Дата конвертації23.03.2017
Розмір40.99 Kb.
Типреферат

Скачати 40.99 Kb.

Моделювання 2-х канальної системи масового обслуговування з відмовами

Зміст.

Введення.

2

1. Теорія масового обслуговування.

3

1.1.Предмет і завдання теорії масового обслуговування.

3

1.2. Система масового обслуговування (СМО).

3

1.3. Класифікація СМО.

3

1.4. Характеристики СМО.

5

2. Постановка завдання на проектування.

5

2.1. Формулювання завдання.

5

2.2. Теоретичне уявлення завдання

5

3.Решеніе завдання.

7

3.1. Алгоритм моделювання СМО

7

4. Програмна реалізація.

8

5. Висновки.

9

Висновок.

10

Додаток 1. Результати роботи СМО.

11

Додаток 2. Графік залежність абсолютної пропускної здатності системи від часу. Залежність абсолютної пропускної здатності системи від часу.

12

Додаток 3. Графік залежність відносної пропускної спроможності системи від часу.

12

Додаток 4. Графік залежності ймовірності відмови системи від часу.

13

Додаток 5. Графік залежності кількості вступників і обслужених заявок в системі від часу.

13

Додаток 6. Лістинг програми.

14

Додаток 7. Блок-схеми.

Список літератури.

16


Вступ.

За останній час в самих різних областях практики виникла необхідність у вирішенні різних імовірнісних задач, пов'язаних з роботою так званих систем масового обслуговування (СМО). Прикладами таких систем можуть служити: телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, стоянки таксі, перукарні і т.п.

Темою даного курсового проекту якраз і є рішення такого завдання. Однак, в запропонованому завданні буде досліджена СМО, в якій розглядаються 2 потоку заявок, один з яких має пріоритет. Також розглядаються процеси є немарковского, т. К. Важливий фактор часу. Тому рішення даної задачі побудовано не на аналітичному описі системи, а на статистичному моделюванні.

Практичне розв'язання задачі здійснено за допомогою програми, реалізованої в середовищі TURBO PASCKAL.


1. Теорія масового обслуговування. Основні положення.

1.1. Предмет і задачі теорії масового обслуговування.

Теорія масового обслуговування спирається на теорію ймовірностей і математичну статистику.

На первинне розвиток теорії масового обслуговування надали особливий вплив роботи датського вченого А.К. Ерланга (1878-1929).

Теорія масового обслуговування - область прикладної математики, що займається аналізом процесів в системах виробництва, обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються багато разів, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; в системах прийому, переробки і передачі інформації; автоматичних лініях виробництва і ін.

Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів обслужіван6ія, продуктивністю окремого каналу і ефективним обслуговуванням з метою знаходження найкращих шляхів управління цими процесами.

Завдання теорії масового обслуговування - встановити залежність результуючих показників роботи системи масового обслуговування (ймовірності того, що заявка буде обслужена; математичного очікування числа обслужених заявок і т.д.) від вхідних показників (кількості каналів в системі, параметрів вхідного потоку заявок і т.д .). Результуючими показниками або цікавлять нас характеристиками СМО є - показники ефективності СМО, які описують чи здатна дана система справлятися з потоком заявок.

Завдання теорії масового обслуговування носять оптимізаційний характер і в кінцевому підсумку включають економічний аспект за визначенням такого варіанту системи, при якому буде забезпечено мінімум сумарних витрат від очікування обслуговування, втрат часу і ресурсів на обслуговування і простоїв каналів обслуговування.

1.2. Система масового обслуговування.

Система обслуговування вважається заданою, якщо відомі:

1) потік вимог, його характер;

2) безліч обслуговуючих приладів;

3) дисципліна обслуговування (сукупність правил, які задають процес обслуговування).

Кожна СМО складається з якогось числа обслуговуючих одиниць, які називаються каналами обслуговування. Як канали можуть фігурувати: лінії зв'язку, різні прилади, особи, які виконують ті чи інші операції і т.п

Всяка СМО призначена для обслуговування якогось потоку заявок, що надходять в якісь випадкові моменти часу. Обслуговування заявок триває якесь випадкове час, після чого канал звільняється і готовий до прийому наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок і часів обслуговування призводить до того, що в якісь періоди часу на вході СМО накопичується надмірно велика кількість заявок (вони або стають в чергу, або залишають СМО НЕ обслужених); в інші ж періоди СМО працюватиме з недовантаженням або взагалі простоювати.

Процес роботи СМО являє собою випадковий процес з дискретними станами і безперервним часом; стан СМО змінюється стрибком в моменти появи якихось подій (або приходу нової заявки, або закінчення обслуговування, або моменту, коли заявка, якій набридло чекати, залишає чергу).

1.3. Класифікація СМО.

Для полегшення процесу моделювання використовують класифікацію СМО за різними ознаками, для яких придатні певні групи методів і моделей теорії масового обслуговування, що спрощують підбір адекватних математичних моделей до вирішення завдань обслуговування в комерційній діяльності. (Див. Рис.1)


Рис.1 Класифікація систем масового обслуговування


1. 4. Характеристики СМО.

Перелік характеристик систем масового обслуговування можна представити таким чином:

  • середній час обслуговування;
  • середній час очікування в черзі;
  • середній час перебування в СМО;
  • середня довжина черги;
  • середнє число заявок в СМО;
  • кількість каналів обслуговування;
  • інтенсивність вхідного потоку заявок;
  • інтенсивність обслуговування;
  • інтенсивність навантаження;
  • коефіцієнт навантаження;
  • відносна пропускна здатність;
  • абсолютна пропускна здатність;
  • частка часу простою СМО;
  • частка обслужених заявок;
  • частка втрачених заявок;
  • середнє число зайнятих каналів;
  • середнє число вільних каналів;
  • коефіцієнт завантаження каналів;
  • середній час простою каналів.

2.Постановка завдання на проектування.

2.1.Формуліровка завдання.

Побудувати модель СМО і вивчати поведінку характеристик її ефективності.

Опис системи:

Є двухканальная СМО з відмовами, на яку надходить два довільних потоку заявок. Потік I має інтенсивність l 1. Потік II має інтенсивність l 2 (будемо коротко називати заявки цих потоків: Заявки I і ЗаявкіII). Заявки I мають перед заявки II пріоритет, який полягає в тому, що якщо Заявка I приходить в систему, коли всі канали зайняті і хоча б один з них обслуговує Заявку II, то прийшла Заявка I «витісняє» (виганяє) Заявку II, стає на її місце, а та залишає систему необслуженной. Якщо Заявка I приходить в момент, коли обидва канали обслуговують Заявки I, то вона отримує відмову і покидає СМО. Заявка II отримує відмову, якщо вона приходить в систему в момент, коли обидва канали зайняті (байдуже якими заявками).

Дані для варіанта: l 1 = 3, l 2 = 1, m 1 = 2, m 2 = 1.

2.2Теоретіческое уявлення завдання.

На двухканальную СМО надходять заявки двох найпростіших потоків.

Найпростішим потоком називається потік, що володіє наступними властивостями:

1.стаціонарность;

2.ордінарность;

3.Отсутствіе післядії.

Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання того чи іншого числа подій на ділянку часу довжиною t залежить тільки від довжини ділянки і не залежить від того, де саме на осі часу розташований цю ділянку.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на елементарний ділянку Dt двох або більше подій дуже мала в порівнянні з імовірністю потрапляння одного події. Ординарність означає, що потік зріджені, тобто між будь-якими двома подіями є часовий інтервал.

Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких, що не перекриваються ділянок часу число подій, що потрапляють на один з них, не залежить від числа подій, що потрапляють на інші. Це означає, що заявки потрапляють в систему незалежно один від одного.

Інтенсивність надходження заявок 1-го потоку - l1. Інтенсивність надходження заявок 2-го потоку - l2. Найпростіші потоки надходження заявок характеризуються показовим законом розподілу. Тоді інтервал часу надходження заявок 1-го потоку являє собою випадкову величину з одним і тим же розподілом ймовірностей F (t).

, (1) де l1> 0 - постійна.

Щільність розподілу показового закону задається формулою:

де l1> 0, - інтенсивність надходження заявок 1-го потоку.

Аналогічно, інтервал часу надходження заявок 2-го потоку являє собою випадкову величину з одним і тим же розподілом ймовірностей F (t).

, (1) де l2> 0 - постійна.

Щільність розподілу показового закону задається формулою:

де l2> 0, - інтенсивність надходження заявок 2-го потоку.

Необхідно також врахувати, що моделируемая система масового обслуговування є СМО з відмовами і з абсолютним пріоритетом. Тобто заявки 1 мають перед заявками 2 пріоритет, який полягає в тому, що якщо заявка 1 приходить в систему, коли всі канали зайняті і хоча б один з них обслуговує заявку 2, то прийшла заявка 1 витісняє заявку 2, стає на її місце, а та залишає систему НЕ обслужених. Якщо заявка 1 приходить в систему в момент, коли обидва канали обслуговують заявку 1, то вона залишає СМО. Заявка 2 отримує відмову, якщо вона приходить в систему в момент, коли обидва канали зайняті, байдуже якими заявками.

Тривалість обслуговування заявок 1-го і 2-го потоку також є випадковими величини, що підкоряються показовому закону розподілу. Інтенсивність обслуговування заявок 1-го потоку - m1. Інтенсивність обслуговування заявок 2-го потоку - m2. Тривалість обслуговування заявок 1-го потоку являє собою випадкову величину з одним і тим же розподілом ймовірностей F (t).

, (1) де m1> 0 - постійна.

Щільність розподілу показового закону задається формулою:

де m1> 0, - інтенсивність обслуговування заявок 1-го потоку.

Аналогічно, тривалість обслуговування заявок 2-го потоку являє собою випадкову величину з одним і тим же розподілом ймовірностей F (t).

, (1) де m2> 0 - постійна.

Щільність розподілу показового закону задається формулою:

де m2> 0, - інтенсивність обслуговування заявок 2-го потоку.

У розглянутій задачі СМО має 2 входи, на один з яких надходить випадковий потік Заявок I, на інший вхід - потік Заявок II.

3. Рішення завдання.

3.1. Алгоритм моделювання СМО.

Початкові умови:

1) Вже згадана в завданню СМО являє собою СМО з:

· Двоканальний обслуговуванням;

· Двоканальний вхідним потоком (має 2 входи, на один з яких надходять випадковий потік Заявок I, на інший вхід - потік Заявок II).

2) Визначення часів надходження і обслуговування заявок:

· Часи надходження і обслуговування заявок генеруються випадково з заданим показовим законом розподілу;

· Інтенсивності надходження і обслуговування заявок задані;

3) Функціонування даної СМО:

· Кожен канал обслуговує в кожен момент часу одну заявку;

· Якщо в момент надходження нової заявки вільний хоча б один канал, то прийшла заявка надходить на обслуговування;

· Якщо відсутні Заявки то система простоює.

4) Дисципліна обслуговування:

· Пріоритет Заявок I: якщо система зайнята (обидва канали обслуговують заявки), причому один з каналів зайнятий Заявкою II, Заявка I витісняють Заявку II; Заявка II покидає систему необслуженной;

· Якщо до моменту надходження Заявки II обидва канали зайняті, Заявка II не обслуговується;

· Якщо до моменту надходження Заявки I обидва канали обслуговують Заявки I, що надійшла Заявка I залишає систему необслуженной;

Завдання моделювання: знаючи параметри вхідних потоків заявок промоделювати поведінку системи і обчислити її основні характеристики її ефективності. Змінюючи величину Т від менших значень до великих (інтервал часу, протягом якого відбувається випадковий процес надходження заявок 1-го і 2-го потоку в СМО на обслуговування), можна знайти зміни критерію ефективності функціонування і вибрати оптимальний.

Критерії ефективності функціонування СМО:

· Можливість відмови;

· Відносна пропускна здатність;

· Абсолютна пропускна здатність;

Принцип моделювання:

· Вводимо початкові умови: загальний час роботи системи, значення інтенсивностей потоків заявок; число реалізацій роботи системи;

· Генеруємо моменти часу, в які прибувають заявки, послідовність приходу Заявок I Заявок II, час обслуговування кожної прийшла заявки;

· Вважаємо скільки заявок було обслужено, а скільки отримало відмову;

· Розраховуємо критерій ефективності СМО:

4. Програмна реалізація.

Програма була розроблена в середовищі програмування Turbo Pascal. Алгоритм функціонування програми полягає в наступному: після зчитування введених користувачем параметрів, виробляється генерація моментів появи Заявок. Потім виконується процедура, що реалізує СМО, що представляє собою цикл з умовою виходу після закінчення часу функціонування СМО. Значення інтенсивностей появи заявок в системі і обслуговування заявок задані в програмі у вигляді констант.

Відлік внутрішнього часу СМО виконується за допомогою збільшення змінної. У поточний момент часу проводиться перевірка моментів появи заявки. Якщо заявка з'явилася, коли один з каналів був вільний, заявка надходить на обслуговування у вільний канал. В іншому випадку при появі заявки II, вона отримує відмову (відповідно збільшується число необслужених заявок). При появі Заявки I, вона не обслуговується в разі зайнятості обох каналів заявками I. При зайнятості хоча б одного каналу Заявкою II, Заявка I стає на місце Заявки II, (Заявка II покидає систему необслуженной, збільшується кількість необслужених заявок).

Опис інтерфейсу:

При кожному новому запуску програми спочатку вводиться число реалізацій роботи системи, потім при кожній новій реалізації вводиться час функціонування СМО -Т. При надходженні нової заявки програма виводить повідомлення (Надійшла заявка 1, Надійшла Заявка 2) .Програма виводить повідомлення про обслуговування / необслуговування знову надійшла заявки. Потім, після закінчення часу функціонування системи виводиться скільки заявок надійшло і скільки з них було обслужено, а скільки отримало відмову. Далі програмою проводиться розрахунок і виведення основних обраних характеристик СМО.

Лістинг програми представлений в додатку 6.

Робота програми і отримання даних для аналізу роботи СМО.

Щоб дослідити поведінку змодельованої СМО при різних значеннях часу функціонування, задамо число реалізацій програми рівним 18. Причому, за будь-якої нової реалізації, будемо ставити більший інтервал часу функціонування системи.

Цікаво також поспостерігати поведінку СМО при змінюються значеннях інтенсивностей появи заявок в системі. Тому змінимо значення цих констант в програмі і поспостерігаємо поведінку СМО. Значення інтенсивностей надходження заявок1 зменшимо на 1, а заявок 2 збільшимо на 1.

Нові значення інтенсивностей:: l 1 = 2, l 2 = 2, m 1 = 2, m 2 = 1.

Т.ч. досліджуємо роботу системи при наступних варіантах:

l 1

l 2

m 1

m 2

Варіант 1

2

2

2

1

Варіант 2

3

1

2

1

Результати роботи системи представлені в додатку 1.

На основі зібраних даних будуються графіки залежностей значень параметрів, що характеризують роботу СМО від часу функціонування системи, а також від значень інтенсивностей надходження і обслуговування заявок.

Для кожного варіанту були побудовані графіки залежностей:
- Відносної пропускної спроможності системи від часу роботи;
- Абсолютної пропускної здатності від часу роботи;
- Ймовірності відмови системи від часу;

- Кількості обслугованих і заявок від часу.

Графіки представлені в додатках 2-4.

5. Висновки.

В результаті моделювання роботи СМО, а також аналіз отриманих даних і були зроблені наступні висновки:

1. При часу функціонування системи менше 2000, робота системи нестабільна, важко виявити будь-які закономірності в поведінці системи. Тому, щоб зробити висновки про ефективність роботи СМО, слід розглядати її функціонування на часовому інтервалі понад 2000 одиниць.

2. При збільшенні часу функціонування системи відповідно збільшується і кількість заявок, які надійшли в систему. Кількість надійшли і обслужених заявок збільшується пропорційно збільшенню часу роботи системи. Причому, чим більше значення інтенсивностей, тим більше швидше збільшується кількість заявок зі збільшенням часу.

3. На інтервалі часу до 3000 значення абсолютної пропускної здатності системи хаотично коливалося (особливо це помітно при другому варіанті реалізації). Кожного разу більше 3000 амплітуда коливань знизилася, а при часу Т ~ 7000 значення абсолютної пропускної здатності системи для обох варіантів набувають стаціонарний характер, і приблизно рівні 0,004 для першого варіанту роботи системи і 0,036- для другого.

4. Значення відносної пропускної спроможності системи хаотично коливалося за всіх часів функціонування. Однак, при великих часах амплітуда коливань значно знизилася. Зі збільшенням часу помітна тенденція до стаціонарності в поведінці величини відносної пропускної здатності.

5. Т. к. Ймовірність відмови системи величена зворотна відносної пропускної спроможності системи, то їх поведінка аналогічно. При малих значеннях часу (до 7000) ймовірність відмови хаотично коливалася. А при збільшенні часу, амплітуда коливання значно знизилася. Практично ймовірність відмови приймає стаціонарний характер при значенні часу більше 17000.

Висновок.

Метою даного курсового проекту була побудова моделі двоканальної СМО з відмовами і абсолютним прірітетом. Модель СМО була і реалізована за допомогою програми в середовищі TURBO PASKAL. У процесі декількох реалізацій роботи СМО для двох варіантів значень інтенсивностей надходження заявок в були отримані результати функціонування системи. На основі отриманих даних були побудовані графіки, що дозволяють провести дослідження роботи СМО. За допомогою графіків проведено аналіз отриманих даних і зроблені висновки про роботу сістстеми.

Проведене дослідження найбільш наочно відображають графіки, наведені в додатках 2-4.


Додаток 1.

Результати роботи СМО.

Характеристики роботи СМО

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Час роботи СМО

100

100

150

150

300

300

500

500

700

700

800

800

1000

1000

2000

2000

надійшло заявок

7

8

3

9

7

3

5

37

7

9

3

5

9

58

41

78

обслуговано заявок

5

3

1

6

4

3

4

21

6

5

2

3

7

36

28

40

Чи не обслужено заявок

2

5

2

3

3

0

1

16

1

4

1

2

2

22

13

38

Абсолютна пропускна здатність системи

0,05

0,03

0,007

0,04

0,013

0,1

0,008

0,042

0,009

0,07

0,003

0,004

0,007

0,036

0,014

0,02

Відносна пропускна здатність системи

0,714

0,37

0,33

0,667

0,571

0

0,8

0,568

0,857

0,556

0,667

0,6

0,778

0,62

0,683

0,513

Імовірність відмови,%

28,6

62,5

66,7

33,3

42,9

0

20

43,2

14,3

44,4

33,3

40

22,2

37,9

31,7

48,7

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

Вар 1

Вар 2

3000

3000

4000

4000

5000

5000

7000

7000

10000

10000

12000

12000

15000

15000

17000

17000

20000

20000

25000

25000

38

318

37

121

48

291

87

413

147

672

88

762

124

975

88

1120

129

989

218

1707

30

187

25

69

33

147

68

222

91

363

60

448

84

533

66

618

89

566

147

932

8

131

12

52

15

144

19

191

56

309

28

314

40

442

22

502

40

423

71

775

0,01

0,006

0,006

0,017

0,007

0,029

0,001

0,032

0,008

0,036

0,005

0,037

0,006

0,036

0,004

0,036

0,004

0,033

0,006

0,037

0,789

0,588

0,776

0,57

0,688

0,505

0,782

0,538

0,619

0,54

0,682

0,588

0,677

0,547

0,75

0,552

0,69

0,572

0,674

0,546

21,1

41,2

32,4

43

31,3

49,5

21,8

46,2

38,1

46

31,8

41,2

32,3

45,3

28

44,8

31

42,8

32,6

45,4

Додаток 2.

Додаток 3.


Додаток 4.

Додаток 5.

Додаток 6.

Лістинг програми.

PROGRAM CAN_SMO;

TYPE

CHANNAL = (FREE, CLAIM1, CLAIM2);

TIME = word;

INTENSITY = word;

STATISTICS = word;

VAR

CHANNAL1, CHANNAL2: CHANNAL; {Канали}

_T_, T, tc1, tc2: TIME; {Час}

l1, l2, n1, n2: INTENSITY; {Інтенсивності}

served1, not_served1,

served2, not_served2,

S: STATISTICS; {Статистика}

M, N: INTEGER; {число реалізацій}

FUNCTION W (t: TIME; l: INTENSITY): boolean; {Визначає з'явилася заявка}

Begin {по інтенсивності потоку l}

if random

End;

FUNCTION F (t: TIME; n: INTENSITY): TIME; {Визначає скільки буде оброблятися заявка}

Begin {за інтенсивністю обслуговування заявок n}

F: = t + round (60 / (n));

End;

BEGIN

M: = 0;

WRITELN ( 'ВВЕДІТЬ ЧИСЛО реалізації робіт СМО');

READLN (N);

REPEAT

M: = M + 1;

writeln (M, '-а реалізація');

randomize;

CHANNAL1: = FREE; CHANNAL2: = FREE;

l1: = 3; l2: = 1; n1: = 2; n2: = 1;

served1: = 0; not_served1: = 0;

served2: = 0; not_served2: = 0;

write ( 'Введіть час дослідження СМО - Т:'); readln (_T_);

repeat

if tc1 = t then

begin

if CHANNAL1 = CLAIM1 then inc (served1) else inc (served2);

CHANNAL1: = FREE;

writeln ( 'Канал1 виконав заявку');

end;

if tc2 = t then

begin

if CHANNAL2 = CLAIM1 then inc (served1) else inc (served2);

CHANNAL2: = FREE;

writeln ( 'Канал2 виконав заявку');

end;

if W (t, l1) then

begin

writeln ( 'Надійшла заявка1');

if CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1: = CLAIM1; tc1: = F (t, n1); writeln ( 'Канал1 прийняв заявку1'); end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2: = CLAIM1; tc2: = F (t, n1); writeln ( 'Канал2 прийняв заявку1'); end

else if CHANNAL1 = CLAIM2 then

begin CHANNAL1: = CLAIM1; tc1: = F (t, n1); inc (not_served2); writeln ( 'Канал1 прийняв заявку1 замість заявкі2'); end

else if CHANNAL2 = CLAIM2 then

begin CHANNAL2: = CLAIM1; tc2: = F (t, n1); inc (not_served2); writeln ( 'Канал2 прийняв заявку1 замість заявкі2'); end

else begin inc (not_served1); writeln ( 'заявка1 НЕ обслужена'); end;

end;

if W (t, l2) then

begin

writeln ( 'Надійшла заявка2');

if CHANNAL1 = FREE then

begin CHANNAL1: = CLAIM2; tc1: = F (t, n2); writeln ( 'Канал1 прийняв заявку2'); end

else if CHANNAL2 = FREE then

begin CHANNAL2: = CLAIM2; tc2: = F (t, n2); writeln ( 'Канал2 прийняв заявку2'); end

else begin inc (not_served2); writeln ( 'заявка2 НЕ обслужена'); end;

end;

inc (t);

until _T_ = t;

S: = served1 + not_served1 + served2 + not_served2;

writeln ( 'час роботи СМО', _T_);

writeln ( 'обслужено каналом1:', served1);

writeln ( 'обслужено каналом2:', served2);

writeln ( 'Надійшло заявок:', S);

writeln ( 'Обслуговано заявок:', served1 + served2);

writeln ( 'Чи не обслужено заявок:', not_served1 + not_served2);

{Writeln ( 'Інтенсивність надходження заявок в систему:', (served1 + served2) / _ T_: 2: 3);}

writeln ( 'Абсолютна пропускна здатність системи:', (served1 + served2) / T: 2: 3);

writeln ( 'Імовірність відмови:', (not_served1 + not_served2) / S * 100: 2: 1, '%');

writeln ( 'Відносна пропускна здатність системи:', (served1 + served2) / S: 2: 3);

readln;

UNTIL M> = N;

writeln ( 'моделювання закінчено');

END.

Список літератури.

1. Фомін Г.П., Математичні методи і моделі в комерційній діяльності. М: Фінанси і статистика, 2001..

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теорія ймовірностей і її інженерні додатки, М: Наука, 1988.

3. Вентцель Е.С. Дослідження операцій, М: Наука, 1980.

4. Ліфшиц А.Л. Статистичне моделювання СМО, М., 1978.

5. Рад Б.А., Яковлєв С.А. Моделювання систем, М: Вища школа, 1985.

6. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика, М: Вища школа, 2001..


Головна сторінка


    Головна сторінка



Моделювання 2-х канальної системи масового обслуговування з відмовами

Скачати 40.99 Kb.