Дата конвертації23.07.2017
Розмір114.79 Kb.
Типреферат

Скачати 114.79 Kb.

Математичні методи економіки

траслевих пропорцій і порівнянні їх з магістральними. Завдяки технічному прогресу і мінливості в часі громадських переваг різних благ, реальний стан економіки при детальному (дезагреговані) її описі завжди значно відрізняється від магістрального. У той же час, як показують отримані в цьому напрямку результати досліджень, при високому рівні агрегування економічні пропорції близькі до магістральних.
Теореми про магістралі доводяться для ряду оптимізаційних моделей розширюється економіки. Найбільш загальною з них є відома теорема Раднер для нелінійних моделей розширення (див. §7.2). Тут ми наведемо подібні теореми для лінійних моделей Леонтьєва і Неймана. Єдина наша мета - дати читачеві початкове уявлення про магістральної теорії. Тому приводити складні доведення теорем і займатися докладним і строгим аналізом їх умов не будемо. Для більш поглибленого вивчення магістральної теорії можна рекомендувати книги [2, 16].

Три етапи побудови виробничої функції. Специфікація ПФ, ідентифікація параметрів. Перевірка на адекватність.

По суті, виробнича функція f є сукупність "правил", за допомогою яких для кожного набору витрат визначається відповідний випуск. Тому побудова виробничої функції означає знаходження математичної формули, що відбиває ці правила або, інакше кажучи, закономірності перетворення набору ресурсів в кінцевий продукт. Цей процес умовно можна представити схемою:

У блоці f (див. Рис. 4.2), образно кажучи, відбувається "змішування" ресурсів в певних "пропорціях" таким чином, щоб вийшов необхідний продукт. Ці "пропорції" визначаються специфікою виробництва і математично виражаються за допомогою різних коефіцієнтів і показників ступеня для величин. "Змішування" їх математично виражається за допомогою різних формальних операцій між ними (підсумовування, твори, логарифмування і т.д.), вид і поєднання яких також визначається специфікою модельованого виробництва. Так що питання побудови виробничої функції в кожному конкретному випадку зводиться до знаходження цих "пропорцій" і до визначення характеру їх "змішування".

Зі сказаного вище випливає, що для побудови виробничих функцій потрібно знати технологію виробництва, її структуру та організацію, а також принципи роботи складних машин і устаткування, тобто треба бути одночасно і технологом, і інженером, і математиком. Виявляється, що знання всього цього складного виробничого механізму не потрібно, якщо володіти відповідними математичними прийомами. Йдеться про використання методів регресійного аналізу на основі статистичних (досвідчених, експертних) даних про витрати і випуск. Не применшуючи гідності інших математичних та інших методів побудови виробничих функцій, можна сказати, що саме методи регресійного аналізу найкращим чином виправдали себе на практиці і тому є найбільш популярними. Питання побудови виробничих функцій на основі експериментальних даних є предметом вивчення спеціального розділу - економетрики. . Тут же ми торкнемося лише змістовної сторони побудови конкретних видів виробничих функцій.

Ідею застосування статистичних даних для побудови виробничої функції можна пояснити так: Є відомі величини (реальні результати виробництва) і одне невідоме вираз f, їх сполучна. Спостерігаючи протягом досить великого періоду часу функціонування виробництва за різними значеннями витрат і відповідними їм значеннями випуску y, можна виявити закономірність f:

Коротко зупинимося на етапах побудови виробничої функції. Нехай нам відомі види ресурсів (), які використовуються для випуску даної продукції, і є необхідна кількість статистичних даних щодо обсягів витрат і випуску y. Потрібно встановити залежність, тобто знайти аналітичний вигляд виробничої функції f. Це завдання розпадається на два етапи:

специфікація функції f, тобто виявлення загального вигляду функції f від аргументів з невизначеними параметрами (коефіцієнтами і показниками ступенів при і вільним членом);

оцінка параметрів - визначення конкретних числових значень невідомих параметрів.

Картина "розташування" статистичних даних в просторі витрати-випуск може підказати лінійний або нелінійний характер залежності функції f від аргументів. Наприклад, в разі лінійної виробничої функції результатом специфікації буде гіпотеза про лінійну залежність виду

в разі виробничої функції Кобба-Дугласа - у вигляді мультиплікативної функції

в разі виробничої функції CES - у вигляді статечного многочлена

і т.д. Тут є невідомими параметрами, такими, що підлягають визначенню (оцінці).

Частіше за інших на практиці застосовується апроксимація виду (4.4.1), яка називається лінійної регресією (див. §9.2). Для визначення її параметрів використовується (лінійний) метод найменших квадратів (див. §9.3). У деяких випадках до лінійної апроксимації вдається звести і нелінійні щодо ресурсів виробничі функції. Наприклад, логарифмуючи функцію (4.4.2), отримаємо:

Далі, вводячи позначення

приходимо до лінійної регресії виду (4.4.1):

Застосовуючи такий спосіб на основі статистичних даних згаданого вище періоду, Кобб і Дуглас отримали наступну оцінку параметрів для своєї функції:

і, отже, їх виробнича функція виглядала так:

Подальший аналіз показав, що за винятком деяких випадків (наприклад, обліку технічного прогресу), має місце співвідношення. Так як величина показує еластичність виробництва, рівність є ознакою лінійної однорідності виробничої функції (див. §4.3 і приклад 4.1). Цей факт дозволяє записувати функцію Кобба-Дугласа у вигляді, де.

На відміну від функції Кобба-Дугласа, функція (4.4.3) навіть після логарифмування залишається нелінійної. Тому для оцінки параметрів функції CES застосовується більш складний нелінійний метод найменших квадратів. Виклад цього методу і реалізацію його алгоритму на мові програмування Бейсік цікавиться читач може знайти в книзі [14].

При специфікації виробничої функції, тобто при вирішенні питання про її приналежності до того чи іншого класу відомих функцій, може бути корисним знання тих чи інших числових характеристик цих класів функцій (відношення середніх та граничних показників, гранична норма заміщення, еластичність і ін.). Наприклад, при моделюванні двухфакторного виробництва () на основі наявної статистики можна скласти дискретний (різницевий) аналог показника еластичності за капіталом

Якщо ця величина приблизно дорівнює постійному числу для всіх t і, для яких різниця досить мала, то шукана функція може належати класу функцій Кобба-Дугласа. Точно так же, дискретний аналог еластичності заміщення може внести ясність щодо належності шуканої функції до класу функцій CES.

Виділення істотних видів ресурсів (факторів виробництва) і вибір аналітичної форми ПФ називається специфікацією ПФ.

Перетворення реальних і експертних даних в модельну інформацію, тобто розрахунок чисельних значень параметрів ПФ на базі статистичних даних за допомогою регресійного і кореляційного аналізу, називається параметризацією ПФ.

Перевірка істинності (адекватності) ПФ називається її верифікацією.

Специфікація визначається, перш за все, теоретичними міркуваннями, які враховують макро і мікроекономічні особливості об'єкта дослідження, параметризація також використовує для згладжування результатів ряду років методи найменших квадратів.

Моделювання виробничих процесів. Фактори виробництва. Неокласична виробнича функція, і її властивості. Граничні і середні продукти факторів виробництва. Еластичність випуску за факторами виробництва. Ізокванти. Граничні норми і еластичність заміщення факторів виробництва. Основні види ПФ випуску. Рівновага виробника.

Під виробництвом розуміється процес взаємодії економічних факторів, завершується випуском будь-якої продукції. Правила, які наказують певний порядок взаємодії економічних факторів, становлять спосіб виробництва або, інакше кажучи, технологію виробництва. Виробництво - основна сфера діяльності фірми (або підприємства). Фірма - це організація, яка виробляє витрати економічних ресурсів для виготовлення продукції і послуг, які вона продає споживачам, в тому числі, іншим фірмам. Виробничими одиницями є не тільки заводи і фабрики, а й окремі особи - фермери, ремісники та ін.

Виробництво можна уявити як систему "витрати-випуск", в якій випуском є ​​те, що фактично вироблено, а витратами - то, що споживається з метою випуску (капітал, праця, енергія, сировина). Тому формально можна сказати, що виробництво - це функція, яка кожному набору витрат та конкретної технології ставить у відповідність певний випуск. Саме таке спрощене розуміння виробництва як "чорного ящика" закладено в математичної моделі виробництва. У "вхід" цього чорного ящика подаються витрати, а на "виході" отримуємо випуск (вироблену продукцію).

Подібний опис виробництва на перший погляд здається сильно абстрактним, так як в ньому не відображені технологічні процеси, що відбуваються всередині чорної скриньки. У математичної моделі технологія виробництва враховується зазвичай за допомогою завдання співвідношень між витратами і випуском тобто нормою витрат кожного з ресурсів, необхідних для отримання однієї одиниці продукції, що випускається. Такий підхід пояснюється тим, що математична економіка вивчає суть економічних процесів, а суто технічні операції як такі (а не їх економічні наслідки) залишаються за рамками цієї науки.

Завдання фірми, як виробничої одиниці, складна і багатогранна - починаючи від організації виробництва і закінчуючи благодійною діяльністю. Природно, математичною моделлю можна охопити весь спектр діяльності фірми і відобразити всі переслідувані цілі. Тому при формалізації задачі оптимального функціонування фірми враховуються лише основні кінцеві цілі.

Кінцевою метою фірми є отримання максимального прибутку від реалізації своєї продукції. Нагадаємо в зв'язку з цим, що прибуток розуміється як різниця двох величин: виручки від реалізації продукції (доходу) і витрат виробництва. Витрати виробництва дорівнюють загальним виплатам за всі види витрат, інакше кажучи, витрати - це грошовий еквівалент матеріальних витрат. У загальному випадку витрати складаються з двох складових: постійних витрат і змінних витрат. Постійні витрати (витрати на закупівлю і ремонт обладнання, утримання фірми, страховку та ін.) Фірма несе незалежно від обсягу випуску. Змінні витрати (витрати на заробітну плату, сировину та ін.) Стосуються використання вже наявних у розпорядженні фірми ресурсів, виробничих потужностей і змінюються разом з обсягом випуску.

Згідно з поставленою метою, завдання фірми зводиться до пошуку такого способу виробництва (поєднання витрат і випуску), який забезпечує їй найбільший прибуток з урахуванням і в рамках наявних у неї обмежених ресурсів. Дане трактування мети фірми і найкращого способу виробництва не є єдино можливою. Йдеться про деякої гіпотези щодо переваг виробника, а не про логічної необхідності. Насправді ж мотиви прийнятих керівниками фірм рішень можуть бути продиктовані іншими міркуваннями, наприклад, гуманного або соціально-політичного характеру. Тому на відміну від математичної теорії споживання, де існувала єдина, логічно виправдана оптимізаційна модель споживача, тут недоцільно говорити про "оптимізаційної моделі фірми" як такої. Завдання фірми можуть істотно відрізнятися як переслідуваної метою, так і тимчасовим періодом її рішення.

Обговорену вище завдання будемо називати завданням фірми на максимізацію прибутку.Двоїстої до неї (в певному сенсі) є завдання фірми на мінімізацію витрат при фіксованому рівні планованого випуску (доходу). Саме така формалізація мети виробництва останнім часом стає популярнішою в зв'язку з глобальною проблемою "сталого розвитку" суспільства, так як вона співзвучна з завданнями раціонального використання природних ресурсів.

Припустимо, що фірма виробляє n видів продуктів. Види продуктів будемо позначати індексом j, а їх кількості - через. Технологія виробництва кожного виду продукту вимагає використання ряду ресурсів в деяких кількостях. Подвійними індексами позначимо види ресурсів, використовуваних для випуску продукту виду j. Нехай. . Позначимо через - кількості цих ресурсів,. Отже, є всього видів ресурсів.

Використання такої подвійної індексації привабливо з точки зору інформативності (видно, який ресурс належить до якогось продукту), але незручно чисто технічно. По-перше, ускладнюється запис формул; по-друге, збільшується розмірність завдання (тому що серед можуть бути одні й ті ж найменування) і, по-третє, такі операції як додавання, віднімання витрат у векторній формі, а також складання рівнянь стають неможливими без додаткових перетворень індексів (ідентифікація , впорядкування і т.д.).

Тому в подальшому види ресурсів будемо позначати одинарними індексами k, їх кількості -, де. Тут m - досить велике число (яка дорівнює загальній кількості, де кожен ресурс вважається тільки один раз). Тепер можна говорити, що для виробництва n видів продуктів фірма використовує m видів витрат. Це не призводить до непорозумінь, оскільки в разі невикористання k -го ресурсу для випуску даного продукту вважаємо.

Введемо в розгляд два види векторів: - вектор витрат і - вектор випуску. позитивний ортант

називається простором витрат. Аналогічно визначається простір випуску:

Для відображення реальних можливостей фірми в математичних моделях часто застосовуються більш вузькі безлічі.

Технологічний зв'язок між витратами і випуском описується за допомогою виробничої функції.

Визначення 4.1. Будь-яка функція, що ставить у відповідність кожному вектору витрат x вектор максимального випуску, який може бути отриманий при цих витратах, називається виробничою функцією.

Це є визначення виробничої функції для многопродуктовой фірми, тобто векторної виробничої функції. Якщо фірма випускає тільки один вид продукту, то виробнича функція є скалярною: або

У загальному випадку виробничу функцію можна записати в неявній формі:, де A - матриця параметрів (технологічна матриця). У деяких моделях застосовується такий вираз для виробничої функції:, де змінні зі знаком "-" позначають витрати, а зі знаком "+" - випуски.

Якщо в якості незалежних змінних (аргументів) виступають витрати (див. (4.2.1)), то виробничу функцію іноді називають функцією випуску, якщо ж фіксована величина випуску (y), то виробнича функція є функцією витрат (). Таким чином, функція випуску і функція витрат є взаємно зворотними один одному функціями.

Застосування виробничих функцій не обмежується виявленням залежності витрати-випуск. Різні прийоми математичного апарату дозволяють використовувати їх для обчислення чисельних характеристик виробництва, аналізу ефективності зміни масштабу виробництва та технологічного прогресу, дослідження еластичності виробничих факторів, раціонального господарювання, оптимального планування і прогнозування варіантів розвитку фірми та ін.

Тому дуже важливо, щоб виробнича функція об'єктивно відображала моделируемую дійсність, тобто щоб вона задовольняла змістовно-логічним і економічним вимогам. Основні з них такі:

· В число аргументів виробничої функції повинні бути включені всі істотні для даного процесу фактори;

· Всі величини повинні мати чіткий економічний зміст;

· Всі економічні величини, що входять у виробничу функцію, повинні бути вимірні;

· Випуск продукції без витрат неможливий;

· Якщо величина будь-якого ресурсу обмежена, то випуск не може рости нескінченно;

· Збільшення витрат не може привести до зменшення випуску.

Питання про адекватне описі економічної реальності на мові виробничих функцій тісно пов'язаний з їх математичними властивостями. Заради простоти ці властивості наведемо для однопродуктового виробництва, тобто для виробничої функції виду (4.2.1).

1. Монотонність: з і слід.

2. Увігнутість: для будь-яких і справедливо нерівність.

3. Поведінка на початку координат:.

4. Однорідність:, де - масштабне число, - ступінь однорідності.

Якщо виробнича функція диференційована по всіх аргументів, то властивості 1 і 2 відповідно можуть бути замінені наступними нерівностями:

Приватні похідні називаються граничними продуктами. Умова (4.2.2), як і властивість 1, означає, що збільшення будь-якого виду витрат не приводить до зменшення випуску. Умова (4.2.3) показує, що збільшення витрат одного виду ресурсу (при постійному рівні витрат інших ресурсів) призводить до все меншого приросту випуску. Це властивість в економічній теорії називається законом спадної прибутковості (віддачі).

Властивість 3 є відображенням бездіяльності, так як без витрат немає і випуску. Властивість 4 описує реакцію виробництва на зміну витрат. Параметр показує масштаб зміни виробництва (розширення виробництва - якщо, звуження виробництва - якщо), а - ефект від зміни масштабів виробництва. Якщо, то одночасне збільшення всіх факторів в раз призводить до зростання обсягу випуску більше, ніж в раз (), тобто ефект від розширення масштабу виробництва позитивний. При отримуємо: - випуск зростає в тій же пропорції, що і витрати. Такі функції називаються лінійно-однорідними (або однорідними в першого ступеня).

якщо

то говорять про зростаючий (спадання) доході від розширення масштабу виробництва. Зауважимо, що властивість 4 визначено в точці, тоді як властивості 1 і 2 - у всьому просторі витрат.

Як ми бачимо, перераховані (бажані) властивості виробничої функції цілком узгоджуються з її визначенням, так як вони стосуються тільки співвідношення витрати-випуск. Дійсно, тут немає ніяких вимог на безперебійну роботу верстатів, нормування руху конвеєра і т.д. Тому виробнича функція, як відображення кількісної зв'язку між витратами і випуском, являє собою регресійну модель (див. §2.5). Отже, вона може бути побудована на основі статистичних даних та із застосуванням методів математичної статистики. Залишаючи докладне обговорення цього питання до §4.4, зараз ми наведемо приклади найбільш вдало побудованих і тому часто застосовуються на практиці виробничих функцій. При цьому для простоти будемо розглядати двухфакторную однопродуктовие виробничу функцію виду

Середнім продуктом по k -му виду витрат називається обсяг випуску, який припадає на одиницю витрат k-го виду при фіксованому рівні витрат інших видів:

Спочатку зупинимося на понятті еластичності виробництва. Вже знайоме нам з §4.2 властивість однорідності виробничої функції оцінює технологію виробництва в різних точках простору витрат. А саме, виробнича функція в одних точках цього простору може характеризуватися постійним доходом від розширення масштабу виробництва, а в інших - його збільшенням або, навпаки, зменшенням. Локальним показником вимірювання доходу від розширення масштабу виробництва і служить еластичність виробництва. Її ми будемо позначати символом ( "еластичність f по в точці x"). Формально (див. (3.3.2)) ми можемо написати:

Однак це співвідношення не відображає зміну масштабу виробництва в точці x. Тому обчислювальна формула еластичності виробництва виглядає так:

або, що те ж саме,

У разі постійності доходу при розширенні масштабу виробництва (тобто для лінійно-однорідною виробничої функції) еластичність виробництва дорівнює одиниці.

Еластичність виробництва, описуваного дифференцируемой лінійно-однорідною функцією, в будь-якій точці простору витрат дорівнює сумі еластичностей випуску за всіма видами витрат.

На практиці з різних причин часто виникає необхідність заміни одних ресурсів іншими. Наприклад, при розширенні виробництва фірма повинна вирішити: або повністю автоматизувати виробництво за рахунок дорогого устаткування і скоротити кількість робочих місць (скоротити фонд заробітної плати), або використовувати призначені для цього кошти для часткової модернізації технології та збільшення фонду заробітної плати. Що вигідно для фірми? Для отримання відповіді на це питання вводять поняття граничної норми заміщення одних ресурсів іншими і еластичності заміщення одних ресурсів іншими.

Можливості заміщення характеризують виробничу функцію з точки зору різних комбінацій витрат, що породжують однакові рівні випуску. Припустимо, що двухфакторную виробництво описується виробничою функцією, де Y - випуск, K - капітал (основні фонди), L - трудові ресурси. Припустимо, частина робітників () звільнилася. На яку величину слід збільшити основні фонди, щоб випуск залишився на колишньому рівні, тобто щоб мало місце рівність? Міркуючи як в §3.3 (див. (3.3.5) - (3.3.10)), отримуємо, що кількість основних фондів треба збільшити на величину

Число називається граничною нормою заміщення трудових ресурсів основними фондами.

Отже, гранична норма заміщення показує величину ресурсу одного виду, якій виробник готовий пожертвувати заради однієї одиниці ресурсу іншого виду. Поставимо тепер "зворотний" питання: як зміниться величина при зміні граничної норми заміщення на 1%? Згідно визначення еластичності, це є "еластичність по". За формулою обчислення еластичності (3.3.2) маємо:

Ця величина називається еластичністю граничної норми заміщення (або просто еластичністю заміщення). Введемо більш просте позначення. З урахуванням відомої формули

Визначимо виробничу діяльність як процес, в ході якого підприємства витрачають різні ресурси - матеріальні блага і послуги (фактори виробництва) і в результаті випускають різноманітну, орієнтовану на ринок продукцію (продукти виробництва). Відправною точкою цього товару виробництва є ідея про те, що технологічно ефективна виробнича діяльність підприємства, в ході якої для випуску, наприклад, для одного виду продукції Y витрачається два види ресурсів X 1, X 2 може бути описана за допомогою виробничої функції Y = F ( X 1, X 2). Якщо для фіксованого випуску Y зобразити на площині (X 1, X 2) всі можливі поєднання необхідних ресурсів (X 1, X 2), ми отримаємо криву, яка називається изоквантой. Можна виділити принаймні чотири типи виробничих функцій і ізоквант.

1. Функції з повним взаимозамещения ресурсів, наприклад,

Y = a 1 * X 1 + a 2 * X 2.

2. Неокласична виробнича функція, наприклад,

Y = X 1 a1 * X 2 a2; a 1 + a 2 Ј1.

3. Функції з повним взаємодоповнення ресурсів, наприклад,

Y = min (X 1 / a 1, X 2 / a 2).

4. Функції змішаного типу, наприклад,

Y = y 1 + y 2: X i іa i * y 1 + b i * y 2, i = 1,2.

Виробнича функція Кобба-Дугласа - найвідоміша з усіх виробничих функцій неокласичного типу - була відкрита в 20-х роках нашого століття економістом Дугласом у співпраці з математиком Коббом і отримала широке застосування в емпіричних дослідженнях. В нашу програму включена виробнича функція, оцінена Дугласом на основі даних по обробній промисловості США. Y - індекс виробництва, X1 і X2 - відповідно індекси найманої робочої сили та капітального обладнання.

Моделювання НТП. Автономний, керований, матеріалізований (матеріалізований), індукований, нейтральний види НТП.

НТП - науково технічний прогрес.

Розрізняють автономний, матеріалізований, нейтральний і не нейтральний технічний прогрес.

Автономний (екзогенний) технічний прогрес представлений виробничою функцією, яка описує зміну технології в часі незалежно від змін змінних стану економіки (капіталу, землі, праці, часу). Мова тут йде про зміни в спеціалізації, кооперації, управлінні і т.д.

Матеріалізований (матеріалізований) технічний прогрессхарактерізуется змінними, які беруть активну участь у зміні виробничої функції (капіталу, землі, праці, часу).

Нейтральний технічний прогрессопределяется такими технічними змінами (автономного або матеріального виду), які не порушують рівноваги, тобто економічно і соціально «безпечні» для суспільства.

Загальновизнаним слід вважати той факт, що з плином часу на підприємстві, зберігає фіксовану чисельність працівників і постійний обсяг основних фондів, випуск продукції збільшується. Це означає, що крім звичайних виробничих факторів, пов'язаних з витратами ресурсів, існує фактор, який зазвичай називають науково-технічним прогресом (НТП). Цей фактор можна розглядати як синтетичну характеристику, яка відображатиме спільне вплив на економічне зростання багатьох істотних явищ, серед яких потрібно відзначити наступні:

а) поліпшення з часом якості робочої сили внаслідок підвищення кваліфікації працівників і освоєння ними методів використання більш досконалої техніки;

б) поліпшення якості машин і обладнання призводить до того, що певна сума капітальних вкладень (в незмінних цінах) дозволяє з часом придбати більш ефективну машину;

в) поліпшення багатьох сторін організації виробництва, в тому числі постачання і збуту, банківських операцій та інших взаємних розрахунків, розвиток інформаційної бази, освіту різного роду об'єднань, розвиток міжнародної спеціалізації і торгівлі тощо

У зв'язку з цим термін науково-технічний прогрес можна інтерпретувати як сукупність всіх явищ, які при фіксованих кількостях витрачаються виробничих факторів дають можливість збільшити випуск якісної, конкурентоспроможної продукції. Дуже розпливчастий характер такого визначення призводить до того, що дослідження впливу НТП проводиться лише як аналіз того додаткового збільшення продукції, яка не може бути пояснено суто кількісним зростанням виробничих факторів. Головний підхід до врахування НТП зводиться до того, що в сукупність показників випуску або витрат вводиться час (t) як незалежний виробничий фактор і розглядається перетворення в часі або виробничої функції, або технологічного безлічі.

Зупинимося на способах обліку НТП шляхом перетворення виробничої функції (ПФ), причому за основу приймемо двухфакторную ПФ:

де в якості виробничих факторів виступають капітал (К) і праця (L). Модифікована ПФ в загальному випадку має вигляд

причому виконується умова

яке і відображає факт зростання виробництва в часі при фіксованих витратах праці і капіталу. Геометрична ілюстрація такого процесу дана на рис. 4.13, де показано, що ізокванта, відповідна випуску продукції в обсязі Q, зміщується з плином часу (t 2> t 1) вниз і наліво.

При розробці конкретних модифікованих ПФ зазвичай прагнуть відобразити характер НТП в спостережуваної ситуації. При цьому розрізняють чотири випадки:

а) істотне поліпшення з часом якості робочої сили дозволяє домогтися колишніх результатів з меншою кількістю зайнятих; подібний вид НТП часто називають трудосберегающим. Модифікована ПФ має вигляд

де монотонна функція l (t) характеризує зростання продуктивності праці;

б) переважне поліпшення якості машин і устаткування підвищує фондовіддачу, має місце капиталосберегающий НТП і відповідна ПФ:

де зростаюча функція k (t) відображає зміну фондовіддачі;

в) якщо має місце значний вплив обох згаданих явищ, то використовується ПФ в формі

г) якщо ж немає можливості виявити вплив НТП на виробничі фактори, то застосовується ПФ у вигляді

де a (t) зростаюча функція, що виражає зростання продукції при незмінних значеннях витрат факторів. Для дослідження властивостей і особливостей НТП використовуються деякі співвідношення між результатами виробництва та витратами факторів. До їх числа відносяться:

а) середня продуктивність праці

б) середня фондовіддача

в) коефіцієнт фондоозброєності працівника

г) рівність між рівнем оплати праці та граничної (маргінальної) продуктивності праці

д) рівність між граничною фондоотдачей і нормою банківського відсотка

Кажуть, що НТП є нейтральним, якщо він не змінює з плином часу певних зв'язків між наведеними величинами.

Розглянемо далі три випадки:

1) прогрес називається нейтральним по Хиксу, якщо протягом часу залишається незмінним співвідношення між фондоозброєністю (x) і граничною нормою заміни факторів (w / r). Зокрема, якщо w / r = const, то заміна праці на капітал і навпаки не принесе ніякої вигоди і фондоозброєність x = K / L також залишиться незмінною. Можна показати, що в цьому випадку модифікована ПФ має вигляд

,

і нейтральність по Хиксу еквівалентна розглянутому вище впливу НТП безпосередньо на випуск продукції. У ситуації, що розглядається изокванта з плином часу зміщується ліворуч вниз шляхом перетворення подібності, тобто залишається в точності тієї ж форми, що і в початковому положенні;

2) прогрес називається нейтральним по Харроду, якщо протягом аналізованого періоду часу норма банківського відсотка (r) залежить лише від фондовіддачі (k), тобто на неї не впливає НТП. Це означає, що гранична фондовіддача встановлена ​​на рівні норми відсотка і подальше збільшення капіталу недоцільно. Можна показати, що такий тип НТП відповідає виробничої функції

тобто технічний прогрес є трудосберегающим;

3) прогрес є нейтральним по Солоу, якщо зберігається незмінним рівність між рівнем оплати праці (w) і граничною продуктивністю праці і подальше збільшення витрат праці невигідно. Можна показати, що в цьому випадку ПФ має вигляд

тобто НТП виявляється фондосберегающім

Однак в довгостроковому плані НТП є і результатом розвитку, і, в значній мірі, його причиною. Оскільки саме економічний розвиток дозволяє багатим товариствам фінансувати створення нових зразків техніки, а потім вже пожинати плоди науково-технічної революції. Тому цілком правомірний підхід до НТП як ендогенного явищу, викликаному (индуцированному) економічним зростанням.

Тут виділяються два основних напрямки моделювання НТП:

1) модель індукованого прогресу заснована на формулі

причому передбачається, що суспільство може розподіляти призначені для НТП інвестиції між його різними напрямками. Наприклад, між зростанням фондовіддачі (k (t)) (поліпшення якості машин) і зростанням продуктивності праці (l (t)) (підвищення кваліфікації працівників) або вибором найкращого (оптимального) напрямки технічного розвитку при даному обсязі виділених капітальних вкладень;

2) модель процесу навчання в ході виробництва, запропонована К. Ерроу, заснована на спостережуваному факт взаємного впливу зростання продуктивності праці і кількості нових винаходів. В ході виробництва працівники набувають досвіду і час на виготовлення виробу зменшується, тобто продуктивність праці і сам трудовий внесок залежать від обсягу виробництва

У свою чергу, зростання трудового фактора, згідно виробничої функції

призводить до зростання виробництва. У найпростішому варіанті моделі використовуються формули:

(Виробнича функція КоббаДугласа).

Звідси маємо співвідношення

яке при заданих функціях K (t) і L 0 (t) показує більш швидке зростання y, обумовлений зазначеним вище взаємним впливом НТП і економічного розвитку.

Види виробничих функцій ПФ Кобба - Дугласа, ПФ Леонтьєва, ПФ Солоу, Лінійна ПФ.

Припустимо, що фірма виробляє n видів продуктів. Види продуктів будемо позначати індексом j, а їх кількості - через. Технологія виробництва кожного виду продукту вимагає використання ряду ресурсів в деяких кількостях. Подвійними індексами позначимо види ресурсів, використовуваних для випуску продукту виду j. Нехай. . Позначимо через - кількості цих ресурсів,. Отже, є всього видів ресурсів.

Використання такої подвійної індексації привабливо з точки зору інформативності (видно, який ресурс належить до якогось продукту), але незручно чисто технічно. По-перше, ускладнюється запис формул; по-друге, збільшується розмірність завдання (тому що серед можуть бути одні й ті ж найменування) і, по-третє, такі операції як додавання, віднімання витрат у векторній формі, а також складання рівнянь стають неможливими без додаткових перетворень індексів (ідентифікація , впорядкування і т.д.).

Тому в подальшому види ресурсів будемо позначати одинарними індексами k, їх кількості -, де. Тут m - досить велике число (яка дорівнює загальній кількості, де кожен ресурс вважається тільки один раз). Тепер можна говорити, що для виробництва n видів продуктів фірма використовує m видів витрат. Це не призводить до непорозумінь, оскільки в разі невикористання k -го ресурсу для випуску даного продукту вважаємо.

Введемо в розгляд два види векторів: - вектор витрат і - вектор випуску. позитивний ортант

називається простором витрат. Аналогічно визначається простір випуску:

Для відображення реальних можливостей фірми в математичних моделях часто застосовуються більш вузькі безлічі.

Технологічний зв'язок між витратами і випуском описується за допомогою виробничої функції.

Визначення 4.1. Будь-яка функція, що ставить у відповідність кожному вектору витрат x вектор максимального випуску, який може бути отриманий при цих витратах, називається виробничою функцією.

Це є визначення виробничої функції для многопродуктовой фірми, тобто векторної виробничої функції. Якщо фірма випускає тільки один вид продукту, то виробнича функція є скалярною: або

У загальному випадку виробничу функцію можна записати в неявній формі:, де A - матриця параметрів (технологічна матриця). У деяких моделях застосовується такий вираз для виробничої функції:, де змінні зі знаком "-" позначають витрати, а зі знаком "+" - випуски.

Якщо в якості незалежних змінних (аргументів) виступають витрати (див. (4.2.1)), то виробничу функцію іноді називають функцією випуску, якщо ж фіксована величина випуску (y), то виробнича функція є функцією витрат (). Таким чином, функція випуску і функція витрат є взаємно зворотними один одному функціями.

Застосування виробничих функцій не обмежується виявленням залежності витрати-випуск. Різні прийоми математичного апарату дозволяють використовувати їх для обчислення чисельних характеристик виробництва, аналізу ефективності зміни масштабу виробництва та технологічного прогресу, дослідження еластичності виробничих факторів, раціонального господарювання, оптимального планування і прогнозування варіантів розвитку фірми та ін.

Тому дуже важливо, щоб виробнича функція об'єктивно відображала моделируемую дійсність, тобто щоб вона задовольняла змістовно-логічним і економічним вимогам. Основні з них такі:

· В число аргументів виробничої функції повинні бути включені всі істотні для даного процесу фактори;

· Всі величини повинні мати чіткий економічний зміст;

· Всі економічні величини, що входять у виробничу функцію, повинні бути вимірні;

· Випуск продукції без витрат неможливий;

· Якщо величина будь-якого ресурсу обмежена, то випуск не може рости нескінченно;

· Збільшення витрат не може привести до зменшення випуску.

Питання про адекватне описі економічної реальності на мові виробничих функцій тісно пов'язаний з їх математичними властивостями. Заради простоти ці властивості наведемо для однопродуктового виробництва, тобто для виробничої функції виду (4.2.1).

1. Монотонність: з і слід.

2. Увігнутість: для будь-яких і справедливо нерівність.

3. Поведінка на початку координат:.

4. Однорідність:, де - масштабне число, - ступінь однорідності.

Якщо виробнича функція диференційована по всіх аргументів, то властивості 1 і 2 відповідно можуть бути замінені наступними нерівностями:

Приватні похідні називаються граничними продуктами. Умова (4.2.2), як і властивість 1, означає, що збільшення будь-якого виду витрат не приводить до зменшення випуску. Умова (4.2.3) показує, що збільшення витрат одного виду ресурсу (при постійному рівні витрат інших ресурсів) призводить до все меншого приросту випуску. Це властивість в економічній теорії називається законом спадної прибутковості (віддачі).

Властивість 3 є відображенням бездіяльності, так як без витрат немає і випуску. Властивість 4 описує реакцію виробництва на зміну витрат. Параметр показує масштаб зміни виробництва (розширення виробництва - якщо, звуження виробництва - якщо), а - ефект від зміни масштабів виробництва. Якщо, то одночасне збільшення всіх факторів в раз призводить до зростання обсягу випуску більше, ніж в раз (), тобто ефект від розширення масштабу виробництва позитивний. При отримуємо: - випуск зростає в тій же пропорції, що і витрати. Такі функції називаються лінійно-однорідними (або однорідними в першого ступеня).

якщо

то говорять про зростаючий (спадання) доході від розширення масштабу виробництва. Зауважимо, що властивість 4 визначено в точці, тоді як властивості 1 і 2 - у всьому просторі витрат.

Як ми бачимо, перераховані (бажані) властивості виробничої функції цілком узгоджуються з її визначенням, так як вони стосуються тільки співвідношення витрати-випуск. Дійсно, тут немає ніяких вимог на безперебійну роботу верстатів, нормування руху конвеєра і т.д. Тому виробнича функція, як відображення кількісної зв'язку між витратами і випуском, являє собою регресійну модель (див. §2.5). Отже, вона може бути побудована на основі статистичних даних та із застосуванням методів математичної статистики. Залишаючи докладне обговорення цього питання до §4.4, зараз ми наведемо приклади найбільш вдало побудованих і тому часто застосовуються на практиці виробничих функцій. При цьому для простоти будемо розглядати двухфакторную однопродуктовие виробничу функцію виду

Виробнича функція Кобба-Дугласа. Перший успішний досвід побудови виробничої функції, як рівняння регресії на базі статистичних даних, був отриманий американськими вченими - математиком Д. Коббом і економістом П. Дугласом у 1928 році. Запропонована ними функція спочатку мала вигляд:

де Y - обсяг випуску, K - величина виробничих фондів (капітал), L - витрати праці, - числові параметри (масштабне число і показник еластичності). Завдяки своїй простоті й раціональності, ця функція широко застосовується до цих пір і отримала подальші узагальнення в різних напрямках. Функцію Кобба-Дугласа іноді ми будемо записувати у вигляді

Легко перевірити, що і

Крім того, функція (4.2.4) лінійно-однорідна:

.

Таким чином, функція Кобба-Дугласа (4.2.4) володіє всіма вищезгаданими властивостями.

Для багатофакторного виробництва функція Кобба-Дугласа має вигляд:

Для обліку технічного прогресу в функцію Кобба-Дугласа вводять спеціальний множник (технічного прогресу), де t - параметр часу, - постійне число, що характеризує темп розвитку. В результаті функція приймає "динамічний" вид:

де не обов'язково. Як буде показано в наступному параграфі, показники ступеня в функції (4.2.4) мають сенс еластичності випуску за капіталом і праці.

Виробнича функція CES (з постійною еластичністю заміщення) має вигляд:

де - коефіцієнт шкали, - коефіцієнт розподілу, - коефіцієнт заміщення, - ступінь однорідності. Якщо виконані умови

то функція (4.2.5) задовольняє нерівностям (4.2.2) і (4.2.3) (перевірте це самостійно). З урахуванням технічного прогресу функція CES записується:

Назва даної функції випливає з того факту, що для неї еластичність заміщення постійна (див. §4.3).

Виробнича функція з фіксованими пропорціями. Ця функція виходить з (4.2.5) при і має вигляд:

Виробнича функція витрат-випуску (функція Леонтьєва) виходить з (4.2.6) при:

Змістовно ця функція задає пропорцію, за допомогою якої визначається кількість витрат кожного виду, необхідне для виробництва однієї одиниці продукції, що випускається. Тому в літературі часто зустрічаються інші форми запису:

або

Тут - кількість витрат виду k, необхідне для виробництва однієї одиниці продукції, а y - випуск.

Виробнича функція аналізу способів виробничої діяльності. Ця функція узагальнює виробничу функцію витрат-випуску на випадок, коли існує деяке число (r) базових процесів (способів виробничої діяльності), кожен з яких може протікати з будь-неотрицательной інтенсивністю. Вона має вигляд "оптимізаційної задачі"

Тут - випуск продукції при одиничній інтенсивності j -го базового процесу, - рівень інтенсивності, - кількість витрат виду k, необхідних при одиничній інтенсивності способу j. Як видно з (4.2.8), якщо випуск, вироблений при одиничній інтенсивності і витрати, необхідні на одиницю інтенсивності, відомі, то загальний випуск і загальні витрати знаходяться шляхом складання випуску і витрат відповідно для кожного базового процесу при обраних интенсивностях. Зауважимо, що завдання максимізації функції f по в (4.2.8) при заданих обмеженнях-нерівностях є моделлю аналізу виробничої діяльності (максимізація випуску при обмежених ресурсах).

Лінійна виробнича функція (функція з взаимозамещения ресурсів) застосовується при наявності лінійної залежності випуску від витрат:

де - норма витрат k-го виду для виробництва одиниці продукції (граничний фізичний продукт витрат).

Методи математичного моделювання ризикових ситуацій. Ризик і невизначеність у здійсненні економічної діяльності. Місце методів математичного моделювання в загальній схемі управління ризиком. Основні механізми управління ризиком - прямий вплив на фактори ризику і диверсифікація. Цілі моделювання механізмів управління ризиком. Методи моделювання невизначеності і ризику економічної діяльності.

Будь-яка сфера людської діяльності, особливо еконо-міка або бізнес, пов'язана з прийняттям рішень в умовах неповно-ти інформації. Джерела невизначеності можуть бути найрізноманітніші: нестабільність економічної та / або політичної ситуації, невизначеність дій партнерів по бізнесу, слу-чайні чинники, тобто велике число обставин, врахувати які не представляється можливим (наприклад, погодні умови, неоп-ределенном попиту на товари, неабсолютності надійність процес-сов виробництва, неточність інформації та ін.). Економічні рішення з урахуванням перерахованих і безлічі інших невизначений-них факторів приймаються в рамках так званої теорії прий-ку рішень - аналітичного підходу до вибору найкращого дію-вия (альтернативи) або послідовності дій. У залежно-сті від ступеня визначеності можливих результатів або наслідки-вий різних дій, з якими стикається особа, прини-маються рішення (ЛПР), в теорії прийняття рішень рассматрива-ються три типи моделей:

* Вибір рішень в умовах визначеності, якщо щодо кожної дії відомо, що воно незмінно призводить до Незнач-рому конкретному результату;

* Вибір рішення при ризику, якщо кожна дія приводить до одного з безлічі можливих приватних результатів, причому кожен результат має обчислюється або експертно оцінювану ймовірність появи. Передбачається, що ЛПР ці ймовірності відомі або їх можна визначити шляхом експертних оцінок;

* Вибір рішень при невизначеності, коли та чи інша дей-ствие або кілька дій мають своїм наслідком безліч приватних результатів, але їх ймовірності абсолютно невідомі або не мають сенсу.

Проблема ризику і прибутку - однв умовах досконалої конкуренції рівновага досягається в точці, а дохід даної фірми, як учасника ринку досконалої конкуренції, є (). Будучи монополістом, при тому ж рівні попиту ця фірма доб'ється даного рівня доходу при меншому випуску () за рахунок більш високої ціни (). Саме в цьому полягає пріоритетність положення монополіста.
До якого рівня монополіст буде підвищувати ціну товару і знижувати обсяг продажів, щоб отримати максимальний прибуток з урахуванням витрат на виробництво товару?

Крива попиту та оцінка власних витрат є головними орієнтирами для фірми-монополіста при прийнятті економічного рішення.Вона приймає рішення щодо обсягу випуску (або продажу) товару, а його ціна визначається за допомогою кривої попиту (див. Рис. 8.1). Отже, в умовах монополії ціна () є функцією від випуску (), тобто , І, володіючи інформацією про попит, фірма може домогтися отримання максимального прибутку.

Монополіст може збільшити прибуток двома шляхами: або за рахунок підвищення ціни на товар, не змінюючи при цьому обсягу випуску, або за рахунок скорочення обсягу випуску (знизивши тим самим витрати на виробництво), не змінюючи ціну товару. Яке ж оптимальне дію монополіста?

Щоб відповісти на це питання, звернемося знову до конкурентного ринку і розглянемо довгострокове завдання фірми (4.5.1). Так як ми хочемо дізнатися саме про оптимальний обсязі виробництва, формулюємо це завдання на мові випуску. Позначимо дохід як функцію від випуску:

Так як витрати фірми залежать від обсягу виробництва, вони також є функціями від випуску:

Тепер завдання (4.5.1) можна записати так:

Умова першого порядку для максимізації прибутку є

Отже, щоб максимізувати прибуток, фірма повинна досягти такого обсягу випуску, при якому граничний дохід дорівнює граничним витратам. Далі, з огляду на той факт, що, отримуємо, тобто рівноважна ціна, якщо вона існує, повинна дорівнювати граничним витратам:

Графічна ілюстрація цього рівності показана на рис. 8.2, де граничні витрати є зростаюча функція від обсягу виробництва,

а граничний дохід (ціна) - спадна функція того ж аргументу.

Повернемося до монополії і перевіримо, чи буде ціна, що максимізує прибуток монополіста, підкорятися закону (8.1.2)?

У монополії, тому

Далі без втрати спільності будемо вважати.

Обчислимо граничний дохід

Зауважимо, що і в монополії ціна зменшується з ростом обсягу продажів, тому що фірма знижує ціну, щоб продати більше продукції. Тому і з (8.1.4) слід

Як бачимо, в разі монополії граничний дохід менше ціни товару.

Проаналізуємо тепер витрати монополіста. Як і на конкурентному ринку, ціни витрат є функціями від обсягу витрат, тобто ,. Тому витрати на фактори виробництва виражаються як

Будемо припускати, що для всіх.

Обчислимо граничні витрати:

За ринковими законами фірма може купувати більшу кількість даного фактора виробництва, тільки запропонувавши більш високу плату. Тому. Тоді з (8.1.6) слід

Таким чином, в разі монополії граничні витрати на фактори виробництва виявляються більше їх цін.

Підставляючи (8.1.3) і (8.1.5) в (8.1.1), отримаємо оптимізаційну задачу монополіста:

Підкреслимо ще раз, на відміну від задачі (8.1.1) фірми на конкурентному ринку, в умовах завдання монополіста (8.1.7) все ціни залежать від обсягів продуктів.

Максимум функції прибутку P в завданню (8.1.7) обчислюється по m + 1 змінної. Тому складемо функцію Лагранжа

де - множник Лагранжа. Випишемо необхідні умови оптимальності точки:

Звідси маємо, зокрема,

Сума, що стоїть в правій частині рівності (8.1.8), тобто граничний дохід (див. (8.1.4)), а сума, що стоїть в правій частині (8.1.9), - граничні витрати по виробничому фактору j-го виду ( см. (8.1.6)). Тому величина, що стоїть в лівій частині (8.1.9), являє собою твір граничного доходу () на граничний продукт j-го виду витрат (). Цей твір можна трактувати як граничний дохід j-го виду витрат.

Виключаючи з системи необхідних умов множник Лагранжа, отримуємо

Користуючись рівністю (8.1.4) і (8.1.6), перепишемо цю систему у вигляді

Оцінимо відношення граничної вартості витрат на граничний продукт

По-перше, як випливає з (8.1.10), ця величина для всіх j одна і та ж. По-друге, витрати можна представити як функцію від випуску, тобто . Тому, користуючись рівністю (8.1.11), можна формально написати

Так як ця величина одна і та ж для всіх j, то, опускаючи індекс, з системи (8.1.10) - (8.1.11) отримуємо

Отже, щоб максимізувати прибуток, монополіст повинен досягти такого рівня випуску, при якому граничний дохід дорівнює граничним витратам.

Для монополіста ми отримали таке ж правило оптимального поведінки, що і будь-яка фірма в умовах конкурентного ринку. Однак в разі монополії

і тому оптимальна ціна товару відрізняється від виразу (8.1.2) в сторону підвищення. А саме, через граничний дохід вона виражається як

а через граничні витрати -

Олігополія.

На практиці ринковою владою, тобто владою над ціноутворенням, володіють не тільки фірми, які є чистими монополістами. У багатьох галузях економіки конкурує небольщой число фірм, кожна з яких володіє деякою ринковою владою. Такі, наприклад, великі металургійні комбінати Росії (КМК, Запсиб, Магнітка та ін.).

В цьому і наступних параграфах ми вивчимо ринкові механізми в умовах олігополії, тобто коли на ринку товару конкурує невелика кількість фірм. Ринкова влада і прибуток олигополистов частково залежать від того, як вони взаємодіють між собою. У деяких олігопольних галузях фірми агресивно конкурують, а в інших співпрацюють. Природно, конкуренція призводить до зниження цін, а маючи тенденцію до співпраці, фірми можуть призначити ціни вище граничних витрат і отримати більший прибуток.

Крайню форму співпраці є картель. На картельній ринку деякі або всі фірми вступають в змову з приводу захоплення ринку. Визначаючи спільно ціни товару і обсяги продажів, вони максимізують свої прибутки. Картель відрізняється від монополії тим, що не може контролювати весь ринок товару через наявність фірм, що не входять в картель. Інша причина відмінності - в нестабільності картелю як структури, що складається з фірм, що переслідують кожна свої інтереси.

Олігополія є переважаючою формою сучасної ринкової структури. На олігопольних ринках кілька фірм виробляють всю або майже всю продукцію. Чим ширше олігополія, тим складніше прийняття економічних рішень для фірм. Тому вони можуть зробити стратегічні зусилля, щоб утруднити вступ на ринок нових фірм.

Олигополист приймає рішення щодо встановлення ціни і обсягу продукції, що випускається їм продукції. Економічне рішення олігополіста складається складніше, ніж монополіста, так як має місце конкуренція між кількома фірмами. Тому фірма повинна ретельно зважити свої рішення з точки зору реакції суперників. Стратегічні міркування повинні бути глибокими і всебічними. Кожна фірма враховує реакцію конкурентів, знаючи, що ті, в свою чергу, теж будуть зважувати її реакцію на їх власні рішення. При цьому фірма повинна брати до уваги можливість відновлення її стратегічних міркувань конкурентами, і тому вона повинна поставити себе на місце конкурентів і подумати, яка б була їхня реакція. Саме з позицій такої рекомендації розробляються принципи раціональної поведінки олігополістів. Деякі з них ми розглянемо в наступних параграфах. Тут ми займемося моделюванням завдання олігополіста і олигопольного ринку в цілому.

Визначальним властивістю олигопольного ринку є те, що всі конкуруючі фірми можуть впливати на ціни продукції і витрат. Отже, прибуток кожної фірми залежить і від економічних рішень всіх інших фірм. Яке буде в цих умовах оптимальне рішення олігополіста за обсягом випуску і ціною товару? Для отримання відповіді на це питання необхідно побудувати математичну модель олігополіста і вирішити спільно систему, що складається із завдань всіх конкуруючих між собою фірм.

Позначимо через n число олігополістів і припустимо, що всі вони випускають один і той же товар, застосовуючи m видів витрат. Зауважимо, що при цьому продукції різних фірм можуть відрізнятися рядом ознак (якістю, оформленням і т.д.).

Згідно опису олігополії, ціна товару (p) визначається обсягом всіх випусків, а ціна витрат () - обсягом витрат всіх фірм:

При зростанні випусків ціни знизяться. Тому

Аналогічно, якщо фірми збільшать покупки виробничих факторів, відбудеться підвищення їх цін. Тому

Нехай - виробнича функція i-го олигополиста. Тоді виробництво описується системою з n рівнянь

Так як всі олігополісти діють на ринках одних і тих же товарів, то

Завдання i-го олигополиста може бути сформульована таким чином:

Тут - матриця витрат, - вектор випусків. Максимізація функції прибутку здійснюється тільки за змінними, вибором значень яких розпоряджається i-ий олигополист.

З вигляду цільової функції завдання (8.2.1) приходимо до висновку, що максимізація прибутку залежить не тільки від економічного рішення i-го олигополиста, але і від дій його конкурентів, що розпоряджаються вибором.

Модель олігополії в цілому має вигляд:

Такого роду моделі називаються конфліктними завданнями прийняття рішення або іграми n осіб. Конфліктний характер прийняття рішення тут полягає в тому, що кожна цільова функція залежить від економічних рішень всіх олігополістів. Тому для знаходження оптимальних рішень олигополистов найбільш підходящим апаратом є теорія ігор. Зокрема, при відсутності як антагоністичного протистояння, так і змови між фірмами, їх оптимальні стратегії можуть бути визначені, виходячи з принципу рівноваги Неша.

Дуополія.

Припустимо, що є всього дві конкуруючі з випуску одного і того ж товару фірми. Це є окремий випадок олігополії, званий дуополія. Обидві фірми приймають рішення за обсягом випуску одночасно і таємно один від одного, і кінцева ціна товару залежить від сукупного обсягу виробництва цих фірм. Тобто, як і в олігополії, дуополіст мають часткову ринкову владу (часткове вплив на ціну товару).

Модель дуополії вперше розглядав французький економіст О. Курно ще в тридцятих роках минулого століття. Підхід Курно грунтується на гіпотезі про те, що своє економічне рішення кожна фірма приймає в припущенні про постійне обсязі виробництва свого конкурента. Іншими словами, дуополіст вважає, що конкурент не реагує на його випуск. Щоб краще зрозуміти, як це відбувається, розглянемо приклад. Попередньо зауважимо, що в дуополии фірма орієнтується на ту частину ринкового попиту, яка не забезпечена пропозицією іншої фірми. Тому для фірми дуже важливо правильно оцінити попит населення на її товар і обсяг виробництва конкурента.

Математичну модель дуополії отримаємо як окремий випадок задачі (8.2.2) при n = 2:

де - матриця витрат, - вектор випусків,

Як і в олігополії,

Для обчислення оптимальних випусків дуополістів є 2 (m + 1) умов виду (8.2.3):

де

- приблизні варіації дуополіст i, i = 1,2 ().

Модель (8.3.1) називається дуополії Курно, якщо в (8.3.2) виконано умови

Як видно з визначення, в дуополии Курно кожна фірма вважає, що зміни обсягу її власного випуску не вплинуть на рішення конкурента.

Рівновага Штакельберга. Розглянута в попередньому параграфі модель Курно описує лише один з можливих способів формування економічної стратегії дуополістів. Причому вихідна гіпотеза (8.3.3) щодо можливих варіацій, на основі якої будується рівновагу Курно, виявилася, по суті, не відповідає реальності, оскільки не витримує випробування часом.

У цьому параграфі ми відмовляємося від гіпотези Курно і аналізуємо іншу гіпотезу, яка породжує так звану дуополії Штакельберга.

Фірму 1 (2) будемо називати дуополіст Курно, якщо

Далі фірму 1 (2) будемо називати S-стратегом, якщо вона вважає, що фірма 2 (1) буде вести себе як дуополіст Курно, тобто що вона буде визначати свій випуск, користуючись кривої реакції () (див. рис. 8.7).

Визначення 8.4. Модель (8.3.1) називається дуополії Штакельберга, якщо одна або обидві фірми є S-стратегами.

Трійка, де - розв'язок задачі (8.3.1) за умов дуополії Штакельберга, - відповідна цими випусками (в силу системи (8.3.1)) ціна товару, називається рівновагою Штакельберга.

Рівновага Неша. У розглянутих моделях ми виходили з того, що свої економічні рішення з приводу обсягів випуску дуополістів приймають лише на основі інформації (гіпотези) про обсяги випуску конкурента. Помічаючи вузькість такого підходу, все ж треба розуміти, що, по-перше, завжди можна узагальнити ці підходи на основі більш різноманітної інформації, по-друге, як уже було сказано, обсяг випуску партнера для конкуруючих фірм є основним і визначальним орієнтиром для прийняття рішення дуополіст.

Узагальнюючи економічні рішення, аналізувати в дуополія Курно і Штакельберга, можна сказати, що у кожної фірми є два варіанти поведінки: або діяти як дуополіст Курно, або діяти як дуополіст Штакельберга (тобто бути S-стратегії).

Економічне рішення i -ої фірми, що характеризує її як дуополістів Курно, будемо називати її K-стратегії і позначати. Аналогічно, економічне рішення i -ої фірми, що характеризує її як дуополістів Штакельберга, будемо називати її S-стратегії і позначати.

Таким чином, у кожного дуополіст є дві стратегії: у фірми 1 - і, у фірми 2 - і, і тому може бути реалізована одна з чотирьох ситуацій:,,,. Розмістимо відповідні цим ситуацій обсяги випусків фірми 1 і фірми 2 в наступну таблицю (рис. 8.8).

На рис. 8.8 - рівновага Курно, - 1-рівновагу Штакельберга, - 2-рівновагу Штакельберга, - нерівновагу Штакельберга.

матрицю

можна розглядати як математичну модель прийняття рішення з двома учасниками, які мають кожен тільки дві стратегії. Кожному із зазначених чотирьох ситуацій відповідає одна з пар випусків. Наприклад, якщо перший учасник вибрав стратегію, а другий - стратегію, то в ситуації, що створилася випуск першого учасника дорівнює, а другого -. Кожен учасник вибирає свою стратегію з метою отримання якомога більшої випуску.

Модель (8.4.6) називається безкоаліційної грою двох осіб або біматричних грою; учасники називаються гравцями, а випуск - виграшем першого гравця, - виграшем другого гравця.

Таким чином, біматричних гра (8.4.6) може розглядатися як ще одна (узагальнена) модель дуополії. За побудовою цієї гри оптимальні стратегії (стратегії, максимізує виграші) гравців є найкращими економічними рішеннями дуополістів.

Специфіка моделі (8.4.6), і взагалі ігрових моделей, в тому, що через конфліктного характеру прийняття рішення немає ситуацій, що доставляють гравцям їх максимальні виграші. Пояснимо це на числових значеннях елементів матриці Q, поклавши в прикладі 8.2 a = 30, b = 2, c = 6, d = 0. В цьому випадку матриця Q приймає вигляд:

Видно, що максимальний виграш першого гравця (36) може реалізуватися в ситуації, а максимальний виграш другого гравця (36) може реалізуватися в ситуації. Так як ці ситуації не сумісні, тобто не можуть реалізуватися одночасно, то домогтися максимальних виграшів обидва гравці одночасно не зможуть.

Єдиним прийнятним принципом оптимального поведінки гравців в біматричних грі є принцип рівноваги Неша (див. Визначення 8.1). Фактично цей принцип відображає відому приказку: "з двох зол вибирають менше". Застосовуючи це мудре правило, і знайдемо ситуацію рівноваги Неша в грі Q.

Вибираючи стратегію K 1, перший гравець в гіршому випадку отримає, а, застосовуючи стратегію S 1, -. Кращий з двох гірших виграшів дорівнює. Цей виграш відповідає стратегії S 1. Міркуючи так само, знайдемо для другого гравця виграш 23 і стратегію S 2. Як легко перевірити, ситуація і є рівновагою Неша. Дійсно, відхиляючись односторонньо від ситуації, будь-який гравець хіба що зменшує свій же виграш.

Нагадаємо, що ця ж ситуація в дуополии була названа дисбалансом Штакельберга, так як існує домінуюча над нею ситуація, в якій обидва дуополіст отримують великі прибутки. Але в моделі (8.4.7) в умовах відсутності обміну інформацією між гравцями ситуація реалізована не буде через ризикованості одностороннього відхилення гравців від ситуації рівноваги Неша. Цей факт говорить на користь кооперації між дуополіст, так як узгоджений вибір привів би їх до набагато кращій ситуації.

Статична модель міжгалузевого балансу. Коефіцієнти прямих матеріальних витрат. Достатня умова продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Структурна форма лінійної моделі балансу міжгалузевих матеріально-речових зв'язків.

Міжгалузевий баланс (МОБ) являє собою таблицю, в якій відображено процес формування і використання сукупного суспільного продукту в галузевому розрізі.

Баланси бувають звітні і планові. Звітні фіксують склавши шиеся пропорції, а планові відображають деякий бажане стан і виходять в результаті розрахунку за моделями, про яких і піде мова в цьому розділі.

Залежно від того, в яких одиницях вимірюються міжгалузеві потоки, розрізняють баланси натуральні і вартісні. Далі ми будемо мати на увазі в основному вартісні баланси.

Припустимо, що народне господарство представлено сукупністю п галузей. Будемо вважати, що кожна галузь виробляє тільки один продукт і кожен продукт виробляється тільки однією галуззю, т. Е. Між від-галузь і продукцією існує взаємно однозначна відповідність. Насправді це не так, тому в МОБ фігурують не реальні, а так звані "чисті", або "технологічні", галузі.

Загальний вигляд міжгалузевого балансу представлений у таблиці. Вона складається з чотирьох розділів. Перший розділ утворюється переліком "чистих" галузей. Кожна галузь представлена в МОБ двічі: як виробляє і як піт-реблять. Галузі як виробнику відповідає рядок таблиці, від-расли як споживачеві відповідає стовпець. На перетині i -го рядка і j-го стовпця знаходиться величина x ij - кількість продукції
i -й галузі (в грошовому вираженні), витраченої на виробничі потреби j -й галузі. Таким чином, перший розділ характеризує міжгалузеві по-токі сировини, матеріалів, енергії і т. Д., Обумовлені виробничою діяльністю галузей.

1

2

...

n

У

Х

1

x 11

x 12

...

x 1 n

y 1

x 1

2

х 21

x 22

x 2 n

y 2

x 2

...

...

...

...

...

...

...

n

x n 1

x n 2

...

x nn

y n

x n

V

v 1

v 2

...

v n

Х

x 1

x 2

. . .

x n


Другий розділ МОБ складається з двох стовпців. стовпець
Y - це кінцева продукція галузей. Кінцева продукція включає в себе невиробництво-ве споживання (особисте і суспільне), відшкодування вибуття основних фондів та накопичення. Стовпець Х містить величини валового виробництв-ва галузей.

Третій розділ представлений двома нижніми рядками. Рядок Х содер-жит ті ж самі величини, що і відповідний стовпець другого розділу. Рядок V містить величини умовно-чистої продукції галузей. Умовно-чиста продукція включає в себе амортизаційні відрахування і знову створену вартість (заробітну плату і прибуток).

Четвертий розділ МОБ не має безпосереднього відношення до ана-лізу міжгалузевих зв'язків. Він характеризує перерозподільні відно-шення в народному господарстві і тут розглядатися не буде.

Рядки показують розподіл продукції.Для будь-якої i -го рядка першого розділу справедливо співвідношення



тобто вся вироблена i -й галуззю продукція х i (валова продукція в де-ніжному вираженні) ділиться на проміжну і кінцеву. Проміжний-ва продукція - це та частина валової продукції i -й галузі, яка витр-дметься іншими галузями в процесі здійснення ними власних виробничих функцій.

Стовпці МОБ показують структуру витрат. Для будь-якого j-го стовпця можна записати:



тобто вартість всієї виробленої j -й галуззю продукції х j складається з те-кущіх виробничих витрат і умовно-чистої продукції v j.

Сумарний кінцевий продукт дорівнює сумарній умовно-чистої про-дукції. дійсно,





Порівнюючи праві частини цих співвідношень, бачимо, що



Знаючи сумарний кінцевий продукт або, що те ж, сумарну умовно-чисту продукцію, можна визначити національний дохід. Він дорівнює різниці сумарного кінцевого продукту і амортизаційних відрахувань, що спрямовуються на відшкодування вибуття основних фондів.

Розглянута таблиця МОБ всього лише форма подання статистичної інформації про взаємозв'язок галузей. Перейдемо тепер до построе-нию математичної моделі. Для цього введемо поняття коефіцієнтів прямих матеріальних витрат:

(1)

Коефіцієнт a ij показує, яка кількість i-го продукту витрачається на виробництво одиниці j -го продукту.

Оскільки продукція вимірюється в вартісних одиницях, коеффіці-енти прямих витрат є величинами безрозмірними. Крім того, з (1) випливає, що

(2)

Вважаючи коефіцієнти прямих матеріальних витрат постійними, запишемо систему балансових співвідношень

наступним чином:



Переносячи y i в праву частину, а x i в ліву і змінюючи знаки на протипожежні-помилкові, отримуємо



У матричної формі ця система рівнянь виглядає наступним обра-зом:

X - AX = Y або (E - A) X = Y,

де Е - одинична матриця n-го порядку;

- матриця коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Отже, ми отримали систему рівнянь міжгалузевого балансу, кото-рую називають моделлю Леонтьєва. Використовуючи цю модель, можна відповісти на основне питання міжгалузевого аналізу - яким має бути валове виробництво кожної галузі для того, щоб економічна система в цілому справила задану кількість кінцевої продукції?

Слід зазначити одна важлива властивість матриці А - сума елементів будь-якого її стовпця менше одиниці:

(3)

Для доказу розділимо обидві частини балансового співвідношення

на х j і, виконавши найпростіші перетворення, напів-чим



де v j / x j = - частка умовно-чистої продукції в одиниці валового випуску.

Очевидно, що> 0, так як в процесі виробництва не може не створювати-ся нової вартості. З цього випливає справедливість співвідношення (3).

Властивості (2) і (3) матриці А грають ключову роль в доведенні її продуктивності, т. Е. В доказі того, що при будь-якому ненегативний-ном Y система

X - AX = Y або (E - A) X = Y,

має єдине і невід'ємне рішення Х = (Е-А) -1 Y. Матрицю (Е-А) -1 позначають через В і називають матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат, або зворотною матрицею Леонтьєва. Коеф-фициент b ij цієї матриці показує, яким має бути валовий випуск i -й галузі для того, щоб забезпечити виробництво одиниці кінцевого продукту j -й галузі. Використовуючи матрицю В, можемо записати

Х = В Y

або в розгорнутому вигляді



Перевага такої форми запису балансової моделі полягає в тому, що, обчисливши матрицю В лише одного разу, ми можемо багаторазово використовувати її для обчислення Х прямим рахунком, тобто множенням В на Y. Це набагато простіше, ніж кожен раз вирішувати систему лінійних рівнянь.

Обернену матрицю В можна обчислити, використовуючи метод поводження з застосуванням формули розкладання її в матричний ряд:

В = Е + А + А 2 + ... + А k + ... (4)

Число членів ряду, необхідне для отримання достатньо точного наближення, залежить від матриці А, але в будь-якому випадку прийнятний результат досягається при k и 30.

Формула (4) має строгий математичний доказ. Але ми обмежимося тим, що спробуємо осмислити її, розглядаючи Х як результат деякого гіпотетичного процесу послідовного уточніть- ня проміжної продукції, необхідної для створення заданого кінцевого продукту.

Отже, вектор кінцевої продукції, яку має виробити еконо-мическая система, дорівнює Y. Будемо вважати, що це і є первинне завдання галузям, т. Е. Х 0 = Y. Для виконання власного завдання кожна галузь потребує продукції інших галузей. Якби всі галузі підрахували потреби і подали заявки в певний центр, то виявилося б, що сумарна потреба становить X 1 = АХ 0 = А Y. Вектор X 1 можна розглядати як проміжну продукцію, необхідну для виробництва Х 0. Але під забезпечення виробництва X 1 теж потрібна проме-жуточная продукція: X 2 = АХ 1 = А 2 Y. Міркуючи так і далі, ми приходимо до висновку, що

Х = Х 0 + Х 1 + Х 2 + ... + Х k + ... = Y + АY + А 2 Y + ... + A k Y + ... =

= (Е + а + а 2 + ... + а k + ...) Y.

Повні витрати можна розкласти на пряму і непряму складаючи-ющие. Прямі витрати здійснюються безпосередньо при виробництві даного продукту, а непрямі А 2 + А 3 + ... + А k + ... відносяться до передують-щим стадіях виробництва. Вони здійснюються не прямо, а через посеред-ство інших інгредієнтів, що входять до даного продукту. Елементи матриці А 2 представляють собою непрямі витрати першого порядку, елементи матриці А 3 - непрямі витрати другого порядку і т. Д.

Статична модель міжгалузевого балансу, розширена балансом праці. Коефіцієнти повних витрат праці. Коефіцієнти фондомісткості галузей. Баланс основних виробничих фондів. Статична модель міжгалузевого балансу, розширена балансом основних виробничих фондів.

Показники використання трудових ресурсів та основних виробництв-ських фондів також можуть бути досліджені в міжгалузевому контексті.

Нехай L - середньорічна чисельність працівників i -й галузі. За ана-логії з коефіцієнтами прямих матеріальних витрат вводяться коефі-цієнт прямих витрат праці:



Знаючи ці коефіцієнти, можемо обчислити сумарну потребу в трудових ресурсах при заданому обсязі валового виробництва:



Валове виробництво можна виразити через кінцеву продукцію за формулою

Скористаємося цією формулою і запишемо попереднє соот-носіння так:



Величина показує, яка кількість трудових ресурсів i -й отрас-ли необхідно для того, щоб забезпечити i -й продукцією випуск одиниці j -го кінцевого продукту. Підсумовуючи по всіх галузях, отримуємо



або у векторній формі:

Т = В T t.

Т j - коефіцієнт повних витрат праці (повна трудомісткість). Він по-показувала, скільки трудових ресурсів всіх галузей необхідно для виробництва одиниці j-го кінцевого продукту.

Таким чином, сумарна потреба в трудових ресурсах може бути обчислена двома способами:

(1)

Аналогічно визначаються коефіцієнти прямої та повної фондомісткості. Нехай F i - середньорічна кількість використовуваних основних фон-дів. Тоді коефіцієнт прямої фондомісткості



Коефіцієнт повної фондомісткості



Те ж в векторній формі:

Ф = В T t.

Коефіцієнт Ф j показує, яка кількість основних фондів усіх галузей необхідно для виробництва одиниці j-го кінцевого продукту.

За аналогією з (1) сумарна потреба в основних фондах обчислюва-ляется так:



Коефіцієнти повної трудомісткості і фондоємності можна подібно коефіцієнтами повних матеріальних витрат розглядати як суму прямої і непрямої складових. Наприклад, для повної фондомісткості:

Ф = (Е + А + А 2 + ... + А до + ...) Т, f = f + (А + А 2 + ... + А k + ...) Т f.

Непряма складова повної фондомісткості (так само, як і повної трудомісткості) порівняно невелика в сировинних галузях і зростає в "завершальних" галузях до 90ё95%.

Приклад. Обчислити загальну потребу в трудових ресурсах, якщо відомі коефіцієнти прямих матеріальних витрат, коефіцієнти прямих витрат праці і заданий вектор кінцевого продукту:



Для вирішення цього завдання потрібно скористатися формулою



Як бачимо, можливі два способи: 1) обчислити Х = В Y, а потім прима-нитка формулу L = (t, x); 2) обчислити коефіцієнти повних витрат праці Т = B T t і далі L = (Т, Y). Але в обох випадках необхідно спочатку обчислити

матрицю В.



Перший спосіб:





Другий спосіб:





Найважливішу частину національного багатства складають основні виробничі фонди, що представляють собою матеріально-технічну базу народного господарства. Основні виробничі фонди - це засоби праці, що функціонують у всіх галузях матеріального виробництва. До основних виробничих фондів відносять тільки продукти суспільної праці, що почали функціонування у виробництві.

Основні виробничі фонди дуже різні за своїм матеріально-матеріальним складом і призначенням. Одні створюють умови для здійснення виробничого процесу, інші виконують транспортні функції, за допомогою третіх здійснюється виробничий процес і т.д. В даний час в практиці нашої статистики прийнята наступна єдина типова класифікація основних виробничих фондів по всьому народному господарству.

· Будинки.

· Споруди.

· Передавальні пристрої.

· Машини та обладнання, в тому числі: силові машини і обладнання, з них автоматичні, робочі машини і обладнання, з них автоматичні, вимірювальні і регулюючі прилади і пристрої і лабораторне устаткування, з них автоматичні, обчислювальна техніка, в тому числі автоматична, інші машини, з них автоматичні.

· Транспортні засоби.

· Інструменти.

· Виробничий інвентар і приналежності.

· Господарський інвентар.

· Робоча і продуктивна худоба.

· Багаторічні насадження

· Капітальні витрати по поліпшенню земель.

· Інші основні фонди.

По окремих галузях матеріального виробництва ця типова класифікація конкретизується з урахуванням особливостей галузі.

Основні фонди займають, як правило, основна питома вага в загальній сумі основного капіталу підприємства. Від їх кількості, вартості, технічного рівня, ефективності використання багато в чому залежать кінцеві результати діяльності підприємства: випуск продукції, її собівартість, прибуток, рентабельність, стійкість фінансового стану.

Для узагальнюючої характеристики ефективності використання основних засобів служать показники рентабельності (відношення прибутку до середньорічної вартості основних виробничих фондів), фондовіддачі (відношення вартості виробленої або реалізованої продукції за мінусом ПДВ, акцизів до середньорічної вартості основних виробничих фондів), фондомісткості (зворотний показник фондовіддачі), питомих капітальних вкладень на один карбованець приросту продукції

Динамічна модель міжгалузевого балансу. Відкрита і замкнута динамічні моделі. Збалансована траєкторія розвитку економіки в лінійній моделі з продуктивною матрицею коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

Наступним представником класу лінійних моделей економіки є модель, побудована в середині 1930-х років австрійським математиком Джоном фон Нейманом. У порівнянні з моделлю Леонтьєва, яку можна використовувати для планування виробництва на одному плановому періоді в цілому (рік, п'ятирічка і т.д.), модель Неймана відстежує виробничий процес всередині планового періоду, тобто витрати і випуск, здійснювані в кожен період часу (від кварталу в квартал, від року в рік і т.д.). Тому вона узагальнює модель Леонтьєва в двох аспектах: в динамічному плані і в плані багатопродуктових галузей. У моделі Неймана передбачається, що економіка функціонує ефективним чином як завгодно довго. Логічним наслідком такої передумови є зростання виробничих можливостей у часі з наростаючими темпами. Тому модель Неймана описує "розширюється" економіку.

Для виведення цієї схеми розглянемо функціонування економіки на деякому кінцевому періоді часу [0, T]. Відрізок [0, T] розіб'ємо точками, k = 0,1, ..., T, так, щоб вийшла зростаюча послідовність моментів часу

Тоді отримуємо послідовність напівінтервалів довжини, що покривають весь відрізок [0, T]. Момент будемо трактувати як початковий момент планування виробництва товарів, а момент - як плановий горизонт. Надалі у всіх відносинах зручно вважати і трактувати моменти як роки. При цих позначеннях ми будемо писати.

У цьому параграфі, як і в моделі Леонтьєва, будемо припускати, що економіка складається з n чистих галузей з постійними технологіями, описаними матрицею A. Планування знову будемо розуміти по схемі витрати-випуск при відомому попиті на товари, але тепер вже з урахуванням фактора часу.

Під планом виробництва на відрізку часу [0, T] будемо розуміти сукупність

Тут кожен рядок відповідає плану на рік t; - вектор запасів товарів, - вектор валового випуску. Кожна компонента вважається максимально можливим при існуючих основних фондах випуском галузі j. Валовий випуск галузі може бути збільшений шляхом додаткових вкладень, і цей показник також включається в план. Вектор позначає плановане в рік t збільшення (приріст) валового випуску. Нарешті, число l t показує загальна кількість найнятих у всіх галузях робочих в рік t.

Праця, як вид товару, не розглядалося в вихідної моделі Леонтьєва. Особливість даного товару полягає в тому, що він, по-перше, будучи відтвореним ресурсом, в той же час не є продуктом будь-якої галузі, по-друге, як фактор у виробничому процесі, займає проміжне положення між матеріальними ресурсами і готовою продукцією. Ніяке виробництво не може обходитися без трудових витрат. Одиницею її виміру є робоча сила. Необхідна для галузі кількість робочої сили визначається трудовими затратами, вкладеними в випуск однієї одиниці продукції. Даний параметр для галузі j позначимо. Тоді число робочих в галузі j в рік t одно. Вектор називається вектором трудових витрат.

Позначимо через, j = 1, ..., n, обсяги матеріальних витрат, необхідних для збільшення на одну одиницю випуску товару i. Тоді матеріальні витрати на одночасне збільшення випусків усіх галузей на величини будуть обчислюватися як, де - технологічна матриця прирости виробництва.

Наочну картину міжгалузевих зв'язків в часі при плані виробництва, плані кінцевого споживання на одного працюючого на весь плановий період і при постійних технологіях виробництва і його збільшення показує схема динамічного міжгалузевого балансу (рис. 6.2). Ця схема складається для кожного року, причому при є валовий випуск галузі j до початку планового періоду.

Балансовий характер цієї схеми полягає в тому, що її елементи повинні відповідати таким (балансовими) співвідношенням:

Тут - виробничі витрати, - додаткові витрати, відповідні збільшенню виробництва на вектор, а - кінцеве споживання в рік t. Тому умова (6.3.1) вимагає, щоб весь річний запас товарів покривав все річні витрати щорічно. Нерівність (6.3.2) задає умову на необхідний обсяг трудових ресурсів, нерівність (6.3.3) говорить про те, що запаси на даний рік не можуть перевищувати результатів виробництва попереднього року, і, нарешті, рівняння (6.3.4) описує динаміку зростання валового випуску з року в рік.

Якщо порівняти систему (6.3.1) - (6.3.5) з моделлю Леонтьєва (6.2.1), то можна помітити, що остання виходить з (6.3.1) при відсутності збільшення виробництва, тобто коли. Додаткові умови (6.3.2) - (6.3.4) викликані необхідністю врахування трудових ресурсів і динамічного характеру розвитку виробництва. Як і модель Леонтьєва, дана схема може бути узагальнена і деталізована по ряду параметрів. У наведеному тут вигляді найбільш нереальним є умова (6.3.4), яке передбачає (за наявності) отримання результатів від витрат, що здійснюються на початку періоду, вже до кінця цього періоду. Умова (6.3.4) можна переписати так:

У цій рівності останній доданок має сенс збільшення виробництва за перші t років у порівнянні з початковим обсягом випуску. Частка такого збільшення, яка припадає на одну одиницю початкового валового випуску, є

Введемо величину. Тоді рівняння (6.3.4) можна написати у вигляді

Подання динаміки виробництва в подібному вигляді буде використано нами в наступному параграфі. Тут зауважимо тільки, що більш адекватним описом динаміки виробництва, ніж (6.3.4), представляється рівність

де - віднесений до моменту t часовий лаг, ().

Позначимо і складемо матриці

за допомогою яких систему (6.3.1) - (6.3.5) перепишемо у вигляді

У математичній економіці магістраллю називається траєкторія економічного зростання, на якій пропорції виробничих показників (такі як темп зростання виробництва, темп зниження цін) незмінні, а самі показники (такі як інтенсивність виробництва, валовий випуск) ростуть з постійним максимально можливим темпом. Таким чином, магістраль - це траєкторія або промінь максимального збалансованого зростання. Її часто порівнюють зі швидкісною автострадою. Так, наприклад, для того щоб дістатися з Кемерово в Киселевск якомога швидше, найбільш доцільно спочатку проїхати по автостраді Кемерово-Новокузнецьк, а потім вже з'їхати на відгалужується від неї дорогу в районі Кисельовська. Так ми втратимо на дорогу менше часу і доїдемо до кінцевого пункту з великим комфортом, ніж якби ми їхали по звичайному шосе через Ленінськ-Кузнецький і Белово.

Оскільки "оптимальне" або "ефективне" розвиток економіки в будь-якому сенсі так чи інакше пов'язано і має супроводжуватися економічним зростанням, то для досягнення будь-якої кінцевої мети слід діяти аналогічно: спочатку вивести виробництво на магістральний шлях, тобто на траєкторію (або промінь) Неймана, що характеризується максимальним темпом зростання і мінімальною нормою відсотка (див. (6.4.14)), а після закінчення певного терміну часу вивести її до задуманої мети. Такими цілями можуть бути максимізація прибутку, мінімізація витрат, максимізація корисності від споживання товарів, досягнення конкурентного рівноваги при найбільш сприятливих умовах, тобто на більш високому рівні добробуту населення, і т.д.

Отже, з одного боку ми маємо магістральні моделі, а з іншого - оптимізаційні або ще ширше - нормативні моделі економіки. Вивчення цих двох моделей у взаємозв'язку, тобто вивчення зв'язку між магістральними та оптимальними (в тому чи іншому сенсі) траєкторіями і є предметом магістральної теорії. Можна говорити, що магістральна теорія є одним із засобів якісного аналізу оптимальних траєкторій. Основною метою цієї теорії є дослідження умов так званих "слабкою" і "сильною" теорем про магістралях. Слабка теорема стверджує, що за винятком деякого малого періоду (або деякого числа дискретних моментів з), що не залежить від тривалості T планового періоду, все оптимальні траєкторії зосереджуються у відносній близькості до магістральної траєкторії. Сильна теорема говорить про те, що ті невеликі проміжки часу, на яких оптимальні траєкторії віддалені від магістральної, якщо вони існують, то хіба лише на початку періоду, тобто , Або в кінці періоду, тобто ; а в середині періоду оптимальні траєкторії розташовані у відносній близькості до магістральної.

У загальному випадку в моделях економічної динаміки навіть при незмінності технологічних можливостей затвердження теорем про магістралі не виконуються. Для їх виконання доводиться вводити різні додаткові припущення про властивості вихідної моделі економіки. Інший шлях полягає у вивченні реальних оа з ключових в економіч-ської діяльності, зокрема в управлінні виробництвом і фінансами. Під ризиком прийнято розуміти ймовірність (загрозу) по-тери особою або організацією частини своїх ресурсів, недоотримання доходів або появи додаткових витрат у результаті осу-ществления певної виробничої і фінансової політики.
Розрізняють такі види ризиків:

· Виробничий, пов'язаний з можливістю невиконання фірмою своїх зобов'язань перед замовником;

· Кредитний, обумовлений можливістю невиконання фірмою своїх фінансових зобов'язань перед інвестором;

· Процентний, що виникає внаслідок непередбаченого изме-нения процентних ставок;

· Ризик ліквідності, обумовлений несподіваною зміною кредитних і депозитних потоків;

· Інвестиційний, викликаний можливим знеціненням ін-вестіціонно-фінансового портфеля, що складається з власних і придбаних цінних паперів;

· Ринковий, пов'язаний з можливим коливанням як ринкових процентних ставок власної національної грошової одиниці, так і курсу зарубіжних валют.

Ризик поділяється на динамічний і статичний. Динамічн-ський ризик пов'язаний з виникненням непередбачених змін вартості основного капіталу внаслідок прийняття управлінських рішень, а також ринкових чи політичних обставин. Такі зміни можуть призвести як до втрат, так і до додаткових доходів. Статичний ризик обумовлений можливістю втрат ре-альних активів внаслідок нанесення шкоди власності і втрат доходу через недієздатність організації.

Всі учасники проекту зацікавлені в тому, щоб не допуска-тить можливість повного провалу проекту або хоча б уникнути збитку. В умовах нестабільної, мінливої ​​ситуації необхідно враховувати всі можливі наслідки від дій конкурентів, а також зміни кон'юнктури ринку. Тому ос-новное призначення аналізу ризику полягає в тому, щоб забезпечити партнерів інформацією, необхідною для прийняття рішень про це-лесообразності участі в деякому проекті, і передбачити заходи щодо захисту від можливих фінансових втрат.

При аналізі ризику можуть використовуватися такі умови або припущення:

* Втрати від ризику не залежать один від одного;

* Втрати по одному з певного переліку ризиків не обязатель-но збільшують ймовірність втрат за іншими;

* Максимально можливий збиток не повинен перевищувати фінан-сових можливостей учасників проекту.

Всі фактори, що впливають на зростання ступеня ризику в проекті, можна умовно розділити на об'єктивні і суб'єктивні. Об'єктивні чинники безпосередньо не залежать від самої фірми: це інфляція, конкуренція, політичні та економічні кризи, екологія, на-логи і т.д. Суб'єктивні чинники безпосередньо характеризують дану фірму: це виробничий потенціал, технічне осна-щення, рівень продуктивності праці, що проводиться фінансова, технічна та виробнича політика, зокрема вибір типу контракту між інвестором і замовником. Останній фактор відіграє особливо важливу роль для фірми, оскільки від типу контракту залежать ступінь ризику і величина винагороди по закінченні проекту.

Дослідження ризику доцільно проводити в наступній по-послідовності:

* Виявлення об'єктивних і суб'єктивних факторів, що впливають на конкретний вид ризику;

* Аналіз виявлених чинників;

* Оцінка конкретного виду ризику з фінансових позицій, визна-ділячи яку фінансову спроможність проекту, або його еко-номічного доцільність;

* Установка допустимого рівня ризику;

* Аналіз окремих операцій за обраним рівнем ризику;

* Розробка заходів щодо зниження ризику.

Фінансування проекту, будучи одним з найбільш важливих умов забезпечення ефективності його виконання, має бути націлене на забезпечення потоку інвестицій для планомірного виконання проекту, на зниження капітальних витрат і ризику проекту за рахунок оптимальної структури інвестицій і отримання податкових переваг. У плані фінансування проекту повинні враховувати-ся наступні види ризиків:

* Нежиттєздатності проекту;

* Податковий;

* Несплати заборгованостей;

* Незавершення будівництва.

Високий ступінь ризику проекту призводить до необхідності по-позову шляхів штучного зниження його (ризику) можливих по-наслідків на стан справ фірми.

В існуючій практиці застосовуються головним чином подружжя-ре основних способи управління ризиком: розподіл ризику між-ду усіма учасниками проекту (передача частини ризику соісполніте-лям), страхування, резервування коштів на покриття непредві-денних витрат і диверсифікація.

Аналіз ризиків поділяється на два взаємно доповнюють один одного види: якісний, головне завдання якого полягає у визначенні факторів ризику і причин, що призводять до ризико-вим ситуацій, і кількісний, що дозволяє обчислити розмі-ри окремих ризиків і ризику проекту в цілому.

заходи ризику

Найбільш поширена точка зору, згідно з якою мірою ризику комерційного (фінансового) рішення або операції слід вважати середньоквадратичне відхилення (позитивний квадрат-ний корінь з дисперсії) значення показника ефективності цього рішення або операції. Дійсно, оскільки ризик обумовлений недетермінірованностью результату рішення (операції), то, чим менше розкид (дисперсія) результату рішення, тим більше він пред-сказуем, тобто менше ризик. Якщо варіація (дисперсія) результату дорівнює нулю, ризик повністю відсутній. Наприклад, в умовах ста-більной економіки операції з державними цінними буму-гами вважаються безризиковими.

Найчастіше показником ефективності фінансового рішення (операції) є прибуток.

Розглянемо в якості ілюстрації вибір деяким особою одного з двох варіантів інвестицій в умовах ризику. Нехай име-ються два проекти Л і В, в які зазначена особа може вкласти кошти. Проект А в певний момент в майбутньому забезпечує випадкову величину прибутку. Припустимо, що її середнє очіку-даємо значення, математичне сподівання, одно т А з дисперсією S A. Для проекту В ці числові характеристики прибутку як випадкової величини передбачаються рівними відповідно т в і S B ~. Середньоквадратичні відхилення дорівнюють відповідно S A і S B.

Можливі такі випадки:

a) т А = т в, S A B, слід вибрати проект Л;

b) т А> т в, S A слід вибрати проект А;

c) т А> т в, S A = sb, слід вибрати проект Л;

d) т А> т в, S A> S B;

e) т А в, S A B.

В останніх двох випадках рішення про вибір проекту А чи В залежить від ставлення до ризику ОПР. Зокрема, в разі d) проект А забезпечує більш високу середню прибуток, однак він і більш ризикований. Вибір при цьому визначається тим, який додаткового-котельної величиною середнього прибутку компенсується для ОПР за-дане збільшення ризику. У разі е) для проекту А ризик менший, але і очікуваний прибуток менше.

Магістральні моделі економіки. Магістральна модель накопичення основних виробничих фондів в кінці планового періоду. Модель фон Неймана розширюється економіки.

Класична (вихідна) модель Неймана будується при таких передумовах:

1. економіка, яка характеризується лінійної технологією, складається з галузей, кожна з яких має кінцевим числом виробничих процесів, тобто випускається декілька видів товарів, причому допускається спільна діяльність галузей;

2. виробничі процеси розгортаються в часі, причому здійснення витрат і випуск готової продукції розділені тимчасовим лагом;

3. для виробництва в даний період можна витрачати тільки ті продукти, які були вироблені в попередньому періоді часу, первинні чинники не беруть участь;

4. попит населення на товари і, відповідно, кінцеве споживання в явному вигляді не виділяються;

5. ціни товарів змінюються в часі.

Перейдемо до опису моделі Неймана. На дискретно часовому інтервалі з точками розглядається виробництво, в якому n видів витрат за допомогою m технологічних процесів перетворюються в n видів продукції. Ми не будемо вказувати число галузей, так як в подальшому не знадобиться підкреслювати приналежність товарів або технологій до конкретних галузей. У моделі Леонтьєва технологічні коефіцієнти були віднесені до одиниці продукту. У моделі Неймана, приймаючи в якості виробничих одиниць не галузям, а технологічні процеси, зручно віднести ці коефіцієнти до інтенсивності виробничих процесів.

Інтенсивністю виробничого процесу j називається обсяг продуктів, що випускаються цим процесом за одиницю часу. Рівень інтенсивності j -го процесу в момент часу t позначимо через (). Зауважимо, що є вектором, число компонент якого відповідає числу випущених j -им процесом видів товарів і послуг.

Припустимо, що функціонування j -го процесу () з одиничною інтенсивністю вимагає витрат продуктів в кількості

і дає випуск товарів в кількості

Введемо позначення. Пара характеризує технологічний потенціал, закладений в j -му процесі (його функціонування з одиничною інтенсивністю). Тому пару можна назвати базисом j -го виробничого процесу, маючи на увазі, що для будь-якої інтенсивності відповідну пару витрати-випуск можна виразити як. Тому послідовність пар

що представляють собою витрати і випуски всіх виробничих процесів в умовах їх функціонування з одиничними інтенсивностями, будемо називати базисними процесами.

Все m базисних процесів описуються двома матрицями

де A - матриця витрат, B - матриця випуску. Вектор називається вектором інтенсивностей. Відповідні цьому вектору витрати і випуски по всіх m процесам можна отримати як лінійну комбінацію базисних процесів (6.4.1) з коефіцієнтами:

Кажуть, що у виробничому процесі базисні процеси (6.4.1) беруть участь з інтенсивностями. Як видно з (6.4.2), неймановская технологія, описувана двома матрицями A і B одиничних рівнів витрат і випуску, є лінійної (див. Передумову 1) на початку параграфа). Розглядаючи всі допустимі "суміші" базисних процесів, отримуємо розширене безліч виробничих процесів

яке і відображає допустимість спільної діяльності галузей. Можливість спільного виробництва декількох продуктів в одному процесі випливає з того, що в кожному процесі j може бути відмінною від нуля більш ніж одна з величин. Безліч (6.4.3) являє собою неймановскую технологію в статиці (в момент t). Якщо в матриці A покласти n = m, матрицю B ототожнити з одиничною матрицею, а інтерпретувати як вектор валового випуску, то (6.4.2) перетворюється в Леонтійовському технологію.

Продовжимо опис моделі Неймана. Згідно передумов 2) і 3), витрати в момент t не можуть перевищувати випуску, відповідного попереднього моменту t-1 (рис. 6.3).

Тому їх необхідно виконувати умови:

де - вектор запасів товарів на початок планованого періоду.

Позначимо через, вектор цін товарів. Нерівність (6.4.4) можна трактувати як неперевищення попиту над пропозицією в момент t. Тому в вартісному вираженні (у цінах моменту t) має бути:

За припущенням 5) прибуток базисного процесу на відрізку [t-1, T] дорівнює величині, тобто витрати здійснюються за ціною початку періоду, а готова продукція - за ціною моменту її реалізації. Таким чином, витрати по всіх базисним процесам можна записати як, а виручку - як (рис. 6.4).

Будемо говорити, що базисні процеси незбиткове, якщо, неприбуткові - якщо

У моделі Неймана передбачається неприбутковість базисних процесів.Це пояснюється тим, що витрати і виручки розведені в часі, тобто відносяться до різних моментів часу, і в разі розширення економіки "характерний випадок падіння цін ()", тобто купівельна спроможність грошей в момент t буде вище, ніж в момент t-1. З таким обґрунтуванням можна погодитися або не погодитися. Головна ж причина неприбутковості базисних процесів закладена у визначенні економічної рівноваги. Пояснимо це трохи докладніше.

Основний предмет дослідження Дж. Фон Неймана - це можливість існування рівноваги в розглянутій їм динамічної моделі економіки при заданих в кожен момент цінах. Як випливає з визначення 5.2, при рівновазі в умовах досконалої конкуренції має місце вартісної баланс (див. (5.3.8)). Таким чином, в умовах рівноваги не створюється ніякого прибутку, і нерівність (6.4.6) є відображенням цього факту. Тому, якщо в (6.4.6) для деякого базисного процесу j має місце суворе нерівність, тобто пропозиція перевищує попит:

то повинно бути. Інакше кажучи, відсутність "негативною прибутку" забезпечується нульовий інтенсивністю. Звідси отримуємо

Опис моделі Неймана завершено. Сукупність нерівностей і рівнянь (6.4.4) - (6.4.7):

де і - матриці витрат і випуску відповідно, називається (динамічної) моделлю Неймана.

Визначення 6.2. Кажуть, що в економіці спостерігається збалансоване зростання виробництва, якщо існує таке постійне число, що для всіх m виробничих процесів

Постійне число називається темпом збалансованого зростання виробництва.

Змістовно (6.4.9) означає, що всі рівні інтенсивності зростають однаковими темпами

Розкриваючи рекуррентно праву частину (6.4.9), отримуємо

де - інтенсивність процесу j, що встановилася на початок планового періоду. Зауважимо, що t в правій частині (6.4.10) є показником ступеня, а в лівій - індексом.

У разі збалансованого зростання виробництва, з урахуванням сталості темпу зростання, послідовність називається стаціонарної траєкторією виробництва.

Визначення 6.3. Кажуть, що в економіці спостерігається збалансоване зниження цін, якщо існує таке постійне число, що для всіх n товарів

Постійне число називається нормою відсотка.

Змістовно (6.4.11) означає, що ціни на всі товари знижуються однаковими темпами

Назва "норма відсотка" для темпу зниження прийнято по асоціації з показником норми відсотка (норми прибутковості) у формулі складного відсотка, де R0 - сума початкового вкладення, Rn - отримується через n періодів кінцева сума, - норма відсотка. Так як у визначенні 6.3 мова йде про зниження, то "норма відсотка" в (6.4.11) входить з негативним знаком ().

З рівності (6.4.10) отримуємо

де - ціни, що встановилися на початок планового періоду.

У разі збалансованого зниження цін послідовність називається стаціонарної траєкторією цін.

Підставляючи (6.4.10) і (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8), отримуємо її "стаціонарну" форму:

Ця система співвідношень показує, що по стаціонарним траєкторіях y і p економіка розвивається відповідно до незмінного динамічному закону. Тому таку ситуацію природно назвати рівноважною.

Визначення 6.4. Четвірка, де y - стаціонарна траєкторія виробництва, p - стаціонарна траєкторія цін, а й - відповідні їм темп збалансованого зростання виробництва і норма відсотка (темп збалансованого зниження цін), називається станом (динамічного) рівноваги в моделі Неймана (6.4.8).

Зробимо наступні припущення:

а)
в) для кожного j існує хоча б одне i, таке що;
г) для кожного i існує хоча б одне j, таке що;
д) для кожного t.

Теорема 6.4. Якщо виконані умови а)-д), то в моделі Неймана (6.4.8) існує стан рівноваги.

Умови в) і г) говорять про наявність в кожному стовпці матриці A і кожному рядку матриці B принаймні одного позитивного елемента. Змістовно це означає, що серед всіх виробничих процесів немає таких, які нічого не витрачають, і кожен з n видів продуктів дійсно проводиться. Умова д) має чисто технічне призначення.

Визначення 6.5. число

називається максимальним темпом збалансованого зростання, а число

називається мінімальною нормою відсотка.

Виявляється, що в стані рівноваги числа і існують і рівні між собою:

якщо тільки початкові точки y0 і p0 також задовольняють цій рівності.

Траєкторія виробництва, що задовольняє умовам (6.4.13) при і та відповідає максимальному збалансованого зростання, тобто , Називається траєкторією рівноважного зростання (або траєкторією Неймана, або магістраллю). Оскільки цю траєкторію можна представити у вигляді, де, то її ще називають променем Неймана а ціни (6.4.12), відповідні мінімальній нормі відсотка, називають Неймановская цінами.

У математичній економіці магістраллю називається траєкторія економічного зростання, на якій пропорції виробничих показників (такі як темп зростання виробництва, темп зниження цін) незмінні, а самі показники (такі як інтенсивність виробництва, валовий випуск) ростуть з постійним максимально можливим темпом. Таким чином, магістраль - це траєкторія або промінь максимального збалансованого зростання. Її часто порівнюють зі швидкісною автострадою. Так, наприклад, для того щоб дістатися з Кемерово в Киселевск якомога швидше, найбільш доцільно спочатку проїхати по автостраді Кемерово-Новокузнецьк, а потім вже з'їхати на відгалужується від неї дорогу в районі Кисельовська. Так ми втратимо на дорогу менше часу і доїдемо до кінцевого пункту з великим комфортом, ніж якби ми їхали по звичайному шосе через Ленінськ-Кузнецький і Белово.

Оскільки "оптимальне" або "ефективне" розвиток економіки в будь-якому сенсі так чи інакше пов'язано і має супроводжуватися економічним зростанням, то для досягнення будь-якої кінцевої мети слід діяти аналогічно: спочатку вивести виробництво на магістральний шлях, тобто на траєкторію (або промінь) Неймана, що характеризується максимальним темпом зростання і мінімальною нормою відсотка (див. (6.4.14)), а після закінчення певного терміну часу вивести її до задуманої мети. Такими цілями можуть бути максимізація прибутку, мінімізація витрат, максимізація корисності від споживання товарів, досягнення конкурентного рівноваги при найбільш сприятливих умовах, тобто на більш високому рівні добробуту населення, і т.д.

Отже, з одного боку ми маємо магістральні моделі, а з іншого - оптимізаційні або ще ширше - нормативні моделі економіки. Вивчення цих двох моделей у взаємозв'язку, тобто вивчення зв'язку між магістральними та оптимальними (в тому чи іншому сенсі) траєкторіями і є предметом магістральної теорії. Можна говорити, що магістральна теорія є одним із засобів якісного аналізу оптимальних траєкторій. Основною метою цієї теорії є дослідження умов так званих "слабкою" і "сильною" теорем про магістралях. Слабка теорема стверджує, що за винятком деякого малого періоду (або деякого числа дискретних моментів з), що не залежить від тривалості T планового періоду, все оптимальні траєкторії зосереджуються у відносній близькості до магістральної траєкторії. Сильна теорема говорить про те, що ті невеликі проміжки часу, на яких оптимальні траєкторії віддалені від магістральної, якщо вони існують, то хіба лише на початку періоду, тобто , Або в кінці періоду, тобто ; а в середині періоду оптимальні траєкторії розташовані у відносній близькості до магістральної.

У загальному випадку в моделях економічної динаміки навіть при незмінності технологічних можливостей затвердження теорем про магістралі не виконуються. Для їх виконання доводиться вводити різні додаткові припущення про властивості вихідної моделі економіки. Інший шлях полягає у вивченні реальних галузевих пропорцій і порівнянні їх з магістральними. Завдяки технічному прогресу і мінливості в часі громадських переваг різних благ, реальний стан економіки при детальному (дезагреговані) її описі завжди значно відрізняється від магістрального. У той же час, як показують отримані в цьому напрямку результати досліджень, при високому рівні агрегування економічні пропорції близькі до магістральних.

Модель загальної економічної рівноваги в довгостроковому періоді. Фактори валового національного продукту (ВНП) і його уявлення за допомогою виробничої функції макроекономічного аналізу. Розподіл ВНП по факторам виробництва. Функція споживання.

Цінність моделей мобу для аналізу макроекономічної рівноваги велика, так провідні чинники і показники економіки, зокрема: сфери і сектора; валовий випуск; валовий національний продукт; проміжний продукт; національний дохід; всі національні потоки; імпортно-експортні зв'язку.

За допомогою цієї моделі можуть бути отримані дані для аналізу основних макроекономічних пропорцій, зроблений їх прогноз.

Модель Леонтьєва називається «витрати-випуск» тому, що окремі галузі розглядаються в балансі двояко:

1. як виразники сукупного попиту і покупці матеріальних благ і послуг, запропонованих іншими галузями (витрати) - це стовпці балансу;

2. як виразники сукупної пропозиції та продавці матеріальних благ і послуг, які вони надають самі іншим галузям (випуск) - це рядки балансу.

Модель витрати - випуск пов'язана з системою національних рахунків (СНР), прийнятої в країнах з ринковою економікою.

Баланс Леонтьєва (в згорнутому вигляді).

По вертикалі відображаються рахунки наступів (покупок), а по горизонталі рахунку випуску (продажів). [Метка3]

З цієї моделі в ідеалі можна отримати наступні види рівноваги:

1. галузеве рівновагу

Напр., Для галузі (1):

Або: сума рахунків витрат галузі дорівнює сумі рахунків випуску її продукції.

2. міжгалузеве рівновагу, наприклад для обробної і добувної промисловості.

Х 32 Р 3 = Х 23 Р 2

Або: підсумок пропозиції продукції галуззю (3) для галузі (2) дорівнює підсумку попиту галузі (3) на продукцію галузі (2). Зазвичай в реальному житті такий тип рівноваги відсутня.

3. Загальна рівновага

або: сукупна пропозиція і сукупний попит на товари рівні.

У ряді випадків може бути відсутнім і галузеве рівновагу. Однак в моделі Леонтьєва в сумі все збалансовано тому, що МОБ відображає факт відбулися угод, реальні ринкові потоки. А це означає, що в моделі Леонтьєва відображена лише частина проблем макроекономічної рівноваги. Не враховуються фактори, що порушують цю рівновагу, наприклад, підприємства-банкрути; склади; дефіцитний стан економіки, економічні цикли.

За допомогою МОБ можна проаналізувати основні макроекономічні показники: ВНП, споживання, накопичення, ВОП, його структуру, ефективність використання ресурсів, розрахувати форму накопичення і т.д.

Наведена (функціональна) форма статичної моделі міжгалузевого балансу.Мультиплікатор Леонтьєва (матриця коефіцієнтів повних матеріальних витрат). Коефіцієнти прямих витрат праці. Баланс трудових ресурсів.

Для більш глибокого вивчення міжгалузевих зв'язків і вдосконалення прогнозування народного господарства, поряд з коефіцієнтами прямих витрат, велике наукове і практичне значення набуває обчислення так званих коефіцієнтів повних витрат, тобто витрат, пов'язаних з виробництвом того чи іншого продукту не тільки прямо, але і побічно через інші продукти.

Коефіцієнти повних витрат тісно пов'язані з алгебри рішенням системи рівнянь міжгалузевого балансу. Вирішуючи ці рівняння щодо Y i, після того як замість а ij поставлені конкретні числа, а y 1, y 2,..., y n залишені в алгебраїчній формі, отримаємо для кожного Y i вираз такого вигляду

Y i = b i1 y 1 + b i2 y 2 + ... + b ij y j + ... + b im y n,

де b ij - коефіцієнти повних витрат.

Якщо тепер покласти y j = 1, а всі інші значення y рівними нулю, тобто y 1 = y 2 = ... = y j-1 = y j + 1 = ... = y n = 0, то отримаємо Y i = b ij .

Таким чином, b 1j, b 2j,... є повними витратами 1-го,
2-го, ... продуктів на одиницю j-го продукту.

Отримання коефіцієнтів повних витрат b ij математично відповідає отриманню матриці, зворотної матриці EA, тобто матриці (EA).

Дискретна динамічна модель міжгалузевого балансу з урахуванням введення потужностей. Постановка оптимізаційної моделі.

Структурна форма моделі загальної економічної рівноваги в довгостроковому періоді. Рівновага і ставка відсотка.

Види цільових функцій в економічному аналізі.

Функція, що зв'язує мета (що оптимізуються змінну) з керованими змінними в задачі оптимізації.
...........