеціальніх ОРГАНІВ зовнішніх СТОСУНКІВ по здійсненню зовнішньої політики, а такоже за захисту прав и інтересів держав за межею: Політологія Виступає в двох якости: як наука и як учбова дисципліна. Если політологія-наука досліджує політічну сферу суспільств, Політичні отношения и процеси, то політологія - учбова дисципліна сообщает навчання систему конкретних знань по політічніх проблемах. Проблема методу в Політичній науке така ж актуальна, як и в будь-Якій іншій науке. Будь-яка наука віробляє свои Власні Прийоми, методику, техніку Пізнання досліджуваного об'єкту. Метод может означать як суму прійомів, ЗАСОБІВ и процедур дослідження наукою свого предмету, так и сукупність Вже наявний знання. Ширше думка про ті, что Кожна наука має свой власний метод вірно лишь частково: більшість СОЦІАЛЬНИХ наука не має свого спеціфічного, только ним властівого методу. Тому смороду так чи інакше заломлюють Стосовно свого об'єкту загальнонаукові методи и методи других (як СОЦІАЛЬНИХ, так и природничо-наукових дисциплін). Має місце зіставлення історико-Описова (інтуїтівно-логічного) підходу аналітіці - прогностіці (математичний), результатом которого є розділення методів дослідження на традіційні (якісні) и кількісні (математичні). Останнім властіва Якась математична ділянка не только в Політичній сфере міжнародніх відношенні, но и у сфері міжнародніх отношений в цілому, будь то економічні, військові або інші аспекти міжнародніх отношений. Тому в цілях природної спільності слід розглядаті и якості інструментарію дослідника в області зовнішньої політики весь математичний інструментарій в Теорії міжнародніх отношений, Який у свою Черга є частина математичних методів в СОЦІАЛЬНИХ науках. Нарешті, Досягнення СОЦІАЛЬНИХ наук всегда були зв'язані з Використання математичних методів збору и АНАЛІЗУ первинної соціальної информации: розвиток СОЦІАЛЬНИХ наук знаходівся відповідно до складності застосовання математичних методів, АНАЛІЗУ СОЦІАЛЬНИХ Даних и Вибірки. Операція з великими масивами первинної соціальної информации привела до необхідності вікорістовування обчіслювальної техніки, Слід Зазначити, что авторизованого вікорістовування кількісніх методів в Теорії міжнародніх отношений в предмет політічніх дослідженні Вкладай в якості компонент економічні, національні, культурні, військові и ін. становляться. Тім годиною, аналіз числового етгістічного матеріалу, зібраного досліднікамі по мировой політіці, що не БУВ напряму пов'язаний з харчуванням про ті, что є більш широким поняття - зовнішня політика або міжнародні отношения, статистика або політика.

    У вівченні політики вікорістовування кількісніх методів, зокрема, статистики, має достаточно давно традіцію. Статистика як наука все більш зв'язується з сукупністю числових прійомів Обробка даних Незалежності від природи самих Даних, "таким чином, переймаючі термінологію англійськіх статістіків Джорджа Юла и Моріса Кендалла, можна Сказати, что Суспільні науки -" батьки "статистичних методів; Вживання чисто статистичних прійомів в суспільніх науках не могло не спричинитися вживання и других математичних теорій, например, Теорії диференціальних рівнянь, операційного числення и т.д. Труднощі вживання математики в СОЦІАЛЬНИХ науках обумовлені цілим рядом причин, среди якіх складність СОЦІАЛЬНИХ явіщ, наявність суб'єктівізму в досліджуваному матеріалі, наявністю зв'язку между спостерігачем и спостережуваних явіщем. "Фізика досягла великого успіху, зокрема, тому, что аксіомі арифметики реалізовуваліся у всех областях фізичних явіщ. Це Останнє НЕ має місця в СОЦІАЛЬНИХ науках. Мабуть, в СОЦІАЛЬНИХ науках потрібна Інша, чем в природних науках теорія ізмеренія.4 "Нерідко доводиться чути вислови про ті, что методи кількісного АНАЛІЗУ, математика и сучасна електронно-обчислювальна техніка НЕ ​​застосовні до області Теорії и практики Політичної ДІЯЛЬНОСТІ. Прихильники таких поглядів чаші Всього посілаються на ПИТАНЬ НАДЗВИЧАЙНИХ складність політічніх процесів, Величезна Кількість впливаючих на їх розвиток чінніків, велику роль Випадкове, на трудності обліку и кількісної ОЦІНКИ "суб'єктивних чінніків" і т.д. ЦІ думки можна зрозуміті, но згодітіся з ними не можна. Всі згадані вищє Чинник и обставинні, природно, утрудняють и утруднятімуть упровадження методів, что органічно поєднують якісний и кількісній аналіз політічніх систем и процесів. Проти ЦІ області людської ДІЯЛЬНОСТІ НЕ могут представляті якогось віключення и так само, як и інші СФЕРИ ее, піддаються раціональному якісному и кількісному АНАЛІЗУ. Кількісній аналіз и математичні засоби дають можлівість більш точного розрахунку, передбачення и вікорістовування найраціональнішого варіанту ведення справи без тих Втрати, Які немінучі при емпірічному розрахунку "на очко". Іншою крайністю є ширше думка вікорістовування математичних методів в політіці як панацею, як крітерій правільності соціально-політічніх теорій и концепцій, абсолютізуючі принципи и формули цієї науки. Такі погляди вісловлюваліся, зокрема, представник позітівістської школи, Якими заперечувалася спеціфіка СОЦІАЛЬНИХ наук.

    "У міру розвитку и поглиблення процесса Пізнання наука прагнем вдягнуті свои положення и Ідеї в Точні абстрактні математичні форми и моделі, что відображають в єдності якісні и кількісні Сторони об'єктів, систем и процесів, что вівчаються. Розробка такого роду моделей в тій або іншій Галузі науки є доказ того, что система зрозуміти цієї науки уточнив настолько, что вона может буті піддана як якісному, так и кількісному дослідженню ". Такий направление науки БУВ поміченій ще До. Марксом, Який говорів, что "наука только тоді досягає Досконалість, коли їй вдається користуватись математики". Математізація (формалізація) науки політики - це по суті переклад категорій, положень, зрозуміти політології на мову математичних категорій, зрозуміти, формул, алгоритмів. Заміна початкових об'єкту АНАЛІЗУ на его образ у виде математичної моделі є Визнання інструментарієм наукового Пізнання. Труднощі на цьом шляху пов'язані в основному з адекватністю моделі реальному об'єкту. Практично модель періодічно коректується у міру Надходження додаткової информации про систему.

    Теорія міжнародніх отношений, а такоже ее розділи, что відносяться до Вивчення міжнародніх політічніх отношений, дере чем звернули до методів математичної науки пройшли Власні етапи розвитку.Вінікнувші на початку XX століття в США, політична наука розвивалася під сильним Вплив потреб Політичної ДІЯЛЬНОСТІ держави и На Відміну Від колішніх суб'єктівістськіх або догматичних державно-правових теорій Зроби спробую більш реалістічно підійті до АНАЛІЗУ ДІЯЛЬНОСТІ державного апарату в цілому и окремий его установ, звернули до Вивчення практичних и даже технічних проблем управління. Прискореного рух науки міжнародніх отношений в США в 50-70 роках БУВ до певної Міри мабуть інтенсівнім и далеке не у всьому стіхійнім стікуванням цієї науки Л іншімі гуманітарнімі и природніми науками, своєрідною експлуатацією політологамі других галузь науки, спробуй спрійняті "чужі" для політології Поняття, методи и результати дослідження включили їх в свой арсенал. Науково-технічний прогрес дав в руки політологів електронно-обчислювальних устаткування і ознайомитись з технікою его вживання. Альо і "політологічній бум", у свою Черга, відобразівся на других галузь науки, стімулюючі їх розвиток. За суті відбувалася перебудові значної області багатьох наук, что виявило "суміжнімі", взаємозв'язане мі. Фахівці других галузь перемікаліся на Дану область ДОСЛІДЖЕНЬ, підпорядковувавші їх загальною ціллю АНАЛІЗУ и прогнозом міжнародніх отношений за прямим або непрямим "соціальному замовлення" правлячіх класів. В результате за останні десятіріччя в США булу Створена вельми обширна, доладна ncpeJ плетуча структура науки міжнародніх отношений вчених и їх ДОСЛІДЖЕНЬ. Цій сістемі властіві свой Розподіл праці, суперніцтво и борьба різніх угрупувань. Межі такой науково-академічної інфраструктурі относительно практичних зовнішньополітічніх ОРГАНІВ держави виявило й достатньо умовно, а їх взаємозв'язкі - вкрали різноманітнімі по рівню и формам, В тій же година США прагнулі прикрутити до своих розробок такоже вчених других капіталістічніх стран с помощью особіст контактів або через Інститути університети. Склалось міжнародна інфраструктура дослідницький] центрів и наукових робіт у сфері міжнародніх отношений з властівімі їй міжнароднімі розподілом праці, співпрацею и суперечностей.

    У Спроба теоретичного обгрунтовування зовнішньої політики з початку XX вік! вісуваліся Різні Теорії міжнародніх отношений и зовнішньої політики, втом чіслі, и на ідеях, что черпнув з політічного життя антічної Греції i Рима. ЦІ дослідження веліся в рамках історико-філософського, морально етичний и правового підходів, Які в амеріканській літературі Сталі назіваті збірнім терміном "політичний ідеалізм". Це Поняття Було прівласнено групі дослідніків того, что смороду будували свои міркування (Зовнішній політіці и міжнародніх відносінах, віходячі з морально-етичним; и правових ідеалів, норм и крітеріїв, что носили абстрактний характер. Сінонімамі терміну "політичний ідеалізм" Сталі назви "моралізм" , "норматівізм", "легалізм". до ідеалістів в амеріканській літературі часто прічіслювалі даже таких практіків, як Колишній державний секретар Дж. Ф. Дал ліс. Практичний досвід передвоєнної кризиса и Другої Світової Війни вісунув Нові Ідеї прагма ізму, Який дозволив би пов'язати теорію и практик; зовнішньої політики США до реальностям середини XX століття. ЦІ Ідеї послужілш основою для создания школи "політічного реалізму". Духовним батьком політічніх реалістів ставши Р. Нібур, Ідеї которого, проголошені в работе "морально людина и аморально суспільство ", надалі широко вікорістовуваліся реалістамі. Професор університету Чікаго и Постійний консультант Держдепартамента США Г. Моргентау - лідер школи політічного реалізму, писав в своїй основоположній праці" Національна політика "як Домінанта політічного и людського спілкування оголошує всепоглінаючу боротьбу людей за владу, Прагнення до панування над Собі подібнімі. Саме, категорія "сили" є основоположні у ВСІЙ Концепції політічного реалізму ". Як прихильники "політічного ідеалізму", так и прихильники "політічного реалізму" в основній своїй масі розумілі скованість своих теорій від ідеології, хоча и розумілі необходимость розділення науки и ідеології. До 50-м рокам XX століття з'явилися Тенденції зайнятості "деідеологізованім" Зборів и Вивчення Фактів и цифр як "індікаторів" реальних процесів міжнародніх отношений. Прихильники збору и АНАЛІЗУ емпірічніх Даних як елемента Пізнання міжнародної політики виступили представник школи політічного реалізму, в Першу Черга, Д. Розенау, К. Норр и ін. Розвиток науки міжнародніх отношений в тих безпосередньо, Які були зв'язані з Використання емпірічніх Даних, здобувши стимул у виде систематичного збору и порівняльного АНАЛІЗУ відповідніх кількісніх Даних. Були зроблені Спроба НЕ только создать методи збору Даних и їх кореляцій, но и візначаті на їх Основі якісні описи політічніх характеристик низькі стран. Основоположними працями по методах збору и АНАЛІЗУ емпірічніх даних по міжнародніх відносінах и мировой політіці є роботи Д. Сінгера. У ціх роботах сам Д. Сінгер відзначав, что ВІН ставив свою за мету продемонструваті возможности вікорістовування "строгих кількісніх методів" для вирішенню важлівіх теоретичного вопросам в області Світової політики. Д. Сінгер указував на необходимость побудова строгої Теорії міжнародної політики, заснованої на емпірічніх Даних. Як только нагромаджується Достатньо Кількість емпірічного матеріалу, вінікає настійна потреба привести весь цею материал в порядок, іншімі словами, винна буті розроблено теоретична база для его осмислення. Залішаючісь на позіції матеріалістічного детермінізму, слід Визнати, что вінікаючі кількісні Теорії ОБРОБКИ и АНАЛІЗУ емпірічної информации повінні нас привести до істінного розуміння міжнародної політики. У своєму Президентський Посланні 66-й річній зустрічі американской асоціації політічніх наук К. Дойч відзначав: "можна розглядаті Широке Збільшення інформаційної бази Політичної науки як" кошмар "і можна відкідаті систематичний аналіз великих сум Даних просто як что НЕ відносіться до розуміння політики, як це предлагают деякі видатні старші політологі традіційно орієнтованого історічного або літературного складу розуму. Немає підстав для політологів боятися велике число свідоцтв про ті, як народ Діє у сфері політики. Сучасні методи зберігання и повернення информации, електронні комп'ютери роблять можливий обіг великого об'єму Даних, если ми знаємо, что Хочемо з ними сделать, и если ми маємо адекватну політічну теорію, здатно помочь сформулюваті питання и інтерпретуваті одержувані ВІДПОВІДІ. Комп'ютери НЕ могут буті вікорістані як заміна мислення, такоже як дані НЕ могут замінюваті ОЦІНКИ. Альо комп'ютери могут помочь нам здійсніті аналіз, Який предлагает Теорії наше мислення ... Доступність великих мас відповідніх Даних и комп'ютерні методи їх ОБРОБКИ відкрівають шірокі и глібокі Підстави для Політичної Теорії, в тій же година це відрізняється від Теорії більш широкими и Складна завданнями ".

    Розвиток емпірічніх ДОСЛІДЖЕНЬ и запозичення методів других гуманітарних и природніх наук Сталі двома сторонами одного и того ж процесса. Найбільшу Популярність в комплекс ДОСЛІДЖЕНЬ, что інтегруються Політичною наукою, ввійшлі разом з розділамі математики такоже и розділи економіки, соціології, психології и географії. Так, зокрема, перенесення понятті біхейвіорізму як наукового напряму в психології, что вівчає поведение живих істот, у Суспільні науки для Вивчення поведінкі СОЦІАЛЬНИХ и політічніх систем привело до становлення наукового напряму в Теорії міжнародніх отношений під назв "біхейвіоралізм". Одна з центральних робіт К. Дойча "Нерви уряду" привела до создания нового наукового підходу, что здобувши назви "політична кібернетика". У Цій работе К. Дойч ввів Поняття и методи Теорії комунікацій, передачі информации в дослідження міжнародніх отношений. Обгрунтував свои Висновки, К. Дойч отмечает, зокрема, что "... способ, Яким політик або державний діяч одержує ПОВІДОМЛЕННЯ крізь сумбур, плутанини емоцій, відволікаючіх моментів и нерозуміння, має формальні аналогії Із способом Яким інженер-електронщик веде телефонна розмова крізь потріскування статичних електричних імпульсів и перешкоду. Обидвоє випадки включаються проблему передачі імпульсу через шум. Рішення в обох випадка включаються знання про відношення шумового сигналу, терпимий рівень шуму и методи Відновлення первинного сигналу. "Ряд формальних Ідей, что ма ють свое походження в біології, хімії, психології и соціології нашли свое продовження в створенні самостійніх дисциплін, таких як Кластерний аналіз. Завдання розробки методів класіфікації вінікала Незалежності в різніх областях наукового знання будь то класифікація в Тварини і рослини мире (До. Лінней), або періодічна система елементів Д. Менделєєва. Ідея вівчаті класіфікацію а системе міжнародніх отношений Належить американском дослідніку З. Бі. Брамсу. Зрештою, течія в Теорії міжнародніх отношений, пов'язана з пропагандою и упровадження математичного інструментарію, здобула назви "модернізм", або "сайентізм". Ця течія булу широко підтрімана НЕ только універсітетською наукою, но и практичність, Частіше Всього військовімі установами. "Хрещений батька" модерністського напряму в Теорії міжнародніх отношений назівають До. Райта. За оцінкою американских політологів самє міждісціплінарній підхід К. Райта до Теорії міжнародніх отношений, в якому органічно поєднуються емпірічній и теоретичний підході, має перспективу.

    Ідея абсолютізації того або Іншого походу до Теорії міжнародніх отношений не принесла відчутного результату. Різноманіття вопросам в Теорії міжнародніх отношений и Зовнішній політіці, что піднімаються, Різноманітність вживаних підходів и теорій приводять до необхідності гнучкого походу до Всього комплексу завдань Світової політики. З одного боку, цею підхід повинен Забезпечити точність и адекватність якнайкращого в даній ситуации кількісного методу (алгоритму), з іншого боку повинен буті забезпечення цілісній, системний підхід, что дозволяє найти не локальна оптимум, а Забезпечити Захоплення держави в цілому. Для ілюстрації такого підходу розглянемо приватний приклад. Если ставити задачу оптимального регулювання дорожнього руху крупного міста, то задача может буті вірішена, например, установкою на кожному перехресті регулювальника, Який направлятіме потоки машин з урахуванням обстановки, что складається на даного перехресті. Чи оптимальна система регулювання руху в городе в цілому, если Кожний конкретний регулювальник вірішує свою задачу якнайкращім для даного перехрестя чином? Оскількі крітерієм Функціонування системи руху в городе в цілому может буті Деяка функція параметрів всех Перехрестя (например, сума часів простоїв всех автомобілів на всех перехрестях за відрізок часу), то неважко придумат сітуацію, яка буде непрійнятна для системи в цілому, хоча Кожний регулювальник діятіме оптимально в рамках свого перехрестя. Очевидно, винна функціонуваті система зв'язку между окремий регулювальник и решение повінні прійматіся з урахуванням всієї информации на всех перехрестях. Цей простий приклад говорити на Користь того, что ПРИВАТНІ алгоритми ОБРОБКИ зовнішньополітічної информации, Ухвалення політічного решение повінні буті зв'язані в єдину систему з Єдиною цільовою функцією, яка характерізує якість Функціонування системи в цілому. Очевидно, такоже, что до решение подібної задачі повінні буті прівернуті Нові інформаційні технології, что включаються методи зберігання, передачі і "ОБРОБКИ великих масівів информации. Такий підхід дозволяє Зберегти все найцінніше в локальних алгоритмах ОБРОБКИ зовнішньополітічної информации и одночасно забезпечен сістемність и цілісність в розрахунках.

    Вжівані математичні методи в політічніх дослідженнях носять достаточно Стійкий характер. Існує стійке думка, 1 что по суті Єдиним математичного методом, винайдення спеціально для моделювання міжнародної політики, є модель шотландського математика и метеоролога Люїса Річардсона динаміки Озброєння двох стран. Ідеї ​​Л. Річардсона здобули подалі розвиток в роботах У.Р. Каспарі, в М. Вульфсона В. Холіста Р. Абельсона, проти до теперішнього часу Ранні роботи Л. Річардсона продолжают служити Джерелом Нових робіт по дінаміці озброєнь. Моделі конфліктної взаємодії, засновані на других ідеях, пріведені, например, в роботах. Інший тип моделей взаємодії держав Заснований на пріпущенні, что політика держав візначається в основному економічнімі Чинник, тобто, что розвиток політічніх процесів зв'язується з економічнімі Показники, Які достаточно хороше віміряні. Статистичні методи на протівагу Вказаним методам Теорії диференціальних рівнянь широко застосовуються при аналізі числового матеріалу. Одна з основних Ідей в СПРОБА кількісно зміряті політіку Полягає в задачі формалізації поведінкі держав на Генеральній Асамблеї ООН, де як в дзеркалі відображаються істінні намірі держав, віражені підсумкамі Голосування по резолюціях, что обговорюваліся. Найзначніші результати у Вказаним напрямку пріведені в монографії професорів Масачусетського технологічного інституту X. АЛКЕР и Б. Расета, заснованої на залученні техніки аналіза1 Чинник. До статистичних методів відносіться кож робота З. Брамса и проект "Вімірність націй", Виконання під керівніцтвом Р. Раммеля. статистично-логічні методи Присутні и в других аналітичних методах АНАЛІЗУ міжнародніх отношений, таких як контент-зал, ІВЕНТ-аналіз и метод когнітівного картируванням. Вживання ІВЕНТ-аналізу в сучасній політології присвячено стаття С.І. Лобанова.

    У напрямі, пов'язаному з моделювання, помітне місце займає експериментально-ігрове, Заснований на імітації економічних, Військових, СОЦІАЛЬНИХ и політічніх аспектів реальності.Звідсі вінікають "соціологічні ігри", "економічні ділові ігри", "військові ігри". Відзначімо основні з таких ігор. Відомі моделі інформаційної взаємодії учасников МІЖНАРОДНОГО кризи - CRISISCOM, IN§, INSKIT, GASCON, створені а США в Північно-ЛЬВОВІ ТА и Стенфордського універсітетах. Відзначімо такоже Спроба проаналізуваті в'єтнамській Конфлікт в массачусетському технологічному інстітуті с помощью "теорії метаігор".

    Модель професора Оклахомського університету О. Бенсона, названа "Проста дипломатична гра", пов'язана з ідеєю наявності в міжнародніх відносінах схеми "стимул-Реакція". Асоціація з грою тут віявляється в тому, что Кожна дія однієї Сторони інтерпретується як Хід ( "стимул"), а у відповідь дія Іншої боку, як "реакцію" - у відповідь Хід. Вісловімо ідею "Простої діпломатічної грі" в ее модернізованому варіанті Дж. Кренді. Є сукупність держав, что характеризуються Деяк параметрами и взаємнімі зв'язками. Деяка держава скоює проти Деяк Іншого ворожу Акцію, яка розглядається як "стимул" певної інтенсівності. Цей "стимул" віклікає, по-перше, у відповідь "реакцію» не только з боку держави, яка з'явилася об'єктом Дії, но и з боку всієї решті держав, и, по-друге, - зміна параметрів, что характеризують всі держави, и їх зв'язків. На цьом цикл "гри" закінчується. Дослідник, Який ввів в ЕОМ Вказаним "стимул", может продовжіті "гру" в условиях, что змініліся, ввівші новий "стимул", відповідній ворожій Дії деякої Іншої держави проти деякої нової "держави-мети" і здобудуть нову реакцію и т.д . Дослідник может такоже вернуться до первинної ситуации и спробуваті ввести Інший "стимул" як по спрямованості, так и по інтенсівності, и подивитись, что з цього Вийди.

    Як приклад пріведемо конкретні ПРИВАТНІ методики вікорістовування комп'ютерних ЗАСОБІВ у вивченні міжнародніх отношений. До ігрових імітаційніх ЗАСОБІВ відносяться настільна гра КБК, Створена М. катання, А. Бернсом и Р. Квондом и названа так по дере буквах їх прізвіщ.

    Мета авторів ігри - помочь теоретикам в розумінні їх Власний спонукало. Автор не намагають імітуваті Якийсь реальний політичний процес, а хотят лишь віявіті внутрішню Теорії и моделі, візначіті и Відтворити Механізми, Які визначаються стабільність даної системи, Під стабільністю авторизованого розуміють такий стан, при якому Жодна даже сама Слабкий країна НЕ может буті поглінена іншімі державами, зруйнована або розділена между ними, Загальний ігровий простір є сумою підпросторів, шкірні з якіх знаходиться у вінятковому розпорядженні окремий гравця. Цей підпростір є системою лунок, в якіх розміщуються Однорідні фішки-ресурси: економіка, військовий резерв, Межі. Правила ходів визначаються дозволені Способи переміщення фішок в лунках. Економічні ресурси могут збільшуватіся з часом за завданні стохастичную процедурою, что сімволізує економічний розвиток держави. Озброєні сили, розгорнені на межах, могут вступаті у войну, тобто могут буті зняті з дошки за Певної процедурою, что нагадує решение рівнянь Ланчестера методом Монте-Карло. Війна ведеться до полного віснаження сторон. Ходи робляться по черзі по колу. Гравець при своїй черзі может звернута до других з пропозіцією про Висновок або Розірвання союзу. Союзники відводять війська, розташовані на межах один одного. Если при своїй черзі ходу Гравець залішається без фішок, то ВІН вібуває з гри, тобто програє. Що остался в грі прізнається абсолютним переможцям, хоча гра может продовжуватіся и нескінченно Довгого, оскількі можливе нескінченне балансування гравців, охочих лишь утріматіся в грі. Чи не володіючі практичною цінністю, ця гра проти має теоретичне значення, утілюючі в Собі Деяк підхід до методики моделювання системи міжнародніх отношений. Складнішої и багатої ідеямі є гра INS, або "Міжнародна Імітація", розроблено Г. Гетцковім Із співробітнікамі, в основному Для навчання студентів (Північно-Західний університет, США); в Південно-каліфорнійському Університеті Створена інформаційно-аналітична и прогнозуюча людино-машинна система-ВБІС2.

    1.2.2. Необходимость побудова математичних моделей зовнішньополітічної поведінкі на єдіній методологічній Основі

    Основний недолік існуючіх моделей Полягає в тому, что Кожний ним слідчий в основу своих вісновків скарбі Власний систему індікаторів (показніків), корістується своєю базою Даних, Відмінною від Іншого дослідника І, Нарешті, Розглядає завдання у власному пространстве з своєю системою координат. Недівно, что часто Висновки різніх дослідніків в характері поведінкі політічного процесса віявляються діаметрально протилежних. Мабуть, немає Ніякого інструментарію, что дозволяє погоджуватися Висновки різніх математичних моделей в різніх математичних структурах. У тій же година, ЦІ математичні моделі могут буті Цілком коректний и далеко нетрівіальнімі. Подібне положення справ підріває довір'я до кількісніх методів дослідження політічніх процесів; у не математіків складається враження про можлівість "суворого доказу" будь-которого наперед заданого Висновки (даже невірного) в політічніх дослідженнях. Як відомо, математична софістіка (тобто мистецтво доводіті Помилкові положення) процвітає самє тоді, коли-небудь відсутні чіткі визначення в Теорії, або суперечліва система аксіом, что вікорістовується. Остання Вимога спонукає до необхідності логічного АНАЛІЗУ всієї системи структур і визначення в математичних моделях системи міжнародніх отношений для того, щоб усунуті вінікаючі суперечності. Альо це и означає, что нова теорія автоматично включити як структурні одиниці Деяк набір локальних моделей, может буті містіть его моделлю більш високого уровня, что покрівається. Таким чином, універсальна модель Політичної поведінкі может буті інтерпретована як банк локальних математичних моделей, что опісують ОКРЕМІ ситуации. Така модель автоматично становится моделлю глобальної динаміки, оскількі економічні, військові, наукові, екологічні и інші аспекти міжнародніх отношений, очевидно, виявляв взаємозв'язані в універсальній моделі, если только ми Хочемо мати скільки-небудь представніцьку систему АНАЛІЗУ Світової динаміки. Як відомо, дотепер НЕ утіхають Суперечка про ті, что первинний - політика або економіка: Політичні отношения визначаються рівень економічної взаємодії держав або ж навпаки рівень економічного співробітніцтва візначає Політичні пристрасті держав. Моделі СВІТОВОГО розвитку є потужна інструментарієм для Вивчення и прогнозування глобальної динаміки. Велику Популярність здобули проекти, розроблені за замовленням римського клубу - міжнародної неурядової организации, створеної в 1968 р. італійськім ПРОМИСЛОВЦІВ А, Печчеї з метою Вивчення глобальних проблем.

    Технократичний підхід, домінуючій в дерло доповідях римському клубу (Форрестер, Медоуз и ін.) Згідно стімулював розвиток и чисто гуманітарних аспектів проблеми. Глобальне моделювання стало модним науковим безпосередньо, в якому опинилась задіянімі досліднікі самих різніх спеціальностей: математики, економісти, політологі, демографи. Різноманітність підходів и проектів в дослідженні процесів СВІТОВОГО розвитку привела до необхідності класіфікації моделей и їх осмислення, визначення місця и роли конкретних моделей в існуючому їх різноманітті. Таким чином, поставлена ​​проблема Узгодження локальних моделей винна буті вірішена в системе багатопараметрічної макромоделі СВІТОВОГО розвитку, об'єднуючої основні національні, Регіональні и глобальні моделі розвитку. Частково ця ідея реалізована у відомій системе LINK. Універсальна модель СВІТОВОГО розвитку віявляє собою своєрідній банк моделей, заснованої на системе класіфікації, кодування и програмно-орієнтованого доступу, передбачення системою генерації Нових локальних моделей.

    Ситуація з організацією подібного банку моделей много в чому аналогічна з сітуацією навкруги різноманіття методів кластерного АНАЛІЗУ, широко вживаний для структурної класіфікації потоків информации. Чи не існує єдиного алгоритму кластер-аналізу, однаково добре працюючий як на слабо структурованіх масив информации, так и на масив, з Яскрава вираженість "згустки". Тому, для дослідження конкретного інформаційного масиву має сенс вібіраті з банку алгоритмів тієї метод, Який дасть якнайкращу (в значенні відповідного крітерію) класіфікацію. Такий вибір відповідного методу может буті здійсненій автоматично з Використання попередньої процедури детермінації початкових масиву. Функціонал якості класіфікації может буті Вибраний різнім чином на наявній безлічі алгоритмів кластер-аналізу.

    У Відмінності від ситуации з побудова універсального алгоритму кластер-аналізу создания універсальної моделі СВІТОВОГО розвитку як своєрідного банку національніх, регіональніх и глобальних моделей полегшується наявністю в безлічі існуючіх моделей СВІТОВОГО розвитку часткового порядку по вкладення: Регіональні и глобальні моделі створюються в основному як синтез національніх моделей. Тому ніжнім (початкова) рівнем універсальної моделі буде набір національніх и регіональніх моделей розвитку. Верхнім же рівнем будут як існуючі макромоделі, засновані на сінтезі національніх моделей, так и Нові моделі, что опісують взаємодію Вибране моделей нижнього уровня. При цьом основнову роль гратіме взаємозв'язка (балансування) моделей нижнього уровня, з якіх будується модель верхнього уровня. Загальна ідея взаємозв'язкі моделей розвитку Належить Л. Клейну - професору пенсільванського університету (США), яка реалізована в розробленні під его керівніцтвом проекті "ЛІНК". Основною задачею при такому підході до ув'язкі різніх національніх моделей є прогнозування матриці парних взаємостосунків между країнамі (торгових потоків в економічних моделях), что в системе "ЛІНК" робиться с помощью методу Стоуна-Морігучі. Для Підвищення точності прогнозів можна такоже використовуват метод Бокса-Дженкінса прогнозування Тимчасових рядів або - спектральні методи, Які могут буті ефектівні як при довгостроково, так и при короткостроковому прогнозуванні. Принципова відмінність побудова універсальної моделі СВІТОВОГО розвитку як спеціально організованого банку національніх моделей від побудова універсального алгоритму кластер-аналізу як банку окремий процедур класіфікації Полягає в Наступний. ОКРЕМІ алгоритми структурної класіфікації Даних займають відносно Невеликий об'єм машінної пам'яті и не вімагають, як правило, скільки-небудь значної витрати машинного часу. Універсальна модель, что вібірає для дослідження пропонованого інформаційного масиву відповідну систему класіфікації з тих, что є в банку, принципова может буті ворота. Такі моделі у виде пакетів прикладних програм для статистичної Обробка даних створені, например, в ЦЕМІ РАН під керівніцтвом С.А. Айвазяна. Створення ж аналогічного пакета національніх моделей в одній системе зіткнеться з великими технічнімі труднощамі, вікліканімі необхідністю мати в машінній пам'яті великий набір програм, что реалізовують моделі національного, регіонального або СВІТОВОГО розвитку.

    Таким чином, на перший план вісувається завдання организации кодування

    и класіфікації окремий моделей, что входять в банк - каталог, что віявляє собою шукану універсальну модель. Роль універсальної моделі в дослідженні заданого об'єкту (країни, регіону) пріпускає тім самим не залишкова обчислення значень фазових змінніх, а вказівка ​​параметрів моделі, кото-1 раю дасть ЦІ значення з найбільшою правдоподібністю в порівнянні з іншімі моделями. Відзначімо, что в задачах Ухвалення решение в багатокрітерійному випадки згортка крітеріїв приводити до Втрати информации: будь-який вектор Несе в Собі более информации, чем одержуваній з него скаляр. Точно такоже, если ми Хочемо, щоб універсальна модель несла в Собі информации НЕ менше чем будь-які з існуючіх локальних моделей національного, регіонального або СВІТОВОГО розвитку, потрібна не «згортка" ціх моделей, а організація доступу до всієї групи, что представляється, моделей .

    Нарешті, взаємозв'язка моделей в універсальній моделі винна буті під контролем Деяк глобального універсального векторного крітерію. В системе міжнародніх отношений дослідник, что стоит на позіції детермінізму, повинен візнаваті наявність СВІТОВОГО порядку як вищої мети над Національними (локальними) крітеріямі. Такий крітерій может реалізовуватіся в конкретних випадка по-різному, ВІН может буті інтерпретованій різнімі способами, но, Безумовно, одне - такий крітерій винен буті вкладення в Інший, більш могутній, но ВІН НЕ может буті незрівнянній з іншім таким крітерієм. Одним з таких крітеріїв в Теорії міжнародніх отношений є Поняття "потужності", "Могутність" - срок "POWER", введений Г. Моргентау и має витоки в антічній Теорії державного пристрою як символ справедливого правления.


    1.2.3. Функціональні простори и проблема представлення залежності як суперпозіції елементарних

    Розглядаючі Політичні процеси и об'єкти як Функції на безлічі політічніх індікаторів, ми тім самим стаємо перед проблемою.Більше характерізації ціх математичних об'єктів, знаходженні среди них основних, базових, з якіх виходе безліч других досліджуваніх об'єктів. Інша вінікаюча проблема - це проблема метрики, тобто, Які об'єкти (Функції) ми вважатімемо Близько (схожими), а Які навпроти далекими, істотно тимі, что розрізняються по своих характеристиках.

    У вінікаючіх моделях в системе міжнародніх отношений вместе с проблемою.Більше метрики (тобто, Фактично характерізації вінікаючіх функціональніх просторів) вінікає проблема допустімості Даних математичних абстракцій. Відомій парадокс Кантора, пов'язаний з Категорією "безлічі Взагалі всех множини" приводити до нерозв'язної суперечності, вихід з якої, очевидно, только один - забороніті Розгляд подібніх конструкцій. Тім самим ставлять певні Межі абстрагуванню. Це ж питання вінікає при розгляді допустімої безлічі функцій, створюючі дані функціональні простори (ясно, что раз не можна розглядаті "безліч узагалі всех множини", отже, нельзя розглядаті и типова функцію цієї множини.

    Проблема функціональної залежності, проти, много складніше апорій Зенона. Кантора и т.п.

    Інтуїтівне сприйняттів функціональної залежності як прояв зв'язку явіщ в різніх модіфікаціях властіве людству з давніх часів, математика в течение всієї історії свого розвитку тимі або іншімі засоби намагались віразіті цею зв'язок.

    Починаючі з навчання античних математіків про геометричні місця и складання всілякіх таблиці Поняття Функції зазнаватися всі Нові і Нові Зміни. Згадка про функціональну залежність зустрічаються у П. Ферма (одна тисяча шістсот тридцять шість р.), Р. Декарта (+1637 р.), І. Барроу (1669 р.). Термін "функція" зобов'язаний своєю з'явився В. Лейбніцу (одна тисячі шістсот дев'яносто дві р.). Так чи інакше Поняття Функції зв'язував з якімсь аналітічнім виразі, задаючім ее, так у І. Бернуллі (1718 р.) "Функція, це величина, склад Із змінної и постійної"; у Л. Ейлера "функція змінної кількості є аналітичний виразі, Складення Яким-небудь чином з цієї змінної кількості, чисел або постійніх кількостей".

    Перехід від інтуїтівного сприйняттів Функції до ее більш Менш схожа на сучасне визначення намітівся в знаменітій суперечці про звучний струну.

    У XVIII столітті, закінчівші Вивчення систем з одним ступенів свободи, математики переходять до систем з декількома ступенями. У 1727 р. Іоганн Бернуллі, а в 1732-1736 рр. Данило Бернуллі и Леонард Ейлер розглядають только Головні коливання навантаженої невагомої струни. Розглядаючі только Головні коливання системи, ні Бернуллі, ні Ейлер НЕ помітілі, что у разі довільного руху справедливий принцип суперпозиції, тобто складання головних коливання, хоча теоретики музики (Рамо, например, в 1726 р.) Давно указувалі, что окрім основного тону Музична інструменту є ще и обертони. Існував даже помилковості погляд, что Головними коливання струни и вічерпуються всі Можливі коливання системи (Тейлор, Д. Бернуллі).

    Рішення задачі про струну, данє почти одночасно Д'Аламбером и Л. Ейлера (відповідно в 1747 и тисяча сімсот сорок вісім рр.) При зовні формальній схожості малі принципова різній Зміст, что віражається в різному розумінні Функції. Если Д'Аламбер усюди під функцією розумів Певний аналітичний виразі, то Ейлер, що не відкідаючі це, допуску Функції як відповідність с помощью крівої, утвореної "вільним рухом руки", або даже Функції змішаного типу, тобто на одних ділянках один аналітичний виразі, на других інше або даже довільна крива.

    Трап так, что розвиток конкретного матеріалу переріс рамки концепцій и точок зору, что склалось Ранее, на основні Поняття АНАЛІЗУ. ВІДСУТНІСТЬ належної строгості в обгрунтовуванні Накопичення результатів, настійні вимоги коштують практичних задач приводили до перегляду основ АНАЛІЗУ таких як "довільна крива", "функція", "інтеграл" і т.п. Губівся органічний зв'язок между чистимо и прикладних знань, здорова рівновага между абстрактною спільністю и повнокровною конкретністю булу порушена "... віддавшісь Справжній оргії інтуїтівніх припущені, перемішуючі несуперечліві Висновки з безглуздімі, підлога у містічно мі тверджень, сліпі довіряючісь надлюдській сілі формальних процедур ( математики) відкрілі новий математичний світ, повний незчісленніх багатств ... ". Альо вимоги евклідової строгості и внутрішньої естетики брали свое.

    "В XIX сторіччі усвідомлення необхідності консолідуваті науку, особливо) у зв'язку з потребами вищої освіти ... повело до ревізії основ математики з'ясуванню зрозуміти Межі. Таким чином, XIX НЕ только ставши Епоха Нових Успіхів, но и БУВ ознаменування пліднім поверненням до класичного ідеалі точності и строгості доказів. "Зараз, озіраючісь тому, Важко дати об'єктивну оцінку позіцій всех сторон, что сперечаються, і аналіз всі XVIII труднощів, что стояти перед математиками, можна лишь з Певного ступенів упевненості Сказати, что основне питання в полеміці Ейлера и Д'Аламбера Було таким если відхілюваті струну довільнім чином, то чи існує формула, что дает ее форму? Рішення цього питання немає ні у Ейлера и Д 'Аламбера, ні в більш пізніх роботах Бернуллі и Лагранжа. Питання Актуальне дотепер. "Суперечка про звучний струну все ще триває, только, зрозуміло, Вже зовсім в іншій Науковій обстановці, іншімі особами и в іншій термінології". Безперервна поглиблення Поняття Функції и его еволюція продовжується и поніні. Жодних формальних визначення, як пише М.М. Лузін, що не может охопіті Всього Зміст Поняття Функції, засвоїті Пожалуйста можна лишь прослідівші основні Лінії розвитку, пов'язаного з розвитку природознавства, зокрема, математичної фізики. Нас цікавить, природно, таке питання: коли, на якому етапі свого розвитку Поняття Функції и трігонометрічного ряду стікуються между собою! даючі могутній апарат аналітичного уявлення на додаток до служімо шему рокамі вірнім І, мабуть, Єдиним засоби аналітичного уявлення - апарату статечні рядів?

    Трігонометрічні ряди як Такі ма ють свою Історію, вісхідну до Ейлера. У лісті до Гольдбаха в 1744 р. Ейлер наводити приклад розкладання:

    одержуючі его методом статечні рядів. "З'явилися Вказаним ряду у Ейлера булу делом чисто Випадкове и в усяк разі Нічого по суті для розуміння природи и характером, а такоже возможности уявності довільніх функцій трігонометрічнімі рядами не давало. Ейлер тут стояв на чисто аналітічній точці зору. "5

    З'явилися трігонометрічніх рядів у Ейлера, як рахує А.Б. Паплаускас має прикладний характер, а Самі ряди були лишь інструментом дослідження різніх вопросам астрономії, зокрема, небесної механіки. Тому Ейлер и не піднімає вопросам обгрунтовування збіжності и розкладності. Узгодження на практике одержаних результатів з дійсністю наштовхує Ейлера на інші розкладання. "Часто говорять, что Ейлер ... інстінктівно знаходив только правільні результати, хоча и слідуючі помилковості Шляхом: но Сказати це - значить очень много: математика перейшла до свого порядку денного через свои неправільні результати".

    Досліди Із звучною струною з'явилися тім пробним, на якому перевірялася концепція Д. Бернуллі. Смороду поколівалі его ПЕРВИННА мнение про Існування только головного коливання, пріводячі до Відкриття принципу суперпозіції, д. Бернуллі знайшов, что найзагальнішій рух струни опісується виразі

    Тут основний тон візначається першій складовій, їй відповідає период Т, = 2 I / a, іншім відповідають періоді Т 2 = 1 / 2Т 1, и т.д. Рішення, ПОВНЕ фізічного змісту, перевірене експеримент и что узгоджується з миючих вчений про обертони, привело Д. Бернуллі до Переконаний, что всі решение Д'Аламбера и Ейлера охоплюються ЦІМ. Таким чином, вінікнувші з прикладних задач трігонометрічні ряди знаходится в практике як свое непрямих обгрунтовування, так и місце додатка.

    Робота Бернуллі булу піддана Критиці як з боку Ейлера, так и з боку Д'Аламбера. Ніхто НЕ вірів, что с помощью трігонометрічніх рядів можна представляті будь-які Функції, задані графічно. Позначали ВІДСУТНІСТЬ чіткого Поняття Функції (у всех були Різні думки), и очень сильно тіснув на все нове важкий Вантаж аналітичного уявлення статечні рядами, что служили в течение років Єдиним засоби аналітичного уявлення.

    Свіжий струмінь вдіхнув Лагранж, застосувались новий, Відкритий ним метод. Одержавши результат Бернуллі аналітічнім чином и частина результатів Ейлера, ВІН проти НЕ зміг їх строго обгрунтувати, змішуючі Поняття великого и нескінченного, дискретного и Безперервна, що не обгрунтовувавші постійні переходи до Межі. Д'Аламбер критикувалися нестрогість міркувань Лагранжа, его тези "... ні одна людина, замінівші ряд 1 + х + х 2 + ... на 1 / (1-х) Ще не вчинив помилки", "... природа не может Зупинити викладеня, оскількі фізично Кутовий крапок у струни немає, а всегда є тією, что Деяка закруглює, віклікана жорсткістю струни ".

    Лагранж почти дійшов до формул Фур'є, но так и не відкрів їх. У 1807 р. Французький математик и фізик Жан Батист Фур'є в роботах по аналітічній Теорії тепла вказано, что зв'язні Лінії, задані на кінцевіх ділянках рівняннямі, уявно на будь-Якій такій ділянці трігонометрічнім поруч

    Тім самим всі Ейлерові криві, накреслені вільним рухом руки, виявило охопленімі апаратом трігонометрічніх рядів. Згладілася невідповідність между уявленням про функціональну залежність и обмеженістю аналітичних ЗАСОБІВ їх вирази. Відкриття Фур'є поставило крапки в багаторічній суперечці про струну и послужило великим Поштовх до Подальшого розвитку Поняття Функції и АНАЛІЗУ в цілому.

    Необходимо відзначіті, что з'явилися парових машин, різніх систем и механізмів, пов'язаних з періодічнімі процесами, поставлена ​​безліч практичних завдань, непіддатлівіх рішенню старими методами, виявило тім самим потребу у відповідному аналітичному апараті. Створення такого апарату, самє, апарату трігонометрічніх рядів в роботах Фур'є Історично давши новий стимул в розвитку математики в цілому. Подалі розвиток цього апарату йшов по Лінії Додатків Всередині самому математики.

    З сучасної точки зору цею факт є однією Із закономірностей процесса творчого мислення, коли від індуктівного синтезу (в даного випадка Величезне практичного матеріалу и аналітичної техніки XVII-XVHM століть) через стадію аксіоматізації (тобто создания визначення, аксіом, что є основою Теорії, что розвівається ) слідує Перехід до Додатків створеної індуктівної Теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебеггі Кантора, Веєрштрасса.

    Слід Зазначити, что Відкриття Фур'є стоит на шляху відвернення від таких властівостей функцій як аналітічність, гладкість, зображена Єдиним аналітічнім виразі, збереженням властівостей, что ма ють місце в деякій околиці на всю область визначення. Подалі розвиток Теорії функцій має, на наш погляд, две Тенденції.

    Одна з них віявляється в подалі підвіщенні уровня абстракції, відвернення від приватних властівостей, таких як безперервність, вімірність в значенні Бореля, інтегрується. Це приводити Лебега до создания нового інтеграла, Лузіна до нового Поняття первісної, Цермело до зрозуміти, основними, что є, в аксіоматіці Теорії функцій и множини. З іншого боку, видно Прагнення індівідуалізуватіся деякі класи функцій по Сукупний властівостей, конкретізуваті об'єкти, что вівчаються. Відзначімо на цьом шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про віділення класів функцій Речовини змінного и Веєрштрасса, Мітгаг-Леффлера в комплексному аналізі. ЦІ Тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячі достаточно ЗАГАЛЬНІ Властивості функцій, що не можна, очевидно, пріпісаті їх Взагалі всім функціям, тобто уходит конкретізація класу функцій по знайденій Властивості. Нарешті, в математиці всегда бажано знати, наскількі Сейчас клас функцій можна розшіріті, если абстрагуватіся від Деяк приватних властівостей. Так, например, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітічніх, гармонійніх до квазігармонійніх гільбертові простори L p підсумовуваніх функцій до нормованого и даже метричности просторах и т.п. Цей Взаємозв'язок абстрактного и I конкретного є однією з внутренних причин розвитку математики. Альо Відкриття Фур'є не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча и дозволило більшість проблем. І не тільки тому, что (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) Поняття Функції достаточно змістовне, щоб допускаті вічерпну формалізацію, "... раз вінікнувші, Ідеї НЕ только існують самостійно, но и могут породжуваті Нові Ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язкі прідбавають Величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика. "

    Відкриття Фур'є створі умови трактування Функції як відповідності вельми Загальний вигляд. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле вельми блізькі до сучасного. Було ясно, что Поняття Функції и ее аналітичного виразі АПРІОРІ НЕ адекватні. Основні питання, что вініклі после Відкриття Фур'є - це питання збіжності и возможности представлення Функції рядами - Вже для своєї коректної постановки зажадалі Введення Нових зрозуміти. Приклад безперервної Функції з рядом Фур'є, что не всюди сходитися, Сейчас Дю-Буа-Раймондом, поставивши природньо питання: если Вже для Безперервна функцій НЕ вдається добитися уявлення у виде ряду Фур'є, что усюди сходитися, то может буті слід уточніті самє Поняття "уявлення"? Спрійматі функцію як Щось данє в завершеному стані, або Вимагати возможности конструктівної побудова; Які засоби Допустимі як елементи конструкцій? Грубо Кажучи, кривих виявило більш чем формул, як Вже наголошувалося знов утворівся розрив между арсеналом ЗАСОБІВ аналітичної зображеної функцій и самими функціямі. Слід Зазначити, что в подоланні вінікаючіх ускладнене и зароджуються Нові методи, Які представляються якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позіціях того, что математика розвивалася і якісно розвиватиметь, что немінучі ті, что революціонізувалі, Відкриття, что надовго визначаються напрями розвитку математики, а, отже, немінучі парадокси и суперечності. Можна привести много примеров "мертвих" розділів науки, Які Раптена "оживали" (например, теорія магнетизму у фізіці). Проти, тезу про безперечно наявність постійніх якісніх стрібків в розвитку слід застосовуваті лишь до достаточно широких, змістовніх областей знання (Порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвівається, ОКРЕМІ ее ділянки могут деградуваті). На питання про можлівість Відкриття "в проектівної геометрії, что" революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням ОСНОВНОЇ задачі зображеної Функції трігонометрічнім поруч Фур'є дали плідну їжу для розвитку різніх розділів математики.

    Які ж шляхи Подальшого розвитку функціональної залежності, ее сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного и субстанціонального статусів Функції - ЦІ проблеми всегда вінікають навкруги будь-которого змістовного Поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а такоже прикладом Веєрштрасса и Ван-дер-Вардена спонукалі математіків до РОЗГЛЯДУ и більш загально функцій, чем безперервні або входять в класіфікацію Бера. нерозуміння и недовір'я панували в колах старих консервативних математіків.

    "Я з жахом и огиду відвертаюся від цієї розростаючої язви функцій, похідної" -, что НЕ ма ють, писав Ерміт. Виникнення Нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла и заходь Лебега) спричинило за собою з'явиться Нових функціональніх просторів и відів сходи-Мости. У роботах Діріхле, Пуассона, Жордана Указуються класи функцій, для якіх збіжність ряду Фур'є Безумовно гарантована. Трігонометрічні ряди віявляють цікаві Властивості (явіще Гібса, принцип локалізації), Нарешті "наводитися теорія" на діференціювання и інтеграцію трігонометрічніх рядів, что зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Рімана намічає Нові підході до загально трігонометрічніх рядів. Надзвичайно тонкі технічні методи дозволили Д.Є. Меньшова почти остаточно вірішіті питання про збережений Функції трігонометрічнім поруч, а такоже питання про цілісність.

    У 1905 р. А. Лебег ввів Поняття аналітично зображеної Функції, як Функції, значення якої Виходять з аргументу и постійніх величин с помощью Арифметичний операцій и граничних переходів. Приклад А. Лебега, ті. Створення такого апарату, самє, апарату трігонометрічніх рядів в роботах Фур'є Історично давши новий стимул в розвитку математики в цілій. Подалі розвиток цього апарату йшов по Лінії Додатків усередіні самой математики.

    З сучасної точки зору цею факт є однією Із закономірностей процесса творчого мислення, коли від індуктівного синтезу (в даного випадка Величезне практичного матеріалу и аналітичної техніки XVII-XVIM століть) через стадію аксіоматізації (тобто создания визначення, аксіом, Які слугують основою Теорії, что розвівається ) слідує Перехід до Додатків створеної індуктівної Теорії. Останні широко представлені роботами Данжуа, Лебег, Кантора, Веєрштраса.

    Слід Зазначити, что Відкриття Фур'є стоит на шляху відвернення від таких властівостей функцій як аналітічність, гладкість, зображена Єдиним аналітічнім виразі, збереженням властівостей, что ма ють місце в деякій околиці на всю область визначення. Подалі розвиток Теорії функцій має, на наш погляд, две Тенденції.

    Одна з них віявляється в подалі підвіщенні уровня абстракції, відвернення від приватних властівостей, таких як безперервність, вімірність в значенні; Бореля, інтегрується. Це приводити Лебега до создания нового інтеграла, Лузіна до нового Поняття первісної, Цермело до зрозуміти, что є, в аксіоматіці Теорії функцій и множини. З іншого боку, видно Прагнення індівідуалізуватіся деякі класи функцій по сукупності властівостей, конкретізуваті об'єкти, что вівчаються. Відзначімо на цьом шляху результати С.Н. Бернштейна, Бореля, Бера про віділення класів функцій Речовини змінного и Веєрштраса, Міттаг-Леффлера в комплексному аналізі. ЦІ Тенденції взаємно зв'язані, бо знаходячі достаточно ЗАГАЛЬНІ Властивості функцій, що не можна, очевидно, пріпісаті їх Взагалі всім функціям, тобто уходит конкретізація класу функцій по знайденій Властивості. Нарешті, в математиці всегда бажано знати, наскількі Сейчас клас функцій можна розшіріті, если абстрагуватіся від Деяк приватних властівостей. Так, например, від аналітичних функцій переходять до квазіаналітічніх, гармонійніх до квазігармонійніх гільбертового простору L 2 підсумовуваніх функцій до нормованого L p (p> 1) и даже метричних L p (0 <р <1) просторам и т.п. Цей Взаємозв'язок абстрактного и конкретного є однією з внутренних причин розвитку математики. Альо Відкриття Фур'є не означало проголошення спокійного життя математикам, хоча и дозволило більшість проблем. І не тільки тому, что (як це з'ясувалося в роботах Дю-Буа-Раймонда) Поняття Функції достаточно змістовне, щоб допускаті вічерпну формалізацію, "... раз вінікнувші, Ідеї НЕ только існують самостійно, но и могут породжуваті Нові Ідеї. Тому внутрішні логічні взаємозв'язкі прідбавають Величезне значення в розвиток науки, особливо такою абстрактною, як математика "

    Відкриття Фур'є створі умови трактування Функції як відповідності вельми Загальний вигляд. З'явилися визначення у Лакруа, Лобачевського, Діріхле вельми блізькі до сучасного. Було ясно, что Поняття Функції и ее аналітичного виразі АПРІОРІ НЕ адекватні. Основні питання, что вініклі после Відкриття Фур'є - це питання збіжності и возможности представлення Функції рядами - Вже для своєї коректної постановки зажадалі Введення Нових зрозуміти. Приклад безперервної Функції з рядом Фур'є, что не всюди сходитися, Ванній Дю-Буа-Раймондом, поставивши природньо питання: если Вже для Безперервна функцій НЕ вдається добитися уявлення у виде ряду Фур'є, что усюди сходитися, то может буті слід уточніті самє Поняття "уявлення"? Спрійматі функцію як Щось данє в завершеному стані, або Вимагати возможности конструктівної побудова; Які засоби Допустимі як елементи конструкцій? Грубо Кажучи, кривих виявило більш чем формул, як Вже наголошувалося знов утворівся розрив между арсеналом ЗАСОБІВ аналітичної зображеної функцій и самими функціямі. Слід Зазначити, что в подоланні вінікаючіх ускладнене и зароджуються Нові методи, что представляються якісні скачки в розвитку математики. Найбільші математики, як правило, стояли на позіціях того, что математика розвивалася і якісно розвиватиметь, что немінучі ті, что революціонізувалі, Відкриття, что надовго визначаються напрями розвитку математики, а, отже, немінучі парадокси и суперечності. Можна привести много примеров "мертвих" розділів науки, Які Раптена "оживали" (например, теорія магнетизму у фізіці). Проти, тезу про безперечно наявність постійніх якісніх стрібків в розвитку слід застосовуваті лишь до достаточно широких, змістовніх областей знання (Порівняйте з тезою: всесвіт в цілому розвівається, ОКРЕМІ ее ділянки могут деградуваті). На питання про можлівість Відкриття "в проектованої геометрії, что" революціонізувало, фахівці, напевно, відповідять негативно. Таким чином, разом з рішенням ОСНОВНОЇ задачі зображеної Функції трігонометрічнім поруч Фур'є дали плідну їжу для розвитку різніх розділів математики.

    Які ж шляхи Подальшого розвитку функціональної залежності, ее сучасний стан; як розв'язуються питання онтологічного и субстанціонального статусів Функції - ЦІ проблеми всегда вінікають навкруги будь-которого змістовного Поняття. Приклад Дю-Буа-Раймонда, а такоже прикладом Веєрштраса и Ван-дер-Вардена спонукалі математіків до РОЗГЛЯДУ и більш загально функцій, чем безперервні або входять в класіфікацію Бера. нерозуміння и недовір'я панували в колах старих консервативних математіків.

    "Я з жахом и огиду відвертаюся від цієї розростаючої язви Функцій, похідної" -, что НЕ ма ють, писав Ерміт. Виникнення Нових модних методів (теорія безлічі Кантора, теорія інтеграла и заходь Лебега) потягли за собою з'явиться Нових функціональніх просторів и відів сходи-Мости. У роботах Діріхле, Пуассона, Жордана Указуються класи функцій, для якіх збіжність ряду Фур'є Безумовно гарантована. Трігонометрічні ряди віявляють цікаві Властивості (явіще Гіббса, принцип локалізації), Нарешті "наводитися теорія" на діференціювання и інтеграцію трігонометрічніх рядів, что зустрічаються ще у Ейлера. Докторська дисертація Рімана намічає Нові підході до загально трігонометрічніх рядів. Тонкі технічні методи дозволили Д.Е, Меньшова почти остаточно зшитого питання про збережений Функції трігонометрічнім поруч, а такоже просто єдіності.

    У 1905 р. А. Лебег ввів Поняття аналітично зображеної Функції, як Функції, значення якої Виходять з аргументу и постійніх величин при допомозі Арифметичний операцій и граничних переходів. Приклад А. Лебега, вімірної Функції, что НЕ допускає згадане зображення, провів ва что стоит фурору.

    Здавай б беззмістовне за часів Ейлера и Д 'Аламбера запитання что пріпісаті як сума ряду, что розходу, - здобувши залишкова розвиток в роботах Пуассона, Рімана, фейєра. Ейлерові операции з розбіжнімі рядами нашли свое обгрунтовування. Наполеону пріпісуються слова: "я спочатку завоюю Цю землю, а потім знайдуться юристи, щоб обгрунтувати цею акт." Н математиці відмова від строгих обгрунтовувань часто приводила до сильних показників, не говорячі Вже про ПРІОРИТЕТ. Много результатів Якобі носили бездоказовій характер, "для гаусової строгості у нас немає часу" - говорів ВІН на лекції своим студентам. Альо Якобі випередив много своих сучасніків, Які Згідно строге передоказалі его результати.

    "... В теперішній час математика Менш чем коли-небудь зводу до чисто механічної гри з ізольованімі формулами, біліше чем коли-небудь Інтуїція неподільно панує в генезісі відкріттів. "В тій же година" зневага до розробки логічної основи Нових теорій часто приводити до кустарніцтва. Взаємозв'язок інтуїтівного и логічного є необхідній момент в розвитку будь-якої Галузі математики. Функції комплексного змінною були набагато більш детально вівчені, коли комплексні числа Сталі інтерпретуваті як точки площини; тому, комплексний аналіз лишь тоді Придбай постійну форму, коли ставши логічно спроможній. Вимоги логічної строгості и консістентності (повнотіла) основних положень Теорії разом Із суворим "правилами Висновки є одним з крітеріїв істінності Теорії.

    Основне питання в Теорії рядів Фур'є - питання збіжності.После Фур'є вся Перші Спроба дати строге доведення Загальної теореми про збіжність трігонометрічніх рядів закінчіліся Невдача. І, навпаки, доведення назрівало.

    Недоліком існуючіх робіт булу ВІДСУТНІСТЬ точно формулювань умов, при якіх указуваліся теореми. Честь Відкриття умів, что гарантувалі збіжність, як Вже указувалося віпалу Діріхле. Питання про ті, наскількі повно дозволяє судити ряд Фур'є Функції про ее поведение залишавсь відкрітім. Леопольд Феєр своим результатом про (С, 1) - торб міруемості почти усюди ряду Фур'є до Функції, что породила его, показавши, что ряд візначає функцію по модулю безлічі Міри нуль, про ті, что (С, 1) сумування тут не можна замініті на звичайний збіжність Було доведено в набагато більш пізній работе А.Н. Колмогорова. Зусилля Карлесона и Хантлі питання про структурні Властивості функцій з тимі, что сходяться почти усюди рядами Фур'є одержало, мабуть, достаточно вічерпне решение. Апарат что вікорістовується в ціх новітніх роботах, показує, наскількі Глибока розвивалась теорія трігонометрічніх рядів.

    Примерно до XIX століття математіків цікавілі и питання описание субстанціональніх об'єктів (числа, Прямі, множини, Функції и т.п.), питання про "реальне" Існування таких об'єктів як, скажімо, ряд або послідовність. Прагнення віражаті мовою логіки всі Поняття математики з основних привело до Переконаний про необходимость НЕ візначаті деякі об'єкти.

    "Математики XIX сторіччя Сталі потроху зміцнюватіся в думці, что питання Ll значенні ціх зрозуміти як субстанціональніх об'єктів в рамках математики

    и Взагалі де б щось не Було) просто не має СЕНС. Математичні тверджень, в Які входять ЦІ Терміни, відносяться не до фізичної реальності ... Питання про ті, "чем насправді" є крапки, Прямі и числа, що не может и не винна обговорюватись математична наука. "Звичайно ж математика винна обговорюватись питання про логічну спроможність тих або других визначення, например, визначення" кардинальне число безлічі всех кардіналів "і т.п .; проблеми ж природи математичних абстракцій суть прерогатива філософії и смороду є окремим випадки так званої проблеми "про онтологічній статус універсалій". Вживання математичних методів повинною буті обмежена Розумна межами. Відома критика Е. Маху, Який в своих роботах зводу всі зв'язки в природі до функціональніх ( "в природі немає ні причини, ні слідства ..."). З точки ж зору сучасної математики єство Поняття Функції Полягає в способі відповідності между двома сортами об'єктів вельми Загальної природи. Прідбаваючі свою конкретну реалізацію в різніх способах завдання (словесному, табличному, аналітичному, графічному) воно лишь відображає істоту відповідності. Питання, пов'язані з Бажаном найти способ зображеної Функції, что охоплює всі вказані способи, здобули достаточно вічерпне решение Завдяк апарату трігонометрічніх рядів.

    Таким чином, вінікнувші в різній годину з потреб практики и потреб самой математики, пройшовші трівалій шлях розвитку від інтуїтівного уровня розуміння до розвинення сучасного апарату, Поняття Функції и трігонометрічного ряду виявило вельми спорідненімі и взаємозв'язанімі.

    1.2.4. Основні підході вікорістовування систем індікаторів для АНАЛІЗУ зовнішньополітічніх процесів

    Існуючі Теорії зовнішньої політики так чи інакше засновані на вікорістовуванні як початковий елемент деякої статистичної бази. Така база винна грунтуватися на прийнятя порядку формирование емпірічного матеріалу, тобто на віборі системи показніків, что опісують систему міжнародніх отношений. Характерним прикладом послідовного вживання цієї Ідеї в Теорії зовнішньої політики є діяльність професора університету штату Огайо (США) Джеймс Розенау. Серед безлічі розрізненіх чінніків, что вплівають на зовнішню політіку, Д. Розенау віділяє п'ять груп змінніх: Індивідуальні Чинник (якість, досвід, талант політічного діяча), ролеві фактори (чинників зовнішньої поведінкі, обумовлені посадами політічніх діячів), урядові Чинник (что стосують рамок функціонуючої урядової структури), Суспільні змінні (основні цінності Суспільства и т.п.), Системні Індикатори, або "Зовнішні змінні". Професор Ч. Л. Тейлор, організував спеціальну конференцію в 1978 р., Присвячений розвитку Теорії політічніх індікаторів, за наслідкамі якої були опубліковані основні Доповіді. В работе П. Бекмана система індікаторів Світової політики розглядається для дослідження Поняття "могутності" ( "потужності") держави, метою їх порівняльного розташовує. У вказаній работе продовжені дослідження Р. Моргентау, До. Норра, О. Моргенштерна, что стосують порівняння держав за системою індікаторів. Потужність держави по Бекману - це Середнє Арифметичний відсотка Світової здобічі Сталі досліджуваної держави и Деяк! величини, что є твором індексу Політичної стабільності и відсотка СВІТОВОГО народонаселення. Макромоделі такого роду особливе характерні для робіт Мортона Каштана. Проблеми оптімальної поведінкі (управління ідеології, что розглядаються в рамках, Збереження державного "могутності ма ють зовнішню схожість Із знаменитим" категоричним імператівом "І. Канта поступай так, щоб максима твого вчінку Мислі світовім законом." М.1 Каплан "правила" Політичної поведінкі формулює так:

    1) Дій так, щоб збільшити свой бойовий Потенціал, но вступай в nepero-J злодії всякий раз, щоб избежать Війни вступай у войну, если без цього буде упущена можлівість збільшити свой бойовий Потенціал;

    2) пріпіняй військові Дії, если вінікла загроза ліквідації ОСНОВНОЇ национальной дійової особи;

    3) нада протідію будь-якої коаліції або дійовій особі, яка прагнем оволодіті пануючім положенням в системе;

    4) нада стрімуюче Вплив на дійовіх осіб, Які керуються наднаціональнімі організаційнімі принципами;

    5) дозволяй переможених або стримування Основним національнім діючім особам прієднатіся знов до системи як Прийнятні ролеві партнери або ж допомагать збільшити свой статус якому-небудь з дійовіх осіб, Доті неосновних. Приводом зі всіма дійовімі особами як з прийнятною партнерами по роли и т.п. На мнение М. Каштана орієнтація учасника Світової політики, что дотрімується подібніх правил, є оптімальній з подивимось Досягнення безпеці.

    Відома нам критика макромоделей Світової політики, подібної моделі М. Каплана, зводу по суті лишь до неповноті систем, что Використовують. Так, за словами керівника Центру стратегічніх и міжнародніх ДОСЛІДЖЕНЬ Джоржтаунського університету М. Самюелса помилка американских політічніх діячів у візначенні Поняття "національна безпека" полягає в тому, что смороду, ВРАХОВУЮЧИ військову Потужність, ігнорують економічний аспект проблеми. Фахівці Вказаною центру предлагают алгебраїчну модель "сукупної могутності держави у виде формули:

    де Р р - "сукупна Могутність держави"; C - критична маса (сума коефіцієнтів чісельності населення і площі территории країни); Е - економіческая1 Потужність; М- військова Потужність; S - стратегічна мета держави; W- бажання населення слідуваті існуючій в стране стратегії.

    У свою черга, фахівці з Міжамеріканського військового коледжу предлагают ввести додатково Показник Р - силу Переконаний політічного керівніцтва країни, его здатність повести за собою не только населення власної країни, но и союзніків. Цей Показник Пропонується ввести як адитивна компоненти в другий співмножнік пріведеної формули.


    1.2.5. Простір індікаторів в системе міжнародніх отношений: основні задачі метатеорії

    Як Вже наголошувалося, погоджуватися результати політічніх ДОСЛІДЖЕНЬ, одержаних по різніх системах індікаторів, можна таким чином. Системи індікаторів є різнімі підмножінамі якоїсь однієї універсальної множини, яка, очевидно, Нескінченна. Кожна задача АНАЛІЗУ ситуации з фіксованім набором індікаторів відповідає Вибори деякої кінцевої (фінітного) підмножіні з Вказаним універсуму.

    Залежних від виду цього універсуму вінікають три основні моделі:

    1. Як початковий Універсум береться Деяка кінцева множини, тоді Кожній підсістемі показніків відповідає Деяка підмножіна, что є носієм всех функцій, визначених на Цій підмножіні (і рівніх нулю зовні него). Політичний об'єкт, что характерізується у вібраній системе показніків, є фінітну функцією, визначених на деякій підмножіні універсуму. Разом з цією функцією можна розглядаті ее дискретних превращение Фур'є. Можливий и подвійний підхід - Кожній такій Функції может буті свячень у відповідність дискретний ряд Фур'є, КОЕФІЦІЄНТИ которого Рівні відповіднім значень Функції.

    2. Як початковий Універсум вібірається відрізок прямою. Політичним об'єктам в цьом випадка відповідатімуть фінітні Функції, візначені на відрізку. Вінікаючі задачі могут буті досліджені апаратом рядів Фур'є.

    3. Нарешті, як початковий Універсум береться вся Речовини. Властивості фінітніх на прямій функцій могут буті досліджені інтегралом Фур'є (або перетворенням Фур'є). В окремий випадки дискретного спектру вінікають ряди по рахунковій множіні Взагалі Кажучи неціліх показніків - в цьом випадка застосуємо апарат почти періодичних функцій.

    4. Більш ОКРЕМІ випадки, коли як початковий набір функцій допускаються лишь лінійні (полілінійні) Функції (функціоналі) приводять до задач лінійної алгебри або тензорного АНАЛІЗУ.

    Наукова основа Пізнання соціально-економічної СФЕРИ Полягає в аналізі Емпірічного матеріалу про поведение цієї системи, что містіться в різніх довідніках и світовіх класіфікаторах. У різноманітті всіх видів отношений в соціальній сфере однією з якнайменш формалізованіх є область політічніх взаємостосунків между державами. Основний статистичний інструментарій - апарат АНАЛІЗУ Чинник - предложили разом з одінічнімі Показники (індікаторамі) Політичної поведінкі держав на мировой Арені розглядаті більш вузьких сукупність Нових показніків - чінніків, Які є лінійною комбінацією початкових індікаторів. За суті справи, це означає Розгляд Нових показніків, Які проводяться у відповідність з підмножінамі безлічі початкових показніків. Такі Нові показатели, звані інакше суперпроблемамі ", могут и ма ють буті змістовнім чином інтерпретовані. Як отмечает Я. Окунь, "тієї дослідник повинен превратиться Із статистика, что піклується в Першу черга про правільність и точність обчислення, в експерта по проблемі, закономірності якої досліджуваліся с помощью аналізу" Чинник.

    Пріведені міркування, з подивимось математичного АНАЛІЗУ, означаються лишь, что безліч одінічніх показніків может буті доповнене системою Додатковий показніків - "суперпроблем" - до групи з операцією) сіметрічної різниці. Політичний процес в цьом випадка опісується відповідною функцією на групі суперпроблем, в якові, зрозуміло, як підмножіні входять одноелементні підмножіні - початковий набір політічніх індікаторів. Серед таких функцій віділяються найпростіші (основні), Які и є своєріднім будівельним матеріалом для Опису довільніх функцій на групі, тобто довільніх політічніх процесів в значенні введеної відповідності. У Теорії груп як Такі найпростіші Функції розглядаються мультіплікатівні Функції на групі. Тім самим політичний процес может буті охарактеризування через Властивості его розкладання за системою мультіплікатівніх функцій, інакше звання характерами групи.

    Однією з основних проблем при дослідженнях в соціальній сфере є проблема метрики, ЗАХОДІВ блізькості або "дістанцій" між об'єктами, что вівчаються. Різноманіття метрик, что Використовують, достаточно велосипеді. Найпошіренішімі є традиційна метрика Евкліда, а такоже метрики Мінковського и Хеммінга. Чи не маючі свой в розпорядженні серйозно аргументів на Користь тієї або Іншої метрики в конкретних дослідженнях, можна Задати метою віділіті клас задач, на якому метрики Евкліда (в пространстве L 2) и Мінковського (L р, , Р> 0) будут еквівалентні.Опис класу функцій, для которого справедлива еквівалентність Вказаним метрик, представляється складаний задачею.

    Перейдемо до строгих визначення.

    Визначення 1. Підмножіна безліч індексів трігонометрічної системи або системи Уолша назівається λ (р) - множини для Деяк р> 0, если для Деяк q> р> 0 и для будь-которого полінома R (x) Із спектром в Е справедлива нерівність:

    де Постійна З> 0 НЕ Залежить від Вибори полінома R (x).

    Завдання побудова класу функцій, на якому відповідні метрики еквівалентні, зводу тім самим до Вивчення Структури послідовностей Е.

    Визначення 2. множини G назівається Груп, если для будь-якіх двох елементів а, b цієї множини однозначно визначених третій елемент з цієї множини (тобто введена бінарна операція, что позначається, например, ) З Наступний властівостямі:

    1. - Асоціативність.

    2.В G є елемент О, звань нулем, такий, что для будь-которого елемента a Із G справедлива Рівність .

    3. Для кожного елемента а існує протилежних (зворотнього) елемент -а такий, что .

    Групи, для якіх для будь-кого а, в Із G, назіваються комутатівнімі (або абелева) групами. Нижчих ми обмежімося РОЗГЛЯДУ лишь Абелеві груп. Прикладом некомутатівної групи є, например, група підстановок кінцевої множини, або група лінійніх Перетворення евклідова простору. Разом з групою підмножін кінцевої множини (індікаторів) ми розглянемо такоже кінцеву ціклічну групу и групу дійсніх чисел відрізка [0, 2 л] з операцією складання по модулю 2ТС.

    Визначення 3. симетрично різніцею множини А і В (позначається ) Назівається така множини З, Пожалуйста складається з елементів, что належати Рівно одній з множини А і В. Легко Бачити, что .

    Визначення 4. Груп G и Н назіваються ізоморфнімі, если існує таке взаємно однозначна відповідність φ между цімі групами, яка зберігає груповий операцію, тобто для будь-кого а, в G .

    Визначення 5. Лінійнім простором Е над полем з двох елементів (0, 1) назівається безліч всех n - рядків ( ) З покоординатно складання модулю 2, де ( ) Рівні 0 або 1.

    Добре відомо, что група підмножін початкової кінцевої множини по операции сіметрічної різниці ізоморфна як група лінійному простору над полем з двох елементів. Відомо такоже, что в такому середовіщі можна ввести одному операцію - множення - Певна чином злагоджену з складання, внаслідок чого подібна структура назівається ще кінцевім полем, або полем Галуа (на имя видатних французького математика Еваріста Галуа, что застосувались їх Властивості для вирішенню питання про возможности розв'язання рівнянь алгебри в радикалах).

    Основна ідея АНАЛІЗУ - апроксімація функцій довільної природи битви, что складаються з функцій більш простої природи, реалізується за рахунок Вибори як такий Основний набір системи мультіплікатівніх функцій.

    Визначення 6. Характером групи З назівають таку комплексно значною функцію, яка задовольняє функціональному рівнянню: .

    Як показано в работе, група характерів групи підмножін кінцевої множини по операции сіметрічної різниці є система функцій Уолша, про якові мова піде нижчих. У Цій же работе показано, что Груп характерів безлічі дійсніх чисел відрізка [0, 2π] з операцією складання по модулю 2к є класична система ортогональних функцій , А група характерів кінцевої ціклічної групи з n елементів є безліч коренів n-й степень з 1:

    .

    Саме ЦІ групи ми и вікорістовуємо надалі для характеристики політічного процесса як Функції політічніх індікаторів. При цьом Континуальна випадок є природним узагальненням дискретного випадки в пріпущенні Ухвалення Концепції актуальної нескінченності для безлічі політічніх індікаторів, что представляється самим загально випадка. Кроме того, з трігонометрічною системою пов'язана, як Вже наголошувалося, класична проблема представлення Функції (Суперечка Ейлера и Д'Аламбера). Нижчих за показ? но, як метричні задачі для загально трігонометрічніх рядів будут Зведені до Вивчення рядів (насправді, кінцевіх ідемпотентніх поліномів) за системою характерів кінцевої ціклічної групи.

    На базі наступної допоміжної Лемі Здійснено зведення метричних задач до Вивчення властівостей ідемпотентніх поліномів, Які можна такоже потрактуваті як трігонометрічні суми або їх аналог за системою Уолша.

    Лема. хай функція . Если, то існує Постійна З> 0 така, что для будь-якої вімірної множини , . Назад, если існує Постійна З> 0 така, что для будь-якої вімірної множини , для Деяк ε> 0, то функція , При будь-кому р, 0 <р <1 + е, причому при р = 0 тверджень втрачає силу. Кроме того, функція f (x) істотно обмежена на [0,2л] тоді и только тоді, коли існує Постійна З> 0 така, что для будь-якої вімірної множини , .

    Доведення: Хай , , Тоді:

    .

    и в одну сторону затвердження Лемі доведено.

    хай тепер для будь-якої вімірної множини Е, , И Деяк . хай , .

    Если f (x) - дійснозначна функція, то:

    .

    Если f (x) = u (x) + iv (x), то:

    ; ;

    и значити:

    .

    Нехай ,

    k = 1,2, ..., и хай , Р> 0, р <1 + ε.

    Тоді:

    (1)

    Легко Бачити, что для k = 1,2 ....

    ,

    тому:

    (2)

    Зіставляючі (1) і (2), маємо:

    будь-яке , тобто , Что и Вимагаю довести.

    Ті, что тверджень втрачає силу при р = 0, видно на прікладі Функції .

    Для цієї Функції:

    , но .

    Нарешті, если , То:

    то

    Если ж, навпаки, функція f (x) така, что:

    ,

    то:

    звідки при всех k = l, 2, .... Це можливо лишь у випадка, коли починаючі з Деяк k 0, при всех k> k 0, тобто у разі, коли функція f (x) істотно обмежена, и лема Повністю доведена.

    Теорема 1. Если послідовність ціліх чисел

    то існує Постійна , Така, что для будь-кого натурального числа р і будь-которого полінома , де або ,

    справедлива нерівність:

    (3)

    Назад, если для послідовності {n k} існує Постійна З> 0, така, что для будь-кого натурального р і для будь-которого полінома , або , , Справедлива оцінка (3), то послідовність для будь-якого .

    Доведення: Доведемо спочатку необходимость.

    хай:

    де

    Утворюємо множини Е на відрізку [0,2π] таким чином:

    Оцінімо інтеграл по множіні Е від Функції , Де КОЕФІЦІЄНТИ a k підберемо пізніше:

    тобто:

    (4)

    Хай тепер f (x) Вибравши так, что:

    (5)

    Тоді в силу (4) маємо:

    (6)

    Оскількі , То існує Постійна , Така, что:

    (7)

    З іншого боку, зважаючі на нерівність маємо в силу (6)

    (8)

    Зіставляючі (7) і (8), одержуємо:

    и нерівність (З) доведена з постійною:

    Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n k} справедлива нерівність (3) всякий раз, коли число р і поліном R (x) Вибравши в відповідності з умів теореми. Доведемо, что всяка функція:

    належатіме и простору для будь-яке ρ (0,2 + ε), звідсі и вітікатіме, что послідовність при будь-яке .

    Хай спочатку f (x) - поліном и хай:

    (9)

    З рівності (4) Вихід, что:

    (10)

    Вікорістовуючі (3) і (10), маємо:

    (11)

    Нерівність (11), будучи виконан для фіксованої Функції

    и всех простих множини Е з достаточно дрібнімі становлячімі інтерваламі, очевидно, буде виконан для цієї ж Функції и для будь-якіх вімірніх множини Е на відрізку [0,2 л]. Альо тоді нерівність

    (11) буде виконан и для будь-якіх функцій f (x) вигляд

    и будь-якіх вімірніх множини Е. По лемі [* = 1 для будь-якіх , И теорема 1 Повністю доведена.

    Теорема 2. Хай , Ε> 0 за системою Уолша, тоді існує Постійна З> 0, така, что для будь-кого натурального р = 2 n и будь-которого полінома:

    справедлива нерівність:

    (12)

    Назад, если для послідовності {n k} існує Постійна З> 0, така, что для будь-кого натурального р = 2 n и будь-которого полінома:

    справедлива оцінка (12), то послідовність для будь-кого ρ, .

    Доведення. Доведемо спочатку необходимость.

    хай:

    Утворюємо множини:

    Хай далі:

    Оцінімо , Тоді:

    (13)

    Помітімо тепер, что на інтервалі Цифри х в двійковому розкладанні до номера nспівпадають з відповіднімі цифрами у числа , Якщо не допускаті в двійковому розкладанні нескінченних послідовностей одиниць.

    хай:

    Тоді, як відомо:

    если тому:

    и в силу (13):

    (14)

    Если у візначенні Функції f (х) покласти:

    то нерівності (13) і (14) звернута в Рівність.

    Для такой Функції маємо в силу (14) и умови теореми:

    звідки:

    або:

    что и доводити необходимость теореми.

    Доведемо тепер достатність. Хай для послідовності {n k} справедлива нерівність (12) при будь-кому р = 2 n и поліномі:

    або

    Тоді для полінома:

    и множини:

    справедлива оцінка (14), тобто:

    (15)

    Через умову теореми права частина нерівності (15) НЕ перевершує величини:

    тобто:

    (16)

    Оцінка (16), будучи справедлива для простих множини Е з умів , Розповсюджується для фіксованого полінома f (х) и на довільні вимірювання множини , А, отже, и на довільні Функції

    з умів . Через лему нерівність (16) Тягном за собою

    Умова при всех , тобто при

    всех .

    Теорема Повністю доведена.

    Наступні два кількісні результати торкають Густиня лакунарних послідовностей Уолша и розподілу значень іденпотентніх поліномів (терезів лінійніх кодів). ЦІ ОЦІНКИ представляються як самостійній Інтерес (перша з них значний усілює аналогічній результат А. Бонамі так и могут мати додаток в Загальній математічній Теорії кодування Л передачі информации.

    Теорема 3. Хай Е n n-мірне лінійній простір над полем з двох елементів. - Пряма сума двох екземплярів цього простору, Пожалуйста ми потрактуємо так само, як безліч всех пар (а, b), де а, b - елементи Е n.

    Тоді безліч U всех пар вигляд (а, а -1), де и символом а -1 Позначення елемент, зворотнього до елемента а в полі Е n має Потужність 2 n -1, лежить в лінійному пространстве W 2 n потужності 2 2 n.Іншімі словами, множини U є щільнім B 2 (або (4)) множини в тому значенні, что на ньом досягається верхня межа Густиня В3-послідовностей.

    Доведення. Припустимо осоружне, тоді знайдуться Такі 4 різній елемента а, b, c, d з U, что:

    Остання система еквівалентна системе:

    а + b = c + d, a - l + b 1 = з - 1 + d - 1.

    что рівносільне:

    а + b = c + d, ab = cd

    яка, як неважко Бачити, может мати НЕ более одного решение (з точністю до перестановки). Дійсно, Останнє тверджень рівносільне підтвердженням про ті, что Рівняння х (х + k) = r має НЕ более двох різніх розв'язків по х для х, k, r з Е n. Покажемо це. Хай є інше решение у: у (у + k) = r.

    Тоді , звідки , тобто , Звідки або x = у, або у = х + k (нагадаємо, что E n - поле характеристики 2) .Тім самим теорема 3 Повністю доведена.

    справедлива

    Теорема 4. Хай на E n завдань ідемпотентній поліном Уолша:

    хай з E n Такі, что все r j, незалежні и , . Тоді:

    де

    Доказ. Без обмеження спільності можна вважаті, что все {r j} утворюють стандартний базис в Е t (Загальний випадок зводу до цього лінійнім перетворенням E t). Тоді на підпросторі E t, поліном R (x) запишеться у виде:

    де d j, - цілі ненегатівні числа, в сумі даючі s. Легко Бачити, что Шукало сума квадратів значень полінома R (x) на підпросторі Е t, рівна .

    Оцінімо знизу суму . Оскількі значення полінома R (x) на векторах E t

    Рівні άs, ті, як Вже наголошувалося, ідемпотентному поліному R (x) на підпросторі Е, відповідатіме двійковій код з 2 t стовпців и Із загально числом кодів слів 2 t, причому базісні кодові слова складаються з , одиниць

    и мінус одиниць в мультіплікатівному запісі двійкового коду.

    Ми маємо у результате г Випадкове величин, розподіленіх по одному и тому ж

    закону - смороду пріймають два значення з ймовірностямі відповідно и ма ють ентропію Н ά шкіряне. Кроме того, ЦІ віпадкові величини утворюють багатовімірній Розподіл з вірогідністю За Властивості субадітівності ентропії маємо:

    Застосовуючі відому нерівність Юнга:

    маємо:

    або:

    або:

    остаточно:

    что и доводити теорему 4.

    Структура віняткової безлічі індексів, Які забезпечують> КВВ валентність метрик Мінковського, тісно прімікає до завдань побудова и Вивчення лінійніх кодів.

    Під кріптологією в широкому значенні розуміється мистецтво проектуванні и злому секретних систем, при цьом проектування назівається кріптографією а зламуюча частина - кріптоаналізом. При цьом треба мати у виде, что є много кодів, жодних чином не пов'язаних з проблемою.Більше секретності, - це код ASCII для превращение сімволів алфавіту в двійкову форму для з'явівшіся лінія в ЕОМ, а такоже універсальний промисловий код (штриховий) з ряд чорних вертикальних ліній, що містять інформацію про вироби. Історично перший код, призначення для передачі Повідомлень, пов'язаний з ім'ям вінахідніка телеграфного апарату Семюеля Морзе и відомій всім як азбука Морзе. Код Морзе Заснований на короткочасніх (крапка) и тріваліх (тире) їм пульс Струму; Інший код (Бодо) для кодування вікорістовує два елементарні сигналі - імпульс и паузу. Зручне, відволікаючісь від фізичної природи сігналів, позначаті два елементарні сигналі символами 0 и 1, тоді кодові слів представляються послідовністю нулів и одиниць.

    При передачі ПОВІДОМЛЕННЯ в условиях перешкоду Основна помилка пов'язана з тим, чий ряд сімволів может буті передані неправильно, тобто Про вместо и навпаки. Для того, щоб можна Було однозначно декодуваті ПОВІДОМЛЕННЯ, слід накласти додаткові умови на сам способ кодування Повідомлень, тобто на код. Є слова а 1, а 2,..., а n повінні буті декодовані як b 1, b 2..., b n, но Передання слів декодувалося в деяке слово b, що не співпадаюче ні з одним з b i то пріпісаті слову b "найближче" із слів b 1, b 2..., b n. Основна задача, вінікаюча на цьом шляху така: який повинен буті код з n сімволів, щоб ВІН правильно декодував передані слово, при умові, если Вчинено НЕ більш t - помилок в передачі? Легко показати, что, если слова коду відстоять один від одного на віддаль Хемінга, що не менше чем 2t + 1, то така задача розв'язується однозначно по кодування в найближче слово. Дійсно, если передані слово відстоїть від двох різніх кодів слів на відстані, що не перевершуючі t (тобто при передачі его Зроблено НЕ більш t помилок по відношенню до ціх двох слів), то по Формулі трикутника Самі ЦІ кодові слова відстоять один від одного на відстань, что НЕ перевершує 2t, в суперечності з початкових властівістю коду мати всі свои слова на відстані НЕ мЕНШЕ 2t + 1 один від одного. Таким чином, для упевненого декодування в условиях перешкоду нужно уміті будуваті коди з великою кодовою відстанню, яка візначається як мінімум попарно відстаней слів коду в метріці Хемінга. Оскількі безліч всех слів довжина п цією властівістю, очевидно, не володіє, слід віділяті деякі підмножіні з вказаної множини. Звичайний безліч всех послідовностей з 0 и 1 Довжина n вважають лінійнім простором над полем з двох елементів з метрикою (нормою) Хемінга; число одиниць в слові назівають нормою цього слова. Серед таких підмножін особливе місце займають коди, Які замкнуті по відношенню до операции суми, так звані лінійні коди. Лінійній (n, k) - код є лінійній підпростір розмірності до в множіні всі 0-1 рядків довжина п, тобто в пространстве Е n. При цьом матриця з до базисних векторів коду назівається матриці коду, что породжує, а матриця з nk базисних векторів Подвійного коду (тобто ортогонального ДОПОВНЕННЯ до E n) назівається перевірочною матрицею. Природно вважаті до сімволів (n, k) -код основному, а інші nk- перевірочнімі, необхіднімі лишь для визначення правільності передаючого ПОВІДОМЛЕННЯ. Величинами назівається швідкістю передачі.

    Як много может буті кодів слів в коді довжина n, у которого кодів відстань d, тобто яка величина А (n, d)? Відомі Межі Хемінга, Джонсона, оцінюючі величину А (n, d). Так, межа Хемінга встановлює:

    де

    (17)

    Ця межа ще назівається межею сферічної упаковки, оскількі Рівність (17) Досягається у тому випадка, коли непересічні Кулі радіусу t з центрами кодових словах Цілком Заповнюють всю безліч n - літерні слів. Такі коди ще назіваються Вчинення або щільно упаковані.

    Межа Джонсона А (n, d) 2d / (2d - n), d> n / 2 может буті Використана для ОЦІНКИ потужності коду, что складається Із слів ваги Лисиць кодовою відстанню d. га оцінка А (n, k, d) d / (2n 2 + dn-2nk), за умови, что знаменнік дробу позитивний, 2n 2 + dn-2nk> 0. ОЦІНКИ типу Межі Джонсона Неодноразово уточнюваліся різнімі авторами, оскількі залишкового результату до теперішнього часу не здобуто. Такі ОЦІНКИ ма ють значення при побудові кодів з сильними коректуючімі властівостямі, оскількі Указуються Межі можливости. Наступна оцінка уточняє оцінку Джонсона.

    Теорема 5. Хай задані t слів довжина s ваги L = s (l-ά) / 2, де ά (0,1). Нехай

    D = {d i}, безліч попарно відстаней между кодове слово. хай Середнє Арифметичний всех попарно відстаней между перерахованого t словами. Тоді:

    Доведення.

    Хай в матриці коду h i, - число одиниць в i-ому стовпці.

    Тоді

    І, отже

    Если

    Застосуємо тепер ЦІ міркування до нового коду, Який Вихід з Виходять попарно складання різніх стовпців. Тоді рядки нового коли матімуть Вагу L (s - L), попарні відстані нового коду будут d i (s - d i). Застосовуючі аналогічні міркування, маємо:

    Тоді:

    и остаточно:

    Если , То:

    Привидів математичний апарат віявляє собою дієвій інструментарій для дослідження зовнішньополітічніх процесів, что розглядаються як фінітніх функцій на пространстве індікаторів.

    Висновок

    Розвиток Методології економіко-математичного моделювання має довгу Історію. Становлення двох по суті різніх наукових дисциплін - економіки і математики - в течение багатьох століть проходило по Власний законах, что відображалі природу ціх дисциплін, и одночасно стікаючісь один з одним.

    Вживання математичних методів в дослідженні зовнішньополітічніх процесів є Привабливий науковим інструментарієм. Ідея вівчаті явіще по его образу (моделі) властіва НЕ только політіці - ця ідея давно и грунтовно Знайшла свое вживання в різніх областях наукового знання.


    список літератури

    Ашманов С. А. Введення в математичну економіку. М .: Наука 1984.

    Петров Е. Г., Новожилова М. В .. Методи и засоби Прийняття РІШЕНЬ у соціально - економічних системах: Навчальний посібник. / За ред. Е. Г. Петрова. - К .: Техніка, 2004 - 256с.

    Замків О. О., Товстопятенко А. В. Математичні методи в економіці: посібник М .: Дис. 1 997.