• "Моделювання економіки"
  • Тема: Моделювання економічних функцій


  • Дата конвертації18.04.2017
    Розмір83.32 Kb.
    Типнавчальний посібник

    Скачати 83.32 Kb.

    моделювання економіки

    Міністерство освіти і науки України

    Харківський національний університет радіоелектроніки

    КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ

    по курсу

    "Моделювання економіки"

    для студентів всіх форм навчання спеціальності "Економічна кібернетика"

    Протокол № 2 від 14.09.04

    Затверджено кафедрою

    "Економічна кібернетика"

    Харків 2004

    Конспект лекцій з курсу "Моделювання економіки" для студентів всіх форм навчання спеціальності "Економічна кібернетика" / Упоряд. Н.Б. Івченко. - Харків: ХНУРЕ, 2004 - 50с.

    Укладач Н.Б. Івченко


    лекція 1

    Вступна тема

    план

    1. Предмет, сутність і завдання дисципліни. Зміст курсу, взаємозв'язок з іншими дисциплінами.

    2. Історія розвитку економіко-математичних методів (ЕММ) і моделей.

    1. При підготовці менеджерів в США та інших країнах використовуються два напрямки:

    1) Вивчення звітів про діяльність фірм (досьє).

    2) Вивчення ЕММ і моделей.

    У напрямку 1 студенту треба за дві години вивчити досьє на фірму, наприклад «Дженерал моторс» на 20 сторінках і потім за 80 хвилин обговорити можливі напрямки діяльності фірми і вибрати найкращі. У напрямку 2 використовуються банки моделей, статистичні банки. У банку моделей знаходяться моделі розрахунку цін на товари і послуги, модель розташування фірми або торгової точки, модель розробки рекламного бюджету та ін. Статистичний банк - сукупність сучасних методик статистичної обробки інформації. Банк моделей - набір математичних моделей, що дозволяють приймати оптимальні управлінські рішення. Ці методики і моделі дозволяють відповісти на питання:

    1) Які види діяльності необхідно розвивати

    2) Які товари доцільно випускати

    3) З яких змінним найкраще сегментувати ринок?

    4) Що станеться з ринком, якщо ціну товару підняти на 10%, а витрати на рекламу збільшити на 20%?

    5) Що є змінними, що впливають на збут

    За останні роки розроблено безліч моделей, в основі яких лежать ЕММ.

    Предметом дисципліни є методологія, методи і процеси економіко-математичного моделювання.

    Сутністю дисципліни є визначення внутрішніх закономірностей економічних процесів і явищ. Це можна зробити за допомогою моделей. Тут гостро постає питання про адекватність математичної моделі економічної структури. Будь-яка модель будь-якого явища вважає абстрагування від багатьох реальних властивостей. Що ж стосується моделювання в економіці, то тут реальний об'єкт по своїй складності перевершує багато об'єктів фізичної природи. Разом з тим перевірка адекватності ЕМ моделі за допомогою єдиного критерію істини - практики утруднена, так як економічний експеримент пов'язаний найчастіше з колосальними витратами і тому не завжди можливий.

    Деякі моделі добре зарекомендували себе. Останнім часом три математичних теорії є основним інструментом при дослідженні економічних завдань: лінійне програмування, моделі типу «витрати - випуск» і теорія виробничих функцій.

    Метою дисципліни є формування системи знань з методології, методики та інструментарію побудови економічних моделей, їх аналізу та використання.

    До завдань дисципліни відносяться вивчення теорії та отримання практичних навичок моделювання і аналізу економічних об'єктів і процесів на макро-, мезо- і мікроекономічних рівнях.

    Даний курс пов'язаний з дисциплінами математичного циклу та економічного циклу.

    2. Першу економічну модель в економіці сформулював в 16-17 ст французький вчений, придворний лікар Франсуа Кене. Кене довго розмірковував над розподілом в суспільстві праці і доходів. Він викреслив схему, яка увійшла в історію під ім'ям «Зигзаг доктора Кене» і «Арифметична формула».

    Справжнім першовідкривачем математичної економіки в Європі визнається французький економіст Антуан Огюстен Курно, який в 1838 році запропонував математичний апарат фірми, показав попит як падаючу функцію ціни. А.О. Курно написав книгу «Дослідження про математичних принципах теорії багатств».

    У 1847 році в Лозанні вийшла книга Леона Вальраса, в якій він писав

    «Чиста теорія економіки є наука, що нагадує у всьому фізико-математичні науки». Леон Вальрас розробив теорії загального конкурентного рівноваги і побудував узагальнену модель капіталістичної економіки.

    Необхідно відзначити роботи по моделіровапнію економіки В. Леонтьєва, Дж. Фон Неймана, В. Парето, Е. Енгель, Ф. Еджворта.

    Василь Леонтьєв (1906-1999 р.р.) - американський економіст, росіянин за походженням. Основоположник напрямки, названого їм методом «витрати - випуск» або по вітчизняній термінології, методу міжгалузевого балансу. Отримав Нобелівську премію.

    Дж. Фон Нейман (1903 - 1957 р.р.) - американський математик, виходець з Угорщини. Розробив логічні основи ЕОМ і автоматів, побудував разом з О. Моргенштерн теорію ігор. Відома його математична модель «розширюється» економіки.

    В. Парето (1848 - 1927 р.р.) - італійський економіст і соціолог. У 1897 році він винайшов формулу, що блага розподіляються нерівномірно, розробив принцип багатоцільовий «оптимальності».

    Німець Е. Енгель придумав теорії функцій попиту і еластичності показників.

    Англієць Ф. Еджворт запропонував криві байдужості.

    В кінці 19 століття в Європі і США отримали великий розвиток статистичні дослідження (з потреб астрономії для усунення помилок у спостереженнях) і виник метод найменших квадратів, регресивний аналіз (з потреб біології). Вони увійшли важливою складовою частиною в економетрію.

    Серед вітчизняних вчених, які внесли значний вклад в ЕМ моделювання необхідно назвати Е.Е. Слуцького, Л.В. Канторовича, В. С. Немчинова, Н. П. Федоренко, Г. А. Аганбегяна.

    У 1939 році відбулося подія, яка спочатку ніким не було помічено, але потім відгукнулося в усьому світі. Молодий професор Ленінградського університету Л.В. Канторович (1912 - 1986 р.р.) надумав застосувати математичні прийоми до вирішення виробничих завдань. Такі завдання йому запропонував існуючий тоді Фанерний трест. Як розкроїти фанерні листи з мінімальними відходами, як розподілити роботу по верстатах, щоб результати були максимальними? Результати були вражаючі. Математичний розрахунок пропонував єдиний найбільш ефективний варіант використання ресурсів.

    У 1958 році майбутній академік В. С. Немчинов створив першу в країні ЕМ лабораторій. У 1963 р на базі лабораторії Немчинова був організований Центральний ЕМ інститут. Директором був призначений Н. П. Федоренко, котрий став академіком. У Новосибірську був створений Інститут економіки і організації промислового виробництва АН СРСР, який очолив академік Г.А.Аганбегян.

    Нижче наведені дані про вітчизняних учених, які зробили найбільший внесок у моделювання економіки.

    Слуцький Євген Євгенович (1880 - 1948 р.р.) - радянський математик, економіст і статистик, працював в обласній теорії попиту і споживання, вивів «рівняння Слуцького» (що характеризує залежність між зміною цін на окремі товари і доходів споживачів з одного боку, і структурою покупки попиту з іншого).

    Канторович Леонід Віталійович (1912 - 1986 р.р.) - радянський математик і економіст, зробив внесок у розвиток ціноутворення, теорії ефективності капіталовкладень, а також розвитку ОТ. Лауреат Нобелівської премії з економіки.

    Немчинов Василь Сергійович (1894 - 1964 р.р.) - основоположник ЕМ напрямки науки в країні, керував роботами по міжгалузевим балансам країни і регіонів.

    Аганбегян Абел Газевіч (р. 1932 г.), академік, основні праці з проблем продуктивності праці, галузевої оптимізації.

    Фельдман Григорій Олександрович (1884 - 1958 р.р.), радянський економіст, створив першу динамічну модель економічного зростання.

    Федоренко Микола Прокопович (р. 1917 г.) академік, радянський економіст, організатор і директор ЦЕМІ до 1985 року, працював в області загальних проблем застосування ЕММ в народному господарстві.


    Лекція 2

    Тема: Класифікація ЕММ і моделей

    план

    Класифікаційна схема ЕММ і моделей

    Поняття моделі, види моделей

    ЕМ методи - узагальнююча назва дисциплін, що знаходяться на стику економіки, математики і кібернетики, введене В. С. Немчинова на початку 60-х років 20 ст. Загальноприйнятою класифікації ЕММ і моделей немає, на рис. 2.1

    Наведена приблизна класифікація ЕММ і моделей.

    Мал. 2.1

    Розглянемо схему ЕММ і моделей:

    1. Математична статистика - розділ прикладної математики, заснований на вибірці досліджуваних явищ.

    2. Математична економіка і економетрія - науки, що займаються перевіркою економічних теорій на фактичному матеріалі з використанням математичної статистики і математичних моделей.

    Економетрія - наука вивчає конкретні кількісні закономірності та взаємозв'язки економічних об'єктів і процесів за допомогою математичних і математико-статичних методів і моделей.

    Математична економіка - наука, що вивчає ті ж питання, що і економетрія, тільки без статистичної конкретизації економічних параметрів, у вигляді загальних економічних залежностей.

    Математичної економікою - називають прикладну частину математичної економіки.

    Виробничі функції - ЕМ рівняння зв'язують змінні величини витрат з величинами продукції, застосовується в макроекономічних розрахунках і на рівні підприємств.

    Міжгалузевий баланс - каркасна модель економічної таблиці, в якій показуються різноманітні натуральні і вартісні зв'язку в народному господарстві (за кордоном називають методом «витрати - випуск»).

    Теорія економічного зростання - дозволяє моделювати загальне і соціальний розвиток країн в цілому.

    Регіональний аналіз - досліджує рівні економічного розвитку регіонів, їх спеціалізації, галузеві структури.

    Просторовий аналіз - досліджує розміщення населених центрів в зв'язку з їх економічним значенням, сферою збуту продукції. Галузі діляться на пространствоемкіе (сільське господарство, рибальство), точкові (обробна промисловість), що скорочує відстань (транспорт і зв'язок).

    3. Економічна кібернетика розглядає застосування загальних законів кібернетики в вивченні економічних явищ (системний аналіз економіки, теорія економічної інформації).

    Системний аналіз економіки - розглядає економічні об'єкти як систему, головний інструмент - модель досліджуваної системи.

    Теорія економічної інформації - розглядає процеси відбуваються в економіці, тільки з інформаційної боку, раціоналізацію потоків економічної інформації, її корисність.

    4. Методи прийняття оптимальних рішень (теорія ігор, масового обслуговування, управління запасами і ін.).

    2. Модель - поняття, яке визначити важко. В одній роботі було перераховано 31 визначення. Це поняття знайоме кожному: іграшковий літак - модель літака. Фотознімок пейзажу - це модель місцевості,

    s = vt (шлях = швидкість * на час, модель рухомого тіла, математична модель).

    Моделі можуть бути більш-менш точні, більш-менш прості або складні, матеріальні (речові) та знакові (наприклад, графічні).

    Матеріальні моделі - моделі гідроелектростанцій, які відтворюють річку, гори;

    Термін «модель» походить від латинського слова «modulus» - зразок Моделлю деякого об'єкту, явища називається штучна система або об'єкт, які в певних умовах можуть замінити оригінал шляхом відтворення властивостей і характеристик оригіналу.

    Модель є допоміжним засобом, який в певній ситуації замінює оригінал при дослідженні його властивостей. Розрізняють моделі наступних видів

    1) фізичні (зовнішньої подібності),

    2) схематичні (графічні),

    3) словесні (вербальні),

    4) математичні.

    Математичні моделі є найбільш абстрактними.

    Під ЕМ моделями розуміються математичні моделі, що застосовуються для вирішення економічних завдань і опису економічних процесів або явищ. ЕМ моделі бувають

    1 теоретико-аналітичні і прикладні,

    2 загальні і приватні,

    3 безперервні і дискретні,

    4 статичні і динамічні,

    5 детерміновані і стохастичні,

    6 матричні і ін.

    Велике значення в економіки мають оптимізаційні моделі. Вони складаються з цільової функції або критерію оптимальності і обмежень.

    Цільова функція - (або функція мети, назва оптимізується функції) - функція, оптимум якої потрібно знайти

    ƒ (х) opt (max, min).

    Критерій оптимальності - ознака, що характеризує якість прийнятого рішення.

    К = opt ƒ (х), x є X.

    Обмеження виражаються рівностями і нерівностями

    F1 (х)> A,

    F2 (х) = В.,

    Важлива властивість ЕМ моделей - їх придатність до різних

    ситуацій. Наприклад випуск продукції і внесення добрив можна описати однаковою моделлю.


    Лекція 3 Тема: Етапи економіко - математіческогомоделірованія

    план

    1. Аналіз етапів економіко-математичного моделювання.

    2. вербально-інформаційний опис як початковий етап моделювання.

    3. Моделі світової динаміки.

    1. Процес моделювання, в тому числі і економіко-математичного, включає в себе три структурні елементи: об'єкт дослідження; суб'єкт (дослідник); модель, опосередковують відносини між суб'єктом, що пізнає і пізнаваним об'єктом. Розглянемо загальну схему процесу моделювання, що складається з чотирьох етапів.

    Нехай є деякий об'єкт, який ми хочемо дослідити методом моделювання. На першому етапі ми конструюємо (або знаходимо в реальному світі) інший об'єкт - модель вихідного об'єкта-оригіналу. Етап побудови моделі припускає наявність певних відомостей про об'єкт-оригіналі. Пізнавальні можливості моделі визначаються тим, що модель відображає лише деякі суттєві риси вихідного об'єкта, тому будь-яка модель заміщає оригінал в строго обмеженому сенсі. З цього випливає, що для одного об'єкта може бути побудовано декілька моделей, що відображають певні сторони досліджуваного об'єкта або характеризують його з різним ступенем деталізації.

    На другому етапі процесу моделювання модель виступає як самостійний об'єкт дослідження.

    На приклад, одну з форм такого дослідження становить проведення модельних експериментів, при яких цілеспрямовано змінюються умови функціонування моделі і систематизуються дані про її поведінці. Кінцевим результатом цього етапу є сукупність знань про моделі щодо істотних сторін об'єкта-оригіналу, які відображені в даній моделі. Третій етап полягає в перенесенні знань з моделі на оригінал, в результаті чого ми формуємо безліч знань про вихідний об'єкті і при цьому переходимо з мови моделі на мову оригіналу. З достатньою підставою переносити будь-якої результат з моделі на оригінал можна лише в тому випадку, якщо цей результат відповідає ознакам схожості оригіналу і моделі (іншими словами, ознаками адекватності).

    На четвертому етапі здійснюються практична перевірка отриманих за допомогою моделі знань і їх використання як для побудови узагальнюючої теорії реального об'єкта, так і для його цілеспрямованого перетворення або управління ім. У підсумку ми знову повертаємося до проблематики об'єкта-оригіналу.

    Моделювання являє собою циклічний процес, т. Е. за перші чотирьохетапну циклом може відбутися другий, третій і т. д. При цьому знання про досліджуваний об'єкт розширюються і уточнюються, а спочатку побудована модель поступово вдосконалюється. Таким чином, в методології моделювання закладені великі можливості самовдосконалення.

    Перейдемо тепер безпосередньо до процесу економіко-математичного моделювання, т. Е. Опису економічних і соціальних систем і процесів у вигляді економіко-математичних моделей. Цей різновид моделювання має ряд істотних особливостей, пов'язаних як з об'єктом моделювання, так і з застосовуваними апаратом і засобами моделювання. Тому доцільно більш детально проаналізувати послідовність і зміст етапів економіко-математичного моделювання, виділивши наступні шість етапів: постановка економічної проблеми, її якісний аналіз; побудова математичної моделі; математичний аналіз, моделі; підготовка вихідної інформації; чисельне рішення; аналіз чисельних результатів і їх застосування. Розглянемо кожен з етапів більш детально.

    1. Постановка економічної проблеми та її якісно ний аналіз. На цьому етапі потрібно сформулювати суть проблеми, що приймаються передумови і припущення. Необхідно виділити найважливіші риси і властивості об'єкта, що моделюється, вивчити його структуру і взаємозв'язок його елементів, хоча б попередньо сформулювати гіпотези, що пояснюють поведінку і розвиток об'єкта.

    2. Побудова математичної моделі. Це етап формалізації економічної проблеми, тобто вираження її у вигляді конкретних математичних залежностей (функцій, рівнянь, нерівностей та ін.). Побудова моделі підрозділяється в свою чергу на кілька стадій. Спочатку визначається тип економіко-математичної моделі, вивчаються можливості її застосування в даній задачі, уточнюються конкретний перелік змінних і параметрів і форма зв'язків. Для деяких складних об'єктів доцільно будувати кілька різноаспектну моделей; при цьому кожна модель виділяє лише деякі сторони об'єкта, а інші сторони враховуються агрегованих і наближено. Чи виправдане прагнення побудувати модель, що відноситься до добре вивченого класу математичних задач, що може зайняти певний спрощення вихідних передумов моделі, що не спотворює основних рис модельованого об'єкта. Однак можлива й така ситуація, коли формалізація проблеми призводить до невідомої раніше математичної структурі.

    3. Математичний аналіз моделі. На цьому етапі чисто математичними прийомами дослідження виявляються загальні властивості моделі і її рішень. Зокрема, важливим моментом є доказ існування рішення сформульованої задачі. При аналітичному дослідженні з'ясовується, єдино чи рішення, які змінні можуть входити в рішення, в яких межах вони змінюються, які тенденції їх зміни і т. Д. Однак моделі складних економічних об'єктів з великими труднощами піддаються аналітичному дослідженню; в таких випадках переходять до чисельних методів дослідження.

    4. Підготовка вихідної інформації. В економічних задачах це, як правило, найбільш трудомісткий етап моделювання, так як справа не зводиться до пасивного збору даних. Математичне моделювання пред'являє жорсткі вимоги до системи інформації; при цьому треба брати до уваги не тільки принципову можливість підготовки інформації необхідної якості, а й витрати на підготовку інформаційних масивів. У процесі підготовки інформації використовуються методи теорії ймовірностей, теоретичної і математичної статистики для організації вибіркових обстежень, оцінки достовірності даних і т.д. При системному економіко-математичному моделюванні результати функціонування одних моделей служать вихідною інформацією для інших.

    5. Чисельне рішення. Цей етап включає розробку алгоритмів чисельного розв'язання задачі, підготовку програм на ЕОМ і безпосереднє проведення розрахунків; при цьому значні труднощі викликаються великою розмірністю економічних задач. Зазвичай розрахунки на основі економіко-математичної моделі носять різноманітний характер. Численні модельні експерименти, вивчення поведінки моделі при різних умовах можливо проводити завдяки високій швидкодії сучасних ЕОМ. Чисельне рішення істотно доповнює результати аналітичного дослідження, а для багатьох моделей є єдино можливим.

    6. Аналіз чисельних результатів і їх застосування. На цьому етапі перш за все вирішується найважливіше питання про правильність і повноту результатів моделювання і застосування їх як у практичній діяльності, так і з метою удосконалення моделі. Тому в першу чергу повинна бути проведена перевірка адекватності моделі за тими властивостями, які обрані в якості істотних (іншими словами, повинні бути зроблені верифікація та валідація моделі). Застосування чисельних результатів моделювання в економіці спрямоване на вирішення практичних завдань (аналіз економічних об'єктів, економічне прогнозування розвитку господарських і соціальних процесів, вироблення управлінських рішень на всіх рівнях господарської ієрархії).

    Перераховані етапи економіко-математичного моделювання знаходяться в тісному взаємозв'язку, зокрема, можуть мати місце зворотні зв'язки етапів. Так, на етапі побудови моделі може з'ясуватися, що постановка задачі або суперечлива, або призводить до занадто складної математичної моделі; в цьому випадку вихідна постановка задачі повинна бути скоригована. Найбільш часто необхідність повернення до попередніх етапів моделювання виникає на етапі підготовки вихідної інформації. Якщо необхідна інформація відсутня або витрати на її підготовку занадто великі, доводиться повертатися до етапів постановки задачі і її формалізації, щоб пристосуватися до доступної досліднику інформації.

    Вище вже сказано про циклічний характер процесу моделювання. Недоліки, які не вдається виправити на тих чи інших етапах моделювання, усуваються в наступних циклах. Однак результати кожного циклу мають і цілком самостійне значення. Почавши дослідження з побудови простої моделі, можна отримати корисні результати, а потім перейти до створення більш складної і більш досконалої моделі, що включає в себе нові умови і більш точні математичні залежності.

    2. Для створення моделі системи необхідно спочатку дати її вербально-інформаційний опис, (слово вербальний означає «словесний» від лат. "Verbalis")

    Його складові описують:

    1) зовнішнє середовище;

    2) зв'язку системи із зовнішнім середовищем;

    3) елементарний склад системи, її частини, які можуть розглядатися як системи меншого розміру;

    4) опис зв'язків між елементами системи і ПС або головні зв'язки між елементами і ПС, якщо не можна дати всі зв'язки;

    5) дія системи ..

    Такий опис можна вважати початковою моделлю системи, базою для створення інших більш спеціалізованих моделей вищого рівня.

    Деякі частини опису можуть бути неповними. Іноді (якщо система складна) моделювання закінчується вербальним описом. Якщо вербальна модель вдала, то вона дозволяє приймати ефективні рішення, вирішувати різні проблеми, знаходити підходи управління системою.

    3. Використання чисельних математичних методів моделювання дозволило створити моделі світової економіки. Так як ресурси Землі обмежені, то цікавою є проблема дослідження можливих наслідків економічного зростання. Ця проблема тісно пов'язана з економічними факторами.

    Американський вчений Дж. Форрестер запропонував модель світової динаміки. Інтегральна вихідна величина моделі - індекс матеріального зростання життя

    M = C / P * N (1-a),

    де С - сумарний капітал, (інвестиції в промисловість),

    Р - чисельність населення;

    N - наявність природних ресурсів;

    a - індекс сільськогосподарського капіталу.

    Всі змінні тут є усередненими величинами по всьому світу.

    Взаємозв'язок змінних описувалася системою з 20 нелінійних рівнянь. Використовувалося імітаційне моделювання.

    Результати виявилися невтішними:

    1) якщо світ не зміниться, то якість життя буде знижуватися після max в 70-і роки.

    2) збільшення капіталовкладень в промисловість викличе забруднення навколишнього середовища.

    3) деякий стабільний стан можна досягти, якщо зменшити капіталовкладення в промисловість, народжуваність і користування природних ресурсів.

    Дослідження світової динаміки продовжив Д.Медоуза. Його модель характеризується величинами:

    1 - наявність ресурсів;

    2 - обсягом виробництва продуктів харчування на душу населення;

    3 - чисельність населення;

    4 - об'ємом промислової продукції на душу населення;

    5 - рівнем забруднення навколишнього середовища;

    6 - загальним темпом смертності;

    7 - загальним темпом народжуваності;

    8 - обсягом виробництва послуг на душу населення (за рік).

    Процес побудови моделі включав 4 етапи.

    1) визначення зв'язків між 8 характеристиками системи;

    2) складання залежностей між характеристиками;

    3) комп'ютерний розрахунок загального поведінки цих залежностей у часі;

    4) дослідження впливу на глобальну систему різних стратегій розвитку.

    Відповідно до цієї моделі виробництво продуктів харчування і чісленност' населення ростуть, поки їх не загальмує швидке зниження ресурсних запасів. Забруднення природного середовища і чисельність населення зростають після піку промислового розвитку настільки, що викличуть економічну, демографічну та екологічну катастрофу.

    Щоб прибрати крах світової системи, в модель послідовно вводили 4 стратегії технічного прогресу:

    1) широке використання ядерної енергетики, щоб подвоїти ресурси, переробка відходів. 2) контроль забруднення природного середовища. 3) збільшення продуктивності землі в 2 рази. 4) контроль за народжуваністю. Однак моделювання показало, що навіть при одночасному використанні всіх 4 стратегій зменшується виробництво продуктів харчування і промислової продукції на душу населення.

    Тоді розробили стабілізуючу стратегію, яка включала такі пропозиції:

    1) ідеальний контроль за народжуваністю (2-є дітей в сім'ї);

    2) збільшення амортизаційних відрахувань;

    3) переробка вторинних ресурсів, контроль над станом навколишнього середовища, збільшення термінів служби всіх видів капіталу, оновлення ерозійних земель.

    Ці заходи повинні були бути введені ще в 1975 р., Інакше вихід світу до стабільного стану буде неможливий.

    Ці висновки викликали жваву дискусію. До критичних думок ставилися: сильна агрегованість моделі, ігнорування великих відмінностей між регіонами Землі.

    Інші моделі були взагалі незрозумілими.

    У наукових колах моделі світової динаміки викликали "футурошок" тобто


    Лекція 4

    Тема: Моделювання економічних функцій

    план

    1 Функція витрат

    2 Функція попиту

    3 Функція пропозиції

    4 Функція корисності

    1. Аналіз витрат містить вивчення впливу витрат виробництва на обсяг виробництва та інші ТЕ показники.

    Найчастіше розглядається функція виду:

    Z = F (x) + Σbivi, i = 1, n,

    де Z - сумарні витрати;

    x- кількість продукції;

    vi - інші умови, відображають різну структуру ОПФ, різні умови виробництва, різну організацію праці в різних галузях.

    Поділимо обидві частини на X

    ,

    де - питомі витрати.

    Відвернемося від впливу факторів, що, можливо при вивченні витрат в загальнодержавних масштабах. тоді

    Z = f (x),

    ,

    Лінійна функція витрат має вигляд:

    Z = f (x) = b0 + bix.

    Функція питомих витрат буде спадною. Параметри можна інтерпретувати за допомогою граничних величин

    , I = 1, n;

    фактор ΔVi при незмінних рівні випуску продукції збільшує витрати на ΔZ,

    ΔZ = biΔVi.

    Якщо ΔVi = 1, то ΔZ = bi ..

    Коли Viвиражает якийсь процес чи така зміна організаційної структури, при якому витрати повинні знизиться, то biдолжно мати негативний знак.

    2. Функція попиту виражає залежність попиту від економічних (доходи, ціни) і зовнішньоекономічних (споживчі звички) чинників. Функції попиту можуть бути як макроекономічними, якщо охоплюють всю сферу споживання і мікроекономічними описують попит індивідуальних споживачів.

    D (p) - функція попиту або просто попит (по англ. "Demand" - попит) (кількість товару, що купується на даному ринку за одиницю часу по цін Р за одиницю). Фундаментальна властивість функції попиту виражає наступна аксіома: функція попиту є спадною, при збільшенні ціни величина попиту на товар зменшується до 0, при зменшенні ціни товару величина попиту збільшується.

    Розглянемо наступні функції попиту:

    a) б) в)

    а) лінійно спадна

    D (p) = а-bp, .

    б) зворотна

    D (p) = 1 / p, р> 0,

    в) логарифмічна

    D (p) = ln (1 + p) / p, p> 0.

    При зміні умов на ринку або поза ним функція попиту може зміниться, тоді говорять про зміну попиту. Зміна попиту треба відрізняти від зміни величини попиту при пересуванні по графіку цієї функції попиту. Наприклад, при підвищенні цін на бензин цілком може підвищиться попит на велосипеди. Це означає, що вся крива попиту пересунеться вправо.

    Розглянемо математичні характеристики кривої попиту і їх економічні ілюстрації. Похідна функції попиту за ціною

    ,

    показує наскільки зміниться величина попиту при зміні ціни товару на 1 од. Оскільки функція попиту спадна, то еластичність попиту за ціною показує на скільки% зміниться величина попиту при зміні ціни товару на 1%.

    позначається еластичність

    .

    3. S (p) - функція пропозиції або пропозиція (від англ. "Supply" - пропозиція) (кількість товару, що поставляється на даний ринок за одиницю часу при ціні р за од. Товару). Функція пропозиції є зростаючою. Аксіома пропозиції: при збільшенні ціни величина пропозиції товару необмежено збільшується, при зменшенні ціни величина пропозиції зменшується, наближаючись до 0.

    Розрізняють функції пропозиції

    а Б В)

    а) лінійно зростаюча

    S (p) = - C + dp, ,

    б) статечна

    ,

    в) логарифмічна

    .

    При зміні умов на ринку або поза ним функція пропозиції може зміниться, тоді говорять про зміну пропозиції. При відкритті поблизу родовища алмазів може збільшиться пропозиція необроблених алмазів а можливо через деякий час - ювелірних прикрас.

    Розглянемо математичні характеристики кривої пропозиції і їх економічні ілюстрації.

    Похідна функції за ціною

    ,

    показує наскільки зміниться величина пропозиції при зміні ціни товару на 1 од. Оскільки функція пропозиції зростаюча, то

    Еластичність пропозиції за ціною показує на скільки% зміниться пропозиція при зміні ціни товару на 1%. позначається еластичність

    ;

    Розглянемо:

    a)

    ;

    б) ;

    ;

    в) ;

    .

    4 Система переваг індивіда вказує, який з двох наборів краще для нього. У багатьох випадках, однак, дуже бажано і зручно оціни вать привабливість набору товарів кількісно , Приписати кожному набору X з п ространство товарів З якесь число і (Х). Виходить функція і: З R. Головна вимога до такої функції, щоб вона відображала ставлення (слабкого) переваги на С, тобто задовольняла умовам:

    і (Х) {Y), якщо і тільки якщо X

    і (Х) = u (Y), якщо і тільки якщо X ~ Y, значить і

    і (Х) <і (У), якщо і тільки якщо Х

    Така функція називається функцією корисності. Видно, що функція корисності постійна на кожному класі рівноцінності, так що її і цілком правильно уявляти собі як функцію, "перераховуються" класи рівноцінності в бік все більшого переваги наборів товарів.

    Працювати з функцією корисності набагато зручніше, ніж з сістемой.Однако математики з'ясували, що якщо на систему не накладаються ніяких обмежень, окрім вже розглянутих раніше, а саме, транзитивність, досконалість і рефлексивність, то функції корисності може і не існувати. Проте при деяких природних умовах, накладених на систему функція корисності існує.

    Тепер можна сформулювати умови, при яких існує функція корисності.

    ТеоремаЕслі система переваг неперервна, то існує безперервна функція корисності.

    Мал.4.1

    Треба відзначити, що функціяполезності, якщо вона існує, не визначається єдиним чином (рис.4.1).

    Основні властивості функції корисності випливають з її зв'язку і підпорядкованості системі переваг. Функція корисності неубутна і диференційована.

    Стан ринку, при якому попит дорівнює пропозиції називається рівноважним, а ціна, при якій досягається рівність з проса і пропозиції -назив ается р ав новесной ціною

    ТеоремaПусть функції попиту і пропозиції безупинні і, D (р 0)> S (p 0) при деякій ціні р 0; тоді існує стан рівноваги.


    Лекція 5

    Тема: Типи виробничих функцій і їх властивості

    план

    1. Типи виробничих функцій

    2. Граничний аналіз факторів і однорідність виробничих функцій

    3. Еластичність виробничих функцій

    4. Заміщення факторів у виробничих функціях

    5. Виробнича функція Кобба-Дугласа

    1. Виробничі функції можна розділити за кількістю використовуваних змінних, по виду функцій і за їх властивостями.

    Під виробничою функцією розуміють рівняння, що зв'язує випуск продукції і витрати. Виробничі функції за кількістю змінних розрізняють:

    - однофакторні: або ;

    - двохфакторну: ;

    - багатофакторні.

    По аналітичного виду:

    А) лінійні виробничі функції

    .

    тут параметри і висловлюють продуктивність факторів і , Тобто показують абсолютний приріст виробництва, коли один фактор залишається незмінним, а інший зростає на одиницю. Лінійні функції часто використовуються в короткострокових і середньострокових економічних моделях.

    б) статечні виробничі функції

    ,

    ,

    .

    параметри і висловлюють еластичність рівня виробництва по відношенню до факторів і , Тобто показують відносний приріст продукції, пов'язаний з відносним приростом і .

    - обсяг трудових ресурсів в натуральному кількості,

    - число робочих, число людино-днів,

    - випуск продукції у вартісному або натуральному вигляді.

    в) більш складні виробничі функції CES

    ,

    де - параметр, що виражає еластичність заміни ОФ і зайнятості.

    2. Передбачається, що виробничі фактори задовольняють аксіомі. Існує підмножина виробництва країни витрат, зване економічної областю , В якій збільшення будь-якого виду витрат не приводить до зменшення випуску. якщо - дві точки цієї області, то тягне .

    Ця аксіома стверджує, що виробничі фактори не якась абсолютно абстрактна функція, придумана теоретиками - математиками.

    Вона відображає твердження, нехай і не на всій своїй області визначення, а тільки на її частині: в мало-мальськи розумної економіці збільшення витрат не може привести до зменшення випуску.

    У диференціальної формі це виражається в тому, що в цій області перші приватні похідні функції невід'ємні: - безперервна і диференціюється

    .

    .

    Ці похідні називаються граничними продуктами.

    Можна скласти виробничі функції даного виробництва навіть нічого не знаючи про виробництво. Треба тільки поставити у можливого виробництва лічильник (людини на якесь автоматичне збільшення), який буде фіксувати збільшує ресурс і - кількість продукції, яку виробництво справило. Якщо накопичити достатньо багато такої статистичної інформації, врахувати роботу виробництва в різних режимах, то можна прогнозувати випуск продукції, знаючи обсяг ввезених ресурсів, а це і є виробнича функція.

    3 Поняття «однорідність виробничої функції» включає в себе наступне її властивість: рівномірне збільшення всіх виробничих факторів викликає пропорційне збільшення продукту. Висловимо це математично:

    функція однорідна в ступеня h. якщо

    .

    Таким чином, коли кожна незалежна змінна приймає значення , Значення функції зростає в раз.

    величина показує ступінь використання виробничих факторів або їх ефективність. У разі, коли , Ефективність виробничих факторів буде дорівнює 1, при кажуть, що виробничі фактори мають зростаючої ефективністю і відповідно при ефективність факторів знижується

    4. еластичність економічного показника називається його здатність реагувати в більшій чи меншій мірі на зміну іншого показника.

    Визначимо еластичність обсягу виробництва по деякому фактору як відношення темпів приросту до темпів приросту цього фактора.

    Розрахуємо коефіцієнт еластичності по основних фондах :

    ;

    ;

    ;

    тут - безперервна функція, що диференціюється за .

    Так як на практиці ця умова виконується рідко, то коефіцієнт еластичності часто виражається через прирости.

    ;

    нехай , тоді

    - дорівнює відносній зміні .

    ;

    Коефіцієнт еластичності показує як змінюється (в%) величина , Якщо величина зростає на 1%.

    Якщо коефіцієнт еластичності в якій-небудь крапці дорівнює 1, то відносна і гранична величини дорівнюють один одному. Це виконується в точках, в яких відносна величина досягає мінімуму або максимуму.

    Іноді економічні показники характеризуються коефіцієнтом еластичності. якщо , То говорять, що економічний показник еластичний по ; якщо , То говорять, що економічний показник абсолютно еластичний.

    Так як виробнича функція містить кілька чинників, то слід досліджувати еластичність за всіма чинниками. Вводиться поняття приватної еластичності.

    ;

    .

    для функції параметри і є приватними коефіцієнтами еластичності.

    ;

    .

    4. Поняття заміщення грунтується на припущенні, що виробничі фактори можуть заміняти один одного, і показує, як при незмінній величині продукту можна змінювати співвідношення між факторами. для можна поставити питання, наскільки повинно змінитися число зайнятих при деякій зміні обсягу ОПФ, щоб величина виробленого продукту залишилася незмінною. оцінка заміщення і визначається як відношення двох граничних величин і називається граничною нормою заміщення.

    або .

    Наприклад, якщо одиничне зміна збільшує на 6 одиниць, а одиничне зміна збільшує на 3 одиниці, можна сказати, що залишається незмінним, якщо при зростанні на одну одиницю число зайнятих збільшується на 2 одиниці. В цьому випадку

    ; ;

    од.

    од.

    од.

    од.

    Розрізняють ПФ (рис. 5.2, а і б).


    а) Пф з взаємозамінними факторами

    б) Пф з доповнюючими факторами

    рис.5.2

    На малюнку зображені ізокванти виробничих функцій. Кожна точка показує значення продукту, виробленого за допомогою комбінації чинників . Безліч цих точок лежить на поверхні, званою поверхнею виробничих функцій. Перетин цієї поверхні з площинами, паралельними площині , Утворюють криві, звані изоквантой. Кожна точка на цих кривих дає комбінацію виробничих факторів, відповідних однаковим значенням виробничих функцій.

    Якщо виробничі фактори можна замінювати лише в фіксованих пропорціях, то кажуть, що виробничі функції мають нульовий граничною нормою заміни.

    5. ПФ Кобба-Дугласа (CDPF) належить до найбільш відомим, широко застосовуваним ПФ.

    .

    Вчені Дуглас і Кобб зробили спробу оцінити значення , Використовуючи дані по американській обробній промисловості за період з 1899 по 1922 року - індекс виробництва , Індекс основного капіталу , Індекс праці . Вони прийшли до висновку, що

    ,

    (Таким чином має місце незмінний ефект масштабу). З тих пір формула

    ,

    ,

    для котрої називають функцією Кобба-Дугласа. Функція найбільш часто використовувана зазнала змін

    ,

    де - темп науково-технічного прогресу. при

    .

    Припустимо, що кожен виробничий фактор виріс на %, Тоді значення цих факторів будуть рівні:

    ;

    .

    Величина кінцевого продукту обчислюється:

    ;

    при кінцевий продукт зростає більше ніж на r%, при - менше, ніж на %, А при - на %.

    Приватні коефіцієнти еластичності рівні

    .

    ,

    ; .

    Прологаріфміруем CDPF

    .

    Виробнича функція має лінійний вигляд.

    .

    ,

    тобто при збільшенні кожного виробничого фактора на % Випуск продукції збільшується на %.


    Лекція 6

    Тема: Моделі типу «витрати - випуск» В. Леонтьєва

    план

    1. Статична модель «витрати - випуск» В. Леонтьєва

    2. Елементарна теорія статичної моделі «витрати - випуск»

    3. Етапи побудови моделі «витрати - випуск»

    1 Розглянемо узагальнену модель деякої економічної системи (ЕС)

    (Рис. 6.1).


    Розглянемо вбрання опис.

    Зовнішнім середовищем є природа, суспільство і інших економічних систем. На вхід подаються ресурси: природні, трудові, інтелектуальна інформація, капітали тощо. Економічна система складається з ПС виробництва продукції і ПС розподілу. Частина валової продукції використовується для виробництва іншої продукції, а частина використовується для споживання, накопичення та експорту.

    наприклад:

    Мал. 6.1

    Потоки продукції, що циркулюють між економічними системами, показані на рис. 6.2.


    Мал. 6.2

    нехай - кількість галузей продукції,

    - вектор валової продукції (вектор випуску),

    - вектор кінцевої продукції,

    - вектор проміжної продукції (вектор витрат),

    де - валова продукція -й галузі,

    - кінцева продукція -й галузі,

    - проміжна продукція -й галузі.

    Економічна система характеризується матрицею А (виробнича матриця).

    ,

    де - кількість продукції -й галузі, яка витрачається на виробництво одиниці продукції -й галузі (передбачається, що в кожній з галузей виробництво здійснюється одним технологічним способом). Галузі випускають однорідну продукцію.

    , .

    З огляду на, що на виробництво валової продукції всіх видів зачіпається , , - міжгалузеві потоки -й продукції, вектори і зв'яжемо лінійним рівнянням:

    Вид продукції 1 2 .......
    1
    2
    ....... ....... ....... ....... ....... .......

    яку можна привести до виду

    .

    якщо , Тобто ЕС використовує весь валовий продукт на власні потреби, то така економіка і її модель називаються закритими. Якщо виробляється хоч один вид, ненульовий кінцевої продукції, то економіка і її модель називаються відкритими.

    Модель Леонтьєва можна використовувати для того, щоб:

    1) обчислити по заданій кількості кінцевої продукції ( ) Необхідну кількість валової продукції ( ).

    2) При заданому рівні випуску валової продукції ( ) Обчислити скільки буде кінцевого продукту ( ).

    3) Дослідити вплив зміни технології на виробництво, тобто обчислити як впливають зміни на і .

    Для зручності математичного дослідження модель записують у векторно-матричній формі

    ,

    або у вигляді ,

    де - одинична матриця розміру , ,

    - символ Кронекера.

    «Дельта» а - виробнича матриця ЕС.

    З точки зору загальної теорії управління завдання 2) відома як завдання спостереження для моделі, яка відображає процес розподілу валової продукції.

    завдання аналізу

    завдання синтезу

    (Показує процес планування валової продукції по заданому вектору кінцевої продукції ).

    Існування єдиного рішення такої системи пов'язане з існуванням зворотної матриці. матриця називається зворотною матрицею Леонтьєва або матричним мультиплікатором моделі (скорочено мультиплікатором Леонтьєва).

    За змістом матриця

    є матрицею коефіцієнтів повних витрат, так як економічне пояснення її елементів наступне: показує потребу в валової продукції -й галузі для виробництва одиниці кінцевої продукції -й галузі.

    твір матриці на вектор кінцевого продукту дорівнює .

    Рішення завдання синтезу має вигляд:

    ,

    Виникає питання щодо умов, при яких існує матриця , Для будь-якого невід'ємного вектора , вектор також неотрицателен. В цьому випадку матриця називається продуктивною. матриця , Називається неотрицательной, якщо всі її елементи невід'ємні. матриця будь-ЕС по визначенню повинна бути неотрицательной.

    Умови продуктивності неотрицательной матриці:

    1) maxсобственное число матриці , - власний вектор.

    2) має неотрицательную зворотну матрицю .

    3) Матричний ряд

    .

    (Ряд Неймана) матриці сходиться (при цьому ).

    4) послідовні головні мінори матриці позитивні.

    З 3) випливає, що рішення задачі синтезу можна отримати ітераційно, обчислюючи за формулою:

    ,

    ,

    де приблизне рішення задачі , З номером - за попереднім рішенням .

    Пошук власних чисел матриці

    ,

    де - власний вектор.

    Приклад: Дана матриця

    . знайти і

    і пов'язані рівнянням

    .

    Щоб така система рівняння мала нульове рішення, її визначник повинен бути роавен 0.

    ;

    ;

    ; ;

    для ;


    Лекція 7

    Тема: Моделі міжгалузевого балансу

    план

    1. Балансовий метод.

    2. Принципова схема міжсекторного балансу.

    3. Модель міжсекторного балансу витрат праці.

    1.В основі створення балансових моделей лежить балансовий метод, тобто метод взаємного зіставлення наявних матеріальних, трудових і фінансових ресурсів і потреб в них. Якщо замість поняття продукт ввести більш загальне поняття ресурс, то під балансовою моделлю слід розуміти систему рівнянь, які задовольняють вимогам відповідності наявності ресурсу та його використання. Приклади балансового відповідності, як відповідність наявності робочої сили і кількості робочих місць, платоспроможного попиту населення та пропозиції товарів і послуг і т.д. При цьому відповідність розуміється або як рівність, або менш жорстко - як достатність ресурсів для покриття потреби і, отже, наявність деякого резерву.

    Найважливіші види балансових моделей:

    · Статичні;

    · Динамічні;

    · Приватні матеріальні, трудові та фінансові баланси;

    · Міжгалузеві баланси;

    Балансовий метод і створювані на його основі балансові моделі служать основним інструментом підтримки пропорцій в народному господарстві. Для виявлення диспропорцій використовується балансові моделі, в яких фактичні ресурси зіставлялися б з потребою в них.

    Основу інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці становить матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямками їх використання. Наприклад, в моделі міжгалузевого балансу таку роль відіграє технологічна матриця. З багатьох причин вихідні дані реальних господарських об'єктів не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації для введення в модель є досить серйозною проблемою. Так, при побудові моделі міжгалузевого балансу використовується специфічне поняття чистої (або технологічної) галузі, тобто умовної галузі, яка об'єднує весь вироблений продукту незалежно від відомчої (адміністративної) підпорядкованості та форм власності підприємств і фірм. Перехід від господарських галузей до чистих галузей вимагає спеціального перетворення реальних даних господарських об'єктів, наприклад, агрегування галузей, виключення внутрішньогалузевого обігу та ін. В цих умовах поняття «міжпродуктового баланс» і «міжгалузевий баланс» практично ідентичні, відмінність полягає лише в одиницях виміру елементів балансу .

    Балансові моделі належать до того типу економіко-математичних моделей, які називаються матричними.У матричних моделях балансовий метод отримує суворе математичне вираз.

    2.Первий квадрант МОБ - це шахова таблиця міжгалузевих матеріальних зв'язків. Показники, вміщені на перетинах рядків і стовпців, являють собою величини міжгалузевих потоків продукції і в загальному вигляді позначаються x ij, де i і j - відповідно номери галузей виробляють і споживають. Так, величина x 32 розуміється як вартість засобів виробництва, вироблених в галузі з номером 3 і спожитих як матеріальних витрат в галузі з номером 2. Таким чином, перший квадрант за формою являє собою квадратну матрицю порядку n, сума всіх елементів якої дорівнює річному фонду відшкодування витрат засобів виробництва в матеріальній сфері.

    У другому квадраті представлена ​​кінцева продукція всіх галузей матеріального виробництва, при цьому під кінцевої розуміється продукція, що виходить зі сфери виробництва в область кінцевого використання (на споживання і накопичення). У таблиці цей розділ дан укрупнено у вигляді одного стовпця величин Y i; в розгорнутій схемі балансу кінцевий продукт кожної галузі показаний диференційовано за напрямками використання на особисте споживання населення, суспільне споживання, на накопичення, відшкодування втрат, експорт та ін. Отже, другий квадрант характеризує галузеву матеріальну структуру національного доходу, а в розгорнутому вигляді - також розподіл національного доходу на фонд нагромадження і фонд споживання, структуру споживання і накопичення по галузях виробництва і споживачам.

    Третій квадрант МОБ також характеризує національний дохід, але з боку його вартісного складу як суму чистої продукції та амортизацію; чиста продукція розуміється при цьому як сума оплати праці та чистого доходу галузей. Суму амортизації (c i) і чистої продукції (v j + m j) деякої j-й галузі називатимемо умовно чистою продукцією цієї галузі і обозначатьвдальнейшем Z j.

    Четвертий квадрант балансу знаходиться на перетині стовпців квадранта (кінцевої продукції) і рядків квадранта (умовно чистої продукції). Цим визначається зміст квадранта: він відображає кінцевий розподіл і використання національного доходу. В результаті перерозподілу спочатку створеного національного доходу утворюються кінцеві доходи населення, підприємств, держави. Дані квадранта ІV важливі для відображення в міжгалузевої моделі балансу доходів і витрат населення, джерел фінансування капіталовкладень, поточних витрат невиробничої сфери, для аналізу загальної структури кінцевих доходів по групах споживачів. загальний підсумок квадранта ІV, так само як другого і третього, має дорівнювати створеному за рік національному доходу.

    Слід особливо відзначити, що хоча валова продукція галузей не входить в розглянуті вище чотири квадранта, вона представлена ​​на принциповій схемі МОБ в двох місцях у вигляді стовпчика, розташованого праворуч від другого квадранта, і у вигляді рядка нижче третього квадранта. Ці стовпець і рядок валової продукції замикають схему МОБ і грають важливу роль як для перевірки правильності заповнення квадрантів (тобто перевірки самого балансу), так і для розробки економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу.

    .

    .

    .

    .

    .

    3.Рассмотрім баланс пр-ва і розподілу продукції. Позначимо витрати живого праці в виробництві j-го продукту через L j, а обсяг виробництва цього продукту (валовий випуск), як і раніше, через X j. Тоді прямі витрати праці на одиницю j-го виду продукції (коефіцієнт прямої трудомісткості) можна задати наступною формулою:

    .

    Введемо поняття повних витрат праці як суми прямих витрат живого праці та витрат уречевленої праці, перенесених на продукт через витрачені засоби виробництва. Якщо позначити величину повних витрат праці на одиницю продукції j-го виду через T j, то твори виду a ij T i відображають витрати матеріалізованої праці, перенесеного на одиницю j-го продукту через ie засіб виробництва; при цьому передбачається, що коефіцієнти прямих матеріальних витрат а ij виражені в натуральних одиницях. Тоді повні трудові витрати на одиницю j-го виду продукції (коефіцієнт повної трудомісткості) дорівнюватимуть

    .

    Введемо в розгляд вектор-рядок коефіцієнтів прямої трудомісткості t = (t 1, t 2,..., t n) і вектор-рядок коефіцієнтів повної трудомісткості T = (T 1, T 2,..., T n).

    Тоді з використанням вже розглянутої вище матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А (в натуральному вираженні) систему рівнянь можна переписати в матричному вигляді:

    Т = ТА + t.

    Провівши очевидні матричні перетворення з використанням одиничної матриці Е

    Т-та = ТІ -та = Т (Е -A) = t,

    отримаємо наступне співвідношення для вектора коефіцієнтів повної трудомісткості:

    Т = t (E -A) -1.

    Т = tB = t (IA) -1.

    Позначимо через L величину сукупних витрат живої праці за всіма видами продукції, яка з урахуванням формули буде дорівнює

    Використовуючи співвідношення, приходимо до наступного рівності:

    ,

    tX = ТУ.


    лекція 8

    Тема: одноотраслевого динамічні макроекономічні моделі

    план

    1. Дискретна і безперервна одноотраслевого динамічні моделі.

    2. Відкрита одноотраслевого динамічна модель.

    3. Використання одногалузевих динамічних моделей.

    1.Рассмотрім модель економіки, яка є декомпозицією загальної вербальної моделі (рис. 8.1). Нехай ПС виробництва випускає продукцію тільки одного виду (так звана Однопродуктовая або односекторная модель)

    Мал. 7.1

    X t = W t + C t + A t + I t.

    На малюнку показані фактори, що характеризують виробничий процес:

    L - трудові ресурси,

    ОПФ - ОПФ або основний капітал,

    N - природні ресурси,

    W - предмети праці, повернуті в виробництво як частина валового продукту X.

    У блоці розподілу P x розділяється на W і кінцевий продукт Y. У блоці розподілу Py розділяється на невиробниче споживання C і інвестиції I. Інвестиції поділяються на амортизаційні відрахування A і чисті інвестиції I 1.

    У блоці V чисті інвестиції I 1 перетворюються в приріст виробничого капіталу ΔK.

    У моделі розглянемо взаємозв'язку: x, y, L, I, I`, C. Припустимо, що валові інвестиції I в тому ж році повністю використовуються на приріст ОПФ і амортизацію.

    У дискретному варіанті цей зв'язок має вигляд:

    I t = q ּ ΔK t + A t, (8.1)

    де ΔK t = K t - K t -1 - приріст капіталу в році t, q - коефіцієнт пропорційності (параметр моделі), At = μ ּ K t - амортизаційні відрахування,

    μ - коефіцієнт амортизації,

    K t - виробництв. капітал в році t.

    У безперервному варіанті аналог рівняння (8.1) є:

    I (t) = q dK (t) / dt + μK (t).

    Звідси виведемо рівняння руху капіталу ,

    Повернемося до дискретного варіанту:

    x t = W t + y t;

    y t = I t + C t;

    Таккак I t = qΔK t + A t, то

    x t = W t + y t = W t + I t + C t = W t + qΔK t + A t + C t;

    Якщо припустити, що проміжні витрати W є пропорційними випуску валової продукції XW t = ax t, то

    x t = ax t + qΔK t + μK t -C t,

    іліΔK t = (1 / q) [(1-a) x t -μK t -C t] - дискретна Однопродуктовая динамічна модель. Здесьa - коефіцієнт виробничих витрат.

    У безперервному варіанті:

    K` (t) = (1 / q) [(1-a) x (t) -μK (t) -C (t)] - безперервна Однопродуктовая динамічна модель.

    2.Предположім, що всі валові інвестиції I спрямовані на введення в дію нових ОПФ (основний виробничий капітал не зношується), при цьому приріст випуску продукції

    Δx t = x t +1 -x t,

    пропорційний інвестицій

    It = νΔx t,

    ν - коефіцієнт використання інвестицій,

    тоді

    W t = ax t,

    a - коефіцієнт виробничих витрат.

    x t = W t + y t,

    y t = I t + C t;

    xt = axt + νΔxt + Ct;

    У безперервному варіанті ця модель має вигляд

    x (t) = ax (t) + ν dx (t) / dt + C (t).

    3.Рассмотренние динамічні моделі односекторной економіки можуть бути використані для різних цілей. З одного боку на їх основі можна створювати більш складні, але і більш реальні багатосекторні моделі. З іншого боку їх можна використовувати для пошуку шляхів найкращого розвитку економіки. Це призводить до завдань оптимального управління.

    З безперервної однопродуктовой динамічної моделі

    K` (t) = (1 / q) [(1-a) x (t) -μK (t) -C (t)],

    можна записати:

    x (t) = ax (t) + qK` (t) + μK (t) + C (t).

    Найкращим шляхом розвитку економіки на відрізку часу [t 0, t 1], t 1 0 може бути той, що максимізує дисконтоване сумарне споживання

    ,

    де C (t) - невиробниче споживання,

    D (t) - функція дисконтування, яка зображує міру переваг споживання продукції в даний момент часу t, в порівнянні з іншим моментом часу.

    Випуск продукції x (t) обмежується виробничими можливостями, які визначаються моментом часу t, капіталом K (t), трудовими ресурсами L (t) і задаються функцією

    X = F (t, K (t), L (t)),

    яка є виробничою функцією. Для всіх t використовується нерівність

    0≤x (t) ≤F (t, K (t), L (t)),

    Зміна капіталу обмежена знизу

    K (t) ≥ K min, t 0 ≤ t ≤ t 1.

    Крім цього вважається, що в початковий момент часу відомий випуск

    x (t 0) = x 0.


    РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

    1 Вітлінській В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. - К .: КНЕУ, 2003.- 408с.

    2 Пономаренко О.І. Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі .: Навч.посібник. К.-Либідь, 1995. - 240с.

    3 Клебанова Т.С., Забродський В.О., Полякова О.Ю., Петренко В.Л. Моделювання економіки: Навч. посібник. - Харків: Видавництво ХДЕУ, 2001.-140 с., Рос. мовою.

    4 Бережна О.В., Бережний В.Г. Математичні методи моделювання економічних систем. Навч. посібник. - М .: Фінанси та статистика, 2001. - 368с., Рос. мовою.

    5 Хачатрян С.Р. Прикладні методи математичного моделювання економічних систем. Науково-метод. Посібник / Московська академія економіки та права. - М .: "Екзамен", 2002. - 192с., Рос. мовою.

    6 Губін Н.М. та ін. Економіко-математичні методи і моделі в плануванні та управлінні в галузі зв'язку: Учеб. посібник / Губін Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. - М .: Радио и связь, 1993. -376с.

    7 Малихін В.І. Математичне моделювання економіки: Навчально-практичний посібник. - М .: Видавництво УРАО, 1998. - 160с.

    8 Економіко-математичні методи і прикладні моделі: Учеб. посібник для вузів / В.В. Федосєєв, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайітбегов і ін .; Під ред. В.В. Федосєєва. - М .: ЮНИТИ, 1999. - 391с.

    9 Лопатников Л.І. Популярний економіко-математичний словник - М .: Знание, 1990. - 256с.

    10 Методичні вказівки до практичних зайняти з курсу "Економіко-математичні методи та системи в менеджменті" для студентів усіх форм навчання спеціальностей "Інформаційні системи в менеджменті", "Економічна кібернетика" / Упоряд. Н.Б. Івченко. - Харків: ХТУРЕ, 1999.- 40с.