• Кафедра економіки і фінансів
  • Йошкар-Ола
  • 1.3. ринкова модель
  • Цінний папір А


  • Дата конвертації19.05.2017
    Розмір103.05 Kb.
    ТипКонтрольна робота

    Скачати 103.05 Kb.

    Моделі вибору оптимального портфеля цінних паперів

    Міністерство освіти і науки Російської Федерації

    Марійський державний технічний університет

    Кафедра економіки і фінансів

    контрольна робота
    з дисципліни

    «Управління портфелем цінних паперів»

    на тему

    «Моделі вибору оптимального
    портфеля цінних паперів »

    Виконали: студентки групи
    ЗФК -31 (2 вища)
    Е.А.Решетова
    С.І.Попадюк

    Перевірила: Т.Н.Бобкова

    Йошкар-Ола

    2004 р

    зміст:

    Вступ

    1. портфельний аналіз

      1. Вибір оптимального портфеля

      2. Межі розташування портфелів

      3. ринкова модель

    1.4 Графічне представлення ринкової моделі

    1.5 Диверсифікація

    2 Модель Марковіца

    2.1 Визначення складу оптимального портфеля

    3 Метод, заснований на ринковій моделі

    Вступ

    Основне завдання, яке необхідно вирішити при формуванні портфеля цінних паперів, - розподіл інвестором певної грошової суми по різним альтернативним вкладенням (наприклад, акції, облігації, готівкові гроші та ін.) Так, щоб найкращим чином досягти своїх цілей.

    Портфель цінних паперів - сукупність цінних паперів, що належать фізичній або юридичній особі, яка виступає як цілісний об'єкт управління, що має своєю метою покращувати умови інвестування, надавши даної сукупності такі інвестиційні характеристики, які недосяжні з позиції окремо взятого цінного паперу і можливі тільки при їх комбінації.

    Тип портфеля - це його інвестиційна характеристика, заснована на співвідношенні прибутку і ризику.

    В першу чергу інвестор прагне до отримання максимального доходу за рахунок виграшу від сприятливої ​​зміни курсу акцій, дивідендів, отримання твердих відсотків і т.д. З іншого боку, будь-яке вкладення капіталу пов'язано не тільки з очікуванням отримання доходу, але і з постійною небезпекою програшу, а значить, в оптимізаційних задачах з вибору портфеля цінних паперів необхідно враховувати ризик.

    В принципі для створення портфеля цінних паперів досить інвестувати гроші в якийсь один вид фінансових активів. Але сучасна економічна практика показує, що такий однорідний за змістом портфель (недиверсифікований) зустрічається дуже рідко. Набагато більш поширеною формою є так званий диверсифікований портфель, тобто портфель з найрізноманітнішими цінними паперами.

    Портфель, що складається з акцій різнопланових компаній, забезпечує стабільність одержання позитивного результату. Нинішній стан фінансового ринку змушує швидко і адекватно реагувати на його зміни, тому роль управління інвестиційним портфелем різко зростає і полягає в знаходженні тієї межі між ліквідністю, прибутковістю і ризикованістю, яка дозволила б вибрати оптимальну структуру портфеля. Цій меті служать різні моделі вибору оптимального портфеля.

    1. Портфельний аналіз

    Теорема про ефективне безлічі

    Інвестор обере свої оптимальний портфель з безлічі портфелів,
    кожний з яких

    1. Забезпечує максимальну очікувану прибутковість для деякого рівня ризику.

    2. Забезпечує мінімальний ризик для деякого значення очікуваної прибутковості.

    Набір портфелів, що задовольняють цим двом умовам, називається ефективним безліччю, або ефективної кордоном.

    досяжне безліч

    Досяжне безліч є всі портфелі, які можуть бути сформовані з групи в N цінних паперів. Це означає, що всі можливі портфелі, які можуть бути сформовані з N цінних паперів, лежать або на кордоні, або всередині досяжного безлічі (точки G, E, S і H на рис. 1 є прикладами таких портфелів). У загальному випадку, дане безліч матиме форму типу парасольки, подібну зображеною на малюнку. Залежно від використовуваних цінних паперів, воно може бути більше зміщений вправо або вліво, вгору або вниз, крім того, воно може бути ширше або вже наведеного тут безлічі.

    Теорема про ефективне безлічі в застосуванні до досяжному безлічі

    Тепер ми можемо визначити місце розташування ефективної безлічі, застосувавши теорему про ефективне безлічі до досяжному безлічі. Спочатку виділимо безліч портфелів, що задовольняють першому умові теореми про ефективне безлічі. Якщо подивитися на рис.1, то можна помітити, що не існує менш ризикового портфеля, ніж портфель Е. Це пояснюється тим, що якщо провести через E вертикальну пряму, то жодна точка досяжного множини не буде лежати лівіше даної прямої. При цьому не існує більш ризикового портфеля, ніж портфель H. Це пояснюється тим, що якщо провести через H вертикальну лінію, то жодна точка досяжного множини не буде лежати правіше даної прямої. Таким чином, безліччю портфелів, які забезпечують максимальну очікувану прибутковість при змінному рівні ризику, є частина верхньої межі досяжного безлічі, розташована між точками Е і Н.

    Рис.1 Досяжне і ефективне безліч

    Розглядаючи далі друга умова, можна помітити, що не існує портфеля, що забезпечує більшу очікувану прибутковість, ніж портфель S, тому що ні одна з точок досяжного безлічі не лежить вище горизонтальної прямої, що проходить через S. Аналогічно, не існує портфеля, що забезпечує меншу очікувану прибутковість, ніж портфель G, тому що ні одна з точок досяжного безлічі не лежить нижче горизонтальної прямої, що проходить через G. Таким чином, безліччю портфелів, які забезпечують мінімальний ризик при змінному рівні очікуваної прибутковості, є частина лівої межі досяжного безлічі, розташована між точками S і G.

    З огляду на те, що обидва умови повинні прийматися до уваги при визначенні ефективної безлічі, відзначимо, що нас задовольняють тільки портфелі, що лежать на верхній і лівій межі досяжного безлічі між точками Е і S. Відповідно ці портфелі становлять ефективне безліч, і з цієї множини ефективних портфелів (efficient portfolios) інвестор буде вибирати оптимальний для себе. Всі інші досяжні портфелі є неефективними портфелями (inefficient portfolios), тому ми їх можемо ігнорувати.

    1.1.Вибор оптимального портфеля

    Інвестор повинен намалювати свої криві байдужості на одному малюнку з ефективним безліччю, а потім приступити до вибору портфеля, розташованого на кривій байдужості, яка знаходиться вище і лівіше інших. цей портфель

    Мал. 2. Вибір оптимального портфеля

    буде відповідати точці, в якій крива стосується ефективного безлічі. Як це видно з рис. 2, таким портфелем є портфель О * на кривій байдужості I 2. Безсумнівно, що інвестор не хотів би портфель, що знаходиться на кривій I 3, але такого досяжного портфеля просто не існує. Бажання перебувати на якійсь конкретній кривої не може бути реалізовано, якщо дана крива ніде не перетинає безліч досяжності. Що стосується кривої I 1 то існує кілька портфелів, які може вибрати інвестор (наприклад, О). Однак малюнок показує, що портфель О * є найкращим з цих портфелів, так як він знаходиться на кривій байдужості, розташованій вище і лівіше. Малюнок 3 показує, що інвестор з високим ступенем уникнення ризику вибере портфель, розташований близько до точки Е. Малюнок 4 показує, що інвестор з низьким ступенем уникнення ризику вибере портфель, розташований близько до точки S.

    Криві байдужості для інвестора, який уникає ризик, опуклі і мають позитивний нахил.Ефективне безліч в загальному випадку увігнуто і має позитивний нахил, тобто відрізок, що з'єднує будь-які дві точки ефективного безлічі, лежить нижче даного безлічі. Це властивість ефективних множин є дуже важливим, так як воно означає, що існує тільки одна точка дотику ефективної безлічі і кривих байдужості.

    рис.3. Вибір портфеля інвестором з високим ступенем уникнення ризику









    Мал. 4. Вибір портфеля інвестором з низьким ступенем уникнення ризику

    Проблеми, що виникають при використанні «оптимізаторів»

    Припустимо, що капітан сучасного комфортабельного лайнера приймає рішення не використовувати сучасну навігаційну систему (систему, яка за допомогою комп'ютерів і супутників визначає місцеположення корабля з точністю до кількох футів). Замість цього він збирається покластися на метод навігації по зірок - старовинний метод, який має проблеми і приводить до неточностей. Більшість людей будуть вважати вибір капітана в кращому випадку ексцентричним, в гіршому - надзвичайно небезпечним.

    Коли справа стосується формування портфелів, більшість менеджерів з інвестицій роблять свій вибір аналогічно капітану даного судна. Вони заперечують методи формування портфелів, засновані на використанні комп'ютерів, і використовують традиційні підходи. Чи є їх рішення настільки ж дурними, як і вирішення капітана корабля? Або, може бути, даний підхід продиктований їх очевидним божевіллям?

    Концепція ефективного безлічі і оптимального портфеля інвестора є основоположними в сучасної інвестиційної теорії. На початку 50-х років Гаррі Марковіц описав рішення даних проблем. Використовуючи математичний метод відомий як квадратичне програмування інвестор може обробити очікувані прибутковості, стандартні відхилення і коваріації для визначення ефективної безлічі. Маючи оцінку своїх кривих байдужості, яка відображатиме їх індивідуальний допустимий ризик, він може потім вибрати портфель з ефективного безлічі.

    З появою дешевих і високопродуктивних комп'ютерів в 80-х роках, а також з розвитком складних моделей ризику стало можливим визначення ефективної безлічі для кількох тисяч цінних паперів за кілька хвилин. Необхідне комп'ютерне обладнання та програмне забезпечення є доступними фактично для будь-якого інвестиційного інституту. Насправді цей процес став настільки банальним, що навіть придбав власну термінологію. Використання комп'ютера для визначення ефективної безлічі і формування оптимального портфеля в розмовній мові називається оптимізацією. Портфелі «оптимізуються», а про інвесторів говорять, що вони застосовують оптимізаційну техніку.

    Незважаючи на доступність «оптимізаторів», відносно невелике число менеджерів з інвестицій в дійсності використовують їх при формуванні портфеля. Замість цього вони в основному покладаються на деякий набір правил і закономірностей.

    Чому менеджери з інвестицій відмовляються застосовувати оптимізаційних техніку при формуванні портфелів? Причиною опору є два моменти: професійні інтереси і невідповідності в практичному втіленні концепцій.

    З точки зору професійних факторів більшість інвесторів просто не відчувають себе комфортно при використанні якісних методів. В їх методах прийняття рішень підкреслюється значення інтуїції і суб'єктивних рішень. Використання оптимизационной техніки в формуванні портфеля вимагає наявності системної і формальної структури прийняття рішень. Фахівці з аналізу цінних паперів повинні прийняти на себе відповідальність за формування кількісних прогнозів очікуваної прибутковості і ризику. Керуючі портфелями повинні виконувати рішення комп'ютера. В результаті цього «оптимізатори» знищують «артистизм і грацію» управління інвестиціями.

    Крім того, з впровадженням «оптимізаторів» зростає вплив нової породи професіоналів з інвестицій - числових аналітиків (презирливо іменованих «квантами»), які координують отримання і застосування оцінок ризику і прибутковості. Авторитет, що купується числовими аналітиками, зменшує вплив аналітиків і менеджерів портфелів, що використовують традиційні методи, до їх великого незадоволення.

    Що стосується перспектив застосування «оптимізаторів», то тут існують серйозні проблеми. Зокрема, вони мають тенденцію до створення чисто інтуїтивних портфелів, не придатних для реальних інвестицій. Дана ситуація пояснюється не стільки проблемами «оптимізаторів», скільки помилками операторів, які забезпечують введення даних. Тут працює парадигма GIGO. (Що розшифровується як «сміття на вході - сміття на виході»).

    «Оптимізатори» воліють цінні папери, що володіють високими очікуваними прибутковістю, малими стандартними відхиленнями і малою величиною коваріації з іншими цінними паперами. Дуже часто при оцінці цих величин використовується інформація зі старих баз даних, що містять тисячі цінних паперів. До тих пір поки інформація про прибутковість і ризик не буде ретельно перевірена, помилки (наприклад, применшення стандартного відхилення цінних паперів) можуть привести до того, що «оптимізатор» рекомендуватиме зробити покупку деяких цінних паперів, виходячи з неправильних передумов. Навіть якщо інформація є вивіреною, екстремальні історичні події можуть привести «оптимізатор» до практично невірних рішень.

    До тих пір поки програма не братиме до уваги операційні витрати «оптимізатори» будуть також демонструвати погану звичку до операцій, що призводить до великого обороту, і рекомендацій про покупку цінних паперів низькою ліквідністю. Високий оборот пов'язаний з істотними змінами в портфелі від періоду до періоду. Високий оборот може бути причиною неприйнятно високий їх операційних витрат, які негативно позначаються на функціонуванні даного портфеля. Ліквідність (liquidity) означає можливість реального придбання цінних паперів, обраних «оптимізатором». Вибрані паперу можуть володіти бажаними характеристиками по прибутковості і ризику, але продаватися в незначних кількостях, що не дозволяють інституціональним інвесторам придбати їх без відчутних додаткових витрат на покупку.

    Існують різні рішення даних проблем, починаючи з акуратною перевірки інформації, що вводиться і закінчуючи введенням обмежень; на максимальний Оборот і мінімальну ліквідність. Проте ніщо не може замінити прогноз кваліфікованого фахівця про прибутковість і ризик цінних паперів, заснований на правильному застосуванні поняття ринкової рівноваги.

    Професійні проблеми і проблеми практичного втілення дають менеджерам з інвестицій зручний привід уникати застосування «оптимізаторів» і сконцентруватися на використанні традиційних методів формування портфелів. Однак розгляд кількісних методів формування портфелів дуже важливо. Підвищується ефективність фінансових ринків змушує менеджерів інституційних інвесторів обробляти більше інформації про більшу кількість цінних паперів і з більшою швидкістю, ніж будь-коли раніше. Як наслідок, вони змушені більшою мірою збільшити використання кількісних інструментів аналізу інвестицій. Хоча більшість з них ще не включили «оптимізатори» в процедуру формування портфелів, фактично всі вони стали більш сприйнятливі до необхідності створення диверсифікованих портфелів, що мають найвищий рівень очікуваної прибутковості при задовільному рівні ризику.

    Увігнутість ефективної безлічі

    Для того щоб зрозуміти, чому ефективне безліч є увігнутим, розглянемо наступний приклад портфеля з двох цінних паперів. Перша цінний папір компанії Ark Shipping має очікувану прибутковість в 5% і стандартне відхилення в 20%. Друга цінний папір компанії Gold Jewelry має очікувану прибутковість в 15% і стандартне відхилення в 40%. Відповідні їм точки відзначені буквами А і G на рис.5.

    Мал. 5. Верхня і нижня межі для комбінацій з двох цінних паперів А і G

    1.2.Граніци розташування портфелів

    Тепер розглянемо всі можливі портфелі, що складаються з цих цінних паперів, які може купити інвестор. Нехай X l позначає частку фондів інвестора, вкладену в Ark Shipping, а Х 2 = 1 - X l - частку, інвестовану в Gold Jewelry.Таким чином, якщо інвестор купує тільки акції Ark Shipping, то X l = 1 і Х 2 = 0. Якщо ж інвестор купує тільки акції Gold Jewelry, то X l = 0, а Х 2 = 1. Комбінація з 0,17 Ark Shipping і 0,83 Gold Jewelry також можлива, як і комбінація з 0,33 і 0,67 відповідно або 0,5 і 0,5 відповідно. Хоча існує багато інших можливих портфелів, нами буде розглянуто тільки сім з них:

    портфель А

    портфель В

    портфель З

    портфель D

    портфель E

    портфель F

    портфель G

    X1

    1,00

    0,83

    0,67

    0,50

    0,33

    0,17

    0,00

    X2

    0,00

    0,17

    0,33

    0,50

    067

    0,83

    1,00

    Для того щоб розглянути можливі інвестиції в ці сім портфелів, необхідно обчислити їх очікувані прибутковості і стандартні відхилення. Ми маємо всю необхідну інформацію для обчислення очікуваних доходностей цих портфелів відповідно до рівняння:

    Для портфелів А і G дані обчислення тривіальні, так як інвестор купує акції тільки однієї компанії. Таким чином, очікувані прибутковості становлять 5 і 15% відповідно. Для портфелів В, С, D, Е і F очікувані прибутковості відповідно рівні:

    = (0,83 х 5%) + (0,17 х 15%) = 6,70%;

    = (0,67 х 5%) + (0,33 х 15%) = 8,30%;

    = (0,50 х 5%) + (0,50 х 15%) = 10%;

    = (0,33 х 5%) + (0,67 х 15%) = 11,70%;

    = (0,17x 5%) + (0,83 х 15%) = 13,30%.

    Для обчислення стандартних відхилень даних портфелів необхідно застосувати рівняння:

    Для портфелів А і G дані обчислення знову будуть тривіальними, так як інвестор придбає акції тільки однієї компанії. Таким чином, стандартне відхилення становитиме 20 і 40% відповідно.

    Для портфелів В, С, D, Е і F застосування рівняння показує, що стандартне відхилення залежить від значення коваріації між двома цінними паперами. Цей коваріаційний член дорівнює кореляції між двома цінними паперами, помноженої на твір їх стандартних відхилень:

    Вважаючи i = 1 і j = 2, отримаємо:

    Розглянемо спочатку портфель D. Значення стандартного відхилення даного портфеля буде лежати в інтервалі між 10 і 30%, його точне значення залежить від величини коефіцієнта кореляції.

    Мінімальним значенням коефіцієнта кореляції є -1, звідси можна побачити, що нижня межа величини буде така:

    = [500 + 400 х (-1)] 1/2 = [500 - 400] 1/2 = [100] 1/2 = 10%.

    аналогічно буде максимальним, коли коефіцієнт кореляції буде максимальним, тобто рівним 1. Таким чином, верхня межа буде така:

    = [500 + (400 х 1)] '/ 2 = [500 + 400] 1/2 = [900] 2 = 30%.

    У загальному випадку для будь-якого заданого набору ваг і Х 2 нижні і верхні межі будуть досягатися при рівності коефіцієнта кореляції величинам -1 і 1 відповідно. Подібний аналіз інших портфелів показує, що їх верхні і нижні межі дорівнюють наступних значень:

    Стандартне відхилення портфеля

    Портфель

    Нижня границя

    Верхня межа

    А

    20,00%

    20,00%

    В

    10,00

    23,33

    З

    0,00

    26,67

    D

    10,00

    30,00

    Е

    20,00

    33,33

    F

    30,00

    36,67

    G

    40,00

    40,00

    Всі верхні граничні значення лежать на прямій лінії, що з'єднує точки А і G.Це означає, що будь-який портфель, складений з цих двох паперів, не може мати стандартне відхилення, відповідне точці, що лежить правіше прямій лінії, що з'єднує ці дві цінні папери. Замість цього значення стандартного відхилення повинно лежати на цій прямій лінії або лівіше неї. Це означає бажаність диверсифікації портфеля. А саме, диверсифікація веде до зменшення ризику, так як стандартне відхилення портфеля буде в загальному випадку менше, ніж середньозважена стандартне відхилення паперів, що входять в портфель.

    Всі нижні граничні значення лежать на одному з двох відрізків, що йдуть з точки А до точки на вертикальній осі, відповідної значенням в 8,30%, а звідти - до точки G. Це означає, що будь-який портфель, складений з даних цінних паперів, не може мати стандартне відхилення, зображуване точкою, що лежить лівіше будь-якого з цих двох відрізків лінії. Наприклад, портфель В має лежати на горизонтальній лінії, що проходить через вертикальну вісь в точці 6,70%, але обмежену значеннями в 10 і 23,33%.

    Будь-портфель, що складається з цих двох цінних паперів, лежить в межах кордонів трикутника, зображеного на рис.5. Його фактичне місце розташування залежить від значення коефіцієнта кореляції між цими двома цінними паперами.

    Фактичне розташування портфелів

    Якщо кореляція дорівнює нулю, то використовуючи відповідні значення ваг Х 1 і Х 2, стандартне відхилення портфелів В, С, D, Е і F можна обчислити таким чином:

    = [(400 х 0,83 2) + (1600 х 0,17 2)] 1/2 = 17,94%

    [(400 х 0,67 2) + (1600 х 0,33 2)] '/ 2 = 18,81%

    = [(400 х 0,50 2) + (1600 х 0,50 2)] '/ 2 = 22,36%

    = [(400 х 0,33 2) + (1600 х О.Б? 2)] 1/2 = 27,60%

    = [(400 х 0,17 2) + (1600 х 0,83 2)] '/ 2 = 33,37%.

    Малюнок 6 показує місце розташування даних портфелів разом з верхніми і нижніми прикордонними значеннями, які були представлені на рис. 5. Ці портфелі, так само як і всі інші можливі портфелі, що складаються з акцій Ark Shipping і Gold Jewelry, лежать на вигнутій лінії, нахиленої вліво. Хоча це і не показано тут, якщо кореляція буде менше нуля, то дана лінія сильніше зігнеться вліво. Якщо кореляція буде більше нуля, вона не зігнеться так сильно вліво. Важливо відзначити, що, поки кореляція залишається більше -1 і менше 1, лінія, що представляє безліч портфелів, що складаються з різних комбінацій двох цінних паперів, буде мати певний рівень кривизни вліво. Крім того, її верхня ліва частина буде увігнутою.

    Аналогічний аналіз може бути проведений в ситуації, коли розглядаються більше ніж дві цінні папери. Після проведення аналізу, можна зробити висновок про те, що, поки кореляція залишається менше 1 і більше - 1, верхня ліва частина кривої повинна бути увігнута, як це було у випадку двох цінних паперів. Таким чином, в загальному випадку ефективне безліч буде увігнутим.

    Мал. 6. Портфелі, є комбінацією цінних паперів А і G

    Неможливість існування «западин» на ефективному безлічі

    Попередній приклад показав, що відбувається при формуванні портфеля з акцій двох компаній (Ark Shipping і Gold Jewelry). Важливо відзначити, що при формуванні портфеля з двох інших портфелів діють ті ж принципи. Таким чином, точка А на рис. 1.6 може являти собою портфель з очікуваною прибутковістю 5% і стандартним відхиленням 20%, а точка С може представляти інший портфель цінних паперів з очікуваною прибутковістю 15% і стандартним відхиленням 40%. Комбінуючи ці два портфеля, можна створити третій, очікувана прибутковість і стандартне відхилення якого будуть залежати від часткою, інвестованих в А і G. Якщо припустити, що кореляція між двома портфелями дорівнює нулю, то третій портфель буде розташовуватися на зазначеній зігнутої лінії, що з'єднує А і G.

    Тепер, виходячи з даних фактів, можна показати, що ефективне безліч увігнуто. Покажемо, що воно не може мати ніяку іншу форму. Розглянемо ефективне безліч, зображене на рис. 7. Зауважимо, що на ньому є «западина» між точками U і V, тобто ділянку ефективної безлічі між U і V є увігнутим. Чи може дане безліч насправді бути ефективним? Ні, тому що інвестор може вкласти частину своїх фондів в портфель, якому відповідав би точка U, а решту фондів в портфель, якому відповідав би точка V. В результаті ми отримаємо портфель, що є комбінацією портфелів U і V, який повинен розташовуватися на малюнку лівіше розглянутого ефективної безлічі. Таким чином, новий портфель буде «більш ефективним», ніж портфель з такою ж очікуваною прибутковістю, розташованої на даному ефективному безлічі між точками U і V.

    Мал. 7. «Улоговина» на ефективному безлічі

    Мал. 8. Видалення «западини» на ефективному безлічі

    Для прикладу проаналізуємо портфель з розглянутого ефективної безлічі, що лежить на середині лінії між точками U і V; на рис. 8 дана точка відзначена буквою W. Якщо це дійсно ефективний портфель, то створити портфель з такою ж очікуваною прибутковістю, як у W, але з меншим стандартним відхиленням неможливо. Однак якщо інвестор вкладе половину своїх фондів в U, а другу половину в V, то він створить портфель, більш ефективний, ніж портфель W, так як він буде мати таку ж очікувану прибутковість, але менше стандартне відхилення. Чому він матиме менший стандартне відхилення? Згадаймо, що якщо кореляція між U u V дорівнює 1, то портфель повинен лежати на прямій лінії, що з'єднує U u V, і, таким чином, буде мати меншу стандартне відхилення, ніж W. На рис. 8 дана точка позначена, як Z. Так як фактично кореляція менше або дорівнює +1, то W матиме таке ж або менше стандартне відхилення, як і Z. Це означає, що розглядається ефективне безліч помилково з побудови, так як легко знайти «більш ефективний» портфель в області, де воно не є увігнутим.

    1.3. ринкова модель

    Припустимо, що прибутковість звичайної акції за даний період часу (наприклад місяць) пов'язана з прибутковістю за даний період акції на ринковий індекс, такий, наприклад, як широко відомий S & P 500 5. В цьому випадку із зростанням ринкового індексу, ймовірно, буде рости і ціна акції, а з падінням ринкового індексу, ймовірно, буде падати і ціна акції. Один із шляхів відображення цієї взаємозв'язку носить назву ринкова модель (market model):

    де -доходность ціною паперу i за даний період;

    - прибутковість на ринковий індекс I за цей же період;

    - коефіцієнт зміщення;

    - коефіцієнт нахилу;

    - випадкова похибка

    Припустивши, що коефіцієнт нахилу позитивний, з рівняння можна помітити наступне: чим вища доходність на ринковий індекс, тим вище буде прибутковість цінного паперу (зауважимо, що середнє значення випадкової похибки дорівнює нулю).

    Проблема вибору портфеля активним інвестором

    Класичне формулювання проблеми вибору портфеля відноситься до інвестора, який повинен вибрати з ефективного безлічі портфель, який представляє собою оптимальну комбінацію очікуваної прибутковості і стандартного відхилення, виходячи з переваг інвестора щодо ризику і прибутковості. На практиці, однак, це опис неадекватно характеризує ситуацію, з якою стикається більшість організацій, які управляють грошима інституційних інвесторів.

    Ми хочемо розглянути, як можна модифікувати проблему вибору портфеля для того, щоб задовольнити потреби: інституційних інвесторів.

    Певні типи інституціональних інвесторів, такі, як, наприклад, пенсійні та ощадні фонди (які ми будемо називати клієнтами), зазвичай наймають зовнішні фірми (які ми будемо називати менеджерами) в якості агентів для інвестування своїх фінансових активів. Ці менеджери зазвичай спеціалізуються на якомусь одному певному класі фінансових активів, такому, наприклад, як звичайні акції або цінні папери з фіксованим доходом. Клієнти встановлюють для своїх менеджерів еталонні критерії ефективності. Цими стандартами можуть бути ринкові індекси (наприклад, S & P 500) або спеціалізовані еталони, які відображають специфіку інвестицій (наприклад, зростаючі акції з малою капіталізацією).

    Клієнти наймають менеджерів, які в результаті своєї роботи повинні досягти еталонного рівня. Такі менеджери називаються пасивними менеджерами (див. Гл. 24). Клієнти наймають і інших менеджерів, які повинні перевищити прибутковість, що забезпечується еталонними портфелями. Таких менеджерів називають активними менеджерами.

    Для пасивних менеджерів проблема вибору портфеля є тривіальною. Вони просто купують і утримують ті цінні папери, які відповідають стандарту. Їх портфелі називають індексними фондами. Для пасивних менеджерів немає ніякої необхідності мати справу з ефективними множинами і уподобаннями але ризику і прибутковості. Дані поняття є турботою їх клієнтів. (Ефективність обраних клієнтами еталонів; є окремим питанням, тому ми не будемо тут його розглядати, хоча він дуже важливий.)

    Перед активними менеджерами коштують набагато складніші завдання. Вони повинні сформувати портфелі, які забезпечують прибутковість, що перевищує прибутковість встановлених еталонів постійно і на достатню величину.

    Найбільшою проблемою, що перешкоджає активним менеджерам, є брак інформації. Навіть найбільш здібні з них роблять численна кількість помилок при виборі цінних паперів. Незважаючи на небилиці, розповідаються про менеджерів, які забезпечують щороку ринкову прибутковість в 10 процентних пунктів, менеджери, які працюють на ринку звичайних акцій, які перевищують еталонну прибутковість (після всіх виплат і витрат) на 1-2 процентних пункту (щорічно, розглядаються як виключно ефективні виконавці. Менеджери з недоліком кваліфікації (під кваліфікацією в даному випадку мається на увазі вміння точно прогнозувати прибутковість цінних паперів) будуть в програші в порівнянні з еталоном, так як їх онорари і операційні витрати зменшують прибутковість.

    Прибутковість, яку активний менеджер отримує понад еталонної прибутковості, називають активною прибутковістю. Наприклад, менеджер, портфель якого забезпечує прибутковість в 7%, в той час як еталонний портфель забезпечує прибутковість в 4%, має активну прибутковість в 3% (7% - 4%). Очікувана активна прибутковість найбільш майстерних перевищить очікувану активну прибутковість менш талановитих менеджерів. Однак в кожен конкретний період існує певна ймовірність того, що активна прибутковість менше здатного менеджера перевищить активну прибутковість висококваліфікованого менеджера.

    Так як результати інвестиційних рішень активного менеджера є невизначеними, їх прибутковість відносно встановленої змінюється протягом часу. Стандартне відхилення активної прибутковості будемо називати активним рис кому (active risk).

    Активні менеджери можуть збільшити очікувану активну прибутковість, йдучи на більший активний ризик. Припустимо, що менеджер X передбачив, що акції IBM принесуть прибутковість вище очікуваної прибутковості еталонного портфеля. Акції IBM складають 2% в еталонному портфелі. Менеджер X може «поставити» на IВМ, збільшивши частку даних акцій в своєму портфелі до 4%. Різницю між часткою акцій в реальному портфелі і в еталонному назвемо активної пози цією (active position) (+ 2% = 4% - 2%). Якщо справи IBM складаються вдало, активна прибутковість менеджера X зменшиться. Чим активніша позиція менеджера X по IBM, тим більше очікувана активна прибутковість. Однак і активний ризик менеджера при цьому зростає.

    Активний ризик (і, таким чином, активна очікувана прибутковість) може бути виключений, якщо включити в портфель всі цінні папери в тих же частках в яких вони входять у встановлений еталонний портфель. Пасивні менеджери дотримуються цього підходу. Активні менеджери приймають на себе активний ризик, коли їх портфель відрізняється від еталонного. Раціональні і вправні активні менеджери йдуть на активний ризик тільки в тому випадку коли вони очікують зростання активної прибутковості.

    Тепер стає зрозумілою суть проблеми вибору портфеля для активного менеджера. Його не хвилює співвідношення очікуваної прибутковості портфеля і стандартного відхилення. Швидше менеджер вибирає між вищою очікуваної активної прибутковістю і більш низьким активним ризиком.

    Даний процес вимагає від нас припущень про здібності менеджера до передбачення прибутковості цінних паперів. Маючи таку інформацію, ми можемо побудувати для даного менеджера ефективне безліч (виходячи з очікуваної прибутковості і активного ризику), яке показує комбінації найвищої активної прибутковості на одиницю активного ризику і найменшого активного ризику на одиницю очікуваного активної прибутковості. Ефективне безліч більш майстерних менеджерів, буде знаходитися вище і лівіше ефективної безлічі їх менш кваліфікованих колег.

    Криві байдужості, аналогічні розглянутим в класичній теорії вибору портфеля, відображають різні комбінації активного ризику та активної прибутковості, які менеджер вважає рівноцінними. Крутизна нахилу кривих байдужості відображає ступінь уникнення ризику інвестором і має безпосереднє відношення до оцінки менеджером реакції клієнтів на різні результати своєї діяльності.

    Оптимальною комбінацією активного ризику та активної прибутковості менеджера є та точки на ефективному безлічі, в якій одна з кривих байдужості стосується даної множини. Ми можемо розглядати дану точку як бажаний рівень агресивності менеджера в реалізації його прогнозів прибутковості цінних паперів. Менеджери (і їх клієнти) з більшим ступенем уникнення ризику виберуть портфель з меншим рівнем активного ризику. Навпаки, менеджери і їхні клієнти, в меншій мірі уникають ризику, виберуть портфель з більш високим рівнем активного ризику.

    Розглянемо акції А, для яких а iI = 2% і b iI = 1,2. Це означає, що для акції А ринкова модель буде виглядати наступним чином:

    г A = 2% + 1,2 г I + AI.

    Таким чином, якщо ринковий індекс має прибутковість в 10%, то очікувана прибутковість цінного паперу становить 14% (2% + 1,2 х 10%). Якщо ж прибутковість ринкового індексу дорівнює -5%, то прибутковість цінного паперу А очікується рівній -4% (2% + 1,2 х (-5%)).

    Випадкова похибка

    Випадкова похибка (random error term) показує, що ринкова модель не дуже точно пояснює прибутковості цінних паперів. Іншими словами, коли ринковий індекс зростає на 10% або зменшується на 5%, то прибутковість цінного паперу А не обов'язково дорівнює 14% або - 4% відповідно. Різниця між дійсним і очікуваним значеннями прибутковості при відомій прибутковості ринкового індексу приписується випадкової похибки. Таким чином, якщо прибутковість цінних паперів склала 9% замість 14%, то різниця в 5% є випадковою похибкою (тобто AI = -5%; цей факт буде проілюстровано на рис. 8.11). Аналогічно, якщо прибутковість цінних паперів дорівнювала - 2% замість - 4%, то різниця в 2% є випадковою похибкою AI = + 2%.

    Випадкову похибку можна розглядати як випадкову змінну, яка має розподіл ймовірностей з нульовим математичним очікуванням і стандартним відхиленням, позначених . Таким чином, її можна розглядати як результат обертання колеса рулетки спеціального типу.

    Наприклад, випадкову похибку цінного паперу А можна розглядати як змінну, пов'язану з колесом рулетки, на якому рівномірно розташовані цілі значення від -10% до + 10% 7. Це означає, що існує 21 можливий результат обертання колеса рулетки, кожен з яких равновероятен. Звідси випливає, що при заданому наборі чисел середнє значення випадкової похибки дорівнює нулю:

    [-10 х 1/21] + [-9 х 1/21] + ... + [9 х 1/21] + [Ю х i / 21] = 0.

    Можна помітити, що дане обчислення являє собою суму творів всіх можливих результатів на ймовірність їх появи. Тепер можна показати, що стандартне відхилення даної випадкової похибки дорівнює 6,06%:

    {[(-10 - 0) 2 х 1/21] + (-9 - 0) х 1/21] + ... + [(9 - 0) х 1/21,] +
    + [(10 - 0) 2 х 1/21]} 1/2 = 6,06.

    Дане обчислення включає в себе віднімання середнього значення з кожного можливого результату, потім зведення в квадрат кожної з цих різниць, множення кожного квадрата на ймовірність отримання відповідного результату, підсумовування творів і, нарешті, витяг квадратного кореня з результуючої суми.

    Малюнок 9 представляє колесо рулетки, відповідне цій випадкової похибки. У загальному випадку випадкові похибки цінних паперів відповідають рулеткам з іншими крайніми значеннями і іншими нерівномірними інтервалами між значеннями. Хоча всі вони мають математичне сподівання, рівне нулю, стандартні відхилення у них можуть бути різними. Наприклад, цінний папір В може мати випадкову похибку з нульовим очікуваним значенням і стандартним відхиленням, рівним 4,76% 8.

    1.4. Графічне представлення ринкової моделі

    Пряма лінія в частині (а) рис. 10 являє собою графік ринкової моделі для цінного паперу А. У рівняння прямої, побудованої для цінного паперу А, виглядає наступним чином:

    За вертикальної осі відкладена прибутковість цінного паперу (r A), а по горизонтальній осі прибутковість на ринковий індекс (r I). Лінія проходить через точку на вертикальній осі, що відповідає значенню , Яке в даному випадку становить 2%. Лінія має нахил, рівний AI, або 1,2.

    Частина (б) рис. 10 являє собою графік ринкової моделі цінного паперу В. Рівняння даної прямої має наступний вигляд:

    Ця лінія йде з точки на вертикальній осі, пов'язаної зі значенням α В I, яке в даному випадку дорівнює -1%. Зауважимо, що нахил даної прямої дорівнює β BI, або 0,8.


    Мал. 9. Випадкова похибка цінного паперу А



    Мал. 10. Ринкова модель

    «Бета» коефіцієнт

    Відзначимо, що нахил в ринковій моделі цінного паперу вимірює чутливість її прибутковості до прибутковості на ринковий індекс. Обидві лінії на рис. 10 мають позитивний нахил, який показує, що чим вища доходність на ринковий індекс, тим вище за прибутковість цих цінних паперів. Однак прямі мають різний нахил. Це означає, що папери мають різну чутливість до прибутковості на індекс ринку. Точніше, А має більший нахил, ніж В, який показує, що прибутковість А є більш чутливою до прибутковості на ринковий індекс, ніж прибутковість В.

    Припустимо, що очікувана прибутковість на ринковий індекс становить 5%. Тоді якщо фактична прибутковість на ринковий індекс складе 10%, то вона перевищить на 5% очікувану прибутковість. Частина (а) рис. 10 показує, що прибутковість цінних паперів А повинна перевищити спочатку очікувану прибутковість на 6% (14% - 8%). Аналогічно, частина (б) показує, що прибутковість цінних паперів В повинна перевищити спочатку очікувану прибутковість на 4% (7% - 3%). Причиною різниці в 2% (6% - 4%) є той факт, що цінний папір А має більший нахил, ніж цінний папір В, тобто А є більш чутливою до прибутковості на ринковий індекс, ніж В.

    Коефіцієнт нахилу ринкової моделі часто називають «бета» коефіцієнт (beta) і обчислюють так:

    де позначає ковариацию між прибутковістю акції i і прибутковістю на ринковий індекс, а позначає дисперсію прибутковості на індекс. Акція, яка має прибутковість, що є дзеркальним відображенням прибутковості на індекс, матиме «бета» коефіцієнт, що дорівнює 1 (йому відповідає ринкова модель такого вигляду: r i = r I + iI). Тобто акції з «бета» коефіцієнт більше одиниці (такі, як А) мають більшу мінливістю, ніж ринковий індекс, і носять назву «агрессив ні» акції (aggressive stocks). І навпаки, акції з «бета» коефіцієнт менше одиниці (такі, як В) мають меншу мінливістю, ніж ринковий індекс, і називаються «оборонними» акціями (defensive stocks).

    Дійсні прибутковості

    Випадкова похибка дозволяє зробити припущення, що при даній прибутковості на ринковий індекс дійсна прибутковість цінного паперу зазвичай лежить поза прямою, що задається рівнянням ринкової моделі. Якщо дійсні прибутковості на цінні папери А і В складають 9 і 11% відповідно, а дійсна прибутковість на індекс становить 10%, то можна помітити, що дійсні прибутковості на А і В складаються з трьох наступних компонентів:

    Цінний папір А

    Цінний папір В

    Координати точки перетину

    2%

    -1%

    Твір дійсної прибутковості на ринковий індекс і «бета» коефіцієнт

    12% = 10% * 1,2

    8% = 10% * 0,8

    Величина випадкової похибки

    -5% = 9% - (2% + 12%)

    4% = 11% - (- 1% + 8%)

    дійсна дохідність

    9%

    11%

    В даному випадку можна просто сказати, що ми «прокрутили» колесо рулетки для А і В і в результаті цієї дії отримали значення (які є значеннями випадкової похибки) -5% для А і + 4% для В. Можна помітити, що дані значення дорівнюють вертикальним відстаням, на які дійсні прибутковості цінних паперів відхиляються від прямої ліній ринкової моделі, як це показано на рис.11.


    рис.11. Ринкова модель і дійсні прибутковості

    1.5.Діверсіфікація

    Виходячи з ринкової моделі, загальний ризик цінного паперу i, вимірюваний її дисперсією і позначений як складається з двох частин: ринковий (або систематичний) ризик market risk); власний (або несистематичний) ризик (unique risk).

    Загальний ризик портфеля, вимірюваний дисперсією його прибутковості виражається:

    Загальний ризик портфеля складається з двох компонентів, аналогічних двом компонентам загального ризику окремих цінних паперів. Ці компоненти також носять назву ринкового ризику ( ) І власного ризику ( ).

    Ринковий ризик портфеля

    У загальному випадку можна помітити, що чим більш диверсифікований портфель (тобто чим більша кількість цінних паперів в нього входить), тим менше кожна частка Х i. При цьому значення не змінюється істотно, за винятком випадків навмисного включення в портфель цінних паперів з відносно низьким або високим значенням «бети».Так як «бета» портфеля є середнім значенням «бети» цінних паперів, що входять в портфель, то немає підстав припускати, що збільшення диверсифікації портфеля викликає зміна «бети» портфеля і, таким чином, ринкового ризику портфеля в будь-яку сторону. Таким чином, можна стверджувати, що диверсифікація призводить до усереднення ринкового ризику.

    Цей висновок має важливе значення, так як в разі поганого чи хорошого економічного прогнозу більшість цінних паперів впадуть або відповідно зростуть в ціні. Незважаючи на рівень диверсифікації портфеля, завжди можна очікувати, що такі ринкові явища будуть впливати на дохідність портфеля.

    Власний ризик портфеля

    Зовсім інша ситуація виникає при розгляді власного ризику портфеля. У портфелі деякі цінні папери можуть зрости в ціні в результаті поширення несподіваних хороших новин, що стосуються компаній, що емітували дані цінні папери (наприклад, про придбання патенту). Інші цінні папери впадуть в ціні в результаті поширення несподіваних поганих новин, що відносяться до даних компаній (наприклад, про аварію). У майбутньому можна очікувати, що кількість компаній, про які стануть, відомі будь-які хороші новини, приблизно буде дорівнювати кількості компаній, про які стануть відомі будь-які погані новини, що призведе до невеликого очікуваному чистому впливу на прибутковість добре диверсифікованого портфеля. Це означає, що чим більше диверсифікується портфель, тим менше стає власний ризик і, отже, загальний ризик. Д іверсіфікація істотно зменшує власний ризик.

    Простіше кажучи, портфель, що складається з 30 або більше випадково обраних цінних паперів, буде мати відносно низьку величину власного ризику. Це означає, що загальний ризик буде ненабагато більше величини наявного ринкового ризику. Таким чином, зазначені портфелі є добре диверсифікованими. Малюнок 12 показує, як диверсифікація призводить до зниження власного ризику і усереднення ринкового ризику.

    приклад

    Розглянемо дві цінні папери А і В, про які йшла мова раніше. Ці папери мають коефіцієнти «бета», рівні 1,2 і 0,8 відповідно; стандартні відхилення їх випадкових похибок становлять 6,06 і ​​4,76%. Таким чином, із заданих значень ЕА = 6,06% і е B = 4,76% слід, що 2 ЕА = 6,06 2 = 37 і 2 е B = 4,76 2 = 23. Тепер припустимо, що стандартне відхилення ринкового індексу у I становить 8%. Це має на увазі, що дисперсія ринкового індексу дорівнює 8 2, або 64. Значення дисперсії для цінних паперів А і В:

    Мал. 12. Ризик і диверсифікація

    Розглянемо комбінацію цінних паперів А і В у портфелі, утвореному вкладенням рівної кількості грошей інвестора в кожен цінний папір. Тобто розглянемо портфель, в якому Х А = 0,5 і Х В = 0,5. Так як AI = 1,2 і BI = 0,8, то «бета» даного портфеля може бути обчислена за допомогою рівняння:

    pI = (0,5 х 1,2) + (0,5x0,8) = 1,0.

    Можна обчислити дисперсію випадкового відхилення портфеля :

    2 е p = (0,5 2 * 37) + (0,5 2 * 23) = 15

    З рівняння (8.11а) видно, що портфель буде мати наступну дисперсію:

    2 p = (1,0 2 х 64) + 15 = 79.

    Цей вираз являє загальний ризик портфеля, що складається з двох цінних паперів.

    2. модель Марковіца

    Визначення структури та місця розташування ефективної безлічі

    Існує нескінченне число портфелів, доступних для інвестора, але в той же час інвестор повинен розглядати тільки ті портфелі, які належать ефективному безлічі. Однак ефективне безліч Марковіца є зігнутою лінію, що передбачає налічіе2. нескінченного числа точок на ній. Це означає, що існує нескінченна кількість ефективних портфелів. Метод рішення включає в себе алгоритм квадратичного програмування, відомий як метод критичних ліній (critical - line method).

    Розглянемо портфель з трьох акцій. Проведемо оцінку вектора очікуваних доходностей, позначеного як ER, і ковариационной матриці, позначеної як V З:

    16,2 146 187 145

    ER = 24,6 VC = 187 854 104

    22,8 145 104 289

    Потім через алгоритм визначається кількість «кутових» портфелів, які пов'язані з цінними паперами і повністю описують ефективне безліч. «Кутовий» портфель - це ефективний портфель, що володіє наступними властивостями: будь-яка комбінація двох суміжних «кутових» портфелів представляє з себе третій портфель, що лежить в ефективному безлічі між двома «кутовими» портфелями. Дане твердження можна проілюструвати прикладом.

    Алгоритм починається з визначення портфеля з найвищою очікуваною прибутковістю. Даний портфель співвідноситься з точкою S на рис. 1 і є ефективним портфелем. Він складається тільки з одного цінного паперу з найбільшою очікуваною прибутковістю. Тобто якщо інвестор хоче придбати цей портфель, все, що він повинен зробити, це купити акції компанії з найвищою очікуваною прибутковістю. Будь-який інший портфель буде мати меншу очікувану прибутковість, так як в кінцевому рахунку частина фондів інвестора буде поміщена в акції інших підприємств, що мають очікувану прибутковість нижче S.

    Наприклад, компанією, акції якої найбільш прибуткові, є компанія Baker. Відповідним ефективним портфелем буде перший «кутовий» портфель, певний алгоритмом. Його склад описується наступним вектором ваг, позначених Х (1):

    0,00

    Х (1) = 1,00

    0,00

    Його очікувана прибутковість і стандартне відхилення пов'язані тільки з очікуваною прибутковістю і стандартним відхиленням акцій Baker і відповідно становлять 24,6% і (854) 1/2, або 29,22%. На рис. 13 даний «кутовий» портфель позначений як С (1).

    Потім алгоритм визначає другий «кутовий» портфель. Даний портфель розташовується на ефективному безлічі нижче першого «кутового» портфеля. Його склад визначається наступним вектором ваг, позначених Х (2):

    0,00

    Х (2) = 0,22

    0,78

    Тобто другий «кутовий» портфель являє собою портфель, в якому інвестор вкладає 22% своїх фондів в звичайні акції компанії Baker, a 78% в звичайні акції компанії Charlie. Очікувану прибутковість і стандартне відхилення даного «кутового» портфеля, які становлять відповідно 23,20 і 15,90%. На рис. 13 даний «кутовий» портфель позначений як С (2).

    Говорячи про перший і другий «кутових» портфелях, важливо відзначити, що вони є суміжними ефективними (adjacent) портфелями і будь-який ефективний портфель, що лежить в ефективному безлічі між двома даними, буде являти собою просто комбінацію їх складів. Наприклад, ефективний портфель, що лежить посередині між ними, буде мати наступний склад:

    0,00 0,00 0,00

    [0,5 * Х (1)] + [0,5 * Х (2)] = 0,5 * 1,00 + 0,5 * 0,22 = 0,61

    0,00 0,78 0,39

    Мал.8.13. «Кутові» портфелі

    Таким чином, ваги розподілені наступним чином: 0,61 - в акції Baker і 0,39 - в акції Charlie. Очікувану прибутковість і стандартне відхилення даного портфеля становлять 23,9 і 20,28% відповідно.

    Визначивши другий «кутовий» портфель, алгоритм потім визначає третій. Він має наступний склад:

    0,84

    Х (3) = 0,00

    0,16

    Ці ваги тепер можуть бути використані для обчислення очікуваної прибутковості і стандартного відхилення даного портфеля, які дорівнюють відповідно 17,26 і 12,22%. Як і два попередніх, цей «кутовий» портфель є ефективним і позначається С (3) на рис. 13.

    Оскільки другий і третій портфелі є суміжними, то будь-яка їх комбінація є ефективним портфелем, лежачим в ефективному безлічі між двома даними. Наприклад, якщо інвестор вкладає 33% своїх фондів у другій «кутовий» портфель, а 67% - в третій, то в результаті виходить ефективний портфель з наступним складом:

    0,00 0,84 0,56

    [0,33 * Х (2)] + [0,67 * Х (3)] = 0,33 * 0,22 + 0,67 * 0,00 = 0,07

    0,78 0,16 0,36

    Даний портфель має очікувану прибутковість 19,10% і стандартне відхилення 12,88%.

    Комбінація «кутових» суміжних портфелів може дати ефективний портфель. Це означає, що портфелі, що представляють собою комбінацію двох несуміжних «кутових» портфелів, не належатимуть ефективному безлічі. Наприклад, перший і третій «кутові» портфелі не є суміжними, отже, будь-який портфель, що є комбінацією двох даних, що не буде ефективним. Наприклад, якщо інвестор вкладе 50% своїх фондів в перший «кутовий» портфель, і 50% - в третій, то результуючий портфель буде мати наступний склад:

    0,00 0,84 0,42

    [0,5 * Х (1)] + [0,5 * Х (3)] = 0,5 * 1,00 + 0,5 * 0,22 = 0,50

    0,00 0,16 0,08

    При даних вагах очікувана прибутковість і стандартне відхилення даного портфеля рівні 20,93 і 18,38% відповідно. Однак це неефективний портфель. Так як його очікувана прибутковість (20,93%) лежить між очікуваною прибутковістю другого (23,20%) і третього (17,26%) «кутових» портфелів, то за допомогою комбінації цих двох суміжних портфелів інвестор має можливість сформувати ефективний портфель, має таку ж очікувану прибутковість, але менше стандартне відхилення.

    Далі алгоритм визначає склад четвертого «кутового» портфеля:

    0,99

    Х (4) = 0,00

    0,01

    Очікувана прибутковість і стандартне відхилення, рівні 16,27% і 12,08% відповідно. Визначивши цей портфель, що відповідає точці Ј на рис. 1 (і С (4) на рис. 13), що має найменше стандартне відхилення з усіх досяжних портфелів, алгоритм зупиняється. Чотири «кутових» портфеля, об'єднаних в табл. 1, повністю описують ефективне безліч, пов'язане з акціями Able, Baker і Charlie.

    Зображення графіка даного ефективної безлічі є простим завданням для комп'ютера, який володіє високими графічними можливостями. Він може визначити склад і відповідно очікувані прибутковості і стандартні відхилення кожного з 20 ефективних портфелів, рівномірно розподілених між першим і другим «кутовими» портфелями. Потім він послідовно з'єднає відрізками точки, що відповідають даним портфелям. Це додасть графіку вид зігнутої лінії, показаної на рис. 13, так як дані портфелі розташовані близько один до одного.

    Таблиця 1.

    «Кутові» портфелі в разі трьох цінних паперів

    «Кутові» портфелі

    Able

    Baker

    Charlie

    очікувана прибутковість

    Стандартне відхилення

    З 1)

    0,00

    1,00

    0,00

    24,60%

    29,22%

    З (2)

    0,00

    0,22

    0,78

    23,20

    15,90

    З (3)

    0,84

    0,00

    0,16

    17,26

    12,22

    З (4)

    0,99

    0,0

    0,01

    16,27

    12,08

    Продовжуючи можна побудувати 20 ефективних портфелів між другим і третім «кутовими» портфелями, а потім відповідний сегмент ефективної безлічі. Після того як дана процедура буде виконана для наступного проміжку між третім і четвертим «кутовими» портфелями, графік буде повністю побудований.

    2.1Определеніе складу оптимального портфеля

    Після того як були визначені структура і місце розташування ефективної безлічі Марковіца, можна визначити склад оптимального портфеля інвестора. Портфель, позначений як О * на рис. 2, відповідає точці дотику кривих байдужості інвестора з ефективною множинністю. Процедура визначення складу оптимального портфеля починається з графічного визначення інвестором рівня його очікуваної прибутковості. Тобто з графіка інвестор може визначити, де розташовується О *, а потім за допомогою лінійки відзначити його очікувану прибутковість. Для цього слід провести з точки Про лінію, перпендикулярну вертикальній осі (за допомогою комп'ютера це можна зробити значно більше точно).

    Провівши цю операцію, інвестор тепер може визначити два «кутових» портфеля з очікуваними прибутковістю, «оточуючими» даний рівень. Тобто інвестор може визначити «кутовий» портфель, який має найближчу очікувану прибутковість, велику, ніж у даного портфеля (найближчий «кутовий» портфель, розташований «вище» О), і «кутовий» портфель з найближчої, меншою очікуваною прибутковістю (найближчий « кутовий »портфель, розташований« нижче »О).

    Якщо оптимальний портфель має очікувану прибутковість в 20%, тоді можна помітити, що другий і третій «кутові» портфелі є верхнім і нижнім найближчими «кутовими» портфелями, так як вони мають очікувану прибутковість в 23,20% і стандартне відхилення в 17,26 %.

    20% = (23,20% х Y) + [17,26% х (1 - Y)].

    Рішенням даного рівняння є Y = 0,46. Це означає, що оптимальний портфель складається на 46% з другого «кутового» портфеля і на 54% з третього «кутового» портфеля. У термінах обсягу інвестицій в цінні папери компаній Able, Baker і Charlie дане твердження приймає наступний вигляд:

    0,00 0,84 0,45

    [0,46 * Х (2)] + [0,54 * Х (3)] = 0,46 * 0,22 + 0,54 * 0,00 = 0,10

    0,78 0,16 0,45

    Таким чином, Інвестор повинен вкласти 45% своїх фондів в акції Able, 10% - в акції Baker і 45% - в акції Charlie.

    Як узагальнення можна сказати, що якщо вектори ваг найближчих верхніх і нижніх «кутових» портфелів позначені X а і X b відповідно, то ваги окремих цінних паперів, що становлять оптимальний портфель, дорівнюють (Ух Х a) + [(1 - Y) х X b].

    3. Метод, заснований на ринковій моделі

    Вихідні дані, необхідні для визначення місця розташування ефективної безлічі

    Для того щоб визначити ефективне безліч, інвестор повинен оцінити очікувані прибутковості всіх розглянутих цінних паперів, а також їх дисперсії і ковариаций. Далі, можна визначити оптимальний портфель, знайшовши точку дотику кривих байдужості інвестора з ефективною множинністю, як це показано на рис. 2.

    Для визначення ефективної безлічі потрібно зробити наступні кроки. Перше, потрібно оцінити очікувану дохідність кожного цінного паперу. Якщо розглядається N цінних паперів, то потрібно зробити оцінку N параметрів. Друге, потрібно оцінити дисперсію кожної з цих цінних паперів. Для N ризикових цінних паперів потрібно провести оцінку інших N параметрів. Третє, потрібно оцінити ковариацию кожної пари цінних паперів. Для цього потрібно оцінити (N 2 - N) / 2 параметрів. Це означає, що загальне число параметрів, для яких необхідно провести оцінку, дорівнює (N 2 + 3 N) / 2:

    Очікувані прибутковості N

    дисперсії N

    Ковариаций (N 2 - N) / 2

    Всього (N 2 - 3N) / 2

    Наприклад, якщо ми розглядаємо 100 ризикових цінних паперів, то нам необхідно зробити оцінку 5150 параметрів [(100 2 + (3 х 100) / 2], що складаються з 100 очікуваних доходностей, 100 дисперсій і 4950 ковариаций. Ці параметри можуть бути оцінені один за іншим, що представляє завдання, що вимагає великих витрат часу і практично нездійсненне. на щастя, існують альтернативи цим методом, однією з яких є метод, заснований на ринковій моделі.

    При підході, що використовує ринкову модель, в першу чергу необхідно оцінити очікувану дохідність на ринковий індекс. Потім для кожного цінного паперу потрібно оцінити коефіцієнт вертикального зсуву і коефіцієнт «бета». В цілому треба зробити оцінку (1 + 2N) параметрів (1 для r 1, 2 N для коефіцієнта вертикального зсуву і «бета» коефіцієнт для кожної з N ризикованих цінних паперів). Отримані значення можуть бути використані для проведення оцінок очікуваної прибутковості кожного цінного паперу.

    Раніше очікувана прибутковість на індекс ринку була оцінена в 5%. Виходячи з цієї величини, очікувану прибутковість цінного паперу А можна оцінити в 8%, так як коефіцієнт зміщення і «бета» коефіцієнт цього цінного паперу були оцінені в 2% і 1,2 відповідно:

    r A = 2% + (5% * 1,2) = 8%

    Аналогічно, очікувана прибутковість цінного паперу В може бути оцінена в 3%, так як оцінка коефіцієнта зсуву дорівнює -1%, а «бета» коефіцієнт - 0,8:

    r B = -1% + (5% * 1,2) = 3%

    При використанні ринкової моделі дисперсія цінного паперу i може бути оцінена як сума добутку квадрата значення «бета» коефіцієнт цінного паперу на дисперсію індексу ринку і дисперсію випадкової похибки.

    де  2 i, позначає дисперсію індексу ринку і  2 i позначає дисперсію випадкової похибки для цінного паперу i.

    Припускаючи, що дисперсія індексу ринку дорівнює 49, відповідні дисперсії цінних паперів А і В можна оцінити таким чином:

    2 A = (1,2 2 х 49) + 6,06 2 = 107,28;

    2 B = (0,8 2 х 49) + 4,76 2 = 54,02.

    Це означає, що оцінка стандартних відхилень даних цінних паперів дорівнює 10,36% = √107,28 і 7,35% = √54, 02 відповідно.

    На закінчення відзначимо, що ковариация цінних паперів i і j оцінюється добутком трьох чисел: «бета» коефіцієнт i-й цінного паперу, «бета» коефіцієнт j-й цінного паперу і дисперсії індексу ринку.

    Таким чином, коваріація цінних паперів А і В може бути оцінена наступним чином:

    А, B = 1,2x0,8x49 = 47,04.

    Отже, застосовуючи підхід, який використовує ринкову модель для оцінки очікуваних доходностей, дисперсій і ковариаций, слід визначити наступні параметри:

    Для індексу ринку:
    Очікувана прибутковість 1

    дисперсія 1

    Для кожного цінного паперу:

    Коефіцієнт вертикального зсуву N

    «Бета» N

    Дисперсія випадкової похибки N

    Разом 3N + 2

    Таким чином, в рамках даного підходу для визначення ефективної безлічі і оптимального портфеля необхідно зробити оцінку 302 [(3 х 100) + 2] параметрів для 100 ризикових цінних паперів і розрахувати очікувані прибутковості, дисперсії і коваріації ризикованих цінних паперів. Розглянутий раніше метод альтернативної оцінки всіх параметрів один за іншим вимагає оцінити 5150 параметрів. Як можна помітити з цього прикладу, застосування підходу, заснованого на ринковій моделі, значно скорочує обсяг розрахунків.

    Після того як були оцінені очікувані прибутковості, дисперсії і ковариаций, необхідно ввести ці значення в комп'ютер. Потім комп'ютер може приступити до визначення ефективної безлічі, використовуючи «алгоритм квадратичного програмування». Після цього оптимальний портфель інвестора може бути підібраний за допомогою визначення точки дотику кривих байдужості інвестора з ефективною множинністю.

    література:

    1. В.А.Галанов; А.І.Басов; З.К.Голда «Ринок цінних паперів» М. «Фінанси і статистика», 2003 р

    1. А.І.Бланк «Інвестиційний менеджмент», М. 2002 р

    1. У.Шарп, А.Горден «Інвестиції»,