Дата конвертації11.04.2017
Розмір18.75 Kb.
Типконтрольна робота

Скачати 18.75 Kb.

Математичні методи дослідження в економіці

завдання 1.2

Цех хлібозаводу по виробництву борошна уклав контракт з міні-пекарнею про постачання щодня 300 кг житнього та пшеничного борошна, причому пшеничного - не менше 50%. Зерно, яке надходить в цех, проходить в ньому обмолот, помел та упаковку борошна. Трудовитрати (в людино-годинах) на зазначені операції представлені в таблиці:

операція Житнє борошно Пшеничне борошно наявний ресурс
обмолот 0,1 0,1 30
помел 0,1 0,08 27
упаковка 0,05 0,05 200

Собівартість одного кілограма житнього борошна становить 14 рублів, а пшеничного - 18 рублів.

Потрібно знайти оптимальний план виробництва продукції, що дозволяє цеху виконати умови контракту з найменшими витратами.

Рішення.

Нехай x 1 - обсяг виробництва житнього борошна, x 2 - обсяг виробництва пшеничного борошна. Тоді задача може бути описана у вигляді такої моделі лінійного програмування:

Заповнимо дані в середовищі MicrosoftExcel


Додамо в таблицю ще один рядок (наприклад, рядок 9 План), в яку будуть вноситися одержувані в ході рішення результати. Обсяг виробництва житнього борошна будемо припускати отримати в осередку В9, пшеничного борошна - в осередку С9, а витрати на собівартість - в осередку D7.

Для вирішення завдання необхідно також виділити стовпець (в даному прикладі - стовпець D), в який будуть введені формули для розрахунку значень лівої частини обмежень. Формула вводиться також і в клітинку, в якій буде розраховані витрати на собівартість підприємства (осередок D7). Потрібно звернути увагу на те, що в формулах використовуються не числа або символьні позначення, а координати осередків таблиці, в яких зберігаються ці числа і змінні.

D3 = СУММПРОИЗВ (B3: C3; $ B $ 9: $ C $ 9)

D4 = СУММПРОИЗВ (B4: C4; $ B $ 9: $ C $ 9)

D5 = СУММПРОИЗВ (B5: C5; $ B $ 9: $ C $ 9)

D7 = СУММПРОИЗВ (B7: C7; $ B $ 9: $ C $ 9)

D9 = B9 + C9

Для запуску процедури оптимізації в меню Сервіс необхідно вибрати пункт Пошук рішення. В поле Встановити цільову осередок вводяться координати осередку (D7), яку необхідно мінімізувати.

В поле Змінюючи осередки вводяться координати осередків (розділені комами або об'єднані в інтервал двокрапкою), в яких містяться значення змінних - обсягів виробництва житнього та пшеничного борошна. Змінні комірки повинні бути прямо або побічно пов'язані з цільової осередком. В поле Обмеження необхідно ввести всі граничні умови задачі:

При цьому обмеження на неотрицательность змінних можна ввести шляхом установки прапорця позитивне значення у вікні Параметри. У разі, якщо розв'язувана задача є задачею лінійного програмування, краще відзначити це у вікні Параметри відповідним прапорцем:

Запуск процесу оптимізації проводиться натисненням кнопки Виконати. Після закінчення рахунку з'являється діалогове вікно Результати пошуку рішення. Натиснувши в ньому відповідну кнопку, можна зберегти знайдене рішення або відновити вихідні значення. Зміни при цьому торкнуться як цільову комірку, так і впливають осередків. У цьому ж діалоговому вікні можна вказати необхідні типи звітів, які будуть розміщені на окремих аркушах книги.

Звіт Результати відображає вихідні та результуючі значення цільової і впливають осередків, а також відомості про накладені обмеження.

Таким чином підприємству необхідно випустити 150 кг житнього борошна і 150 кг пшеничного борошна, тоді мінімальна собівартість випуску складе 4800 чоловік-годин, при цьому ресурси на обмолот і помел будуть використані повністю, а ресурси на упаковку залишаться в надлишку в кількості 185 людино-годин.

завдання 2.2

Керівництво птахофабрики має можливість закуповувати корми трьох видів. З цих кормів птиці повинні отримувати поживні речовини (П1, П2, П3 і П4), необхідну кількість яких і зміст в кормах (в од.) Наведені в таблиці:

живильні

речовини

корми норми споживання
К1 К2 К3
П1 3 5 0 дорівнює 16
П2 2 2 4 не менше 24
П3 8 1 2 не менше 25
П4 4 3 5 не менше 33, але не більше 40

Ціни за 1 т кормів становлять відповідно 1000, 900 та 800 рублів.

Які корми і в якій кількості слід закуповувати, щоб витрати птахофабрики виявилися мінімальними?

Рішення.

Рішення: позначимо за x 1 кількість корму К1, за x 2 - кількість корму К2, за x 3 - кількість корму К3. тоді:

Підготуємо в MicrosoftExcel таблицю для вирішення завдання:


Оскільки MicrosoftExcel дозволяє шляхом установки відповідного прапорця автоматично визначати позитивність змінних, додавання обмежень на неотрицательность в модель при вирішенні завдання в MicrosoftExcel не є обов'язковим.

Введемо в таблицю формули для розрахунку лівих частин обмежень і цільової осередки:

Е4 = СУММПРОИЗВ (B4: D4; $ B $ 12: $ D $ 12)

Е5 = СУММПРОИЗВ (B5: D5; $ B $ 12: $ D $ 12)

Е6 = СУММПРОИЗВ (B6: D6; $ B $ 12: $ D $ 12)

Е7 = СУММПРОИЗВ (B7: D7; $ B $ 12: $ D $ 12)

Е8 = СУММПРОИЗВ (B8: D8; $ B $ 12: $ D $ 12)

Цільова осередок Е10 = СУММПРОИЗВ (B10: D10; $ B $ 12: $ D $ 12)

Обмеження запишуться так


Запустимо модуль Пошук рішення і зробимо розрахунки


В ході розрахунків отримаємо наступні результати: оптимальний раціон повинен містити 3,125 од. корми К1, 4,6875 од. корми К2 і 0,1875 корми К3. При цьому вартість раціону становитиме 7493,75 руб.

завдання 3.1

Один з цехів фабрики з пошиття виробів зі шкіри розкроює надходять заготовки для отримання 5 видів деталей одним з трьох можливих способів. З однієї заготовки отримують:

спосіб розкрою деталі
A B C D E
I 10 5 3 7 2
II 6 8 4 5 2
III 4 7 5 3 4

Потрібно забрати не менше 48 деталей виду А, не менше 32 деталей виду В, не менше 45 деталей виду С, не менше 17 деталей виду D і не менше 24 деталей виду Е.

Яку мінімальну кількість заготовок потрібно розкроїти?

Рішення.

Позначимо за x 1 кількість заготовок, що розрізають по способу 1, за x 2 - кількість заготовок, що розрізають по способу 2 та т.д.Іспользуя модель лінійного програмування з мінімізацією витрат матеріалу, отримаємо:


Підготуємо таблицю в Microsoft Excel, що містить вихідні дані завдання, введемо формули для розрахунку цільової функції і лівої частини обмежень, заповнимо форму модуля Пошук рішення:


Рішення


Таким чином, необхідно розкроїти 1 заготовку способом I, 1 заготовку способом II, 8 заготовок способом III.

завдання 4.2

Громадянин О. Бендер хоче придбати якийсь меблевий гарнітур, вартість якого 100 тис. Рублів. Адміністрація аукціону згодна на виплату в розстрочку, з умовою, що 20 тис. Руб. О. Бендер виплатить через 2 місяці, а решту суми - через 4 місяці.

Однак О. Бендер, справедливо вважаючи, що знайти необхідну суму йому не вдасться, хоче отримати кошти шляхом вкладення грошей по одному з типів вкладу: А (терміном на 1 місяць під 1,5%), В (терміном на 2 місяці під 3, 5%) або С (строком на 4 місяці під 8%).

Яку суму і за яким типом вкладу потрібно вкласти О. Бендеру, щоб через 4 місяці купити гарнітур?

Тип вкладу Термін вкладу (міс.) Відсоток за вкладом
A 1 1,5
B 2 3,5
C 4 8,0

Необхідно мінімізувати розмір цільового фонду.

Рішення:

Складемо таблицю, яка відображатиме можливості вкладення і повернення грошей по місяцях

вклади 1 2 3 4 5
A1 1®® 1,015
A2 1®® 1,015
A3 1,015
A4 1®® 1,015
B1 1®® ®®® 1,035
B3 1®® ®®® 1,035
C1 1®® ®®® ®®® ®®® 1,08

де: Ai - розмір вкладу типу A в місяці i; Bi - розмір вкладу типу B в місяці i; Ci - розмір вкладу типу C в місяці i;

Завдання може бути описана наступною моделлю:


Функція minimize повертає вектор значень змінних, що є аргументами цільової функції, при яких її значення буде мінімальним.У першій колонці - порядковий номер змінної, починаючи з нульового, по черговості згадки. У другій - відповідні значення змінних.

При необхідності, присвоївши змінним отримані значення, можна розрахувати і значення цільової функції.

завдання 5.2

Чотири фермерських господарства, що знаходяться в Рязанській, Володимирській, Тверській і Смоленської областях, направляють вирощувані овочі та фрукти на переробку і консервацію на один з трьох заводів, які розташовані в Москві, Тулі і Ярославлі.

Витрати на перевезення 1 т продукції представлені в таблиці (в рублях):

Москва Тула Ярославль
Рязанське 500 700 800
Володимирське 400 800 300
Тверське 400 700 400
Смоленське 600 600 700

У сезон Рязанське господарство виробляє 40 т продукції в тиждень, Володимирське - 50 т, Тверське - 60 т, Смоленське - 70 т, в той час як завод в Москві може переробити на тиждень 100 т продукції, в Тулі - 50 т, в Ярославлі - 40 т.

Складіть план перевезень продукції з фермерських господарств на заводи з мінімальними транспортними витратами, враховуючи, що в зв'язку з ремонтом траси Москва-Рязань в тиждень по ній можна перевезти не більше 20 т продукції.

Рішення:

У цьому завданню кількість вирощуваних продуктів, на 30 т більше, ніж можуть переробити заводи. Зведемо задачу до замкнутого виду, додавши фіктивного п'ятого постачальника.

Модель розглянутої задачі виглядає так:

Зауважимо, що в цільову функцію не було введено штрафи за нереалізацію продукції в зв'язку з їх відсутністю в умові завдання.

Для того, щоб задовольнити вимогу замість Московського заводу введемо двох інших.

Один з них, під назвою Московського заводу матиме потреби, тобто можливості в переробці в кількості 20 т і з тими ж цінами перевезень, а другий з можливістю 100 - 20 = 80 і з тими ж цінами перевезень, за винятком з 15, яку приймемо рівної як завгодно великого числа, наприклад, 1000000000.

Після знаходження оптимального плану обсяги перевезень в Москву необхідно додати до обсягів перевезень Споживача 2


В результаті вихідна задача набуде вигляду

Москва Тула Ярославль споживач 1 споживач 2 ресурси
Рязанське 500 700 800 0 10000000000 40
Володимирське 400 800 300 0 400 50
Тверське 400 700 400 0 400 60
Смоленське 600 600 700 0 600 70
потреби 20 50 40 30 80 220

Вирішимо задачу за допомогою модуля Пошук рішення:

Цільова осередок D19 = СУММПРОИЗВ (B2: F5; B12: F15)



Получаемрешеніе

З урахуванням обмежень на трасу Москва-Рязань остаточно отримуємо план перевезень

Москва Тула Ярославль
Рязанське 20 0 0
Володимирське 10 0 40
Тверське 60 0 0
Смоленське 10 50 0

І остаточну вартість

20 * 500 + 10 * 400 + 60 * 400 + 10 * 600 + 50 * 600 + 40 * 300 = 86000 у.о.


завдання 6.2

Фірма отримала замовлення на терміновий переклад чотирьох книг з італійської мови. Фірма може мати у своєму розпорядженні послугами 5 перекладачів, здатних виконати роботу такого рівня. Час в днях, за яке кожен перекладач впорається з роботою, приведено в таблиці:

книга 1 книга 2 книга 3 книга 4
Іванов 10 25 14 25
Петров 8 12 16 28
Сидоров 12 18 17 33
Андрєєв 14 23 15 30
Васильєв 11 20 18 28

Фірма використовує погодинну оплату праці. Перекладачі мають різну кваліфікацію, тому за день роботи фірма платить Іванову 700 рублів в день, Петрову - 800 рублів в день, Сидорову - 600, Андрєєву - 500, Васильєву - 550. Оскільки за оцінкою фірми якість перекладів в результаті буде приблизно однаковим, керівництво фірми просить Вас скласти такий розподіл робіт, яке дозволить мінімізувати витрати на переклади.

Рішення.

Складемо модель лінійного програмування, яка відображатиме умова:


Вирішимо задачу за допомогою MicrosoftExcel:

При вирішенні завдань про призначення особливий інтерес викликає спосіб введення обмежень при заповненні форми модуля Пошук рішення і формули цільової функції:



Проведені розрахунки показують, що мінімальне загальні витрати на переклад склали 48800 рублів. Призначення перекладача для перекладу книги визначається наявністю на перетині рядка і стовпця значення 1.

Книгу 1 - Петров

Книгу 2 - Іванов

Книгу 3 - Васильєв

Книгу 4 - Андрєєв