• 1. Генеральна сукупність. Вибірка. Обсяг вибірки. Середнє значення. Дисперсія. середньоквадратичне відхилення
  • 2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний аналіз
  • 3. Продуктивність праці, фондовіддача і рівень рентабельності по хлібозаводам області за рік характеризуються такими даними


  • Дата конвертації18.04.2017
    Розмір24.51 Kb.
    Типконтрольна робота

    Скачати 24.51 Kb.

    Математична статистика


    КОНТРОЛЬНА РОБОТА

    З ДИСЦИПЛІНИ

    "Математична статистика"

    Завдання до контрольної роботи

    1. Генеральна сукупність. Вибірка. Обсяг вибірки. Середнє значення. Дисперсія. Середньоквадратичне відхилення.

    2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний висновок. Модель : ; X = 4;

    3. Для представлених даних виконати наступне завдання:

    3.1 Провести економетричний аналіз лінійної залежності показника від першого фактора. Зробити прогноз для будь-якої точки з області прогнозу, побудувати довірчу область. Знайти коефіцієнт еластичності в точці прогнозу.

    3.2 Провести економетричний аналіз нелінійної залежності показника від другого чинника, скориставшись підказкою. Зробити прогноз для будь-якої точки з області прогнозу, побудувати довірчу область. Знайти коефіцієнт еластичності в точці прогнозу.

    3.3 Провести економетричний аналіз лінійної залежності показника від двох факторів. Зробити точковий прогноз для будь-якої точки з області прогнозу. Знайти часткові коефіцієнти еластичності в точці прогнозу.

    Продуктивність праці, фондовіддача і рівень рентабельності по хлібозаводам області за рік характеризуються такими даними:

    № заводу

    фактор

    Рівень рентабельності,

    %

    Фондовіддача, грн

    Продуктивність праці, грн

    1

    38,9

    3742

    10,7

    2

    33,3

    2983

    11,3

    3

    37,7

    3000

    12,2

    4

    31,1

    2537

    12,4

    5

    29,4

    +2421

    10,9

    6

    37,2

    3047

    11,3

    7

    35,6

    3002

    11,1

    8

    34,1

    2887

    14,0

    9

    16,1

    2177

    6,8

    10

    22,8

    2141

    7,1

    11

    21,7

    2005

    8,9

    12

    26,8

    1 843

    4,2

    13

    23,3

    2031

    7,4

    14

    24,5

    2340

    11,4

    15

    19,9

    1933

    4,8

    Нелінійну залежність прийняти

    1. Генеральна сукупність. Вибірка. Обсяг вибірки. Середнє значення. Дисперсія. середньоквадратичне відхилення

    Генеральна сукупність - вся досліджувана вибірковим методом статистична сукупність об'єктів і / або явищ суспільного життя, що мають спільні якісні ознаки або кількісні змінні.

    Вибіркова сукупність (вибірка) - частина об'єктів з генеральної сукупності, відібраних для вивчення, з тим щоб зробити висновок про всю генеральної сукупності.

    Для того, щоб висновок, отримане шляхом вивчення вибірки, можна було поширити на всю генеральну сукупність вибірка повинна мати властивість репрезентативності.

    Обсяг вибірки - загальне число одиниць спостереження в вибіркової сукупності. Визначення обсягу вибірки являє собою один з основних етапів її формування. Обсяг вибірки для генеральної сукупності обозначается- N, для вибірки - n.

    Середнє значення вибірки можна обчислити за формулою:

    Дисперсія (від лат. Dispersio - розсіювання), в математичній статистиці та теорії ймовірностей, найбільш вживана міра розсіювання, т. Е. Відхилення від середнього. Дисперсія обчислюється за формулою:

    - проста дисперсія,

    - зважена дисперсія.

    Дисперсія є середня величина квадратів відхилень. Для цього достатньо витягти з дисперсії корінь другого ступеня, вийде середнє відхилення ().

    або

    .

    Середнє квадратичне відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності.

    2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний аналіз

    Відомо, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться в середньому результат, якщо фактор зміниться на 1%. Формула розрахунку коефіцієнта еластичності:

    Е = f? (X) X / Y,

    де f? (x) - перша похідна, що характеризує співвідношення приросту результату і фактора для відповідної форми зв'язку.

    ,

    .

    Отже отримаємо наступне математичний вираз

    .

    При заданому значенні X = 4 отримаємо, що коефіцієнт еластичності дорівнює Е = 0,25.

    Припустимо, що задана функція визначає залежність попиту від ціни. В цьому випадку із зростанням ціни на 4% попит підвищиться в середньому на 0,25%.

    3. Продуктивність праці, фондовіддача і рівень рентабельності по хлібозаводам області за рік характеризуються такими даними:

    № заводу

    фактор

    Рівень рентабельності,

    %

    Фондовіддача, грн

    Продуктивність праці, грн

    1

    38,9

    3742

    10,7

    2

    33,3

    2983

    11,3

    3

    37,7

    3000

    12,2

    4

    31,1

    2537

    12,4

    5

    29,4

    +2421

    10,9

    6

    37,2

    3047

    11,3

    7

    35,6

    3002

    11,1

    8

    34,1

    2887

    14,0

    9

    16,1

    2177

    6,8

    10

    22,8

    2141

    7,1

    11

    21,7

    2005

    8,9

    12

    26,8

    1 843

    4,2

    13

    23,3

    2031

    7,4

    14

    24,5

    2340

    11,4

    15

    19,9

    1933

    4,8

    Нелінійну залежність прийняти

    Послідовність виконання завдання 3

    1. Вводимо дані Визначається основні числові характеристики.

    2. Будуємо діаграму розсіювання (кореляційне поле).

    3. Визначаємо тісноту лінійного зв'язку за коефіцієнтом кореляції.

    4. Будуємо лінійну модель виду у = Bо + b 1 * х.

    5. Визначаємо загальну якість моделі за коефіцієнтом детермінації R 2. Перевіряємо отриману модель на адекватність за критерієм Фішера

    6. Перевіряємо статистичну значущість коефіцієнтів моделі.

    7. За отриманою моделі розраховуємо значення показника Y для всіх точок вибірки і в точці прогнозу (точку прогнозу вибираємо довільно з області прогнозу).

    8. Розрахуємо полуширину довірчого інтервалу. =

    9. Розрахуємо довірчий інтервал для всіх точок вибірки і в точці прогнозу: (Y-, Y +).

    10. Розраховуємо коефіцієнт еластичності:

    Для лінійної моделі y х = b 1. отримаємо

    , Де у (х) - розраховане за моделлю значення показника.

    11.Будуємо, використовуючи «Майстер діаграм», кореляційне поле, графік еластичності і довірчу область.

    12. Робимо лист з формулами.

    Рішення 1:

    1. Вводимо дані. Визначаємо основні статистики. Будуємо кореляційне поле. По виду кореляційного поля висуваємо гіпотезу про нелінійної залежності між X і Y.

    2. За допомогою формул переходу лінеарізуем нелінійну модель:, V = у. Отримуємо лінійну модель щодо нових змінних

    V = b 0 + b 1 u

    3. Розраховуємо основні числові характеристики X, Y, V, U за допомогою «Майстра функцій» і функції «Описова статистика».

    4. Продовжимо регресійний аналіз за допомогою вкладки «Аналіз даних» та функції «Регресія».

    5. Обчислимо значення V (U), V min, V max.

    6. Розрахуємо полуширину довірчого інтервалу.

    7. За формулами зворотного переходу перераховуємо значення Y, Ymin (ліва межа довірчого інтервалу », Ymaх (права межа довірчого інтервалу).

    8. Розраховуємо коефіцієнт еластичності

    ,

    9. Будуємо довірчі області V (U) і Y (х) і графік еластичності.

    10. Робимо лист з формулами.

    Рішення 2:

    1. Вводимо дані.

    2. Визначаємо основні статистики.

    3. За кореляційної таблиці перевіряємо фактори на коллинеарность.

    4. Будуємо лінійну модель виду y = b 0 + b 1 х + b 2 х.

    5. Визначаємо загальну якість моделі за коефіцієнтом детермінації R 2. Перевіряємо отриману модель на адекватність за критерієм Фішера.

    6. Перевіряємо статистичну значущість коефіцієнтів моделі.

    7. За отриманою моделі розраховуємо значення показника Y для всіх точок вибірки і в точці прогнозу (точку прогнозу вибрали довільно з області прогнозу).

    8. Розраховуємо часткові коефіцієнти еластичності:

    - за фактором X1

    - за фактором Х2

    4. Економічний аналіз

    Позначимо Фондоотдачу (грн.) - Х, Рівень рентабельності (%) - Y. Знайдемо основні числові характеристики.

    Обсяг вибірки n = 15 _ сумарна кількість спостережень.

    Фондовіддача змінюється від 16,1 до 38,9 грн., Рівень рентабельності змінюється від 4,2 до 14%.

    Середнє значення фондовіддачі становить 28,83 грн, середнє значення рівня рентабельності становить 9,63%.

    Середнє значення можна обчислити за формулою:.

    Дисперсія.

    Середньоквадратичне відхилення 7,23, значить середнє відхилення фондовіддачі від середнього значення, становить 7,23 грн., 2,92, значить середнє відхилення рівня рентабельності від середнього значення, становить 2,92%.

    Визначимо, чи пов'язані X і У між собою, і, якщо так, то визначити формулу зв'язку.

    По таблиці будуємо кореляційне поле (діаграму розсіювання) - завдамо точки (X, Y) на графік. Точка з координатами () = (28,83; 9.63) називається центром розсіювання.

    По виду кореляційного поля можна припустити, що залежність між Y і X лінійна.

    Для визначення тісноти лінійного зв'язку знайдемо коефіцієнт кореляції (з таблиці регресійна статистика):

    .

    Так як, то лінійний зв'язок між X і Y достатня.

    Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю.

    Параметри знаходимо за методом найменших квадратів.

    Так як, то залежність між X і Y пряма: зі зростанням фондовіддачі рівень рентабельності підвищується. Перевіримо значущість коефіцієнтів.

    Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:

    .

    Значимість дорівнює. Це менше 5%. Коефіцієнт статистично значимий.

    .

    Значимість дорівнює, що практично дорівнює 0%. Це менше 5%. Коефіцієнт статистично значимий.

    Перевіримо модель на адекватність. Проаналізувавши таблицю Дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією. Залишки, непояснений розкид. Загальний розкид даних. Коефіцієнт детермінації. Розкид даних пояснюється на 50,49% лінійній моделлю і на 49,51% - випадковими помилками.

    Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини: і. Обчислюємо і. Знаходимо спостережуване значення критерію Фішера. Значимість цього критерію, тобто відсоток помилки практично дорівнює 0%, що менше ніж 5%. Модель вважається адекватною з гарантією понад 95%.

    Знайдемо прогноз.

    Приймемо за точку прогнозу значення фондовіддачі 33 грн.

    Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:

    .

    Побудуємо довірчу область для точки прогнозу і всіх точок.

    Знайдемо полуширину довірчого інтервалу в кожній точці вибірки:

    ,

    де - середньоквадратичне відхилення вибіркових точок від лінії регресії; ;

    _ Критична точка розподілу Стьюдента для надійності й; .

    Прогнозований довірчий інтервал для будь-якого x такий, де, тобто довірчий інтервал для складе від 6,0157 до 15,6503 з гарантією 95%., тобто при фондовіддачі 33 грн. Рівень рентабельності складе від 6,0157% до 15,6503%.

    Знайдемо еластичність.

    Для лінійної моделі

    Коефіцієнт еластичності показує, що при зміні фондовіддачі на 1% рівень рентабельності збільшиться з 10,83% на 0,876%. Тобто при збільшенні фондовіддачі рентабельність зростає.

    Завдання № 3.2

    Позначимо продуктивність праці в розрахунку на одного працівника (грн.) - Х, Рівень рентабельності (%) - Y. Побудуємо нелінійну залежність показника від фактора виду. Проаналізуємо фактор X, використовуючи таблицю описова статистика.

    Продуктивність праці в розрахунку на одного працівника змінюється від +1843 до 3742 грн. Середня продуктивність складає 2535,27 грн. Відхилення від середнього становить 546,96.

    Визначимо, чи пов'язані X і У між собою, і, якщо так, то визначити формулу зв'язку.

    По таблиці будуємо кореляційне поле (діаграму розсіювання) - завдамо точки (X, Y) на графік.

    По виду кореляційного поля можна припустити, що залежність між Y і X нелінійна.

    Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю.

    Перейдемо до лінійної моделі. Робимо лінеарізующую підстановку:. Отримаємо нові дані U і V. Для цих даних будуємо лінійну модель:. Перевіримо тісноту лінійного зв'язку U і V. Знайдемо коефіцієнт кореляції (з таблиці Регресійна статистика): Між U і V достатня зв'язок.

    Параметри знаходимо за методом найменших квадратів.

    Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:

    .

    Значимість дорівнює 0,0021, що практично дорівнює 0%. Це менше 5%. Коефіцієнт статистично значимий.

    .

    Значимість равна0,00083, що практично дорівнює 0%. Це менше 5%. Коефіцієнт статистично значимий.

    Отримали лінійну модель.

    Перевіримо модель на адекватність. Проаналізувавши таблицю дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією. Залишки, непояснений розкид. Загальний розкид даних. Коефіцієнт детермінації. Розкид даних пояснюється на 59,92% лінійній моделлю і на 40,08% - випадковими помилками.

    Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини: і. Обчислюємо і. Знаходимо спостережуване значення критерію Фішера. Значимість цього критерію, тобто відсоток помилки практично дорівнює 0%, що менше ніж 5%. Модель вважається адекватною з гарантією понад 95%. Так як лінійна модель адекватна, то і відповідна їй нелінійна модель адекватна. Знаходимо параметри вихідної нелінійної моделі:; .

    Вид нелінійної функції:. Таким чином, можна сказати, що залежність рівня рентабельності від продуктивності праці можна описати наступною функцією:.

    Знайдемо прогноз. Приймемо за точку прогнозу значення продуктивності праці 2500 грн.

    Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:.

    .

    Побудуємо довірчу область для точки прогнозу і всіх точок.

    Знайдемо полуширину довірчого інтервалу в кожній точці вибірки:

    ,

    де - середньоквадратичне відхилення вибіркових точок від лінії регресії; ;

    _ Критична точка розподілу Стьюдента для надійності й; .

    Прогнозований довірчий інтервал для будь-якого x такий, де, тобто довірчий інтервал для складе від 5,35 до 14,03 з гарантією 95%., тобто при продуктивності 2500 грн. Рівень рентабельності складе від 5,35% до 14,03%.

    Для нелінійної моделі знайдемо довірчий інтервал, скориставшись зворотного заміною:. Сукупність довірчих інтервалів для всіх X з області прогнозів утворює довірчу область.

    Знайдемо еластичність.

    Для лінійної моделі тоді.

    Коефіцієнт еластичності для точки прогнозу:

    Коефіцієнт еластичності показує, що при збільшенні продуктивності на 1% рівень рентабельності збільшиться з 9,69% на 1.1%. Тобто при збільшенні продуктивності праці рентабельність зростає.

    Завдання № 3.3

    Позначимо Фондоотдачу (грн.) - Х1, Продуктивність праці в розрахунку на одного працівника (грн) - X2, Рівень рентабельності (%) - Y. Побудуємо лінійну залежність показника від факторів.

    Перш ніж будувати модель перевіримо фактори на коллинеарность. За вихідними даними будуємо кореляційну матрицю. Коефіцієнт кореляції між X1 і X2 дорівнює 0,87. Так як, значить X1 і X2 - неколінеарна чинники. Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю.

    Параметри знаходимо за методом найменших квадратів.

    .

    Перевіримо значущість коефіцієнтів.

    Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:

    .

    Значимість дорівнює 0,99, тобто 99% більше 5%. Коефіцієнт статистично незначну.

    .

    Значимість дорівнює, тобто 39,6%, що більше 5%. Коефіцієнт статистично незначну.

    .

    Значимість дорівнює, тобто 35%, що більше 5%. Коефіцієнт статистично незначну.

    Перевіримо модель на адекватність.

    Проаналізувавши таблицю дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією. Залишки, непояснений розкид. Загальний розкид даних. Коефіцієнт детермінації. Розкид даних пояснюється на 54,11% лінійній моделлю і на 45,89% - випадковими помилками.

    Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини: і. Обчислюємо і. Знаходимо спостережуване значення критерію Фішера. Значимість цього критерію, тобто відсоток помилки практично дорівнює 0%, що менше ніж 5%.

    Модель вважається адекватною з гарантією понад 95%.

    З отриманої моделі можна зробити висновок, що рівень рентабельності від фондовіддачі та продуктивності праці описується наступною залежністю:

    Знайдемо прогноз.

    Приймемо за точку прогнозу значення продуктивності праці 25000 грн, фондовіддачі 33 грн. Отримали за даних умов рівень рентабельності

    Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:

    .

    Знайдемо еластичність по кожному фактору.

    Для лінійної моделі, тобто при продуктивності праці 2500 грн. і збільшенні фондовіддачі з 33 грн. на 1% рівень рентабельності знижується на 0,4736%.

    , Тобто при фондовіддачі 33 грн і збільшення продуктивності праці з 2500 грн. на 1% рівень рентабельності збільшується на 0,5243%.

    Значить для збільшення рентабельності доцільніше збільшувати продуктивність праці.