• завдання 2.5
  • завдання 3.5
  • Завдання 4.5.


  • Дата конвертації10.04.2018
    Розмір42.25 Kb.
    Типконтрольна робота

    Скачати 42.25 Kb.

    по Економіці 29

    завдання 1.5

    Продукція двох видів (фарба для внутрішніх (I) і зовнішніх (E) робіт) надходить у продаж. Для виробництва фарб використовуються два вихідних продукту - A і B. Максимально можливі добові запаси цих продуктів складають 6 і 8 тонн відповідно. Витрати продуктів A і B на1 1 т відповідних фарб наведені в таблиці.

    вихідний продукт Витрата вихідних продуктів на тонну фарби, т Максимально можливий запас, т
    фарба T фарба I
    A 1 2 6
    B 2 1 8

    Вивчення ринку збуту показало, що добовий попит на фарбу I ніколи не перевищує попиту на фарбу T більш ніж на 1 т. Крім того, встановлено, що попит на фарбу I ніколи не перевищує 2 т на добу. Оптові ціни однієї тонни фарб рівні 3000 ден. од. для фарби T і 2000 ден. од. для фарби I. Яка кількість фарби кожного виду повинні виробляти фабрика, щоб дохід від реалізації продукції був максимальним?

    Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на мінімум, і чому?

    Рішення:

    Сформулюємо економічно-математичну модель задачі. Позначимо через x 1 кількість фарби для зовнішніх робіт (в тоннах), x 2 - кількість фарби для внутрішніх робіт (в тоннах). Необхідно максимізувати дохід від реалізації фарби:

    maxf (x) = 3000x 1 + 2000x 2,

    при обмеженнях

    x 1 + 2x 2 ≤ 6

    2x 1 + x 2 ≤ 8

    x 2 - x 1 ≤ 1

    x 2 ≤ 2

    x 1, x 2 ≥ 0

    Отримана задача - завдання лінійно програмування. Побудуємо ОДР завдання.

    Прямі обмеження означають, що область рішень буде лежати в першій чверті Декартовой системи координат.

    Функціональні обмеження (нерівності) визначають область, що є перетином напівплощин з граничними прямими:

    I. x 1 + 2x 2 = 6

    II. 2x 1 + x 2 = 8

    III. x 2 - x 1 = 1

    IV. x 2 = 2

    Перетин зазначених напівплощин в першій чверті являє собою напівплощина - заштрихованная загальна область для всіх обмежень завдання ОДР.

    1. Для визначення напрямку руху до оптимуму побудуємо вектор-градієнт, з'єднавши його вершину Ñ (3, 2) з початком координат O (0, 0).

    2. Побудуємо деяку лінію рівня 3000x 1 + 2000x 2 = a. Нехай, наприклад, a = 12666,67. На малюнку такої лінії рівня відповідає пряма OX, перпендикулярна вектор - градієнту.

    3. При максимізації ЦФ необхідно переміщати лінію рівня OX в напрямку вектор - градієнта, а при мінімізації - в протилежному напрямку.

    Максимум функції буде знаходитися в точці перетину прямих x 1 + 2x 2 = 6 і 2x 1 + x 2 = 8. Таким чином, максимуму функції (12666,67) досягається при x 1 = 10/3, x 2 = 4/3. Якщо вирішувати завдання на мінімум, то мінімум функції буде дорівнює 0, так як функція обмежена знизу осями Ox1 і Ox2.

    завдання 2.5

    На підставі інформації, наведеної в таблиці, вирішується завдання оптимального використання ресурсів на максимум виручки від реалізації готової продукції.

    вид ресурсів Норми витрати ресурсів на од. продукції запаси ресурсів
    I вид II вид III вид
    I 1 4 3 200
    II 1 1 2 80
    III 1 1 2 140
    Ціна виробу 40 60 80

    потрібно:

    1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
    2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теореми подвійності.
    3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
    4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
    • проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідної задачі;
    • визначити, як зміняться виручка від реалізації продукції і план випуску продукції при збільшенні запасів сировини на 18 одиниць;
    • оцінити доцільність включення в план вироби четвертого виду ціною 70 од., на виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.

    Рішення:

    1. Позначимо через x 1, x 2, x 3, x 4 - кількість чотирьох видів продукції відповідно і запишемо математичну модель задачі критерієм «максимум вартості»:

    max (40x 1 + 60x 2 + 80x 3)

    x 1 + 4x 2 + 3x 3 ≤ 200

    x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 80

    x 1 + x 2 + 2x 3 ≤ 140

    x j ≥ 0, j = 1, 2, 3.

    Наведемо завдання до канонічного вигляду

    max (40x 1 + 60x 2 + 80x 3)

    x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 = 200

    x 1 + x 2 + 2x 3 + x 5 = 80

    x 1 + x 2 + 2x 3 + x 6 = 140

    x j ≥ 0, j = 1-6.

    Вирішимо канонічну задачу симплекс-методом.

    базис Z x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 реш b / aij Ком
    z 1 -40 -60 -80 0 0 0 0 НЕ опт
    x 4 0 1 4 3 1 0 0 200 66,67
    x 5 0 1 1 2 0 1 0 80 40 x 3 в Baz
    x 6 0 1 1 2 0 0 1 140 70
    z 1 0 -20 0 0 40 0 3200 НЕ опт
    x 4 0 -0,5 2,5 0 1 -1,5 0 80 32 x 2 в Baz
    x 3 0 0,5 0,5 1 0 0,5 0 40 80
    x 6 0 0 0 0 0 -1 1 60
    z 1 -4 0 0 8 28 0 3840 НЕ опт
    x 2 0 -0,2 1 0 0,4 -0,6 0 32
    x 3 0 0,6 0 1 -0,2 0,8 0 24 40 x 1 в Baz
    x 6 0 0 0 0 0 -1 1 60
    z 1 0 0 6,67 6,67 33,33 0 4000 опт
    x 2 0 0 1 0,33 0,33 -0,33 0 40
    x 1 0 1 0 1,67 -0,33 1,33 0 40
    x 6 0 0 0 0 0 -1 1 60

    Завдання вирішена, отримана оптимальна симплекс-таблиця.

    z = 4000 - максимальне значення цільової функції. Рішення x 1 = 40, x 2 = 40, x 3 = 0.

    У цій моделі функціональні обмеження відображають умови обмеженості запасів ресурсів використовуваних у виробництві продукції.

    Перевіримо, як задовольняється система функціональних обмежень планом X * = (x 1 = 40, x 2 = 40, x 3 = 0):

    40 + 40 ∙ 4 + 0 ∙ 3 = 200

    40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 (*)

    40 + 40 + 2 ∙ 0 = 80 ≤ 140

    Значення цільової функції на цьому плані одно

    f (X) = 40 ∙ 40 + 60 ∙ 40 + 80 ∙ 0 = 4000

    2. Двоїста задача має вигляд:

    min (200y 1 + 80y 2 + 140y 3)

    y 1 + y 2 + y 3 ≥ 40

    4y 1 + y 2 + y 3 ≥ 60

    3y 1 + 2y 2 + 2y 3 ≥ 80

    y j ≥ 0.

    Для знаходження оцінок y 1, y 2, y 3 використовуємо другу теорему подвійності. Оскільки перше і друге обмеження в (*) виконується як суворе нерівність, то y 3 = 0. Так як x 1> 0 і x 2> 0, то

    y 1 + y 2 + y 3 = 40

    4y 1 + y 2 + y 3 = 60.

    Отже, для отримання подвійних оцінок маємо систему лінійних рівнянь:

    y 3 * = 0

    y 1 + y 2 + y 3 = 40

    4y 1 + y 2 + y 3 = 60,

    тобто y 1 * = 20/3, y 2 * = 100/3, y 3 * = 0.

    Обчислимо значення цільової функції двоїстої задачі:

    φ (Y) = 200 ∙ 20/3 +80 ∙ 100/3 +140 ∙ 0 = 4000, тобто f (X) = φ (Y) = 4000.

    3. Значення змінної x 3 в оптимізаційному плані дорівнює нулю. Це говорить про те, що виріб третього виду невигідно виготовляти.

    4. За першою теоремою двоїстості ми можемо стверджувати, що дійсно знайдені оптимальні значення двоїстих змінних.

    · Економіко-математичний аналіз оптимальних рішень базується на властивостях двоїстих оцінок. В межах стійкості двоїстих оцінок мають місце такі властивості.

    1. Величина двоїстої оцінки того чи іншого ресурсу показує, наскільки зросла б максимальне значення цільової функції, якби обсяг даного ресурсу збільшився на одну одиницю.

    У розглянутому прикладі збільшення запасів сировини I типу призвело б до збільшення загальної вартості на 20/3 у.о. (y 1 = 20/3), збільшення запасів сировини II типу призвело б до збільшення загальної вартості на 100/3 у.о. (y 2 = 100/3), а збільшення запасів сировини III типу не вплине на оптимальний план випуску продукції і на загальну вартість.

    2.Двоїсті оцінки відображають порівняльну дефіцитність різних видів ресурсів щодо прийнятого в завданні показника ефективності. Оцінки показують, які ресурси є більш дефіцитними, які менш дефіцитні і які зовсім дефіцитними.

    У нашому прикладі недефіцитним ресурсом є сировина III оскільки y 3 = 0.

    Гостріше відчувається недостатність сировини II (y 2 = 100/3) - він більш дефіцитний, ніж сировину I (y 1 = 20/3).

    3. Подвійні оцінки дозволяють визначати своєрідні «норми заменяемости ресурсів». У нашому прикладі відносна заменяемость ресурсів визначається співвідношенням 1: 5.

    · Визначимо, як зміниться виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини на 18 од.

    Припускаючи, що ці зміни проходять в межах стійкості двоїстих оцінок, маємо:

    x 1 + 4x 2 + 3 ∙ 0 = 200

    x 1 + x 2 + 2 ∙ 0 = 98

    Звідси визначається план випуску в нових виробничих умовах - X = (x 1 = 64, x 2 = 34, x 3 = 0) відповідно прибуток складе 4600 у.о., тобто збільшиться на 600 у.о.

    · Вирішимо питання про доцільність включення в план виробів четвертого виду ціною 70 од., На виготовлення якого витрачається по дві одиниці кожного виду ресурсів.

    20/3 ∙ 2 + 100/3 ∙ 2 + 0 ∙ 2 - 70 = 10> 0 - невигідно.

    завдання 3.5

    Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожне з трьох підприємств спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду, друге підприємство - продукції другого виду; третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання), решта постачається за його межі (зовнішнім споживачам, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) і елементів y i вектора звичайно продукції Y.

    потрібно:

    1. Перевірити продуктивність технологічної матриць A = (a ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
    2. Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва і розподілу продукції підприємств холдингу.
    Підприємства (види продукції Коефіцієнти прямих витрат a ij Кінцевий продукт Y
    1 2 3
    I 0,2 0,3 0,0 120
    II 0,3 0,1 0,2 250
    III 0,1 0,0 0,3 180

    1. Перевіримо продуктивність технологічної матриць A = (a ij). Оцінку зробимо за другою ознакою.

    æ0,2 0,3 0,0öì120ü

    A = | 0,3 0,1 0,2çY = ï250ï

    è0,1 0,0 0,3øî180þ

    æ 0,8 -0,3 0,0ö

    E - A = | -0,3 0,9 -0,2ç

    è-0,1 0,0 0,7ø

    Визначимо її головні мінори:

    Δ 1 = 0,8> 0; Δ 2 = 0,8 ∙ 0,9 - (- 0,3) ∙ (- 0,3) = 0,72 - 0,09 = 0,63> 0;

    Δ 3 = 0,8 (0,63 - 0,00) + 0,3 (- 0,21 - 0,02) - 0,0 (0,00 + 0,09) = 0,504 - 0,069 - 0,000 = 0,435 > 0.

    Таким чином, матриця A- продуктивна.

    2. Модель балансу виробництва та розподілу продукції підприємства можна представити наступною системою рівнянь:

    ìX 1 = 0,2X 1 + 0,3X 2 + 0,0X 3 + 120

    ïX 2 = 0,3X 1 + 0,1X 2 + 0,2X 3 + 250

    îX 3 = 0,1X 1 + 0,0X 2 + 0,3X 3 + 180

    ì0,8X 1 - 0,3X 2 - 0,0X 3 = 120

    ï- 0,3X 1 + 0,9X 2 - 0,2X 3 = 250

    î- 0,1X 1 - 0,0X 2 + 0,7X 3 = 180

    Звідси визначаємо валову продукцію цехів методом Жордана-Гаусса:

    0,8 -0,3 0 120
    -0,3 0,9 -0,2 250
    -0,1 0 0,7 180
    1 -0,38 0,00 150,00
    -0,3 0,9 -0,2 250
    -0,1 0 0,7 180
    1 -0,38 0,00 150,00
    0 0,79 -0,20 295,00
    0 -0,0375 0,7 195
    1 -0,38 0,00 150,00
    0 1 -0,25 374,60
    0 -0,0375 0,7 195
    1 0 -0,10 290,48
    0 1 -0,25 374,60
    0 0 0,69 209,05
    1 0 -0,10 290,48
    0 1 -0,25 374,60
    0 0 1 302,76
    1 0 0 319,31
    0 1 0 451,49
    0 0 1 302,76

    Отже, X 1 = 319, X 2 = 451, X 3 = 303.

    Розподіл продукції між цехами на внутрішнє споживання визначаємо зі співвідношення

    X ij = a ij X j, тобто X 11 = 0,2 ∙ 319 = 64; X 12 = 0,3 ∙ 451 = 135; X 13 = 0,0 ∙ 303 = 0;

    X 21 = 0,3 ∙ 319 = 96; X 22 = 0,1 ∙ 452 = 45; X 23 = 0,2 ∙ 303 = 61;

    X 31 = 0,1 ∙ 319 = 32; X 32 = 0,0 ∙ 451 = 0; X 33 = 0,3 ∙ 303 = 91.

    В результаті планова модель - баланс виробництва і розподіл продукції підприємства - матиме такий вигляд

    Міжпродуктового баланс виробництва і розподілу продукції
    виробляють структури споживають структури

    кінцевий

    продукт

    валовий

    продукт

    1 2 3
    1 64 135 0 120 319
    2 96 45 61 250 451
    3 32 0 91 180 303
    Разом 192 181 151 550 тисячі сімдесят-чотири

    Завдання 4.5.

    Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит Y (t) (млн. Руб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено нижче в таблиці.

    t 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    Y t 5 7 10 12 15 18 20 23 26

    потрібно:

    1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
    2. Побудувати лінійну модель Ŷ (t) = a 0 + a 1 t, параметри якої оцінити МНК (Ŷ (t) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду.).
    3. Побудувати адаптовану модель Брауна Ŷ (t) = a 0 + a 1 k з параметром згладжування α = 0,4 і α = 0,7; вибрати краще значення параметра згладжування.
    4. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості і відповідності нормальному закону розподілу (при використання R / S-критерію взяти табульованого кордону 2,7 - 3,7).
    5. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
    6. По двох побудованим моделям здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розрахувати при довірчій ймовірності p = 70%).
    7. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування уявити графічно.

    Рішення:

    1. Перевіримо наявність аномальних спостережень за допомогою методу Ірвіна. Для цього треба обчислити величину λ t за формулою λ t = ïy t - y расч ï / S y,

    _______________

    де S y = √å (y t - y ср) 2 / (n - 1).

    Якщо розрахована величина λ t перевищує табличний рівень, то рівень y t вважається аномальним. Для десяти спостережень λ табл = 1,5.

    Згідно колонці 15 таблиці 5 аномальних спостережень немає.

    2. Рівняння лінійної регресії має вигляд: y расч = a 0 + a 1 ∙ t. Значення параметрів a 0 і a 1 лінійної моделі визначимо, використовуючи дані таблиці 1.

    (y ∙ t) ср - y ср ∙ t ср 162 - 35,6 ∙ 5

    a 1 = ------- = ------ = - 2,4

    (t 2) ср - (t ср) 2 31,7 - 5

    a 0 = y ср - a 1 ∙ t ср = 35,6 + 2,4 ∙ 5 = 47,6

    Рівняння лінійної регресії має вигляд: y расч = 47,6 - 2,4 ∙ t.

    Таблиця 1.

    t Yt t ∙ Y t t 2
    1 45 45 1
    2 43 86 4
    3 40 120 9
    4 36 144 16
    5 38 190 25
    6 34 204 36
    7 31 217 49
    8 28 224 64
    9 25 225 81
    сума 45 320 1455 285
    середнє 5 35,6 162 31,7

    3. Побудуємо адаптивну модель Брауна.

    n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    x 5 7 10 12 15 18 20 23 26

    Початкові оцінки параметрів отримаємо по першим п'яти точка за допомогою методу найменших квадратів.

    na 0 + a 1 Σx = Σy

    a 0 Σx + a 1 Σx 2 = Σxy

    5a 0 + 15a 1 = 49

    15a 0 + 55a 1 = 172

    Σy ∙ Σx 2 - Σxy ∙ Σx

    a 0 = --------

    n Σx 2 - Σx ∙ Σx

    49 ∙ 55 - 172 ∙ 15

    a 0 = ------- ≈ 2,30

    5 ∙ 55 - 15 ∙ 15

    nΣxy - Σy ∙ Σx

    a 1 = -------

    n Σx 2 - Σx ∙ Σx

    5 ∙ 172 - 49 ∙ 15

    a 1 = ------- ≈ 2,50

    5 ∙ 55 - 15 ∙ 15

    Дані для розрахунку візьмемо в наступній таблиці:

    сума
    x 1 2 3 4 5 15
    y 5 7 10 12 15 49
    x 2 1 4 9 16 25 55
    xy 5 14 30 48 75 172

    Рівняння лінійної регресії має вигляд: y x = 2,30 + 2,50x.

    Отримали a 0 (0) = 2,30, a 1 (0) = 2,50.

    Візьмемо α = 0,4, k = 1 і β = 1 - α = 1 - 0,4 = 0,6.

    Будемо знаходити наступні значення a 0 (t) і a 1 (t) за формулами

    a 1 (t) = a 1 (t - 1) + (1 - β) 2 ∙ (Y (t) - Y p (t)) і a 0 (t) = a 0 (t - 1) + a 1 (t - 1) + (Y (t) - Y p (t)) ∙ (1 - β 2),

    де Y p (t) = a 0 (t - 1) + a 1 (t - 1) k.

    Таблиця 3.

    номер факт a 0 a 1 розрахунок відхилення ε 2
    2,30 2,50
    1 5 4,93 2,53 4,80 0,200 0,04
    2 7 7,17 2,46 7,46 -0,460 0,21
    3 10 9,86 2,52 9,62 0,376 0,14
    4 12 12,14 2,46 12,38 -0,383 0,15
    5 15 14,85 2,52 14,60 0,405 0,16
    6 18 17,78 2,62 17,38 0,624 0,39
    7 20 20,14 2,56 20,40 -0,397 0,16
    8 23 22,89 2,61 22,70 0,299 0,09
    9 26 25,82 2,69 25,50 0,502 0,25
    10 28,51 1,59
    11 31,19

    ___________________

    u (1) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 - 5) 2/60 ≈ 3,25

    k = 1 (t = 10).

    Нижня межа: 28,51 - 0,66 = 27,85

    Верхня межа: 28,51 0,66 = 29,17

    ___________________

    u (2) = 1,12 ∙ 0,48 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 - 5) 2/60 ≈ 3,44

    k = 2 (t = 10).

    Нижня межа: 31,19 - 0,70 = 30,49

    Верхня межа: 31,19 + 0,70 = 31,89

    Перевіримо адекватність моделі.

    Перевірка випадковості ряду залишків за критерієм піків дає результат 7 більше 2 (критичне число поворотних точок).

    Обчислимо dпо формулою

    Σ (ε t - ε t-1) 2 3,95

    d = ----- = - = 2,48

    Σ ε t 2 1,59

    При перевірці незалежності рівнів ряду залишків один від одного значення d '= 4 - 2,48 = 1,52 при рівні значимості a = 0,025 більше d 2 = 1,36, тобто модель адекватна.

    Відповідність ряду залишків нормальному розподілу встановимо за допомогою формули

    R / S = (ε max - ε min) / S n,

    _______________ _____

    S n = √ Σ (ε t - ε ср) 2 / (n - 1) = √1,44 / 8 = 0,42

    R / S = (0,62 - (-0,46)) / 0,42 = 2,55

    Для n = 9 і a = 0,05 знайдемо критичний інтервал: [2,7; 3,7]. Обчислення значення 2,55 не влучає між табульованих межами із заданим рівнем імовірності. Значить, закон нормального розподілу не виконується.

    Результати апроксимації і прогнозування по адаптивної моделі Брауна при α = 0,4.

    Візьмемо α = 0,7, k = 1 і β = 1 - α = 1 - 0,7 = 0,3.

    Будемо знаходити наступні значення a 0 (t) і a 1 (t) за формулами

    a 1 (t) = a 1 (t - 1) + (1 - β) 2 ∙ (Y (t) - Y p (t)) і a 0 (t) = a 0 (t - 1) + a 1 (t - 1) + (Y (t) - Y p (t)) ∙ (1 - β 2),

    де Y p (t) = a 0 (t - 1) + a 1 (t - 1) k.

    Таблиця 4.

    номер факт a 0 a 1 розрахунок відхилення ε 2
    2,30 2,50
    1 5 4,98 2,60 4,80 0,200 0,04
    2 7 7,05 2,31 7,58 -0,580 0,34
    3 10 9,94 2,62 9,37 0,634 0,40
    4 12 12,05 2,35 12,57 -0,567 0,32
    5 15 14,95 2,64 14,40 0,602 0,36
    6 18 17,96 2,84 17,59 0,413 0,17
    7 20 20,07 2,45 20,81 -0,807 0,65
    8 23 22,96 2,68 22,52 0,479 0,23
    9 26 25,97 2,86 25,64 0,360 0,13
    10 28,83 2,64
    11 31,69

    ___________________

    u (1) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 - 5) 2/60 ≈ 0,85

    k = 1 (t = 10).

    Нижня межа: 28,83 - 0,85 = 27,98

    Верхня межа: 28,83 + 0,85 = 29,68

    ___________________

    u (2) = 1,12 ∙ 0,61 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 - 5) 2/60 ≈ 0,90

    k = 2 (t = 10).

    Нижня межа: 31,69 - 0,90 = 30,79

    Верхня межа: 31,69 + 0,90 = 32,59

    Перевіримо адекватність моделі.

    Перевірка випадковості ряду залишків за критерієм піків дає результат 7 більше 2 (критичне число поворотних точок).

    Обчислимо dпо формулою

    Σ (ε t - ε t-1) 2 8,08

    d = ----- = - = 3,06

    Σ ε t 2 2,64

    При перевірці незалежності рівнів ряду залишків один від одного значення d '= 4 - 3,06 = 0,94 при рівні значимості a = 0,025 менше d 1 = 1,08, тобто модель неадекватна.

    Відповідність ряду залишків нормальному розподілу встановимо за допомогою формули

    R / S = (ε max - ε min) / S n,

    _______________ _____

    S n = √ Σ (ε t - ε ср) 2 / (n - 1) = √2,58 / 8 = 0,57

    R / S = (0,57 - (-0,81)) / 0,57 = 2,54

    Для n = 9 і a = 0,05 знайдемо критичний інтервал: [2,7; 3,7]. Обчислення значення 2,54 не влучає між табульованих межами із заданим рівнем імовірності. Значить, закон нормального розподілу не виконується.

    Результати апроксимації і прогнозування по адаптивної моделі Брауна при α = 0,7.

    Очевидно, що краще взяти α = 0,4.

    4. Для того щоб оцінити параметри і якість цієї моделі (адекватність і точність), а також побудувати точковий та інтервальний прогнози, заповнимо наступну таблицю:

    Таблиця 5.

    t Y t tt ср (tt ср) 2 Y t -y ср (tt ср) (Y t -y ср) Y t * ε t = Y t - Y t *

    Точ.

    пов

    ε t 2 ε tt -1 tt -1) 2 ε t ∙ ε t -1 t - ε ср) 2 λ t
    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
    1 5 -4 16 -10,11 40,44 4,58 0,42 0,18 0,18 0,2
    2 7 -3 9 -8,11 24,33 7,21 -0,21 1 0,04 -0,63 0,40 -0,09 0,04 0,2
    3 10 -2 4 -5,11 10,22 9,84 0,16 1 0,02 0,37 0,13 -0,03 0,02 0,3
    4 12 -1 1 -3,11 3,11 12,48 -0,48 1 0,23 -0,63 0,40 -0,07 0,23 1,6
    5 15 0 0 -0,11 0,00 15,11 -0,11 0 0,01 0,37 0,13 0,05 0,01 2,0
    6 18 1 1 2,89 2,89 17,74 0,26 1 0,07 0,37 0,13 -0,03 0,07 0,7
    7 20 2 4 4,89 9,78 20,38 -0,38 1 0,14 -0,63 0,40 -0,10 0,14 0,2
    8 23 3 9 7,89 23,67 23,01 -0,01 0 0,00 0,37 0,13 0,00 0,00 0,3
    9 26 4 16 10,89 43,56 25,64 0,36 0,13 0,37 0,13 0,00 0,13 0,7
    45 136 0 60 0 158 136 0,00 5 0,82 1,88 -0,27 0,82
    5 15,11 0 6,67 0 0,000

    У першій нижньому рядку під таблицею записані суми відповідних граф, в другій - відповідні середні значення.

    Наявність тренда, тобто міру зв'язку між змінними tи Y t оцінимо за коефіцієнтом кореляції. Побудуємо допоміжну розрахункову таблицю:

    Таблиця 6.

    t Y t t - t ср (t - t ср) 2 Y t - Y ср (Y t - Y ср) 2 t ∙ Y t
    1 5 -4 16 -10,11 102,23 5
    2 7 -3 9 -8,11 65,79 14
    3 10 -2 4 -5,11 26,12 30
    4 12 -1 1 -3,11 9,68 48
    5 15 0 0 -0,11 0,01 75
    6 18 1 1 2,89 8,35 108
    7 20 2 4 4,89 23,90 140
    8 23 3 9 7,89 62,23 184
    9 26 4 16 10,89 118,57 234
    сума 45 136 0 60 0 416,89 838
    середнє 5 15,1 0 6,67 0 46,32 93,11

    Коефіцієнт кореляції:

    ____ _ __

    t ∙ Y t - t ∙ Y t

    r = ----

    s t ∙ s y

    гдеs t = √Σ (t - t ср) 2 / n

    s y = √Σ (Y t - Y ср) 2 / n

    t ср = Σt / n

    Y t ср = Σ Y t / n

    t ср = 45/9 = 5

    Y t ср = 136/9 = 15,11

    s t = √60 / 9 = 2,58

    s y = √416,89 / 9 = 6,81

    r = (93,11 - 5 ∙ 15,11) / (2,58 ∙ 6,81) = 0,999

    Оцінимо отриманий коефіцієнт кореляції за статистикою Стьюдента.Тобто перевіримо гіпотезу про ненулевом коефіцієнті кореляції генеральної сукупності. Для перевірки гіпотези встановимо значення t a і F a і порівняємо з заданими табличними значеннями.

    r 2 (n - 2) 0,999 2 (9 - 2)

    t a = ---- = ----- = 3542,19

    1 - r 2 1 - 0,999 2

    Для рівня значимості a = 0,05 при числі ступенів свободи m = 9 t табл = 2,262. Так як t a> t табл, то гіпотезу про рівність нулю коефіцієнта кореляції генеральної сукупності відкидаємо.

    Для перевірки адекватності моделі відповідно і видом формул

    | ε ср | _ Σ (ε t - ε t-1) 2

    ť = - ∙ √nd = ----- r 1 = (Σε t ∙ ε t-1): Σ ε t 2.

    S Σ Σ ε t 2

    організуємо заповнення граф 9 - 13.

    • Легко переконатися, що математичне очікування ряду залишків дорівнює нулю, тобто | ε ср | = 0.
    • Перевірка випадковості ряду залишків за критерієм піків дає результат: 5 (сума графи 9) більше 2 (критичне число поворотних точок).

    __________ _____

    / Σ (ε t - ε ср) 2 / 0,82

    S Σ = / ----- = / --- = 0,32

    √ n - 1 √ 8

    | ε ср | _ 0,00 _

    ť = - ∙ √n = - ∙ √9 = 0,00

    S Σ 0,32

      Обчислимо d по формулі

    Σ (ε t - ε t-1) 2 1,88

    d = ----- = - = 2,28

    Σ ε t 2 0,82

    При перевірці незалежності рівнів ряду залишків один від одного значення d = 2,28 при рівні значимості a = 0,025 більше d 2 = 1,36, тобто ряд залишки не коррелирован. скористатися формулою

    r 1 = (Σε t ∙ ε t-1) / Σ ε t 2 = - 0,27 / 0,82 = - 0,33.

    Зіставляючи це число з табличним значенням першого коефіцієнта автокореляції 0,36, узятим для рівня значущості a = 0,01 і n = 9, побачимо, що розрахункове значення по модулю менше табличного. Це означає, що з помилкою в 1% ряд залишків можна вважати некорреліровани, тобто властивість взаємної незалежності рівнів залишкової компоненти підтверджується.

      Відповідність ряду залишків нормальному розподілу встановимо за допомогою формули

    R / S = (ε max - ε min) / S n,

    _______________ _____

    S n = √ Σ (ε t - ε ср) 2 / (n - 1) = √0,82 / 8 = 0,32

    R / S = (0,42 - (-0,48)) / S n = 2,81

    Для n = 9 і a = 0,05 знайдемо критичний інтервал: [2,7; 3,7]. Обчислення значення 2,81 потрапляє між табульованих межами із заданим рівнем імовірності. Значить, закон нормального розподілу виконується, і можна будувати довірчий інтервал прогнозу.

      Так як модель виявилася адекватною, оцінимо її точність. Розрахуємо середню відносну помилку по формулі

    1 | ε t | 1

    E отн = - Σ - ∙ 100% = - ∙ 0,23 ∙ 100% = 2,6%.

    n | Y t | 9

    Таку помилку можна вважати прийнятною.

    6. Екстраполяція рівняння Y t * = 1,94 + 2,63t вперед дає прогнозне значення рівне Y 10 = = 28,28 і рівне Y 11 = 30,91.

    Для побудови інтервального прогнозу розрахуємо довірчий інтервал. Приймемо значення рівня значущості a = 0,3, а значить, довірчу ймовірність - 70%. У цьому випадку критерій Стьюдента (при n = n - 2 = 7) дорівнює t a, n = 1,12. Обчисливши среднеквадратическую помилку тренда, з урахуванням значення t a, n отримаємо інтервальний прогноз:

    ____________________

    u (1) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 1 - 5) 2/60 ≈ 0,47

    k = 1 (t = 10).

    Нижня межа: 28,28 - 0,47 = 27,80

    Верхня межа: 28,28 + 0,47 = 28,75

    ___________________

    u (2) = 1,12 ∙ 0,34 ∙ √1 + 1/9 + (9 + 2 - 5) 2/60 ≈ 0,50

    k = 2 (t = 10).

    Нижня межа: 30,91 - 0,50 = 30,41

    Верхня межа: 30,91 + 0,50 = 31,41

    Таким чином, побудована модель є повністю адекватною динаміці фактичних показників. Тому з імовірністю 70% можна стверджувати, що при збереженні сформованих закономірностей розвитку значення показника, прогнозоване на 10 спостереження за допомогою лінійної моделі зростання, потрапить в проміжок, утворений нижньою і верхньою межею довірчого інтервалу.

    7. Уявімо графічно фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування.