• Методи дослідження технологічних процесів
  • Теорія подібності. види подібності
  • Критерії подібності безрозмірні, їх значення для різних точок системи можуть бути різними, але для подібних точок подібних систем вони однакові і не залежать від відносних розмірів натури і моделі.
  • Основні положення теорії подібності (теореми подібності)
  • Таблиця 1


  • Дата конвертації23.03.2017
    Розмір15.7 Kb.
    Типреферат

    Основи теорії подібності (метод узагальнених змінних)

    Тема:

    Основи теорії подібності (метод узагальнених змінних)


    план

    Методи дослідження технологічних процесів

    Теорія подібності. види подібності

    Основні положення теорії подібності (теореми подібності)

    критерії подібності

    Методи дослідження технологічних процесів

    Дослідження процесів, що протікають в технологічних установках, встановлення закономірностей їх протікання, знаходження залежностей, необхідних для їх аналізу і розрахунку, можна проводити різними методами: теоретичним, експериментальним, подібності.

    Теоретичний метод заснований на складанні і вирішенні системи диференціальних рівнянь, що описують процес. Диференціальні рівняння описують цілий клас однорідних за своєю сутністю явищ (процесів), тому для виділення конкретного явища необхідно ввести певні обмеження, які однозначно будуть характеризувати дане явище. Ці додаткові умови називаються умовами однозначності. Умови однозначності включають в себе: геометричну форму і розміри системи, тобто апарату, каналу і т.д .; фізичні властивості речовин, що беруть участь в процесі; початкові умови (початкову температуру, початкову швидкість і т.д.); граничні умови, наприклад швидкість рідини у стінок каналу, рівну нулю.

    Однак багато процесів хімічної технології настільки складні, що вдається лише скласти систему диференціальних рівнянь і встановити умови однозначності. Вирішити ці рівняння відомими в математиці методами не представляється можливим.

    Експериментальний метод дозволяє на основі досвідчених даних отримати емпіричні рівняння, що описують даний процес. Складнощі експериментального методу полягають в необхідності проведення великої кількості дослідів на реальних технологічних установках. Це пов'язано з великими витратами коштів та часу. Разом з тим результати проведених експериментів будуть справедливі тільки для тих умов, для яких вони отримані, і не можуть бути з достатньою надійністю перенесені на процеси, аналогічні вивченим, але протікають в інших апаратах.

    Метод теорії подібності дозволяє з достатньою для практики точністю вивчати складні процеси на більш простих моделях, узагальнювати результати дослідів і отримувати закономірності, справедливі не тільки для даного процесу, а й для всієї групи подібних процесів. При моделюванні процесів можна замість дорогих трудомістких дослідів на промислових установках проводити дослідження на моделях значно менших розмірів, а замість часто небезпечних і шкідливих речовин використовувати безпечні модельні речовини, досліди проводити в умовах, відмінних від виробничих. Крім того, матеріальну модель можна замінити фізичної схемою (моделлю), що відбиває суттєві особливості даного процесу. Тому в даному навчальному посібнику найбільш докладно буде розглянута теорія подібності.

    Теорія подібності. види подібності

    Метод узагальнених змінних становить основу теорії подібності. Одним з основних принципів теорії подібності є виділення з класу явищ (процесів), що описуються загальним законом (процеси руху рідин, дифузії, теплопровідності і т.п.), групи подібних явищ.

    Подібними називаються такі явища, для яких відносини подібних і характеризують їх величин постійні.

    Розрізняють такі види подібності: геометричне; тимчасове; фізичних величин; початкових і граничних умов.

    Геометрична подібність дотримується при рівності відносин всіх подібних лінійних розмірів натури і моделі. Наприклад, при вивченні руху рідини в каналі довжиною L, діаметром D. У моделі подібні розміри рівні l і d. тоді

    L / l = D / d = ... = соnst = k l (0)


    Безрозмірна величина k (а в Дитнерскій), називається константою геометричної подоби, або масштабним (перехідним) множником. Константи подібності характеризують відношення однорідних подібних величин в подібних системах і дозволяють перейти від розмірів однієї системи (моделі) до іншої (натурі).

    Тимчасове подобу припускає, що подібні частинки в геометрично подібних системах, рухаючись по геометрично подібним траєкторіям, проходять геометрично подібні шляху за проміжки часу, ставлення яких є константою подібності k х, тобто

    (1)

    На рис.1. зображений канал (натура) з розмірами L і D і модель з розмірами l і d. Якась частка в точці А (натура) знаходиться в момент часу τ А, в точці В - в момент часу τ ст. У геометрично подібної моделі подібна частка знаходиться в подібній точці а в момент часу τ а, в точці b- в момент часу τ b.

    Мал. 1. Умови подібності в натурі (a) і в моделі (б)

    теорія подобу змінна узагальнений

    При дотриманні геометричного і тимчасового подоби константа подібності швидкостей k υ визначається з співвідношень


    (2)

    Подоба фізичних величин передбачає, що для двох будь-яких подібних точок натури і моделі, розміщених подібно в просторі і в часі, співвідношення фізичних величин (μ, ρі т.д.) є величиною постійною:

    (3)

    і т.д.

    Подоба початкових і граничних умов полягає в тому, що для початкових і граничних умов необхідно дотримуватися геометричне, тимчасове і фізична подібність так само, як і для інших подібних точок натури і моделі.

    Розглянуті константи подібності постійні для різних подібних точок подібних систем, але можуть змінюватися в залежності від співвідношення розмірів натури і моделі, т. Е. Якщо є інша модель, подібна натурі, константи подібності будуть іншими.

    Якщо подібні величини виразити в відносних одиницях, тобто у вигляді відносин подібних величин в межах однієї системи (натури або моделі), то отримаємо інваріанти подібності:

    (4)

    і т.д.

    Інваріанти подібності не залежить від співвідношення розмірів натури і моделі, тобто для всіх моделей, подібних натурі, вони будуть одні і ті ж. Інваріанти подібності, що представляють собою відношення однорідних величин, називаються симплекс, або параметричними критеріями, наприклад відношення L / D - геометричний симплекс.

    Інваріанти подібності, виражені відношенням різнорідних величин, називаються критеріями подібності. Критерії подібності позначаються початковими буквами імен вчених, які внесли великий вклад в розвиток даної галузі знань.

    Критерії подібності безрозмірні, їх значення для різних точок системи можуть бути різними, але для подібних точок подібних систем вони однакові і не залежать від відносних розмірів натури і моделі.

    Критерії подібності мають фізичний зміст, будучи заходами співвідношення між якимись двома ефектами, силами і т.п., що впливають на перебіг даного процесу.

    Критерії подібності можуть бути отримані для будь-якого процесу, якщо відомі рівняння, що описують цей процес.

    Основні положення теорії подібності (теореми подібності)

    Основні положення теорії подібності укладені в теоремах подібності, які лежать в основі практичного застосування теорії подібності.

    Перша теорема подібності (теорема Ньютон-Бертрана): подібні явища характеризуються чисельно рівними критеріями подібності.

    Теорема була сформульована Ньютоном. Вона встановлює, що єдиним кількісним умовою подібності процесів є рівність критеріїв подібності натури і моделі.

    Звідси очевидно, що ставлення критеріїв однієї системи (натури) до критеріїв іншої подібної їй системи (моделі) завжди дорівнює 1. Наприклад,

    Якщо відношення констант подібності дорівнює 1, воно носить назву індикатора подібності і вказує на рівність критеріїв подібності.

    Отже, у подібних явищ індикатори подібності рівні 1.

    Перша теорема подібності вказує, які величини слід вимірювати при проведенні дослідів, результати яких потрібно узагальнити: треба вимірювати ті величини, які входять в критерії подібності.

    Друга теорема подібності (теорема Бекінгем-Федерман): рішення будь-якого диференціального рівняння, що зв'язує між собою змінні, що впливають на процес, може бути представлено у вигляді залежності між критеріями До подібності. Такі рівняння називаються рівняннями узагальнених змінних, або критеріальним рівняннями, наприклад

    f (К 1, К 2, К 3,...) = 0, (5)

    де К 1, К 2, К 3 - критерії подібності.

    Зазвичай критеріальне рівняння записується в вигляді залежності визначається критерію подібності від визначальних критеріїв подібності:

    До 1 = f (К 2, К 3, ...), (6)

    наприклад,

    До 1 = АК m 2 До n 3 (7)

    де А, т, п - емпіричні показники.

    Визначеним критерієм є той критерій, в який входить обумовлена ​​величина. Критерії, в які входять величини, що визначають хід процесу (v, μ, ρ, d е і т.д.), називаються визначальними.

    Якщо який-небудь ефект в досліджуваному процесі мало впливає на його перебіг, то критерії подібності, що характеризують інтенсивність даного ефекту, можуть не враховуватися. В цьому випадку процес по відношенню до цього ефекту і до критерію подібності стає автомодельного, тобто незалежним. Відповідно до цієї теоремою результати експерименту, проведеного на моделі, можна представляти у вигляді критеріальних рівнянь.

    Третя теорема подібності (теорема Кірінчен-Гухман): явища подібні, якщо їх визначають критерії рівні.

    Наслідком рівності визначальних критеріїв подібності є рівність і визначаються критеріїв для натури і моделі, тому отримана на моделі в результаті дослідів критеріальна залежність буде справедлива для всіх подібних процесів, в тому числі і для протікають в промисловій установці. При цьому слід враховувати, що отримані рівняння надійно можна використовувати тільки в тих інтервалах зміни змінних, які були використані під час проведення дослідів.

    Таким чином, для дослідження технологічних процесів методом подібності необхідно:

    1. вибрати диференціальне рівняння і умови однозначності, що описують даний процес; потім шляхом перетворення знайти критерії подібності;

    2.дослідним шляхом за допомогою моделей встановити залежність між критеріями подібності; отримане узагальнене рівняння буде справедливим для всіх подібних процесів в межах зміни визначальних критеріїв подібності.

    Перетворення диференціальних рівнянь методом теорії подібності проводиться в такому порядку:

    1. кожен з членів диференціального рівняння множиться на відповідні константи подібності до τ, до v, до l ін .;

    2. отримані коефіцієнти перед членами рівняння для дотримання тотожності прирівнюються;

    3. в отриманих індикаторах подібності константи подібності замінюються відповідними відносинами величин, і отримані комплекси є критеріями подібності.

    У табл. 1 наведені основні критерії гідродинамічної подібності, які будуть рівні для подібних точок натури і моделі, якщо вони подібні.

    Таблиця 1 - Основні критерії гідродинамічної подібності

    критерій вираз критерію характеристика критеріїв Одиниці виміру входять в критерії подібності величин
    Кінематичний (критерій Рейнольдса) Rе = υl / ν = υlρ / μ Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тертя

    υ - швидкість, м / с;

    l - визначальний розмір, м;

    ρ - щільність, кг / м 3;

    μ - динамічна в'язкість, Па-с;

    ν - кінематична в'язкість, м 2 / с;

    g - прискорення вільного падіння, м / с 2;

    р - тиск, Па;

    τ-час, з

    Гравітаційний (критерій Фруда) Fr = υ 2 / gl Характеризує міру співвідношення сил інерції і сил тяжіння
    Гідравлічного опору (критерій Ейлера) Еu = Δp / ρ υ 2 Характеризує міру співвідношення сил гідростатичного тиску і сил інерції
    гомохронності Але = υ τ / l Характеризує несталий рух рідини

    Таким чином, диференціальне рівняння Нав'є - Стокса, що описує рух в'язкої рідини, може бути представлено у вигляді критеріального рівняння:

    f (Rе, Але, Fr, Еu) = 0 (8)

    Рівняння (8) є узагальненим критеріальним рівнянням гідродинаміки. Всі критерії рівняння (8), крім критерію Їй, є визначальними, так як вони складені з величин, що входять в умови однозначності. Критерій Ейлера, в який входить величина? Р, що є метою розрахунку, буде визначальним критерієм.

    тоді

    Еu = f (Rе, Але, Fr) або

    Еu = AНо зт Fr п, (9)

    де А, c, т, п-емпіричні показники.

    У ряді випадків рівняння (19) доповнюють геометричним симплексом l / d:

    Еu = AНо зт Fr п (l / d) b, (10)

    де b- емпіричний показник.

    При усталеному русі критерій Але виключається з критериального рівняння:

    Еu = Arе т Fr п (l / d) b. (11)


    У разі, якщо швидкість руху рідини не визначена, в розрахунки вводять похідні або модифіковані критерії подібності, складені з основних критеріїв. У цих умовах подібності невідома величина υ замінюється іншими величинами, які порівняно легко визначаються експериментально або аналітично.

    Візьмемо відношення критеріїв Rе і Fr:

    (12)

    Отриманий безрозмірний комплекс величин називається критерієм Галілея. Якщо помножити цей критерій на ставлення 1 - ρ 2) / ρ 2, то виходить новий критерій подібності - критерій Архімеда

    (13)

    де ρ 1, ρ 2 - щільності рідини в різних точках, кг / м 3.