• Визначення математичної моделі
  • Загальна схема прийняття рішення
  • Типи завдань на оптимізацію
  • Транспортна задача.
  • Задача про призначення на роботу.
  • 3адача про сумішах (про раціоні).
  • Завдання про рюкзаку.
  • Завдання про комівояжера.
  • Завдання про верстати.
  • Задача про розподіл капіталовкладень.
  • Завдання про розміщення виробництва.
  • Список використаної літератури


  • Дата конвертації25.03.2017
    Розмір28.48 Kb.
    Типкурсова робота

    Скачати 28.48 Kb.

    Математичні моделі поведінки виробників

    Міністерство освіти і науки України

    Донецький Національний університет

    Курсова робота

    на тему: «Математичні моделі поведінки виробників»

    Виконала: студентка II курсу група А

    Польова Е. Л.

    Перевірила: Жиліна Л. С.

    Донецьк-2008


    зміст

    Визначення математичної моделі

    Загальна схема прийняття рішень

    Типи завдань на оптимізацію

    модель фірми

    завдання

    Список літератури


    Визначення математичної моделі

    Важливим фактором, що визначає роль математики в різних додатках, є можливість опису найбільш істотних рис і властивостей досліджуваного об'єкта на мові математичних символів і співвідношень. Такий опис прийнято називати математичним моделюванням або формалізацією.

    Визначення 1. Математичної моделлю реального об'єкта (явища) називається її спрощена, ідеалізована схема, складена за допомогою математичних символів і операцій (співвідношень).

    Для побудови математичної моделі конкретної економічної задачі (проблеми) рекомендується виконання наступній послідовності робіт:

    1. Визначення відомих і невідомих величин, а також існуючих умов і передумов (що дано і що потрібно знайти?);

    2. Виявлення найважливіших факторів проблеми;

    3. Виявлення керованих і некерованих параметрів;

    4. Математичний опис за допомогою рівнянь, нерівностей, функцій та інших відносин взаємозв'язків між елементами моделі (параметрами, змінними), виходячи зі змісту даної задачі.

    Відомі параметри завдання щодо її математичної моделі вважаються зовнішніми (заданими апріорі, т. Е. До побудови моделі). В економічній літературі їх називають екзогенними змінними. Значення ж спочатку невідомих змінних обчислюються в результаті дослідження моделі, тому по відношенню до моделі вони вважаються внутрішніми. В економічній літературі їх називають ендогенними змінними.

    З точки зору призначення, можна виділити описові моделі і моделі прийняття рішення. Описові моделі відображають зміст і основні властивості економічних об'єктів як таких. З їх допомогою обчислюються числові значення економічних чинників і показників.

    Моделі прийняття рішення допомагають знайти найкращі варіанти планових показників або управлінських рішень. Серед них найменш складним є оптимізаційні моделі, за допомогою яких описуються (моделюються) завдання типу планування, а найбільш складними -Ігровий моделі, що описують завдання конфліктного характеру з урахуванням перетину різних інтересів. Ці моделі відрізняються від описових тим, що в них є можливість вибору значень керуючих параметрів (чого немає в описових моделях).

    Загальна схема прийняття рішення

    У математичній економіці важко переоцінити роль моделей прийняття рішення. Найбільш часте застосування знаходять ті з них, які зводять вихідні завдання оптимального планування виробництва, раціонального розподілу обмежених ресурсів і ефективної діяльності економічних суб'єктів до екстремальних задач, до завдань оптимального управління і до ігрових завдань. Яка ж загальна структура таких моделей?

    Будь-яке завдання прийняття рішення характеризується наявністю особи або осіб, які мають певні цілі і мають для цього певні можливості. Тому для виявлення основних елементів моделі прийняття рішення потрібно відповісти на наступні питання:

    - Хто приймає рішення?

    - Яка мета прийняття рішення?

    - В чому полягає прийняття рішення?

    - Яке безліч можливих варіантів досягнення мети?

    - За яких умов відбувається прийняття рішення?

    Отже перед нами якась загальна задача прийняття рішення. Для побудови її формальної схеми (моделі) введемо загальні позначення.

    Буквою N позначимо безліч всіх, що приймають рішення сторін. Нехай N = {1,2, ..., n}, тобто є всього n учасників ідентифікованих тільки номерами. кожен елемент визначення особа, яка приймає рішення (ОПР). (Наприклад, окрема особистість, фірма, плановий орган великого концерну, уряду та ін.).

    Припустимо, що множина всіх допустимих рішень (альтернатив, стратегій) кожного ОПР попередньо вивчено і описано математично (наприклад, у вигляді системи нерівностей). Позначимо їх через X 1, X 2,..., X n. Після цього процес прийняття рішення всіма ОПР зводиться до наступного формального акту: кожне ЛПР вибирає конкретний елемент зі свого допустимого безлічі рішень , , ..., . В результаті виходить набір х = (х1, ..., хn) обраних рішень, який ми називаємо ситуацією.

    Для оцінки ситуації х з точки зору переслідуваних цілей ОПР будуються функції f 1,..., f n (званими цільовими функціями або критеріями якості), що ставлять у відповідність кожної ситуації х числові оцінки f 1 (x), ..., f n (x) (наприклад, доходи фірм в ситуації х, або їх витрати і т. д.). Тоді мета i -го ЛПР формалізується наступним чином: вибрати таке своє рішення , Щоб в ситуації х = (х 1,..., х n) число f i (х) було якомога більшою (або меншим). Однак досягнення цієї мети від нього залежить частково в зв'язку з наявністю інших сторін, що впливають на загальну ситуацію x з метою досягнення своїх власних цілей. Цей факт перетину інтересів (конфліктність) відбивається в тому, що функція f i крім x i залежить і від інших змінних x j (j i). Тому в моделях прийняття рішення з багатьма учасниками їх цілі прічодітся формалізувати інакше, ніж максимізація або мінімізація значень функції f i (х). Нарешті, нехай нам вдалося математично описати всі ті умови, при яких відбувається прийняття рішення. (Опис зв'язків між керованими і некерованими змінними, опис впливу випадкових факторів, облік динамічних характеристик і т. Д.). Сукупність усіх цих умов для простоти позначимо одним символом .

    Таким чином, загальна схема завдання прийняття рішення може виглядати так:

    (1)

    Конкретизуючи елементи моделі (1.6.1.), Уточнюючи їх характеристики і властивості, можна получть той чи інший конкретний клас моделей прийняття рішення. Так якщо в (1.6.1.) N складається тільки з одного елемента (n = 1), а всі умови і передумови вихідної реальної завдання можна описати у вигляді безлічі допустимих рішень цього єдиного ОПР, то з (1.6.1.) Отримуємо структуру оптимизационной (екстремальної) завдання: <Х, f>. У цій схемі ЛПР може розглядатися як планують орган. За допомогою даної схеми можна написати екстремальні завдання двох видів:

    (2)

    Якщо в екстремальну задачу явно враховується фактор часу, то вона називається завданням оптимального управління. якщо n 2, то (1.6.1.) Є спільною схемою завдання прийняття рішення в умовах конфлікту, т. Е. В тих ситуаціях, коли має місце перетин інтересів двох або більше сторін.

    Часто у ЛПР є не одна, а кілька цілей. В цьому випадку з (1) отримуємо схему , Де всі функції f 1 (x), ..., f n (x) визначені на одному і тому ж безлічі Х. Такі завдання називаються завданнями багатокритеріальної оптимізації.

    Є класи задач прийняття рішення, що отримали свої назви виходячи з їх призначення: системи масового обслуговування, завдання управління запасами, завдання мережевого і календарного планування, теорія надійності та ін.

    Якщо елементи моделі (1) не залежать явно від часу, т. Е. Процес прийняття рішення зводиться до миттєвого акту вибору точки із заданої множини, то завдання називається статичною. В іншому випадку, тобто. Е. Коли прийняття рішення являє собою багатоетапний дискретний або безперервний у часі процес, завдання називається динамічної. Якщо елементи моделі (1) не містять випадкових величин і імовірнісних явищ, то завдання називається детермінованою, в іншому випадку - стохастичною.

    Типи завдань на оптимізацію

    Завдання оптимального розкрою матеріалу. Фірма Ізготавляются виріб складається з р деталей. Причому в один виріб ці деталі входять в кількостях k 1,..., k r. З цією метою проводиться розкрій m партій матеріалу. У i-ой партії є b i одиниць матеріалу. Кожну одиницю матеріалу можна розкроїти на деталі n способами. При розкрої одиниці i -ої партії j -м способом виходить а ijr деталей r-го виду. Потрібно скласти такий план розкрою матеріалу, щоб з них отримати максимальне число виробів.

    Транспортна задача. Є n постачальників і m споживачів одного і того ж продукту. Відомі випуск продукції у кожного постачальника і потреби в ній кожного споживача, витрати на перевезення продукції від виробника до споживача. Потрібно побудувати план транспортних перевезень з мінімальними транспортними витратами з урахуванням пропозиції постачальників і попиту споживачів.

    Задача про призначення на роботу. Є n робіт і n виконавців. Вартість виконання роботи i виконавцем j дорівнює c ij. Потрібно розподілити виконавців на роботи так, щоб мінімізувати витрати на оплату праці.

    3адача про сумішах (про раціоні). З m видів вихідних матеріалів кожен з яких складається з n компонент, скласти суміш, в якій вміст компонент має бути не менше b 1,..., b n.Известно ціни одиниць матеріалів з 1,..., з m і питома вага j- го компонента в одиниці i-го матеріалу. Потрібно скласти суміш, в якій витрати будуть мінімальними.

    Завдання про рюкзаку. Є n предметів.Вага предмета i дорівнює р i, цінність - сi (i = 1, ..., n). Потрібно при заданої цінності вантажу вибрати сукупність предметів мінімальної ваги.

    Завдання про комівояжера. Є n міст і задані відстані c ij між ними (j, i = 1, ..., n). Виїжджаючи з одного (вихідного) міста, комівояжер повинен побувати у всіх інших містах по одному разу і повернутися в початковий місто. Потрібно визначити в якому порядку слід обьезжать міста, щоб сумарне пройдену відстань було найменшим.

    Завдання про верстати. На універсальному верстаті обробляються однакові партії з n деталей. Перехід від обробки деталі i до обробки деталі j вимагає переналагодження верстата, яка займає c ij часу. Потрібно визначити послідовність обробки деталей, при якій загальний час переналадок верстата при обробку партії деталей мінімально.

    Задача про розподіл капіталовкладень. Є n проектів, причому для кожного проекту j відомі очікуваний ефект від його реалізації і необхідна величина капіталовкладень g j. Загальний обсяг капіталовкладень не може перевищувати заданої величини b. Потрібно визначити, які проекти необхідно реалізувати, щоб сумарний ефект був найбільшим.

    Завдання про розміщення виробництва. Планується випуск m видів продукції, які могли б проводитися на n підприємствах (n> m). Витрати виробництва і збуту одиниці продукції, плановий обсяг річного виробництва продукції і планова вартість одиниці продукції кожного виду відомі. Потрібно з n підприємств вибрати такі m, кожне з яких буде виробляти один вид продукції.

    модель фірми

    Нехай виробнича фірма випускає один вид продукції або багато видів, але в постійній структурі. Тоді річний випуск фірми в натурально-речовій формі X - це число одиниць продукції одного виду або число багато номенклатурних агрегатів. Для виробництва продукції фірма використовує справжній працю L (середнє число зайнятих в рік або відпрацьовані за рік людино-години) минулий працю у вигляді засобів праці К (основні виробничі фонди) і предметів праці М (витрачені за рік паливо, енергія, сировина, матеріали, комплектуючі тощо).

    Кожен з цих трьох агрегованих видів ресурсів (праця, фонди і матеріали) має певне число різновидів (праця різної кваліфікації, обладнання різного виду і т.п.). Позначимо вектор-стовпець можливих обсягів витрат різних видів ресурсів через х = (х 1..., х n) '. Тоді технологія фірми визначається її виробничої функцією, що виражає зв'язок між витратами ресурсів і випуском:

    X = F (x). (3)

    Передбачається, що F (x) є двічі неперервно-диференціюється і неокласичної, крім того, її матриця других похідних негативно визначена.

    Якщо ціна одиниці продукції дорівнює р, а ціна одиниці ресурсу j-го виду - wj, j = 1, ..., n, то кожному вектору витрат х відповідає прибуток П (х) = pF (x) -wx, (4) де w = (w1, w2 ..., wn) - вектор-рядок цін ресурсів. Ціни ресурсів мають природний і зрозумілий сенс: якщо хj - середньорічне число зайнятих певної професії, то wj - річна заробітна плата одного працівника даної професії; якщо хj - по-купно матеріали (паливо, енергія і т.п.), то wj - покупна ціна одиниці даного матеріалу; якщо хj - виробничі фонди певного виду, то wj - річна орендна плата за одиницю фондів або вартість підтримки одиниці фондів в справності, якщо фірма володіє цими засобами.

    В (4) R = pX = pF (x) - вартість річного випуску фірми або її річний дохід, С = wx - витрати виробництва або вартість витрат ресурсів за рік.

    Якщо немає інших обмежень на розміри втягуються в виробниц-ство ресурсів, крім природного вимоги їх позитивності, то завдання на максимум прибутку набуває вигляду

    max [pF (x) - wx] (5)

    Це завдання нелінійного програмування з п умовами невід'ємності х> 0, необхідними умовами її рішення є умови Куна-Таккера (див. В. А. Колеман «Математична економіка», с.236, Додаток 4)


    (6)


    Якщо в оптимальному рішенні використані всі види ресурсів, тобто х *> 0, то умови (6) приймають вид

    або (7)

    тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного pесурса повинна дорівнювати його ціні.

    Точно таке ж за формою рішення має завдання на максимум випуску при заданому обсязі витрат

    max F (x), (8) wx С, х 0

    Це завдання нелінійного програмування з одним лінійним обмеженням і умовою невід'ємності змінних. Відповідно до теорії (див. Додаток 4) спочатку будуємо функцію Лагранжа

    L (x, ) = F (x) + (C-wx),

    потім максимізували її за умови невід'ємності змінних. Для цього необхідно виконання умов Куна-Таккера

    (9)

    Як бачимо, умови (9) повністю збігаються з (6), якщо

    Приклад. Випуск однопродуктовой фірми задається наступною проіводственной функцією Кобба-Дугласа:

    Х = F (K, L) = 3K 2/3 L 1/3

    Визначити максимальний випуск, якщо на оренду фондів і оплату праці виділено 150 Д.Є., вартість оренди одиниці фондів w к = 5 ВО / Є.Ф., Ставка заробітної плати w L = 10 Д.Є. / чол.

    Яка гранична норма заміни одного зайнятого фондами в оптимальній точці?

    Рішення. Оскільки F (0, L) = F (K, 0) = 0, то в оптимальному рішенні К *> 0, L *> 0, тому умови (9) приймають вид

    (10)

    або в нашому випадку


    Поділивши перше рівняння на друге, отримуємо

    Підставивши це співвідношення в умова w K K * + w L L * = 150, знаходимо

    Рішення можна проілюструвати геометрично. На рис. 1 зображені ізокости (лінії постійних витрат для С = 50, 100, 150) і ізокванти (лінії постійних випусків для Х = 25,2; 37,8).

    Малюнок 1

    Ізокости мають наступні рівняння:

    5K + 10L = C = const.


    Ізокванти мають наступні рівняння:

    В оптимальній точці К * = 20, L * = 5 изокванта X * = 37,8 і изокоста, що проходять через цю точку, стосуються, оскільки згідно (10) нормалі до цих кривих, задані градієнтами , Колінеарні.

    Норма заміни праці фондами в оптимальній точці

    тобто один працюючий може бути замінений двома одиницями фондів.

    Вирішуючи завдання фірми (5) на максимум прибутку, знаходимо єдиний оптимальний набір ресурсів х *> 0 (розглядаємо випадок, коли всі ресурси увійдуть в набір). Цьому набору відповідає єдине значення витрат С * = wx *. Вирішимо тепер завдання (8) на максимум випуску при заданих витратах С *. Якщо F (x) - неокласична виробнича функція, то в оптимальному рішенні х *> 0, причому це рішення єдино.

    Таким чином, з одного боку,

    ,

    а з іншого боку - . Оскільки П (х *) = pF (x *) -wx * pF ( ) -w = П ( ) І wx * = w = С *, то , але , тому .

    Так як рішення задачі на максісмум прибутку (5) єдино, то = Х *. Отже, якщо завдання на максимум прибутку має єдине рішення х *> 0, то їй відповідає задача на максимум випуску при заданих витратах С * = wx *, причому остання має таке ж рішення, як і перша (див. Рис. 1).

    Геометричне місце точок дотику ізокост та ізоквант за різних значень витрат С визначає довгостроковий шлях розвитку фірми Х (С), тобто показує, як буде збільшуватися (зменшуватися) випуск, якщо витрати зростуть (зменшаться). Оскільки ця залежність монотонна, то існує зворотна монотонна функція витрат

    С = С (Х).

    Оскільки Х (С) - максимальний випуск за заданих витрат то витрати С (Х), що відповідають цьому максимальному випуску X, - мінімальні витрати.

    Якщо відома функція мінімальних витрат С (Х), оптимальний обсяг випуску знову визначається з умови максимального прибутку

    max П (х), П (х) = РХ -С (X). (11)

    Прирівнюємо до нуля похідну:

    т.е. в оптимальній точці граничні витрати дорівнюють ціні випуску:

    (Крім того, максимум прибутку досягається при ). Розглянемо п співвідношень (7)


    Ці співвідношення можуть бути дозволені щодо х в околиці оптимальної точки, якщо якобіан | J | 0, де

    Це означає, що повинен бути відмінний від нуля гессіан | Н | виробничої функції (але Н негативно визначена, тому дійсно | Н | = 0). тоді

    х * = х * (р, w) (12)

    або

    х j * = х j * (р, w), j = 1, ..., n

    Ці п рівнянь задають функції попиту (на ресурси), знайдені за допомогою моделі поведінки фірми. Функції попиту на ресурси можуть бути також знайдені експериментально за допомогою методів математичної статистики за вибірковими даними. функція пропозиції

    Х * (р, w) = F [x * (p, w)].

    Подібно рівнянням Слуцького, що показує реакцію споживача на зміни цін товарів, аналогічні рівняння описують реакцію виробника на зміни цін випуску і ресурсів.


    При заданих цінах р, w поведінка виробника визначається наступними співвідношеннями (всього (п + 1) співвідношення):

    Х * (р, w) = F [x * (p, w)],

    .

    завдання

    1. Виробнича функція Х = описує залежність між витратами ресурсів х 1, х 2, х 3 і випуском Х.

    Визначити максимальний випуск, якщо

    х 1 + х 2 + х 3 = 9.

    Які граничні продукти в оптимальній точці?

    Рішення.

    Згідно з умовами (8) для завдання на максимум випуску, повинні виконуватися:

    max F (x), wx С, х 0.

    Складемо функцію Лагранжа:

    L (x, ) = F (x) + (C-wx),

    L (x, ) = + ;

    Диференціюючи задану функцію по перменная х 1, х 2, х 3, маємо систему нерівностей:


    Вирішуючи систему, отримаємо значення: при = 4,061, 0,877.

    Позначимо знайдені точку через М. Знайдемо значення функції Х в отриманої точці:

    11,28.

    Знайдемо граничні продукти за ресурсами в точці М:

    2. Виробнича функція фірми має наступний вигляд:

    Х = 3 .

    Визначити граничні продукти за ресурсами і побудувати ізокванту Х = 3. Написати уравнеіе ізокліналі (лінії найбільшого зростання випуску), що проходить через точку х 1 = 1, х 2 = 1, знайти норму заміни першого ресурсу другим в цій точці.

    Рішення.

    Граничним продуктом за першим ресурсу є

    по другому -

    Рівняння ізокванти має вигляд при Х = 3:

    х 1

    х 2

    Загальне рівняння ізокліналі має вигляд: , Де (х 1 0, х 2 0) - координати точки, через яку проходить ізокліналь. Підставами точки в рівняння, отримаємо: .

    Норма заміни першого ресурсу другим в цій точці дорівнює:


    Список використаної літератури

    1. В. А. Колеман «Математична економіка».

    2. В. Д. Камаєв «Економічна теорія для вузів».

    3. В. С. Немчинов «Економіко-математичні методи і моделі».

    4. Ресурс Internet.