Дата конвертації31.03.2017
Розмір23.11 Kb.
Типконтрольна робота

Скачати 23.11 Kb.

Математичні моделі задач і їх рішення на ЕОМ

ЗАВДАННЯ № 1

З пункту А в пункт Б щодня відправляються пасажирські і швидкі поїзди. Готівковий парк вагонів різних типів, з яких щодня можна комплектувати дані поїзда, і кількість пасажирів вміщаються в кожному вагоні наведені в таблиці.

Пропускна здатність дороги не дозволяє пройти в день більш ніж 10 поїздів.

Визначити оптимальне число швидких і пасажирських поїздів, при яких буде перевозитися максимальне число пасажирів.

В даному випадку невідомими є число швидких і пасажирських поїздів Х1 і Х2

Складемо математичну модель цієї задачі.

Максимальне число пасажирів, що перевозяться даними поїздами позначимо L. Тоді цільова функція буде мати вигляд:

L = 0 * (1 * х1 + 1 * х2) + 58 * (5 * х1 + 8 * х2) + 40 * (6 * х1 + 4 * х2) + 32 * (3 * х1 + 1 * х2) - max

Обмеження на шукане рішення наступне:

1 * х1 + 1 * х2

5 * х1 + 8 * х2

6 * х1 + 5 * х2

3 * х1 + 1 * х2

Х1 + х2 <= 10

ЗАВДАННЯ №2.

1. вирішити задачу геометричним методом.

2. скласти двоїсту задачу для вихідної.

1 + 5х 2? 10

1 + 2х 2? 10

1 +4 х 2? 24

1 + 3х 2? 24

Х 12? 4

Z = 3х 1 + х 2> мах

Х 1? 0; Х 2? 0.

Х1 + 5x2> 5

5x1 + x2> 5

X1 + X2 <7

3x1-4x2 <12

-4x1 + 3x2 <12

Z = 4x1-3x2 - max

X1> 0 X2> 0

РІШЕННЯ

1. Оскільки розглядається задача на максимум, то все обмеження слід привести до виду «?». Для цього обидві частини першого і другого нерівностей слід помножити на «-1». Отримаємо: - 2х 1 -5х 2? -10

-5х 1-2х 2? -10

1 +4 х 2? 24

1 + 3х 2? 24

Х 1? 0; Х 2? 0.

2. Складемо розширену матрицю системи.

-2 -5 -10

-5 -2 -10

А 1 = 3 4 24

4 3 24

3 1 Z

3. Знайти матрицю А 1т, транспоновану до А 1.

-2 -5 3 4 3

А = -5 -2 4 3 1

-10 -10 24 24 Z

4. Сформулюємо двоїсту задачу:

Z = -10у 1 -10у 2 + 24У 3 + 24У 4> min.

-2 у 1 - 5 у 2 + 3 у 3 + 4 у 4? 3

-5у 1 - 2 у 2 + 4 у 3 + 3 у 4? 1

у 1? 0; у 2? 0; у 3? 0; у 4? 0.

ЗАВДАННЯ №3

Скласти математичну модель задачі та розв'язати цю проблему на ЕОМ.

Знайти оптимальний план перевезення, при якому транспортні витрати будуть мінімальні

Дані для кожного варіанту наведені

1.таріфи перевезень одиниці вантажу від кожного постачальника кожному споживачеві

2.запаси вантажу кожного постачальника

3.потребності у вантажі кожного споживача.

РІШЕННЯ

А 1 + А 2 + А 3 + А 4 + А 5 = 30 + 20 + 10 + 27 + 30 = 117

В 1 + В 2 + В 3 + В 4 = 30 + 40 + 50 + 10 = 130

Попит перевищує пропозицію і тому додаємо п'ятого фіктивного постівщіка.130-117 = 13 Звідси:

Х11 + Х12 + Х13 + Х14 + Х15 = 30

Х21 + Х22 + х23 + Х24 + Х25 = 20

Х31 + Х32 + Х33 + Х34 + Х35 = 10

Х41 + Х42 + Х43 + Х44 + Х45 = 27

Х51 + Х52 + Х53 + Х54 + Х55 = 30

Х61 + Х62 + Х63 + Х64 + Х65 = 13

F = 7х11 + 8х12 + 5Х13 + 5Х14 + 5х15 + 9х16 + 1Х21 +

+ 4Х22 + 2х23 + 5х24 + 9Х25 + 3Х31 + 5Х32 + 3Х33 + 8Х34 + 7Х35

+ 9Х36 + 2Х41 + 8х42 + 7Х43 + 4х44 + 5Х45 + 9Х46min.

ЗАВДАННЯ №4

Представники однієї фірми можуть прийняти по три стратегії. Матриця ефективності стратегій фірм представлена ​​в таблиці.

1. Визначити верхню і нижню ціну гри.

2. Знайти седловую точку. У разі її відсутності скласти двоїсті задачі мат.програмірованія.

КС

З 1

З 2

З 3

До 1

1

7

2

До 2

5

4

8

До 3

4

6

3

K 4

1

3

2

РІШЕННЯ

Нижня ціна гри обчислюється б = max i min j h ij = Max i в j , Де б i - найменше значення в i-тому рядку.

Верхня ціна гри обчислюється в = min j max i h ij = Min j в j , Де в j = = Max i h ij - найбільше значення в j-тому стовпці.

КС

З 1

З 2

З 3

б i

До 1

3

7

3

3

До 2

8

1

5

1

До 3

2

6

4

2

б =

1

в j

8

7

5

в =

8

Сідлова точка відсутня, значить потрібно скласти двоїсту задачу.

ЗАВДАННЯ №5

Є дані ефективності випуску нової продукції при різних варіантах рішень (стратегій) і різних станах середовища (природи), таблиця 1. Вибрати найкраще рішення, стратегію використовуючи критерії:

1. максимакс

2. Вальда

3. Севіджа

4. Гурвіца (коефіцієнт песимізму р = 0,3)

5. Байеса (ймовірності для кожного стану середовища р 1 = 0,2, р 2 = 0,3, р 3 = 0,3, р 4 = 0,2)

6. Лапласа

ТАБЛИЦЯ 1.

ВАРІАНТИ РІШЕНЬ

СТАН ПРИРОДИ

П1

П2

П3

П4

А1

7

13

9

15

А2

15

8

11

12

А3

12

6

13

10

А4

11

10

15

14

А5

8

15,5

12

15

РІШЕННЯ

1. За критерієм максимакс найкращим визнається рішення, при якому досягається максимальний виграш рівний

М = max i max j h ij = max i M i

Знаходимо М = max i h ij, табл.2, т.е.максімальное значення в i-тому рядку.

ТАБЛИЦЯ 2.

М 1 = 15, М 2 = 15, М 3 = 13, М 4 = 15, М 5 = 15,5.

Максимальне значення М = max i M i = 15,5, значить рішення А5 оптимально.

2. Згідно з критерієм Вальда найкращим є рішення, при якому W = max i min j h ij = max i W i. Знаходимо W i = Min j h ij, тобто мінімальне значення W в i-тому рядку.

Максимальне значення W = 10, отже рішення А4 є найкращим.

3. Відповідно до критерію Севіджа перевага віддається рішенню, для якого максимальні втрати при різних варіантах обстановки виявляться мінімальними, тобто досягається значення:

S = min i max j r ij = min i S i.

Знайдемо матрицю втрат (табл.4 і 5): в j = Max i h ij; r ij = В j - h ij.

ТАБЛИЦЯ 4. ВИГРАШІ

ТАБЛИЦЯ 5. ВТРАТИ.

Мінімальне значення S = 7. Отже оптимальним рішенням є рішення А5.

3.За критерієм Гурвіца перевага то рішення, при якому G = max i {min i h ij + (1 p) max j h ij} = max i G i.

Знаходимо G i = PW i + (1-p) M i, р = 0,3 за умовою задачі.

Знаходимо Gmax = 17,4 значить рішення А2 є оптимальним.

4. Згідно з критерієм Байєса найкращим є рішення, при якому досягається максимум математичного очікуваного виграшу (або мінімум середньоочікувана ризику).

Ймовірності для кожного стану середовища за умовою завдання такі:

р 1 = 0,2, р 2 = 0,3, р 3 = 0,3, р 4 = 0,2. Визначаємо математичне сподівання виграшів по кожному рішенню: МВ1 =? Р i h ij.

Визначаємо максимум очікуваного математичного виграшу. Він дорівнює 12,85, що відповідає четвертому рішенням, яке, отже, і є оптимальним.

Визначаємо середньоочікувана ризик по кожному рішенню.

МР i =? P j r ij

Визначаємо мінімум середньоочікувана ризику. Він дорівнює 2,3, що відповідає п'ятому рішенням, яке, отже, є оптимальним за даним критерієм.

5. Визначаємо значення для кожного рішення за критерієм Лапласа.

ВИГРАШІ:

Максимальний виграш складе 12,625 що відповідає 2-го оптимального рішення.

програш:

Мінімальний програш складе 2,5, що відповідає 5-ому оптимального рішення.

ЗАВДАННЯ №6.

За експериментальними даними опитування восьми груп сімей про витрати на продукти харчування, в залежності від рівня доходу сім'ї, наведеними в таблиці, потрібно:

1. Побудувати лінійну однофакторний моделі залежності витрат на харчування від доходу сім'ї.

2. Визначити коефіцієнт кореляції і оцінити тісноту зв'язку між доходами сім'ї та витратами на харчування.

3. Визначити коефіцієнт детермінації і коефіцієнт еластичності, пояснити їх зміст.

4. Визначити середню по модулю відносну помилку апроксимації і оцінити точність побудованої моделі.

Доходи сім'ї (х), тис.грн.

2.2

3,6

4,2

5,8

6,7

7,9

8,6

10,6

Витрати на продукти (у)

1,2

2,0

2,6

2,9

3,1

3,9

4,5

5

РІШЕННЯ. Підготуємо допоміжну таблицю:

табл 1

табл 2

1. За формулою визначимо коефіцієнти а 0, і а 1.

А 0 =? Уi *? Xi ^ 2? Xiyi *? Xi / n *? X ^ 2? Xi *? Xi

Ai = n *? Xiyi-? Xi *? Yi / n *? X ^ 2? Xi *? Xi.

Тоді регресійна модель, згідно з формулою, запишеться:

Y ^ = А0 + Аi * x

Побудуємо графік залежності і відзначимо експериментальні точки.

2. Для отриманої моделі визначимо:

А) коефіцієнт кореляції за формулою і оцінимо тісноту зв'язку між доходами сім'ї та витратами на харчування.

Xcp =? Xi / n Ycp =? Yi / n XYcp =? Xiyi / n

Для цього обчислимо середні значення доходів і витрат за допомогою EXCEL. Розрахунки наведені в табл 2

3. Хср = 49.6 / 8 = 6.2; Уср = 25.2 / 8 = 3.2 XcpУср = 180,9 / 8 = 22,6.

Для обчислення середньоквадратичних помилок Sy, Sx маємо формулу:

Sy = v? (Yi-y ^ i) / n Sx = v? (Xi-x ^) ^ 2 / n

Коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою:

rxy = xy ^ -x ^ * y ^ / sy * sx

3. Розрахуємо коефіцієнт детермінації: R 2 xy = 0,972111224. Значить, 97,2% величини витрат сім'ї на харчування залежить від зміни доходів сім'ї, а решта 2,8% пов'язані зі зміною інших, які не включені в модель факторів.

Обчислимо коефіцієнт еластичності:

Ехо = aix ^ / y ^

Зі збільшенням доходів сім'ї на 1% витрати на харчування збільшаться в середньому на 0,8781%.

3. Знайдемо середню по модулю лінійну відносну помилку апроксимації за формулою: d = 1 / n *? (Yi-y ^)

Коефіцієнт низький що означає точність побудови моделі висока.

ЗАВДАННЯ №7.

1. За вихідними даними з завдання 6 розрахуємо Se, Sa 0, Sa 1 за формулами. Для цього підготуємо таблицю:

Se = v1 / n-2 *? E ^ 2

Sa 0 = Se * v? X ^ 2 /? (Xi-x ^) ^ 2

Sa 1 = Se * v 1 /? (Xx ^) ^ 2

Згідно завданню маємо:

А 0 = 0,3837079 А 1 = 0,4461762. для обчислення фактичних значень t-критерію скористаємося формулами: t a 0 = a 0 / Sa 0 = 1.84707; t a 1 = 14,4617.

По таблиці 1 додатка А знайдемо табличне значення t-критерію для ступенів свободи df = 8-1-1 = 6 і рівня залежності 6%, тобто. t табл = 1,943.

При рівні значущості 6% має місце нерівність:

t a 1 = 0,073525 табл = 1,943. Значить, з упевненістю 94% можна стверджувати, що оцінка А 1 = 0,747263097 не є статистично значущою.

Аналогічно перевіримо для іншого параметра. t a 0 = 1,743736 табл = 1,943, отже оцінка А 0 = 0,123251901 також не є статистично значущою.

2. Значимість рівняння регресії в цілому і коефіцієнта тісноти зв'язку R 2 визначається за допомогою критерію Фішера. Значення оцінки R 2 отримано в попередній задачі, R 2 = 0,968583448. Фактичне значення F факт визначаємо за формулою: F факт = 184,9821.

Табличне значення F табл визначаємо по таблиці: F табл = 5,99.

Оскільки F факт = 184,9821> F табл = 5,99, то з упевненістю 94% робиться висновок про те, що рівняння регресії в цілому статистично значимо і статистично значимий показник ступеня зв'язку R 2, тобто відкидається нульова гіпотеза про те, що R 2 = 0.

ЗАВДАННЯ №8.

Є такі вихідні дані:

роки

1 997

1 998

+1999

2000

2001

2002

2003

2004

Об'єм реалізації

10,84

11,12

10,6

11,31

11,62

12,0

12,73

11,12

Коефіцієнт достовірності апроксимації для кожного типу лінії тренду

1) Лінійна у = 0,1795х - 347,71 R ^ 2 = 0.4163

2) Логоріфміческая у = 359,19 Ln (x) -2718,8 R ^ 2 = 0.1464

3) Статечна y = 3E-102x ^ 31.059 R ^ 2 = 0.422

4) Експонтенціальная у = 4Е-13е ^ 0.01558x R ^ 2 = 0.4218

Як видно з малюнка в 2005р в порівнянні з 2004р в середньому реалізація продукції збільшилася на 0,42 млн. Грн.

ЗАВДАННЯ №9.

Є дані випробувань декількох величин за результатами обстеження десяти статистично однорідних філій фірми, наведені в таблиці. х 1 - фондоозброєність, х 2 - енергоозброєність, у - продуктивність праці.

Виконати наступне:

1. Побудувати лінійну регресійну модель за допомогою ПЕОМ.

2. Виконати команду «Регресія».

3. Визначити за результатами команди «Регресія» значення коефіцієнта множинної кореляції і детермінації.

4. Перевірити статистичну значущість оцінок параметрів моделі.

5. Перевірити статистичну значущість оцінки ступеня достовірності взаємозв'язку R 2 і всієї моделі в цілому.

РІШЕННЯ.

1. побудувати регресійну модель.

2. виконати команду «Регресія», результати якої показані нижче.

Мал. Результати команда «Регресія»

Регресійна модель приймає вигляд:

у ^ = 0929087 * 2,9 + - 0,4502 * 4,5-3,246374

3. Згідно Рис коефіцієнти множинної кореляції і детермінації, в даному випадку R = 0,993689; R 2 = 0,98742.

4. Статистичну значимість оцінок параметрів моделі b, a 1, а 2 здійснимо за допомогою t-критерію. Для цього визначимо його табличне значення і його фактичні значення для кожного з оцінюваних параметрів. По таблиці 1 додатка А при рівні значущості 1% знайдемо табличне значення t-критерію для ступенів свободи df = 10-2-1 = 7 і рівня залежності 7%, тобто. t табл = 3,143.

Фактичне значення t-критерію для кожного з оцінюваних параметрів дивимося на малюнку в стовпці t-статистика в нашому випадку:

t-a1 = 15,73834 ta2 = - 0,855361 tb = 15,97697

При рівні значущості 7% t-a1 = 15,73834> t табл має місце рівність: Значить, з упевненістю 99% можна стверджувати, що оцінка А 1 параметра моделі є статистично значущою.

Умова t a 2 = -0,855361 табл = 3,143 не виконується, значить стверджуємо, що цей критерій статистично не важливий.

Умова t в = 15.97697> t табл = 3,143 виконується, значить і ця оцінка статистично значуща в моделі.

5. Значимість рівняння регресії в цілому і коефіцієнта тісноти зв'язку R 2 визначаємо за допомогою критерію Фішера. Фактичне F факт = 274,684752

Табличне значення F табл визначаємо по таблиці: F табл = 9,55. Умова F факт = 274684752> F табл = 9.55 виконується, тому з імовірністю 99% робиться висновок про те, що R 2 статистично значимий, і рівняння регресії в цілому значимо, тобто відкидається нульова гіпотеза R 2 = 0.