• КОНТРОЛЬНА РОБОТА


  • Дата конвертації20.04.2017
    Розмір25.08 Kb.
    Типконтрольна робота

    Скачати 25.08 Kb.

    Економіко-математичні методи в управлінні

    МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ

    РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

    ІМЕНІ Іммануїл Кант

    кафедра економіки

    КОНТРОЛЬНА РОБОТА

    з дисципліни «Економіко - математичні методи в управлінні»

    варіант №30

    КАЛІНІНГРАД

    2008


    завдання

    Завдання 1.2.

    Суміш можна скласти з n продуктів З j (j = 1, n). У кожному з продуктів міститься m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною b i (i = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною а ij. Ціна одиниці j-го продукту дорівнює з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даного завдання найбільш раціональний спосіб.

    C 1

    C 2

    C 3

    b i

    c j

    9

    6

    7

    a 1j

    7

    5

    8

    70

    a 2j

    8

    2

    3

    40

    a 3j

    9

    6

    7

    50

    Завдання 2.2.

    Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення задачі нелінійного програмування.

    maxZ = 3.6x 1 - 0.2x 1 2 + 0.8x 2 - 0.2x 2 2

    2x 1 + x 2 ≥ 10

    x 1 2 -10x 1 + x 2 ≤ 75

    x 2 ≥ 0

    Завдання 3.1.

    Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:

    1) потрібно профілактичний ремонт;

    2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;

    3) потрібен капітальний ремонт.

    Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти такі рішення:

    1) відремонтувати обладнання своїми силами, що потребують витрат а;

    2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати в цьому випадку складуть b;

    3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть с.

    Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:

    а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного обладнання визначені ймовірності настання відповідних станів - q;

    б) наявний досвід свідчить про рівну ймовірності настання відповідних станів;

    в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.

    П 1

    П 2

    П 3

    a

    13

    9

    15

    b

    20

    12

    11

    c

    18

    10

    14

    q

    0.3

    0.45

    0.25

    λ = 0.7

    Завдання 1.2.

    Суміш можна скласти з n продуктів З j (j = 1, n). У кожному з продуктів міститься m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною b i (i = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною а ij. Ціна одиниці j-го продукту дорівнює з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даного завдання найбільш раціональний спосіб.

    C1

    C2

    C3

    bi

    cj

    9

    6

    7

    a1j

    7

    5

    8

    70

    a2j

    8

    2

    3

    40

    a3j

    9

    6

    7

    50

    Суміш, мінімальна за вартістю:

    7x 1 + 5x 2 + 8x 3 ≥ 70

    8x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≥ 40

    9x 1 + 6x 2 + 7x 3 ≥ 50

    x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0

    F = 9x 1 + 6x 2 + 7x 3 → min

    Після транспонування матриці елементів a ij, cсімметрічная двоїста задача матиме вигляд:

    S (y 1, y 2, y 3) = 70y 1 + 40y 2 + 50y 3 → max, при обмеженнях:

    7y 1 + 8y 2 + 9y 3 ≥ 9

    5y 1 + 2y 2 + 6y 3 ≥ 6

    8y 1 + 3y 2 + 7y 3 ≥ 7

    y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0

    Для вирішення двоїстої задачі лінійного програмування симплекс - методом, наведемо систему нерівностей до виду системи рівнянь:

    7y 1 + 8y 2 + 9y 3 + y 4 ≥ 9

    5y 1 + 2y 2 + 6y 3 + y 5 ≥ 6

    8y 1 + 3y 2 + 7y 3 + y 6 ≥ 7

    y 1 ≥0; y 2 ≥0; y 3 ≥0; y 1 ≥0; y 2 ≥0; y 3 ≥0

    S (y 1, y 2, y 3) = 70y 1 + 40y 2 + 50y 3 → max

    За правилом відповідності змінних, базисним змінним прямої задачі відповідають вільні змінні двоїстої задачі:

    x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

    y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6

    Перша симплексна таблиця:

    базис

    Сб

    А0

    y1

    70

    y2

    40

    y3

    50

    y4

    0

    y5

    0

    y6

    0

    y4

    0

    9

    7

    8

    9

    1

    0

    0

    y5

    0

    6

    5

    2

    6

    0

    1

    0

    y6

    0

    7

    8

    3

    7

    0

    0

    1

    0

    -70

    -40

    -50

    0

    0

    0

    Друга симплексна таблиця:

    базис

    Сб

    А0

    y1

    70

    y2

    40

    y3

    50

    y4

    0

    y5

    0

    y6

    0

    y4

    0

    23/8

    0

    43/8

    23/8

    1

    0

    -7/8

    y5

    0

    13/8

    0

    1/8

    13/8

    0

    1

    -5/8

    y1

    70

    7/8

    1

    3/8

    7/8

    0

    0

    1/8

    245/4

    0

    -55/4

    45/4

    0

    0

    35/4

    Третя симплексна таблиця:

    базис

    Сб

    А0

    y1

    70

    y2

    40

    y3

    50

    y4

    0

    y5

    0

    y6

    0

    Y2

    40

    23/43

    0

    1

    23/43

    8/43

    0

    -7/43

    y5

    0

    67/43

    0

    0

    67/43

    -1/43

    1

    -26/43

    y1

    70

    29/43

    1

    0

    29/43

    -3/43

    0

    8/43

    2950/43

    0

    0

    800/43

    110/43

    0

    280/43

    В останній таблиці в рядку Δ немає негативних елементів.Відповідно до критерію оптимальності точка максимуму S max = 2950/43 досягнута при значеннях: y 1 = 29/43; y 2 = 23/43; y 3 = 0.

    По теоремі подвійності: F min = S max = 2950/43.

    На підставі правила відповідності між змінними, оптимальне рішення прямої задачі:

    y 4 x 1 = 110/43 y 5 x 2 = 0 y 6 x 3 = 280/43

    Відповідь: В суміш мінімальної вартості 2950/43 доцільно включити 110/43 одиниць продукту C 1, 280/43 одиниць продукту C 3, а продукт C 2 не включати.

    Завдання 2.2.

    Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення задачі нелінійного програмування.

    maxZ = 3.6x 1 - 0.2x 1 2 + 0.8x 2 - 0.2x 2 2

    2x 1 + x 2 ≥ 10

    x 1 2 -10x 1 + x 2 ≤ 75

    x 2 ≥ 0

    У цьому завданню є нелінійна цільова функція з нелінійної системою обмежень. Графічна схема дозволить визначити положення точки оптимуму.

    Спочатку необхідно перетворити формулу цільової функції так, щоб отримати її графічне відображення. Скористаємося методом виділення повного квадрата двочлена щодо x 1 і x 2, розділивши ліву і праву частини формули на -0.2:

    -5Z = x 1 2 -18x 1 + x 2 2 - 4x 2

    Додамо до лівої і правої частин рівняння числа, необхідні для виділення повних квадратів двочлена в правій частині виразу:

    9 2 і 2 + 2 в сумі складають 85:

    85 - 5Z = (x 1 - 9) 2 + (x 2 - 2) 2

    В результаті вийшла формула, що дозволяє графічно зобразити цільову функцію у вигляді лінії рівня на площині X 1 OX 2. Дані лінії рівня представляють собою кола з загальним центром в точці O (9; 2). Дана точка є точкою абсолютного екстремуму цільової функції.

    Для визначення характеру екстремуму потрібно провести аналіз цільової функції на опуклість / увігнутість. Для цього необхідно визначити другі приватні похідні і скласти з них матрицю:


    Z "x1x1 Z" x1x2 = -0.4 0

    Z "x2x1 Z" x2x2 0 -0.4

    Визначимо знаки головного мінору даної матриці.

    Головний мінор першого порядку -0.4 <0.

    Головний мінор другого порядку 0.16> 0.

    Оскільки знаки миноров чергуються, функція Z - строго увігнута. Екстремум увігнутих функцій - max, отже в точці О у цільової функції знаходиться абсолютний максимум.

    Для побудови області допустимих значень перетворимо друга нерівність системи обмежень:

    x 1 2 - 10x 1 + x 2 ≤ 75

    x 1 2 - 10x 1 + 25 + x 2 ≤ 100

    (x 1 - 5) 2 + x 2 ≤ 100

    (x 1 - 5) 2 ≤ 100 - x 2

    Рівняння (x 1 - 5) 2 = 100 - x 2 висловимо через змінні x 1 * і x 2 *:

    x 1 * = x 1 - 5

    x 2 * = 100 - x 2

    Рівняння прийме вигляд: x 1 * 2 = x 2 *.

    В системі координат X 1 * O * X 2 * дане рівняння є канонічним рівнянням параболи.



    На малюнку область допустимих значень - обмежена частина площині ABCD. З отриманого графіка видно, що точка абсолютного максимуму Z лежить всередині ОДР. Отже, цільова функція приймає максимальне значення в цій точці:

    max Z = Z (O) = Z (9; 2) = 17

    завдання 3.1

    Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:

    1) потрібно профілактичний ремонт;

    2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;

    3) потрібен капітальний ремонт.

    Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти такі рішення:

    1) відремонтувати обладнання своїми силами, що потребують витрат а;

    2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати в цьому випадку складуть b;

    3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть с.

    Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:

    а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного обладнання визначені ймовірності настання відповідних станів - q;

    б) наявний досвід свідчить про рівну ймовірності настання відповідних станів;

    в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.

    П1

    П2

    П3

    a

    13

    9

    15

    b

    20

    12

    11

    c

    18

    10

    14

    q

    0.3

    0.45

    0.25

    λ = 0.7

    Складемо платіжну матрицю, в якій П j - стану обладнання, А i - альтернативи прийняття рішень:

    П1

    П2

    П3

    А1

    -13

    -9

    -15

    А2

    -20

    -12

    -11

    А3

    -18

    -10

    -14

    Для прийняття оптимального рішення в разі а). скористаємося критерієм Байєса; в разі б). критерієм Лапласа; в разі в). критеріями Вальда, Севіджа, Гурвіца.

    а). на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного обладнання визначені ймовірності настання відповідних станів: q 1 = 0.3; q 2 = 0.45; q 3 = 0.25

    Критерій Байеса.

    Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш: `a i = Σ a ij × q j

    `a 1 = -11.7` a 2 = -14.15 `a 3 = -13.4

    П1

    П2

    П3

    `ai

    А1

    -13

    -9

    -15

    -11.7

    А2

    -20

    -12

    -11

    -14.15

    А3

    -18

    -10

    -14

    -13.4

    qj

    0.3

    0.45

    0.25

    З середніх виграшів вибираємо максимальний: max a i = `a 1 = -11.7 - перша альтернатива оптимальна в разі відомих ймовірностей настання подій при виборі рішення за критерієм Байєса.

    б). наявний досвід свідчить про рівну ймовірності настання відповідних станів;

    Критерій Лапласа.

    Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш: `a i = 1 / 3Σ a ij

    `a 1 = -12.3` a 2 = -14.3 `a 3 = -14

    П1

    П2

    П3

    `ai

    А1

    -13

    -9

    -15

    -12.3

    А2

    -20

    -12

    -11

    -14.3

    А3

    -18

    -10

    -14

    -14

    З середніх виграшів вибираємо максимальний: max a i = `a 1 = -12.3 - перша альтернатива оптимальна в разі рівної ймовірності настання подій при виборі рішення за критерієм Лапласа.

    в). про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.

    Критерій Вальда.

    Для кожної альтернативи визначимо найгірший результат. d i - мінімальний елемент рядка. З найгірших результатів вибираємо найкращий, тобто максимальний d i.

    П1

    П2

    П3

    di

    А1

    -13

    -9

    -15

    -15

    А2

    -20

    -12

    -11

    -20

    А3

    -18

    -10

    -14

    -18

    max d i = d 1 = -15 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Вальда.

    Критерій Севіджа.

    Для кожного стовпця знаходимо максимальний елемент β j.

    П 1

    П 2

    П 3

    А 1

    -13

    -9

    -15

    А 2

    -20

    -12

    -11

    А 3

    -18

    -10

    -14

    β j

    -13

    -9

    -11

    Побудуємо матрицю ризиків, елементи якої: r ij = β j - a ij

    max ri

    0

    0

    4

    4

    7

    3

    0

    7

    5

    1

    3

    5

    У матриці ризиків в кожному рядку знайдемо максимальний ризик, і з них виберемо мінімальний: min r = r 1 = 4 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Севіджа.

    Критерій Гурвіца.

    Для кожного рядка знаходимо мінімальний d i і максимальний β j.

    П1

    П2

    П3

    di

    βj

    χi

    А1

    -13

    -9

    -15

    -15

    -9

    -13.2

    А2

    -20

    -12

    -11

    -20

    -11

    -17.3

    А3

    -18

    -10

    -14

    -18

    -10

    -15.6

    χ i = λ × d i + (1 - λ) × β j λ = 0.7

    Максимальний з елементів останнього шпальти: max χ i = χ 1 = -13.2 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Гурвіца.