• 4. Економічний аналіз


  • Дата конвертації24.03.2017
    Розмір31.88 Kb.
    Типконтрольна робота

    Скачати 31.88 Kb.

    Математична статистика

    КОНТРОЛЬНА РОБОТА

    З ДИСЦИПЛІНИ

    "Математична статистика"


    Завдання до контрольної роботи

    1. Генеральна сукупність. Вибірка. Обсяг вибірки. Середнє значення. Дисперсія. Середньоквадратичне відхилення.

    2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний висновок. Модель : ; X = 4;

    3. Для представлених даних виконати наступне завдання:

    3.1 Провести економетричний аналіз лінійної залежності показника від першого фактора. Зробити прогноз для будь-якої точки з області прогнозу, побудувати довірчу область. Знайти коефіцієнт еластичності в точці прогнозу.

    3.2 Провести економетричний аналіз нелінійної залежності показника від другого чинника, скориставшись підказкою. Зробити прогноз для будь-якої точки з області прогнозу, побудувати довірчу область. Знайти коефіцієнт еластичності в точці прогнозу.

    3.3 Провести економетричний аналіз лінійної залежності показника від двох факторів. Зробити точковий прогноз для будь-якої точки з області прогнозу. Знайти часткові коефіцієнти еластичності в точці прогнозу.

    Продуктивність праці, фондовіддача і рівень рентабельності по хлібозаводам області за рік характеризуються такими даними:

    № заводу

    фактор

    Рівень рентабельності,

    %

    Фондовіддача, грн

    Продуктивність праці, грн

    1

    38,9

    3742

    10,7

    2

    33,3

    2983

    11,3

    3

    37,7

    3000

    12,2

    4

    31,1

    2537

    12,4

    5

    29,4

    +2421

    10,9

    6

    37,2

    3047

    11,3

    7

    35,6

    3002

    11,1

    8

    34,1

    2887

    14,0

    9

    16,1

    2177

    6,8

    10

    22,8

    2141

    7,1

    11

    21,7

    2005

    8,9

    12

    26,8

    1 843

    4,2

    13

    23,3

    2031

    7,4

    14

    24,5

    2340

    11,4

    15

    19,9

    1933

    4,8

    Нелінійну залежність прийняти


    1. Генеральна сукупність. Вибірка. Обсяг вибірки. Середнє значення. Дисперсія. середньоквадратичне відхилення

    Генеральна сукупність - вся досліджувана вибірковим методом статистична сукупність об'єктів і / або явищ суспільного життя, що мають спільні якісні ознаки або кількісні змінні.

    Вибіркова сукупність (вибірка) - частина об'єктів з генеральної сукупності, відібраних для вивчення, з тим щоб зробити висновок про всю генеральної сукупності.

    Для того, щоб висновок, отримане шляхом вивчення вибірки, можна було поширити на всю генеральну сукупність вибірка повинна мати властивість репрезентативності.

    Обсяг вибірки - загальне число одиниць спостереження в вибіркової сукупності. Визначення обсягу вибірки являє собою один з основних етапів її формування. Обсяг вибірки для генеральної сукупності обозначается- N, для вибірки - n.

    Середнє значення вибірки можна обчислити за формулою:

    Дисперсія (від лат. Dispersio - розсіювання), в математичній статистиці та теорії ймовірностей, найбільш вживана міра розсіювання, т. Е. Відхилення від середнього. Дисперсія обчислюється за формулою:

    - Проста дисперсія,

    - Зважена дисперсія.


    Дисперсія є середня величина квадратів відхилень. Для цього достатньо витягти з дисперсії корінь другого ступеня, вийде середнє відхилення ( ).

    або

    .

    Середнє квадратичне відхилення - це узагальнююча характеристика розмірів варіації ознаки в сукупності.

    2. Знайти коефіцієнт еластичності для зазначеної моделі в заданій точці X. Зробити економічний аналіз

    Відомо, що коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться в середньому результат, якщо фактор зміниться на 1%. Формула розрахунку коефіцієнта еластичності:

    Е = f '(x) X / Y,

    де f '(x) - перша похідна, що характеризує співвідношення приросту результату і фактора для відповідної форми зв'язку.

    ,

    .

    Отже отримаємо наступне математичний вираз

    .

    При заданому значенні X = 4 отримаємо, що коефіцієнт еластичності дорівнює Е = 0,25.

    Припустимо, що задана функція визначає залежність попиту від ціни. У цьому випадку із зростанням ціни на 4% попит підвищиться в середньому на 0,25%.

    3. Продуктивність праці, фондовіддача і рівень рентабельності по хлібозаводам області за рік характеризуються такими даними:

    № заводу

    фактор

    Рівень рентабельності,

    %

    Фондовіддача, грн

    Продуктивність праці, грн

    1

    38,9

    3742

    10,7

    2

    33,3

    2983

    11,3

    3

    37,7

    3000

    12,2

    4

    31,1

    2537

    12,4

    5

    29,4

    +2421

    10,9

    6

    37,2

    3047

    11,3

    7

    35,6

    3002

    11,1

    8

    34,1

    2887

    14,0

    9

    16,1

    2177

    6,8

    10

    22,8

    2141

    7,1

    11

    21,7

    2005

    8,9

    12

    26,8

    1 843

    4,2

    13

    23,3

    2031

    7,4

    14

    24,5

    2340

    11,4

    15

    19,9

    1933

    4,8

    Нелінійну залежність прийняти

    Послідовність виконання завдання 3

    1. Вводимо дані Визначається основні числові характеристики.

    2. Будуємо діаграму розсіювання (кореляційне поле).

    3. Визначаємо тісноту лінійного зв'язку за коефіцієнтом кореляції.

    4. Будуємо лінійну модель виду у = Bо + b 1 * х.

    5. Визначаємо загальну якість моделі за коефіцієнтом детермінації R 2. Перевіряємо отриману модель на адекватність за критерієм Фішера

    6. Перевіряємо статистичну значущість коефіцієнтів моделі.

    7. За отриманою моделі розраховуємо значення показника Y для всіх точок вибірки і в точці прогнозу (точку прогнозу вибираємо довільно з області прогнозу).

    8. Розрахуємо напівширину довірчого інтервалу d. =

    9. Розрахуємо довірчий інтервал для всіх точок вибірки і в точці прогнозу: (Yd, Y + d).

    10. Розраховуємо коефіцієнт еластичності:

    Для лінійної моделі y = b 1. отримаємо

    , Де у (х) - розраховане за моделлю значення показника.

    11. Будуємо, використовуючи «Майстер діаграм», кореляційне поле, графік еластичності і довірчу область.

    12. Робимо лист з формулами.

    Рішення 1:

    1. Вводимо дані. Визначаємо основні статистики. Будуємо кореляційне поле. По виду кореляційного поля висуваємо гіпотезу про нелінійної залежності між X і Y.

    2. За допомогою формул переходу лінеарізуем нелінійну модель: , V = у. Отримуємо лінійну модель щодо нових змінних

    V = b 0 + b 1 u

    3. Розраховуємо основні числові характеристики X, Y, V, U за допомогою «Майстра функцій» і функції «Описова статистика».

    4.Продовжимо регресійний аналіз за допомогою вкладки «Аналіз даних» та функції «Регресія».

    5. Обчислимо значення V (U), V min, V max.

    6. Розрахуємо напівширину довірчого інтервалу d.

    7. За формулами зворотного переходу перераховуємо значення Y, Ymin (ліва межа довірчого інтервалу », Ymaх (права межа довірчого інтервалу).

    8. Розраховуємо коефіцієнт еластичності

    ,

    9. Будуємо довірчі області V (U) і Y (х) і графік еластичності.

    10. Робимо лист з формулами.

    Рішення 2:

    1. Вводимо дані.

    2. Визначаємо основні статистики.

    3. За кореляційної таблиці перевіряємо фактори на коллінеарність.

    4. Будуємо лінійну модель виду y = b 0 + b 1 х + b 2 х.

    5. Визначаємо загальну якість моделі за коефіцієнтом детермінації R 2. Перевіряємо отриману модель на адекватність за критерієм Фішера.

    6. Перевіряємо статистичну значущість коефіцієнтів моделі.

    7. За отриманою моделі розраховуємо значення показника Y для всіх точок вибірки і в точці прогнозу (точку прогнозу вибрали довільно з області прогнозу).

    8. Розраховуємо часткові коефіцієнти еластичності:

    - За фактором X1

    - За фактором Х2


    4. Економічний аналіз

    Позначимо Фондоотдачу (грн.) - Х, Рівень рентабельності (%) - Y. Знайдемо основні числові характеристики.

    Обсяг вибірки n = 15 - сумарна кількість спостережень.

    Фондовіддача змінюється від 16,1 до 38,9 грн., Рівень рентабельності змінюється від 4,2 до 14%.

    Середнє значення фондовіддачі становить 28,83 грн, середнє значення рівня рентабельності становить 9,63%.

    Середнє значення можна обчислити за формулою: .

    дисперсія .

    середньоквадратичне відхилення 7,23, значить середнє відхилення фондовіддачі від середнього значення, становить 7,23 грн., 2,92, значить середнє відхилення рівня рентабельності від середнього значення, становить 2,92%.

    Визначимо, чи пов'язані X і У між собою, і, якщо так, то визначити формулу зв'язку.

    По таблиці будуємо кореляційне поле (діаграму розсіювання) - завдамо точки (X, Y) на графік. Точка з координатами ( ) = (28,83; 9.63) називається центром розсіювання.

    По виду кореляційного поля можна припустити, що залежність між Y і X лінійна.

    Для визначення тісноти лінійного зв'язку знайдемо коефіцієнт кореляції (з таблиці регресійна статистика):

    .

    Так як , То лінійний зв'язок між X і Y достатня.

    Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю .

    параметри знаходимо за методом найменших квадратів.

    Так як , То залежність між X і Y пряма: зі зростанням фондовіддачі рівень рентабельності підвищується. Перевіримо значущість коефіцієнтів .

    Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:

    .

    значимість дорівнює . Це менше 5%. коефіцієнт статистично значимий.

    .

    значимість дорівнює , Що практично дорівнює 0%. Це менше 5%. коефіцієнт статистично значимий.

    Перевіримо модель на адекватність. Проаналізувавши таблицю Дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією . Залишки, непояснений розкид . Загальний розкид даних . коефіцієнт детермінації . Розкид даних пояснюється на 50,49% лінійній моделлю і на 49,51% - випадковими помилками.

    Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини: і . обчислюємо і . Знаходимо спостережуване значення критерію Фішера . Значимість цього критерію , Тобто відсоток помилки практично дорівнює 0%, що менше ніж 5%. Модель вважається адекватною з гарантією понад 95%.

    Знайдемо прогноз.

    Приймемо за точку прогнозу значення фондовіддачі 33 грн.

    Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:

    .

    Побудуємо довірчу область для точки прогнозу і всіх точок.

    Знайдемо напівширину довірчого інтервалу в кожній точці вибірки:

    ,

    де - Середньоквадратичне відхилення вибіркових точок від лінії регресії; ;

    - Критична точка розподілу Стьюдента для надійності і ; .

    Прогнозований довірчий інтервал для будь-якого x такий , де , Тобто довірчий інтервал для складе від 6,0157 до 15,6503 з гарантією 95%., тобто при фондовіддачі 33 грн. Рівень рентабельності складе від 6,0157% до 15,6503%.

    Знайдемо еластичність.

    Для лінійної моделі

    Коефіцієнт еластичності показує, що при зміні фондовіддачі на 1% рівень рентабельності збільшиться з 10,83% на 0,876%. Тобто при збільшенні фондовіддачі рентабельність зростає.

    Завдання № 3.2

    Позначимо продуктивність праці в розрахунку на одного працівника (грн.) - Х, Рівень рентабельності (%) - Y. Побудуємо нелінійну залежність показника від фактора виду . Проаналізуємо фактор X, використовуючи таблицю описова статистика.

    Продуктивність праці в розрахунку на одного працівника змінюється від +1843 до 3742 грн. Середня продуктивність складає 2535,27 грн. Відхилення від середнього становить 546,96.

    Визначимо, чи пов'язані X і У між собою, і, якщо так, то визначити формулу зв'язку.

    По таблиці будуємо кореляційне поле (діаграму розсіювання) - завдамо точки (X, Y) на графік.

    По виду кореляційного поля можна припустити, що залежність між Y і X нелінійна.

    Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю .

    Перейдемо до лінійної моделі. Робимо лінеарізующую підстановку: . Отримаємо нові дані U і V. Для цих даних будуємо лінійну модель: . Перевіримо тісноту лінійного зв'язку U і V. Знайдемо коефіцієнт кореляції (з таблиці Регресійна статистика): Між U і V достатня зв'язок.

    параметри знаходимо за методом найменших квадратів.


    Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:

    .

    значимість дорівнює 0,0021, що практично дорівнює 0%. Це менше 5%. коефіцієнт статистично значимий.

    .

    значимість равна0,00083, що практично дорівнює 0%. Це менше 5%. коефіцієнт статистично значимий.

    Отримали лінійну модель .

    Перевіримо модель на адекватність. Проаналізувавши таблицю дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією . Залишки, непояснений розкид . Загальний розкид даних . коефіцієнт детермінації . Розкид даних пояснюється на 59,92% лінійній моделлю і на 40,08% - випадковими помилками.

    Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини: і . обчислюємо і . Знаходимо спостережуване значення критерію Фішера . Значимість цього критерію , Тобто відсоток помилки практично дорівнює 0%, що менше ніж 5%. Модель вважається адекватною з гарантією понад 95%. Так як лінійна модель адекватна, то і відповідна їй нелінійна модель адекватна. Знаходимо параметри вихідної нелінійної моделі: ; .

    Вид нелінійної функції: . Таким чином, можна сказати, що залежність рівня рентабельності від продуктивності праці можна описати наступною функцією: .

    Знайдемо прогноз. Приймемо за точку прогнозу значення продуктивності праці 2500 грн.

    Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:.

    .

    Побудуємо довірчу область для точки прогнозу і всіх точок.

    Знайдемо напівширину довірчого інтервалу в кожній точці вибірки:

    ,

    де - Середньоквадратичне відхилення вибіркових точок від лінії регресії; ;

    - Критична точка розподілу Стьюдента для надійності і ; .

    Прогнозований довірчий інтервал для будь-якого x такий , де , Тобто довірчий інтервал для складе від 5,35 до 14,03 з гарантією 95%., тобто при продуктивності 2500 грн. Рівень рентабельності складе від 5,35% до 14,03%.

    Для нелінійної моделі знайдемо довірчий інтервал, скориставшись зворотного заміною: . Сукупність довірчих інтервалів для всіх X з області прогнозів утворює довірчу область.

    Знайдемо еластичність.

    Для лінійної моделі тоді .

    Коефіцієнт еластичності для точки прогнозу:

    Коефіцієнт еластичності показує, що при збільшенні продуктивності на 1% рівень рентабельності збільшиться з 9,69% на 1.1%. Тобто при збільшенні продуктивності праці рентабельність зростає.

    Завдання № 3.3

    Позначимо Фондоотдачу (грн.) - Х1, Продуктивність праці в розрахунку на одного працівника (грн) - X2, Рівень рентабельності (%) - Y. Побудуємо лінійну залежність показника від факторів.

    Перш ніж будувати модель перевіримо фактори на коллінеарність. За вихідними даними будуємо кореляційну матрицю. Коефіцієнт кореляції між X1 і X2 дорівнює 0,87. Так як , Значить X1 і X2 - неколінеарна чинники. Намагаємося описати зв'язок між X і Y залежністю .

    параметри знаходимо за методом найменших квадратів.

    .

    Перевіримо значущість коефіцієнтів .

    Значимість коефіцієнта може бути перевірена за допомогою критерію Стьюдента:

    .

    значимість дорівнює 0,99, тобто 99% більше 5%. коефіцієнт статистично незначну.

    .

    значимість дорівнює , Тобто 39,6%, що більше 5%. коефіцієнт статистично незначну.

    .

    значимість дорівнює , Тобто 35%, що більше 5%. коефіцієнт статистично незначну.

    Перевіримо модель на адекватність.

    Проаналізувавши таблицю дисперсійний аналіз можна сказати, розкид даних, що пояснюється регресією . Залишки, непояснений розкид . Загальний розкид даних . коефіцієнт детермінації . Розкид даних пояснюється на 54,11% лінійній моделлю і на 45,89% - випадковими помилками.

    Перевіримо модель за допомогою критерію Фішера. Для перевірки знайдемо величини: і . обчислюємо і . Знаходимо спостережуване значення критерію Фішера . Значимість цього критерію , Тобто відсоток помилки практично дорівнює 0%, що менше ніж 5%.

    Модель вважається адекватною з гарантією понад 95%.

    З отриманої моделі можна зробити висновок, що рівень рентабельності від фондовіддачі та продуктивності праці описується наступною залежністю:

    Знайдемо прогноз.

    Приймемо за точку прогнозу значення продуктивності праці 25000 грн, фондовіддачі 33 грн. Отримали за даних умов рівень рентабельності

    Розраховуємо прогнозні значення за моделлю для всіх точок вибірки і для точки прогнозу:

    .

    Знайдемо еластичність по кожному фактору.

    Для лінійної моделі , Тобто при продуктивності праці 2500 грн. і збільшенні фондовіддачі з 33 грн. на 1% рівень рентабельності знижується на 0,4736%.

    , Тобто при фондовіддачі 33 грн і збільшення продуктивності праці з 2500 грн. на 1% рівень рентабельності збільшується на 0,5243%.

    Значить для збільшення рентабельності доцільніше збільшувати продуктивність праці.