Дата конвертації24.03.2017
Розмір49.65 Kb.
Типконтрольна робота

Скачати 49.65 Kb.

Економіко-математичні методи і прикладні моделі

Міністерство освіти РФ

Всеросійський заочний фінансово-економічний інститут

Факультет обліково-статистичний

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з дисципліни «Економіко-математичні методи і прикладні моделі»

Варіант № 5

виконавець:

Спеціальність: БУАіА

Група:

№ залікової книжки:

Викладач: Орлова І.В.

Москва 2007

завдання 1

Вирішити графічним методом типову задачу оптимізації

Продукція двох видів (фарба для внутрішніх (I) і зовнішніх (E) робіт) надходить в оптову продаж. Для виробництва фарб використовується два вихідних продукту - А і В. Максимально можливі добові запаси цих продуктів складають 6 8 тонн відповідно. Витрати продуктів А і В на 1 т відповідних фарб наведені в таблиці.

вихідний продукт

Витрата вихідних продуктів на тонну фарби, т

Максимально можливий запас, т

фарба Е

фарба I

А

1

2

6

В

2

1

8

Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу I ніколи не перевищує попиту на фарбу Е більш ніж на 1т. Крім того, встановлено, що попит на фарбу I не перевищує 2 т на добу. Оптові ціни однієї тонни фарб рівні 3000 грош для фарби Е і 2000 грош для фарби I. Яка кількість фарби кожного виду повинна виробляти фабрика, щоб дохід від реалізації продукції був максимальним?

Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на мінімум, і чому?

Рішення

Введемо наступні змінні:

Х 1 - кількість фарби Е (т);

Х 2 - кількість фарби I (т).

Ціна фарби Е становить 3000 (ден. Од.), А ціна фарби I -2000 (ден. Од.). Необхідно максимізувати цільову функцію:

Введено наступні обмеження:

Х 1 + 2 Х 2 ≤6;

2 Х 1 + Х 2 ≤8;

Х 2 ≤2;

Х 2 Х 1 ≤1.

Перше обмеження по продукту А Х 1 + 2 Х 2 ≤6. Пряма Х 1 + 2 Х 2 = 6 проходить через точки (0; 3) і (6; 0).

Друге обмеження по продукту В 2Х 1 + Х 2 ≤8. Пряма 2Х 1 + Х 2 = 8 проходить через точки (0; 8) і (4; 0).

Третє обмеження Х 2 ≤2. Пряма Х 2 = 2 проходить паралельно осі Х 1 через точку Х 2 = 2.

Четверте обмеження Х 2 Х 1 ≤1. Пряма Х 2 Х 1 = 1 проходить через точки (0; 1) і (-1; 0).

Рішенням кожного нерівності системи обмежень ЗЛП є напівплощина, що містить граничну пряму і розташована по одну сторону від неї. Перетин півплощини, кожна з яких визначається відповідним нерівністю системи, називається областю допустимих рішень.

Рішенням нерівностей буде напівплощина, що лежить нижче від перетинання прямих Х 1 + 2 Х 2 = 6, 2 Х 1 + Х 2 = 8, Х 2 = 2, Х 2 Х 1 = 1.

При максимізації функції лінія рівня переміщується у напрямку вектору - градієнту.

Після рішення системи рівнянь

Х 1 + 2 Х 2 = 6

2 Х 1 + Х 2 = 8

Знаходимо, що Х 1 = 3,33, Х 2 = 1,33

(Ден. Од.)

відповідь:

Прибуток фірми буде максимальною, тобто 12650 ден. од., якщо щодня буде проводитися 3,33 т фарби Е і 1,33 т фарби I.

При вирішенні задачі на мінімум - рішень не буде.


завдання 2

Використовувати апарат теорії подвійності для економіко-математичного аналізу оптимального плану задачі лінійного програмування

На підставі інформації, наведеної в таблиці, вирішується завдання оптимального використання ресурсів на максимум виручки від реалізації готової продукції.

вид ресурсів

Норми витрати ресурсів на од. продукції

запаси ресурсів

I вид

II вид

III вид

праця

1

4

3

200

сировина

1

1

2

80

устаткування

1

1

2

140

Ціна виробу

40

60

80

потрібно:

1. Сформулювати пряму оптимізаційних задач на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.

2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорем подвійності.

3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.

4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:

· Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідної задачі;

· Визначити, як змінюється виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць;

· Оцінити доцільність включення в план вироби четвертого виду ціною 70 одиниць, на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.

Рішення

1) Сформулювати пряму оптимізаційних задач на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.

Х 1 - норма витрати ресурсу першого виду

Х 2 - норма витрати ресурсу другого виду

Х 3 - норма витрати ресурсу третього виду.

Цільова функція має вигляд

, де

обмеження:

1) з праці

2) по сировині

3) по обладнанню

Оптимальний план знайдемо через Пошук рішень в надбудовах Excel (рис. 2.1) і (рис. 2.2).

Мал. 2.1

Мал. 2.2

Отримане рішення означає, що максимальну виручку від реалізації готової продукції (4000 од.) Підприємство може отримати при випуску 40 одиниць вироби 1 виду і 40 одиниць вироби 2 види. При цьому ресурс «праця» і «сировину» будуть використані повністю, з 140 одиниць обладнання буде використано тільки 80 одиниць.

Excel дозволяє представити результати пошуку рішення в формі звіту рис. 2.3

Microsoft Excel 10.0 Звіт за результатами

Робочий лист: [Контр.раб 2.5.xls] кр 2.5

Звіт створений: 06.12.2007 18:42:36

Цільова осередок (Максимум)

Комірка

ім'я

початкове значення

результат

$ D $ 3

4000

4000

Змінні комірки

Комірка

ім'я

початкове значення

результат

$ A $ 2

х1

40

40

$ B $ 2

х2

40

40

$ C $ 2

х3

0

0

обмеження

Комірка

ім'я

значення

Формула

статус

різниця

$ D $ 4

200

$ D $ 4 <= $ E $ 4

пов'язане

0

$ D $ 5

80

$ D $ 5 <= $ E $ 5

пов'язане

0

$ D $ 6

80

$ D $ 6 <= $ E $ 6

не пов'язаний.

60

рис.2.3

У звіті за результатами містяться оптимальні значення змінних , Які відповідно рівні 40; 40; 0; значення цільової функції - 4000, а також недовикористаний ресурс «обладнання» в розмірі 60 одиниць.

оптимальний план

2) Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорем подвійності.

Число невідомих в двоїстої задачі дорівнює числу функціональних обмежень у вихідній задачі. Вихідна задача містить 3 обмеження: праця, сировина і обладнання. Отже, в двоїстої завданню 3 невідомих:

двоїста оцінка ресурсу праця

двоїста оцінка ресурсу сировини

двоїста оцінка ресурсу обладнання

Цільова функція двоїстої задачі формулюється на мінімум.Коефіцієнтами при невідомих у цільовій функції двоїстої задачі є вільні члени в системі обмежень вихідної задачі:

Необхідно знайти такі «ціни» на типи сировини , Щоб загальна вартість використовуваних типів сировини була мінімальною.

Обмеження. Число обмежень в системі двоїстої задачі дорівнює числу змінних у вихідній задачі. У вихідній задачі 3 змінних, отже, в двоїстої завданню 3 обмеження. У правих частинах обмежень двоїстої задачі стоять коефіцієнти при невідомих у цільовій функції вихідної задачі. Ліва частина визначає вартість типу сировини, витраченого на виробництво одиниці продукції.

Кожне обмеження відповідає визначеній нормі витрати сировини на одиницю продукції:

Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності.

Скористаємося першим співвідношенням другий теореми подвійності

тоді

Підставами оптимальні значення вектора в отримані вирази

І отримаємо

,

,

, Так як 80 <140, то

У задачі і , Тому перше і друге обмеження двоїстої задачі звертаються в рівності

Вирішуючи систему рівнянь отримаємо, y 1 = 6,67, y 2 = 33,33, y 3 = 0.

Перевіряємо виконання першої теореми подвійності

Це означає, що оптимальний план двоїстої задачі визначено, вірно.

Рішення двоїстої задачі можна знайти, вибравши команду Пошук рішень - Звіт по стійкості (рис.2.4).

Microsoft Excel 10.0 Звіт по стійкості

Робочий лист: [Контр.раб 2.5.xls] кр 2.5

Звіт створений: 06.12.2007 19:04:27

Змінні комірки

Результ.

Нормується.

цільовий

допустиме

допустиме

Комірка

ім'я

значення

вартість

коефіцієнт

збільшення

зменшення

$ A $ 2

х1

40

0

40

20

4.000000003

$ B $ 2

х2

40

0

60

100

20

$ C $ 2

х3

0

-6.666666672

80

6.666666672

1E + 30

обмеження

Результ.

тіньова

обмеження

допустиме

допустиме

Комірка

ім'я

значення

Ціна

права частина

збільшення

зменшення

$ D $ 4

200

6.666666667

200

120

120

$ D $ 5

80

33.33333333

80

60

30

$ D $ 6

80

0

140

1E + 30

60

рис 2.4

3) Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.

Підставами в обмеження двоїстої задачі оптимальні значення вектора :

Витрати на 3 вироби перевищують ціну ( ). Це ж видно і в звіті по стійкості (рис. 2.4) значення (Нормується. Вартість) дорівнює -6.67. Тобто вартість норми витрат на одиницю виробу більше ніж ціна виробу. Ці вироби не увійдуть в оптимальний план через їхню збитковість.

4) На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:

- Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідної задачі;

- Визначити, як зміняться виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць;

- Оцінити доцільність включення в план вироби четвертого виду ціною 70 одиниць, на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.

Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідної задачі;

Запаси сировини по першому і другому виду були використані повністю, а по третьому виду - обладнання - було недовикористаної 60.

Визначити, як зміняться виручка і план випуску продукції при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць

З теореми про оцінки відомо, що коливання величини призводить до збільшення або зменшення . Воно визначається:

З розрахунків видно, якщо ми збільшимо запаси сировини на 18 одиниці, то виручка зросте на 600 одиниць, т. Е загальна виручка складе після зміни запасів 4600 одиниць.

При цьому структура плану не змінилася - вироби, які були збиткові, не ввійшли і в новий план випуску, так як ціни на них не змінилися.

Вирішимо систему рівнянь:

І отримаємо

Новий оптимальний план

Зміна загальної вартості продукції на 600 од.отримано за рахунок збільшення плану випуску 1 виду продукції на 24 од за ціною 40 од (40 * (64-40) = 960 од.) і зменшення на 6 од. плану випуску продукції 2 види по ціні 60 (60 * (34-40) = - 360 од.)

Оцінити доцільність включення в план вироби четвертого виду ціною 70 одиниць, на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.

Для оцінки доцільності включення в план вироби четвертого виду скористаємося другою властивістю двоїстої оцінки.

, підставимо , ,

тому 80> 70, то включення в план вироби четвертого виду невигідно.

завдання 3

Використовуючи балансовий метод планування і модель Леонтьєва, побудувати баланс виробництва і розподілу продукції підприємств.

Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожне з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду; друге підприємство - продукції другого виду; третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання), решта постачається за його межі (зовнішнім споживачам, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) і елементів y i вектора кінцевої продукції Y.

потрібно:

1. Перевірити продуктивність технологічної матриці А = (a ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).

2. Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва і розподілу продукції підприємств холдингу.

Підприємство (види продукції)

Коефіцієнти прямих витрат aij

Кінцевий продукт Y

1

2

3

1

0,2

0,3

0

120

2

0,3

0,1

0,2

250

3

0,1

0

0,3

180

Рішення

1) Перевірити продуктивність технологічної матриці A = (а ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).

1.1. Для вирішення даної економічної завдання буде обрано середовище табличного процесора MS Excel. (Рис. 3.1)

Мал. 3.1

Початкові дані

1.2. Знайдемо різницю між одиничною матрицею Е і матрицею А.

Для цього скористаємося правилом віднімання матриць однакової розмірності. (Рис. 3.2)

0,8

-0,3

-0,1

EA

-0,3

0,9

-0,2

-0,1

0

0,7

1.3. Знайдемо обернену матрицю . Скористаємося вбудованими функціями MS Excel (математичні, зворотна матриця) (рис. 3.2).

рис 3.2

1.4. Щоб визначити Валову продукцію (матрицю ), Треба матрицю = помножити на Кінцевий продукт (матрицю ). Скористаємося знову вбудованими функціями MS Excel (математичні, множення матриць) (рис. 3.3).

Мал. 3.3

Визначення валової продукції (матриця )

1.5. матриця (Матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) продуктивна, тому що існує невід'ємні вектор .

2) Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва і розподілу продукції підприємств холдингу.

2.1. Для розподілу продукції підприємств холдингу необхідно знайти (Рис. 3.4)

Мал. 3.4

Розподіл продукції підприємств холдингу

2.2. Побудуємо міжгалузевий баланс виробництва (рис. 3.5)

рис 3.5

Умовно чиста продукція - це різниця між валовим продуктом і сумою продуктів, які споживає кожна галузь.

відповідь:

1) Матриця (Матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) продуктивна, тому що існує невід'ємні вектор .

2)

Міжгалузевий баланс

Підприємство (види продукції)

Коефіцієнти прямих витрат aij

Кінцевий продукт Y

валовий продукт

1

2

3

1

72,82

140,35

0,00

120

364,08

2

109,23

46,78

61,83

250

467,84

3

36,41

0,00

92,75

180

309,15

Умовно чиста продукція

145,63

280,70

154,57

валовий продукт

364,08

467,84

309,15

1141,07


завдання 4

Дослідити динаміку економічного показника на основі аналізу одновимірного часового ряду.

Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит Y (t) (млн руб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.

Номер спостереження (t = 1,2, ..., 9)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

5

7

10

12

15

18

20

23

26

потрібно:

1. Перевірити наявність аномальних спостережень.

2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a 0 + a 1 t, параметри якої оцінити МНК (Y (t)) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду).

3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості і відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R / S-критерію взяти табульованого кордону 2,7-3,7).

4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.

5. По двох побудованим моделям здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розрахувати при довірчій ймовірності p = 70%)

6. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування уявити графічно.

Рішення

1). Наявність аномальних спостережень призводить до спотворення результатів моделювання, тому необхідно переконатися у відсутності аномальних даних. Для цього скористаємося методом Ірвіна і знайдемо характеристичне число ( ) (Таблиця 4.1).

; ,

Розрахункові значення порівнюються з табличними значеннями критерію Ірвіна, і якщо вони виявляються більше табличних, то відповідне значення рівня ряду вважається аномальним.

Таблиця 4.1

t

Y

1

5

-4

16

-10,11

102,23

-

-

2

7

-3

9

-8,11

65,79

2

0,28

3

10

-2

4

-5,11

26,12

3

0,42

4

12

-1

1

-3,11

9,68

2

0,28

5

15

0

0

-0,11

0,01

3

0,42

6

18

1

1

2,89

8,35

3

0,42

7

20

2

4

4,89

23,90

2

0,28

8

23

3

9

7,89

62,23

3

0,42

9

26

4

16

10,89

118,57

3

0,42

сума

45

136

0

60

0

416,89

середнє

5

15,11

Всі отримані значення порівняли з табличними значеннями, не перевищує їх, тобто, аномальних спостережень немає.

2) Побудувати лінійну модель , Параметри якої оцінити МНК ( - Розрахункові, змодельовані значення часового ряду).

Для цього скористаємося Аналізом даних в Excel (рис. 4.2).


рис 4.1

Результат регресійного аналізу міститься в таблиці 4.2 і 4.3.

Таблиця 4.2

коефіцієнти

стандартна помилка

t-статистика

Y-перетин а 0

1,944

0,249

7,810

ta 1

2,633

0,044

59,516

У другому стовпці табл. 4.3 містяться коефіцієнти рівняння регресії а 0, а 1, в третьому стовпці - стандартні помилки коефіцієнтів рівняння регресії, а в четвертому - t - статистика, яка використовується для перевірки значущості коефіцієнтів рівняння регресії.

Рівняння регресії залежності (Попит на кредитні ресурси) від (Час) має вигляд (Рис. 4.5).


Таблиця 4.3

висновок залишків

ВИСНОВОК ЗАЛИШКУ

спостереження

передбачене Y

залишки

1

4,58

0,42

2

7,21

-0,21

3

9,84

0,16

4

12,48

-0,48

5

15,11

-0,11

6

17,74

0,26

7

20,38

-0,38

8

23,01

-0,01

9

25,64

0,36

Мал. 4.4

3) Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості і відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R / S-критерію взяти табульованого кордону 2,7-3,7).

Модель є адекватною, якщо математичне сподівання значень залишкового ряду випадкові, незалежні і підпорядковані нормальному закону розподілу.

3.1. Перевіримо незалежність (відсутність автокореляції) за допомогою d - критерію Дарбіна - Уотсона за формулою:

Таблиця 4.2

спостереження

1

0,42

0,18

-

-

-

2

-0,21

0,04

-0,63

0,42

0,18

3

0,16

0,02

0,37

-0,21

0,04

4

-0,48

0,23

-0,63

0,16

0,02

5

-0,11

0,01

0,37

-0,48

0,23

6

0,26

0,07

0,37

-0,11

0,01

7

-0,38

0,14

-0,63

0,26

0,07

8

-0,01

0,00

0,37

-0,38

0,14

9

0,36

0,13

0,37

-0,01

0,00

сума

0,00

0,82

0,70

,

Оскільки розрахункове значення d потрапляє в інтервал від 0 до d 1, тобто в інтервал від 0 до 1,08, то властивість незалежності не виконується, рівні ряду залишків містять автокореляції. Отже, модель за цим критерієм неадекватна.

3.2. Перевірку випадковості рівнів ряду залишків проведемо на основі критерію поворотних точок. P> [2/3 (n-2) - 1, 96 √ (16n-29) / 90]

Кількість поворотних точок дорівнює 6 (рис.4.5).

Мал. 4.5

Нерівність виконується (6> 2). Отже, властивість випадковості виконується. Модель за цим критерієм адекватна.

3.3. Відповідність ряду залишків нормальному закону розподілу визначимо за допомогою RS - критерію:

, де

- Максимальний рівень ряду залишків,

- Мінімальний рівень ряду залишків,

- Середньоквадратичне відхилення,

,

Розрахункове значення потрапляє в інтервал (2,7-3,7), отже, виконується властивість нормальності розподілу. Модель за цим критерієм адекватна.

3.4. Перевірка рівності нулю математичного очікування рівнів ряду залишків.

У нашому випадку , Тому гіпотеза про рівність математичного очікування значень залишкового ряду нулю виконується.

У таблиці 4.3 зібрані дані аналізу ряду залишків.

Таблиця 4.3

проверяемое властивість

використовувані статистики

кордон

висновок

найменування

значення

нижня

верхня

незалежність

d-критерій

0,85

1,08

1,36

неадекватна

випадковість

Критерій поворотних точок

6> 2

2

адекватна

нормальність

RS-критерій

2,81

2,7

3,7

адекватна

Середнє = 0?

t-статистика Стьюдента

0

-2,179

2,179

адекватна

Висновок: модель статистики неадекватна

4) Оцінити точність моделі на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.

Для оцінки точності отриманої моделі використовуватимемо показник відносної помилки апроксимації, який обчислюється за формулою:

, де

Розрахунок відносної помилки апроксимації

Таблиця 4.4

t

Y

передбачене Y

1

5

4,58

0,42

0,08

2

7

7,21

-0,21

0,03

3

10

9,84

0,16

0,02

4

12

12,48

-0,48

0,04

5

15

15,11

-0,11

0,01

6

18

17,74

0,26

0,01

7

20

20,38

-0,38

0,02

8

23

23,01

-0,01

0,00

9

26

25,64

0,36

0,01

сума

45

136

0,00

0,23

середнє

5

15,11

Якщо помилка, обчислена за формулою, не перевищує 15%, точність моделі вважається прийнятною.

5) За побудованої моделі здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розрахувати при довірчій ймовірності р = 70%).

Скористаємося функцією Excel СТЬЮДРАСПОБР. (Рис. 4.10)

t = 1,12

Мал. 4.6

Для побудови інтервального прогнозу розрахуємо довірчий інтервал. Приймемо значення рівня значущості , Отже, довірча ймовірність дорівнює 70%, а критерій Стьюдента при дорівнює 1,12.

Ширину довірчого інтервалу обчислимо за формулою:

, де

(Знаходимо з таблиці 4.1)

,

.

Обчислюємо верхню і нижню межі прогнозу (таб. 4.11).

Таблиця 4.5

Таблиця прогнозу

n + k

U (k)

прогноз

Формула

Верхня межа

Нижня границя

10

U (1) = 0.84

28.24

Прогноз + U (1)

29.сен

27.40

11

U (2) = 1.02

30.87

Прогноз - U (2)

31.89

29.85

6) Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування уявити графічно.

Перетворимо графік підбору (рис. 4.5), доповнивши його даними прогнозу.

Мал. 4.7