• Завдання про зміну величини сумарного кредитування
  • висновок
  • література


  • Дата конвертації20.08.2017
    Розмір10.49 Kb.
    Типдипломна робота

    Скачати 10.49 Kb.

    Фінансові функції та рекурсія

    величини H.

    Рішення. Тут, як і в попередній задачі, які не передбачається, що всі банки Bk (k = 1,2, ..., n) різні. Тому фактично мова йде не про мінімальну кількість банків, що забезпечують кредитування, не менше заданої величини H, а про мінімальну кількість (оперативних) повернень в банки грошей, що віддаються в кредит. Але нам зручніше вести мову про кількість банків. Перш за все, із загальної формули (40) випливає, що дана задача не завжди має рішення. При нескінченній системі банків гранична сума кредитування дорівнює L (S, p) = (S100 / p) (1p / 100). Тому вирішувати задачу можна лише за умови H

    Ми будемо обчислювати n за допомогою функцій findn () і num ():

    Декомпозиція в рекурсії для findn (S, p, H) організована за величинами залишився незадоволеним кредиту в міру збільшення числа банків в системі.

    Контрольні приклади.

    Завдання про зміну величини сумарного кредитування

    Нехай в банк B1 внесений вклад в S грошових одиниць. Будемо вважати, що вільні резерви банку Bk (k = 1,2, ..., n1) в результаті ряду операцій стають внеском в банк Bk + 1 (k = 1,2, ..., n1), а норма обов'язкових резервів встановлена ​​в p (0 0 (1) раз, тобто або збільшилася в раз при> 1, або зменшилася в 1 / раз при 0 << 1.

    Рішення. Відразу відзначимо, що як і в попередній задачі не передбачається, що всі банки Bk (k = 1,2, ..., n) різні. Завдання, мабуть, не завжди має рішення. Якщо рішення x є, то як його шукати? На допомогу може прийти формула (40). Відповідно до неї маємо:

    Скоротимо обидві частини цього співвідношення на S100 і, позначивши праву частину через:

    для знаходження рішень задачі отримаємо рівняння:

    (41)

    Послідовно перетворимо праву частину (41):

    Отже, якщо x є рішення задачі, то його слід шукати серед дійсних коренів многочлена g (t) (t = x / 100) ступеня n, де

    (42)

    з наступним вектором коефіцієнтів:

    (43)

    При цьому, за змістом завдання у многочлена (42) на проміжку (0,1) може бути не більше одного кореня t = x / 100.

    Таким чином, рішення вихідної завдання звелося до знаходження для многочлена g (t) c коефіцієнтами (43) дійсного кореня t: 0

    Рішення вихідної задачі може бути знайдено за допомогою функції times (n, p,), звертається до наступних рекурсивним функціям: pow (a, n), C (n, m), binom2 (n, k) і finroo (v). Нижче наведено короткий опис всіх цих функцій.

    pow (a, n) швидке зведення дійсного або комплексного числа a в цілу неотрицательную ступінь n. Декомпозиція в рекурсії організована за допомогою дихотомії послідовними уменьшениями ступеня в два рази, тобто поданням a у вигляді:

    C (n, m) обчислення кількості поєднань з n елементів по m елементів. Декомпозиція в рекурсії організована відповідно до відомою формулою:

    binom2 (n, k) обчислення послідовності біноміальних коефіцієнтів зі знаком Декомпозиція в рекурсії організована за величиною аргументу s. База рекурсії відповідає значенню s = 2.

    finroo (v) знаходження в векторі v першої з компонент t, що задовольняє умові (Im (t) = 0) (Re (t) (0,1)). Якщо таких компонент немає, то повертається значення, рівне. Декомпозиція в рекурсії організована за значенням довжини мінливого вектора v.

    times (n, p,) за допомогою функцій pow (), С () і binom2 () знаходиться вектор v коефіцієнтів (43) многочлена (42). Після цього з використанням вбудованої функції polyroots (v) відшукуються коріння многочлена (42). При написанні програми-функції times (n, p,) враховано твердження критерію існування рішення задачі, сформульоване нижче у вигляді леми 1:

    Зауваження. Оскільки вбудована функція polyroots () знаходить значення коренів наближено, то навіть при точних коефіцієнтах многочлена g (t) замість кореня t (0,1) ми можемо отримати близький до нього комплексний корінь t1 з Re (t1) (0,1) і Im (t1) 0. Тоді функція times () повідомить про відсутність рішення вихідної задачі. Але це може бути і не так. Тому отримання такого повідомлення вимагає більш ретельного аналізу коренів многочлена (42). Наприклад, шукати необхідний матеріальний корінь в проміжку (0,1) із заданим ступенем точності можна методом дихотомії. При цьому слід виходити з такого твердження.

    Лемма 1. Для існування рішення вихідної завдання необхідна і достатня позитивність вільного члена многочлена (42), тобто виконання умови g (0)> 0. Інакше ця умова можна записати у вигляді n> 100 або, по-іншому,

    Доведення. Необхідність. Нехай рішення x вихідної задачі існує. Тоді, як ми вже відзначали, його слід шукати серед дійсних коренів многочлена g (t) (t = x / 100 (0,1)). Нам знадобиться значення g (t) в нулі: g (0) = n100. Нехай t * (0,1) корінь g (t). В цьому випадку

    (44)

    Але при будь-якому t * (0,1) справедливо нерівність:

    (45)

    Останній перехід в (45) зроблений з використанням одного чудового нерівності [13, c.2427]:

    xq qx + q 1> 0 (x> 0, q> 1),

    легко встановлюється за допомогою методів диференціального обчислення і є основою для доказу багатьох класичних нерівностей таких, наприклад, як основні нерівності Гельдера і Мінковського. Але тоді з (44) випливає, що g (0)> 0 і необхідність встановлена.

    Достатність. Нехай виконуються умови g (0)> 0. Підрахуємо значення функції g (t) в точці 1:

    Остання нерівність разом з припущенням g (0)> 0 гарантує наявність у многочлена g (t) дійсного кореня t * (0,1), а значить і рішення x = t * 100 початкового завдання. Тим самим встановлена ​​достатність, і лема повністю доведена.

    Додаток 1 до задачі 19. Нехай банки Bk (k = 1,2, ..., n) функціонують так, як це описано в умовах завдання 19. Чи можна на r відсотків (100

    Рішення. Зауважимо, що якщо r> 0, то величина кредитів збільшується, а якщо r <0, то вона зменшується. Далі, оскільки зміна сумарної величини кредитів на r відсотків рівносильно їх зміни в 1 + r / 100 раз, то необхідно просто вирішувати задачу 19 c = (1 + r / 100). Умова існування рішення (див. Лему 1) в даному випадку запишеться так:

    Додаток 2 до задачі 19. Нехай банки Bk (k = 1,2, ..., n) функціонують так, як це описано в умовах завдання 19. Визначити початкову процентну ставку p обов'язкових резервів, якщо її зміна до p1 відсотків призвело до зміни сумарної величини кредитів в раз.

    Рішення. Згідно (40)

    Якщо вважати p невідомим, то фактично ми знову маємо задачу 19, в якій потрібно лише замінити p на p1 і на 1 /. Умова існування рішення в даному випадку запишеться так:

    Завершуючи розгляд запропонованого циклу завдань, відзначимо, що більша частина з них допускає ту чи іншу природне узагальнення і розвиток.

    висновок

    Розгляд порушеної в цій роботі проблеми зараз дуже актуально, тому необхідне створення ефективних методик вирішення практичних завдань саме за допомогою рекурсії, як одного з найбільш простих, зрозумілих і наочних методів вирішення завдань. Реалізація ж рекурсивних алгоритмів в будь-який обчислювальної середовищі досить очевидна, тому складання навчальних програм, реалізація їх у вигляді Web-вузла і публікація їх в Internet є дуже корисною справою з вищевикладених причин. Продовжуючи освоєння рекурсії в рамках даного чи іншого напрямку не зайве пам'ятати слова видатного математика і педагога Д. Пойа [12, c.13]: "Рішення задач практичне мистецтво, подібне плавання, катання на лижах або грі на фортепіано; навчитися йому можна, тільки наслідуючи хорошим зразкам і постійно практикуючись. ... Пам'ятаєте: якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите в воду, а якщо хочете навчитися вирішувати завдання, то вирішуйте їх! ". У питаннях освоєння рекурсії саме так і треба чинити. Тільки наслідуючи хорошим зразкам і постійно практикуючись, можна освоїти рекурсивний метод вирішення прикладних завдань.

    література

    Симонов А.С. Економіка на уроках математики. М .: Школа-Пресс, 1999..

    Борохів Е. Енциклопедія афоризмів (Думка в слові). М .: изд. АСТ, 1999..

    Дорофєєв Г.В., Сєдова Е.А. Процентні обчислення. СПб .: Спеціальна література, 1997..

    Доллан Е.Д., Ліндсей Д.Б. Ринок. Макроекономічна модель. СПб., 1992.

    Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Економікс. Т.1,2. М .: Республіка, 1993.

    Самуельсон П. Економіка. Т.1,2. М .: Алгон, 1992.

    Фішер С. та ін. Економіка. М .: Алгон, 1992.

    Ланкастер П. Теорія матриць. М .: Наука, 1978.

    Беллмана Р. Введення в теорію матриць. М .: Наука, 1969.

    Добровольський Н.М., Єсаян А.Р., Піхтільков С. A., Стеценко В.Я. Про один обчислювальному експерименті. Міжвузівський збірник статей. Ч.1Тула: Изд-во Тул. держ. пед. ун-ту, 1999.10 с.

    Єсаян А.Р. Фрактали і рекурсія. Учеб. посібник для студентів педвузів. Тула, 1999. 52с.

    Пойа Д. Математичне відкриття. Рішення задач: основні поняття, вивчення і викладання. М .: Наука, 1970.

    Беккенбах Е., Беллмана Р. Нерівності. М .: Мир, 1965.

    Вайськопф Дж. Microsoft FrontPage 2000: навчальний курс - СПб .: Питер, 2000.

    ...........