• "Практичне застосування теорії ігор"
  • 2. Теорія ігор
  • 3. Моделі мережевого планування і управління
  • 4. Моделювання систем масового обслуговування
  • Список використаної літератури


  • Дата конвертації24.03.2017
    Розмір48.1 Kb.
    Типреферат

    Практичне застосування теорії ігор

    Оренбурзький державний аграрний університет

    Кафедра організації виробництва та моделювання економічних систем

    Реферативно-прикладне дослідження

    на тему:

    "Практичне застосування теорії ігор"

    Оренбург - 2006р.


    зміст

    Вступ

    I.Теоретіческіе основи методів програмування

    1. Динамічне програмування

    2. Теорія ігор

    3. Мережеве планування та управління

    4. Моделювання систем масового обслуговування

    II. Практичне застосування теорії ігор в задачах моделювання економічних процесах

    висновок

    Список літератури

    Вступ

    Метою даного реферативного дослідження є розгляд рішення задач за допомогою методів: динамічного програмування, теорії ігор, мережевого планування і управління та моделювання систем масового обслуговування. Актуальність даної роботи полягає в тому, що за допомогою цих методів можна полегшити умови праці сучасній людині. У наведеній нижче роботі можна знайти способи вирішення завдань, які часто зустрічаються в нашому побуті: наприклад, для менеджера підприємства, для бухгалтерів, для відділу споживання і т.д.

    Особлива увага в даній роботі приділено фактору сезонності в економічних процесах, приведення формул і прикладів розрахунків. Деякі моделі присвячені розгляду ряду прикладних задач маркетингу, менеджменту та інших областей управління в економіці: моделювання попиту і споживання, наукове управління запасами, аналітичне моделювання систем масового обслуговування, прийняття рішень на основі теорії ігор.

    На моделях пов'язаних з теорією ігор я вирішила зупинитися більш докладно, так як там представлені, на мій погляд, більш актуальні завдання: як зробити так, щоб природа працювала на тебе, а не ти на неї, як отримати набольшую вигоду або облік твоїх інтересів конкурентом , або постачальником, який товар краще виробляти і т.д.

    I. Теоретичні основи методів програмування

    1. Динамічне програмування

    Динамічне програмування - один з розділів оптимального програмування, в якому процес прийняття рішення та управління може бути розбитий на окремі етапи (кроки).

    Економічний процес є керованим, якщо можна впливати на хід його розвитку. Під управлінням розуміється сукупність рішень, що приймаються на кожному етапі для рішень, прийнятих на кожному етапі для впливу на хід розвитку процесу. Наприклад, випуск продукції підприємством - управлінський процес. Сукупність рішень прийнятих на початку року (кварталу і т.д.) щодо забезпечення підприємства сировиною, заміні обладнання, фінансування і т.д., є управлінням. Необхідно організувати випуск продукції так, щоб прийняті рішення на окремих етапах сприяли отриманню максимально можливого обсягу продукції або прибутку.

    Динамічне програмування дозволяє звести одну складну задачу з багатьма змінними до багатьох завдань з малим числом змінних. Це значно скорочує обсяг обчислень і прискорює процес прийняття управлінського рішення.

    При вирішенні завдання цим методом процес вирішення розчленовується на етапи, які вирішуються послідовно в часі і призводять, в кінцевому рахунку, до шуканого рішення. Типові особливості багатоетапних (багатокрокових) завдань, що вирішуються методом динамічного програмування, полягають у наступному:

    Процес переходу виробничо-економічної системи з одного стану в інший повинен бути марковским (процесом з відсутністю післядії). Це означає, що якщо система знаходиться в деякому стані S n S n, то подальший розвиток процесу залежить тільки від даного стану і не залежить від того, яким шляхом система приведена в цей стан.

    Процес триває кілька етапів N. На кожному кроці здійснюється вибір одного управління u n, під впливом, якого система переходить з одного стану S n в інше S n +1: S n S n +1. Оскільки процес марковский, то S n = u n (S n) залежить тільки від поточного стану.

    Кожен крок (вибір чергового рішення) пов'язаний з певним ефектом, який залежить від поточного зі стояння і прийнятого рішення: (S n, S n).

    Загальний ефект (дохід) за N кроків складається з доходів на окремих кроках, тобто критерій оптимальності дол дружин бути адитивним (або приводиться до нього).

    Потрібно знайти таке рішення u n для кожного кроку (n = 1, 2, 3, ..., N), тобто послідовність (u 1,..., u N), щоб отримати максимальний ефект (дохід) за N кроків.

    На відміну від лінійного програмування, в якому симплексний метод є універсальним методом вирішення, в динамічному програмуванні такого універсального методу не існує. Одним з основних методів динамічного програмування є метод рекурентних співвідношень, який грунтується на використанні принципу оптимальності, розробленого американським математиком Р. Беллманом. Принцип полягає в тому, що, які б не були початковий стан на будь-якому етапі і управління, вбрання на цьому кроці, наступні управління повинні вибиратися оптимальними щодо стану, до якого прийде система в кінці цього етапу. Використання даного принципу гарантує, що управління, вбрання на будь-якому етапі; НЕ локально краще, а краще з точки зору процесу в цілому.

    У деяких завданнях, розв'язуваних методом динамічного програмування, процес управління розбивається на кроки. При розподілі на кілька років ресурсів діяльності підприємства кроком доцільно вважати часовий період; при розподілі коштів між підприємствами - номер чергового підприємства. В інших завданнях розбиття на кроки вводиться штучно. Наприклад, безперервний керований процес можна розглядати як дискретний, умовно розбивши, його на тимчасові відрізки (кроки). Виходячи з умов кожного конкретного завдання, довжину кроку вибирають таким чином, щоб на кожному кроці отримати просту задачу оптимізації та забезпечити необхідну точність обчислень.

    Будь-яка можлива допустима послідовність рішень (u 1,..., u N) називається стратегією управління. Стратегія управління, що доставляє максимум критерію оптимальності, називається оптимальною.

    В основі загальної концепції методу ДП лежить принцип оптимальності Беллмана:

    Оптимальна стратегія має таку властивість, що незалежно від того, яким чином система виявилася в розглянутому конкретному стані, наступні рішення повинні складати оптимальну стратегію, прив'язують до цього стану. Математично цей принцип записується у вигляді рекурентного співвідношення ДП (РДП):

    ,

    де - Всі допустимі управління за умови, що система знаходиться в стані S n;

    (S n, S n) - ефект від прийняття рішення u n;

    - Ефект за решту n кроків.

    Завдяки принципу оптимальності вдається при наступних переходах випробовувати не всі можливі варіанти, лише оптимальні виходи. РДП дозволяють замінити трудомістке обчислення оптимуму по N змінним у вихідній задачі рішенням N завдань, в кожній з яких оптимум годиться лише по одній змінній.

    Є дуже багато практично важливих завдань, які ставляться і вирішуються як завдання ДП (завдання про заміну обладнання, про ранці, розподілу ресурсів і т.д.)

    Як приклад побудови РДП розглянемо використання принципу оптимальності для реалізації математичної моделі задачі оптимального розподілу деякого ресурсу в обсязі х:

    де x j - кількість ресурсу, що використовується j-м способом;

    - Дохід від застосування способу j, j = 1, N.

    Рекурентні співвідношення, за допомогою яких знаходиться вирішення цього завдання, мають вигляд:

    2. Теорія ігор

    При вирішенні економічних завдань часто аналізувати ситуації, в яких стикаються інтереси двох або більше конкуруючих сторін, що переслідують різні цілі; це особливо характерно в умовах ринкової економіки. Такого роду ситуації називаються конфліктними.

    Математичної теорією конфліктних ситуацій є теорія ігор. У грі можуть стикатися інтереси двох (гра парна) або декількох (гра множинна) супротивників; існують гри з нескінченним безліччю гравців. Якщо у множинної грі гравці утворюють коаліцію, то гра називається коаліційною; якщо таких коаліцій дві, то гра зводиться до парної.

    На промислових підприємствах теорія ігор може застосовуватися для вибору оптимальних рішень, наприклад, при створенні раціональних запасів сировини, матеріалів, напівфабрикатів, коли протиборствують дві тенденції: збільшення запасів, що гарантують безперебійну роботу виробництва, скорочення запасів з метою мінімізації витрат на їх зберігання. У сільському господарстві теорія ігор може застосовуватися при вирішенні таких економічних завдань, як посіву однієї з можливих культур, урожай якої залежить від погоди, якщо відомі ціна одиниці тієї чи іншої культури і середня врожайність кожної культури залежно від погоди (наприклад, чи буде літо посушливі , нормальним або дощовим); в цьому випадку одним виступає сільськогосподарське підприємство, що прагне забезпечити найбільший дохід, а іншим - природа.

    Рішення подібних завдань вимагає повної визначеності формулюванні їх умов (правил гри); встановлення кількості гравців, виявлення можливих стратегій гравців, можливих виграшів (програш розуміється як негативний виграш). Важливим елементом в умови ігрових завдань є стратегія, т.е. сукупність правил, які в залежності від ситуації в грі визначають однозначний вибір дій даного гравця. Якщо в процесі гри гравець застосовує поперемінно кілька стратегій, то така стратегія називається змішаної, а її елементи - чистими стратегіями. Кількість стратегій у кожного гравця може бути кінцевим і нескінченним, в залежності від цього ігри поділяються на кінцеві і нескінченні.

    Важливими є поняття оптимальної стратегії, ціни гри, середнього виграшу. Ці поняття знаходять відображення у визначенні рішення гри: стратегії Р * і Q * першого і другого гравця відповідно називаються їх оптимальними стратегіями, а число V - ціною гри, якщо для будь-яких стратегій Р першого гравця і будь-яких стратегій Q виконуються нерівності: де М (Р, Q) означає математичне очікування виграші (середньої виграш) першого гравця, якщо першим і другим гравцями обрані відповідно стратегії Р і Q.

    З нерівностей випливає, зокрема, що V = M (P *, Q *), тобто. ціна гри дорівнює математичному очікуванню виграшу першого гравця, якщо обидва гравці виберуть оптимальні для себе стратегії.

    Одним з основних видів ігор є матричні ігри, якими називаються парні ігри з нульовою сумою (один гравець виграє стільки, скільки програє інший) за умови, що кожен гравець має кінцеве число стратегій. В цьому випадку парна гра формально задається матрицею А = (а ij), елементи якої а ij визначають виграш першого гравця (і відповідно програш другого), якщо перший гравець вибере i-ю стратегію (i = ), А другий -j-ю стратегію (j = ). Матриця А називається матрицею гри, або платіжною матрицею.

    Існує ряд методів вирішення матричних ігор. Якщо матриця гри має одну з розмірностей, рівну двом (у одного з гравців є тільки дві стратегії), то рішення гри може бути отримано графічно. Відомо кілька методів наближеного рішення матричної гри, наприклад, метод Брауна. У багатьох ігрових задачах в сфері економіки невизначеність викликана не свідомим протидією противника, а недостатньою обізнаністю про умови, в яких діють сторони.

    Коли однієї зі сторін виступає природа, коли невідомо заздалегідь погода, ігри називаються - іграми з природою. У цих випадках рядка матриці гри відповідають стратегії гравця, а стовпці - станам «природи». У ряді випадків при вирішенні такої гри розглядають матрицю ризиків.

    При вирішенні ігор з природою використовується так само ряд критеріїв: критерій Севіджа, критерій Вальда, критерій Гурвіца та ін.

    При максимальному критерії Вальда оптимальним вважається та стратегія особи, що приймає рішення, яка забезпечує максимум мінімального виграшу; застосовуючи цей критерій, ЛПР більшою мірою орієнтується на найгірші умови (цей критерій іноді називають критерієм «крайнього песимізму»).

    Критерій мінімаксного ризику Севіджа передбачає, що оптимальною є та стратегія, при якій величина ризику в найгіршому випадку мінімальна.

    При використанні критерію «песимізм - оптимізму" Гурвіца ЛПР вибирає певний так званий "коефіцієнт песимізму» q; при q = 1 критерій Гурвіца приводиться до критерію Вальда ( «крайнього песимізму»), а при критерієм q = 0 «крайнього оптимізму».

    3. Моделі мережевого планування і управління

    Мережевий моделлю (інші назви: мережевий графік, мережа) називається економіко-математична модель, що відображає комплекс робіт (операцій) і подій, пов'язаних з реалізацією деякого проекту (науково-дослідного, виробничого і ін.), У тому логічного і технологічної послідовності і зв'язку . Аналіз мережевої моделі, представленої в графічній або табличній (матричної) формі, дозволяє, по-перше, більш чітко виявити взаємозв'язку етапів реалізації проекту і, по-друге, визначити найбільш оптимальний порядок виконання цих етапів з метою, наприклад, скорочення термінів виконання всього комплексу робіт. Таким чином, методи мережевого моделювання відносяться до методів прийняття оптимальних рішень.

    Математичний апарат мережевих моделей базується на теорії графів.

    Графом називається сукупність двох кінцевих множин: множини точок, які називаються вершинами, і безлічі пар вершин, які називаються ребрами. Якщо розглянуті пари вершин є впорядкованими, т. Е. На кожному ребрі задається напрямок, то граф називається орієнтованим; в іншому випадку - неорієнтованим. Послідовність неповторюваних ребер, що веде від деякої вершини до іншої, утворює шлях. Граф називається зв'язковим, якщо для будь-яких двох його вершин існує шлях, їх з'єднує; в іншому випадку граф називається незв'язних. В економіці найчастіше використовуються два види графів: дерево і мережа. Дерево являє собою зв'язний граф без циклів, що має вихідну вершину (корінь) і крайні вершини; шляху від вихідної вершини до крайнім вершин називаються гілками. Мережа - це орієнтований кінцевий зв'язний граф, що має початкову вершину (джерело) і кінцеву вершину (стік). Таким чином, мережева модель являє собою граф виду «мережа».

    В економічних дослідженнях мережеві моделі виникають при моделюванні економічних процесів методами мережевого планування і управління (СПУ).

    Об'єктом управління в системах мережного планування і управління є колективи виконавців, які мають певні ресурси і виконують певний комплекс операцій, який покликаний забезпечити досягнення наміченої мети, наприклад, розробку нового виробу, будівництва об'єкта і т.п.

    Основою СПУ є мережева модель (СМ), в якій моделюється сукупність взаємопов'язаних робіт і подій відображають процес досягнення певної мети. Вона може бути представлена ​​у вигляді графіка або таблиці.

    Основні поняття СМ: подія, робота і шлях. На малюнку графічно представлена ​​СМ, ​​що складається з 11 подій і 16 робіт, тривалість виконання яких вказана над роботами.

    Робота характеризує матеріальна дія, яка потребує використання ресурсів, або логічне, що вимагає взаємозв'язку подій. При графічному поданні робота зображується стрілкою, яка з'єднує дві події. Вона позначається парою укладених в дужки чисел (i, j), де i - номер події, з якого робота виходить, а j - номер події, в якому вона входить. Робота не може початися раніше, ніж здійсниться подія, з якого вона виходить. Кожна робота має певну тривалість t (i, j). Наприклад, запис t (2,5) = 4 означає, що робота має тривалість 5 одиниць. До робіт відносяться такі процеси, які не вимагають ні ресурсів, ні часу виконання. Вони полягають у встановленні логічного взаємозв'язку робіт і показують, що одна з них безпосередньо залежить від іншої; такі роботи називаються фіктивними і на графіку зображуються пунктирними стрілками.

    Мал. мережева модель

    Подіями називаються результати виконання однієї або декількох робіт. Вони не мають протяжності в часі. Подія здійснюється на той момент, коли закінчується остання з робіт, що входить в нього. Події позначаються одним числом і при графічному представленні СМ зображуються гуртком (чи іншої геометричної фігурою), всередині якого проставляється його порядковий номер (i = 1, 2, ..., N). В СМ є початкова подія (з номером 1), з якого роботи тільки виходять, і кінцева подія (з номером N), в яке роботи тільки входять.

    Шлях - це ланцюжок наступних один за одним робіт, що з'єднують початкову та кінцеву вершини, наприклад, в наведеній вище моделі шляхами є L 1 = (1, 2, 3, 7, 10, 11), L 2 = (1, 2, 4 , 6, 11) і ін. Тривалість шляху визначається сумою тривалостей складових його робіт. Шлях, який має максимальну довжину, називають критичним і позначають L кр, а його тривалість - t кр. Роботи, належать критичного шляху, називаються критичними. Їх несвоєчасне виконання веде до зриву термінів всього комплексу робіт.

    СМ мають ряд характеристик, які дозволяють визначити ступінь напруженості виконання окремих робіт, а також всього їх комплексу і прийняти рішення про перерозподіл ресурсів. Однак перед розрахунком СМ слід переконатися, що вона задовольняє наступним основним вимогам:

    1. Події правильно пронумеровані, т. Е. Для кожної роботи (i, j) i

    нумерація подій починається з вихідного події, яким присвоюється № 1;

    з вихідного події викреслюють всі вихідні з нього роботи (стрілки), і на решті мережі знаходять подія, в яке не входить жодна робота, йому і привласнюють № 2;

    потім викреслюють роботи, що виходять з події № 2, і знову знаходять подія, в яке не входить жодна робота, і йому присвоюють № 3, і так триває до завершального події, номер якого має дорівнювати кількості подій в мережевому графіку;

    якщо при черговому викреслення робіт одночасно кілька подій не мають входять до них робіт, то їх нумерують черговими номерами в довільному порядку.

    2. Відсутні тупикові події (крім завершального), т. Е. Такі, за якими не слід хоча б одна робота (подія 5);

    3. Відсутні події (за винятком вихідного), яким не передує хоча б одна робота (подія 7);

    4. Відсутні цикли, т. Е. Замкнуті шляхи, що з'єднують подія з ним же самим (див. Шлях (2,4,3)).

    При невиконанні зазначених вимог безглуздо приступати до обчислень характеристик подій, робіт і критичного шляху. Для подій розраховують три характеристики: ранній і пізній термін здійснення події, а також його резерв.

    Ранній термін звершення події визначається величиною найбільш тривалого відрізка шляху від вихідного до аналізованого події, причому t p (N) = t кр (L):

    Пізній термін звершення події характеризує найпізніший допустимий термін, до якого має відбутися подія, не викликаючи при цьому зриву терміну звершення кінцевого події:

    Цей показник визначається «зворотним ходом», починаючи з завершального події, з урахуванням співвідношення t. п (N) = t p (N). Всі події, за винятком подій, що належать критичного шляху, мають резерв R (i):

    Повний резерв часу показує, на скільки можна збільшити час виконання конкретної роботи за умови, що термін виконання всього комплексу робіт не зміниться.

    Незалежний резерв часу відповідає випадку, коли всі попередні роботи закінчуються в пізні терміни, а всі наступні - починаються в ранні терміни. Використання цього резерву не впливає на величину резервів часу інших робіт.

    Шлях характеризується двома показниками - тривалістю і резервом.Тривалість шляху визначається сумою тривалостей складових його робіт. Резерв визначається як різниця між довжинами критичного і розглянутого шляхів. З цього визначення випливає, що роботи, що лежать на критичному шляху, і сам критичний шлях мають нульовий резерв часу. Резерв часу шляху показує, на скільки може збільшитися тривалість робіт »складових даний шлях, без зміни тривалості загального терміну виконання всіх робіт.

    4. Моделювання систем масового обслуговування

    Багато економічні завдання пов'язані з системами масового обслуговування (СМО), т. Е. Такими системами, в яких, з одного боку, виникають масові запити (вимоги) на виконання будь-яких послуг, з іншого - відбувається задоволення цих запитів. СМО включає в себе наступні елементи: джерело вимог, вхідний потік вимог, черга, що обслуговують пристрої (канали обслуговування), що виходить потік вимог. Дослідженням таких систем займається теорія масового обслуговування.

    Методами теорії масового обслуговування можуть бути вирішені багато завдань дослідження процесів, що відбуваються в економіці. Так, в організації торгівлі ці методи дозволяють визначити оптимальну кількість торгових точок даного профілю, чисельність продавців, частоту завезення товарів і інші параметри. Іншим характерним прикладом систем масового обслуговування можуть служити склади або бази постачальницько-збутових організацій, і завдання теорії масового обслуговування в даному випадку зводиться до того, щоб встановити оптимальне співвідношення між числом що надходять на базу вимог на обслуговування і числом обслуговуючих пристроїв, при якому сумарні витрати на обслуговування і збитки від простою транспорту були б мінімальними. Теорія масового обслуговування може знайти застосування і при розрахунку площі складських приміщень, при цьому складська площа розглядається як обслуговуючий пристрій, а прибуття транспортних засобів під вивантаження - як вимоги. Моделі теорії масового обслуговування застосовуються також при вирішенні ряду завдань організації і нормування праці, інших соціально-економічних проблем.

    Системи масового обслуговування можуть бути класифіковані по ряду ознак.

    1. В залежності від умов очікування початку обслуговування розрізняють:

    • СМО з втратами (відмовами),

    • СМО з очікуванням.

    У СМО з відмовами вимоги, що надходять в момент, коли всі канали обслуговування зайняті, отримують відмову і губляться. Класичним прикладом системи з відмовами є телефонна станція. Якщо абонент зайнятий, то вимога на з'єднання з ним отримує відмову і втрачається.

    У СМО з очікуванням вимога, заставши всі обслуговуючі канали зайнятими, стає в чергу і чекає, поки не звільниться один з обслуговуючих каналів.

    СМО, що допускають чергу, але з обмеженим числом вимог в ній, називаються системами з обмеженою довгій черзі.

    СМО, що допускають чергу, але з обмеженим терміном перебування кожного вимоги в ній, називаються системами з обмеженим часом очікування.

    2. За кількістю каналів обслуговування СМО діляться на:

    одноканальні;

    багатоканальні.

    3. За місцем знаходження джерела вимог МО діляться на:

    - Розімкнуті, коли джерело вимоги знаходиться поза системою;

    - Замкнуті, коли джерело знаходиться в самій системі.

    Прикладом розімкнутої системи може служити ательє з ремонту телевізорів. Тут несправні телевізори - це джерело вимог на їх обслуговування, знаходяться поза самої системи, число вимог можна вважати необмеженим. До замкнутим СМО відноситься, наприклад, верстатний ділянку, в якому верстати є джерелом несправностей, а отже, джерелом вимог на їх обслуговування, наприклад, бригадою наладчиків

    Можливі й інші ознаки класифікації СМО, наприклад, з дисципліни обслуговування, однофазні та багатофазні СМО і ін.

    Методи і моделі, що застосовуються в теорії масового обслуговування, можна умовно розділити на аналітичні імітаційні.

    Аналітичні методи теорії масового обслуговування дозволяють отримати характеристики системи як деякі функції параметрів її функціонування. Завдяки цьому з'являється можливість проводити якісний аналіз впливу окремих факторів на ефективність роботи СМО. Імітаційні методи засновані на моделюванні процесів масового обслуговування на ЕОМ і застосовуються, якщо, неможливе застосування аналітичних моделей. Далі будемо розглядати аналітичні метод моделювання СМО.

    В даний час теоретично найбільш розроблені і зручні в практичних додатках методи вирішення таких завдань масового обслуговування, в яких вхідний потік вимог є найпростішим (пуассоновским).

    Для найпростішого потоку частота надходження вимог в систему підкоряється закону Пуассона, тобто ймовірність надходження за час t рівно k вимог задається формулою:

    Найпростіший потік має три основні властивостей ординарности, стаціонарності і відсутністю наслідки.

    Ординарність потоку означає практичну неможливість одночасного вступу двох і більше вимог. Наприклад, досить малої є ймовірність того, що з групи верстатів, що обслуговуються бригадою ремонтників, одночасно вийдуть з ладу відразу кілька верстатів.

    Стаціонарним називається потік, для якого математичне сподівання кількості вимог, що надходять в систему в одиницю часу (позначимо ), Не змінюється в часі. Таким чином, ймовірність надходження в систему певної кількості вимог протягом заданого проміжку часу t залежить від його величини і не залежить від початку його відліку на осі часу.

    Відсутність післядії означає, що число вимог, що надійшли в систему до моменту t, не визначає того скільки вимог надійде в систему за проміжок часу від t до t + t.

    Важлива характеристика СМО - час обслуговування вимог в системі. Час обслуговування одного вимоги є, як правило, випадковою величиною і, отже, може бути описано законом розподілу. Найбільшого поширення в теорії і особливо в практичних додатках отримав експонентний закон розподілу

    часу обслуговування. Функція розподілу для цього вона має вид:

    тобто ймовірність того, що час обслуговування не перевищує деякої величини t, визначається формулою, де - Параметр експоненціального закону розподілу часу обслуговування вимог в системі, тобто величина, зворотна середньому часу обслуговування :

    Розглянемо аналітичні моделі найбільш поширених СМО з очікуванням, тобто таких СМО, в яких вимоги, що надійшли в момент, коли всі обслуговуючі канали зайняті, ставляться в чергу і обслуговуються в міру звільнення каналів.

    Загальна постановка задачі полягає в наступному. Система має n обслуговуючих каналів, кожен з яких може одночасно обслуговувати тільки одну вимогу.

    У систему надходить найпростіший (пуассоновский) потік лини з параметром . Якщо в момент надходження чергового вимоги в системі на обслуговуванні вже знаходиться не менше n вимог (тобто всі канали зайняті), то це вимога стає в чергу і чекає початку обслуговування.

    Час обслуговування кожної вимоги - Випадкова величина, яка підпорядковується експонентному закону розподілу з параметром .

    СМО з очікуванням можна розбити на дві великі групи: замкнуті і розімкнуті. До замкнутим відносяться системи, в яких надходить потік вимог виникає в самій системі і обмежений.

    Якщо живить джерело володіє нескінченним числом вимог, то системи називаються роз'єднаними. Зазначені особливості функціонування цієї системи. Розрахунок показників роботи СМО різного виду може бути проведений на основі розрахунку ймовірностей станів СМО (так звані формули Ерланга).

    Розглянемо алгоритми розрахунку показників якості функціонування розімкнутої системи масового обслужить з очікуванням.

    При вивченні таких систем розраховують різні показники ефективності обслуговуючої системи. В якості основних показників можуть бути ймовірність того, що всі канали вільні або зайняті, математичне очікування довжини черги (середня довжина черги), коефіцієнт зайнятості і простою каналів обслуговування і ін.

    Введемо в розгляд параметр . Зауважимо, що якщо , То чергу не може рости безмежно. Ця умова має такий сенс: - Середнє число вимог, що надходять за одиницю часу, -час обслуговування одним каналом одного вимоги. тоді - Середнє число каналів, яке необхідно мати, щоб обслуговувати в одиницю часу усі вимоги. Тому умова <1 означає, що число обслуговуючих каналів має бути більшою за кількість каналів, необхідних для того, щоб за одиницю часу обслужити усі вимоги. Найважливіші характеристики роботи СМО:

    1. Імовірність того, що всі обслуговуючі канали вільні

    2. Імовірність того, що зайнято рівно k обслуговуючих каналів за умови, що загальна кількість вимог, знаходяться на обслуговуванні, не перевищує числа обслуговуючих апаратів:

    P o де

    3. Імовірність того, що в системі знаходиться k вимог у випадку, коли їх число більше числа обслуговуючих каналів:

    де

    4. Імовірність того, що всі обслуговуючі канали зайняті:

    5.Середній час очікування вимогою початку обслуговування в системі:

    6.Средняя довжина черги:


    7.Среднее число вільних від обслуговування каналів:

    8.Коеффіціент простою каналів:

    .

    9.Среднее число зайнятих обслуговуванням каналів:

    10.Коеффіціент завантаження каналів:

    Перейдемо до розгляду алгоритмів розрахунку параметрів функціонування замкнутих СМО. Оскільки система замкнута, то до постановки завдання слід додати умова: потік вступників вимог обмежений, тобто в системі обслуговування одночасно не може перебувати більше m вимог (m - число об'єктів, що обслуговуються).

    За критерій, що характеризує якість функціонування даної системи, виберемо відношення середньої довжини черги до найбільшого числа вимог, що знаходяться одночасно в обслуговуючої системі - коефіцієнт простою обслуговується об'єкта. Як інший критерій візьмемо відношення середнього числа незайнятих обслуговуючих каналів до їх загальної кількості - коефіцієнт простою обслуговується каналу.

    Перший з названих критеріїв характеризує втрати часу через очікування початку обслуговування; другий показує повноту завантаження обслуговуючої системи.

    Очевидно, що черга може виникнути, лише коли число каналів менше найбільшого числа вимог, що знаходяться одночасно в обслуговуючої системі (n

    Наведемо послідовність розрахунків характерні замкнуті СМО і необхідні формули.

    1. Визначимо параметр - Показник завантаження системи, тобто математичне очікування числа вимог надходять в систему за час, що дорівнює середній тривалості обслуговування ( ).

    2. Імовірність того, що зайнято k обслуговуючих каналів за умови, що число вимог, що знаходяться в системі не перевищує числа обслуговуючих каналів системи:

    3. Імовірність того, що в системі знаходиться k вимог для випадку, коли їх число більше числа обслуговуючих каналів:

    4. Імовірність того, що всі обслуговуючі канали вільні, визначимо, використовуючи очевидне умова:

    , звідки .

    Величину Р про можна отримати також шляхом підстановки в рівність значення , В яких Р про вводить співмножником. Підставляючи їх, отримуємо наступне рівняння для визначення Р про:

    ,

    звідки

    5.Средняя число вимог, що очікують початку обслуговування (середня довжина черги),

    або

    .

    6.Коеффіціент простою обслуговується вимоги (об'єкта)

    .


    7. Середнє число вимог, що знаходяться в обслуговуючій системі, що обслуговуються і очікують обслуговування:

    або

    8.Среднее число вільних обслуговуючих каналів

    .

    9.Коеффіціент простою обслуговуючого каналу:


    II. Практичне застосування теорії ігор в задачах моделювання економічних процесах

    приклад №1

    На базі торгової фірми є n типів товару асортиментного мінімуму. У магазин фірми повинен бути завезений тільки один з цих типів товару. Якщо товар типу j буде користуватися попитом, то магазин від його реалізації отримає прибуток . Якщо ж цей товар не буде користуватися попитом, то витрати на його зберігання принесуть магазину збиток .Требуется Вибрати тип товару, який доцільно завезти в магазин.

    В умовах невизначеного купівельного попиту конфліктна ситуація товаропостачання формалізується матричної грою. Нехай перший гравець - магазин, другий гравець - купівельний попит. Кожен з гравців має по n стратегій. Завезення i-го товару - i-я. стратегія першого гравця, попит на j-й товар - j-я стратегія другого гравця. Тоді матриця виграшів першого гравця має вигляд квадратної матриці n-го порядку:

    приклад №2

    Матриця гри має вигляд:

    Мінімальний елемент першого рядка (першої стратегії першого гравця) дорівнює 2, другий - 5, третій - 4; максимальне значення з цих величин дорівнює 5. Максимальний елемент першого стовпця (першої стратегії другого гравця) дорівнює 10, другого - 10; третього - 5, четвертого - 14, п'ятого - 12; мінімальне значення з них дорівнює 5. Отже, дана гра має сідлової крапку (2, 3) і завдання можна вирішити в чистих стратегіях. Дотримуючись чисто другий стратегії, перший гравець забезпечує собі виграш, не менший 5; другий гравець, застосовуючи чисту третю стратегію, програє не більше 5. Обидві стратегії j = 2 і j = 3 є оптимальними для першого і другого гравців, при цьому ціна гри V = 5.

    приклад №3

    Диспетчер автобусного парку (ЛПР) в місяці в кінці кожного тижня повинен прийняти рішення про доцільність виділення додаткових автобусів на заміський маршрут. ЛПР має три варіанти рішень: збільшити кількість автобусів на 10 (стратегія ) Збільшити цю кількість на 5 (стратегія Р 2) або залишити без зміни звичайне число автобусів на лінії (стратегія Р 3). Можливі два стану погоди: -Q 1 погана погода, Q 2 - хороша погода, причому в момент прийняття рішення немає можливості визначити очікуване стан погоди. Якщо у вихідні дні буде хороша погода і багато бажаючих виїхати за місто, а виділено мало автобусів, то парк зазнає збитків, пов'язані з недоотриманої прибутком. Якщо ж виділені додаткові автобуси, а погода виявиться поганою, то виникнуть втрати внаслідок експлуатації незаповнених автобусів.

    Нехай, на основі аналізу статистичних даних за певний період встановлена функція втрат для можливих комбінацій станів природи і рішень ЛПР у вигляді матриці гри А (Р i, Q i), в якій негативні значення показують додатковий прибуток, а позитивні - втрати:

    Q 1 Q 2

    Якщо немає відомостей про можливості різних станів погоди, то за критерієм Вальда і за критерієм Севіджа оптимальної є стратегія Р 2. За критерієм Гурвіца при "коефіцієнті песимізму" q = 1 оптимальною виявиться стратегія Р 2, а при q = 0 - стратегія Р1.

    приклад №4

    Швейне підприємство, що випускає дитячі сукні та костюми, реалізує свою продукцію через фірмовий магазин. Збут продукції залежить від стану погоди. Але даними минулих спостережень підприємство протягом квітня - травня в умовах теплої погоди може реалізувати 600 костюмів і 1975 платтів, а при прохолодній погоді 1000 костюмів і 625 суконь. Відомо, що витрати на одиницю продукції протягом зазначених місяців склали для костюмів 27 руб., Для суконь 8 руб., А ціна реалізації дорівнює відповідно 48 руб. і 16 руб. (Цифри умовні).

    Завдання полягає в максимізації середньої величини прибутку від реалізації випущеної продукції з урахуванням невизначеності погоди в розглянуті місяці. Таким чином, служба маркетингу підприємства повинна в цих умовах визначити оптимальну стратегію підприємства, що забезпечує при будь-якій погоді певний середній дохід. Вирішимо цю задачу методами теорії ігор, гра в цьому випадку буде ставитися до типу ігор з природою.

    Підприємство має в своєму розпорядженні в цих умовах двома чистими стратегіями: стратегія А - в розрахунку на теплу погоду і стратегія Б - в розрахунку на холодну погоду. Природу будимо розглядати як другого гравця також з двома стратегіями: прохолодна погода (стратегія В) і тепла погода (стратегія Г). Якщо підприємство вибере стратегію А, то в разі прохолодної погоди (стратегія природи В) дохід складе


    600 (48 - 27) + 625 (16 - 8) - (1975 - 625) 8 = 6 800 руб.,

    а в разі теплої погоди (стратегія природи Г) дохід дорівнює

    600 (48 - 27) + 1 975 (16 - 8) = 28 400 руб.

    Якщо підприємство вибере стратегію Б, то реалізація продукції в умовах прохолодної погоди дасть дохід

    1 000 (48 - 27) + 625 (16 - 8) = 26 000 руб.,

    а в умовах теплої погоди

    600 (48 - 27) + 625 (16 - 8) - (1 000 - 600) 27 = 6 800

    Отже, матриця даної гри (платіжна сволок) має вигляд:

    Перша і друга рядки цієї матриці відповідають стратегіям А і Б підприємства, а перший і другий стратегіям В і Г природи.

    За платіжної матриці видно, що перший гравець (підприємство) ніколи не отримає дохід менше 6800. Але якщо погодні умови збігаються з вибраною стратегією, то виручка (виграш) складе 26 000 або 28 400. Звідси можна зробити висновок, що в умовах невизначеності погоди найбільший гарантований дохід підприємство забезпечить, якщо буде поперемінно застосовувати те А, то стратегію Б. Така стратегія називається змішаної. Оптимізація змішаної стратегії дозволить першого гравця завжди отримувати виграшу незалежно від стратегії другого гравця.

    Нехай х означає частоту застосування першим гравцем стратегії А, тоді частота застосування їм стратегії Б дорівнює (1 - х). У разі оптимальної змішаної стратегії перший гравець (підприємство) отримає і при стратегії В (холодна погода), і при стратегії Г (тепла погода) другого гравця однаковий середній прибуток:

    6800х + 26 000 (1 - х) = 28 400х + 6800 (1 - х).

    Звідси можна знайти, що х - 8/17; 1 - х = 9/17.

    Отже, перший гравець, застосовуючи чисті стратеги А і Б в співвідношенні 8: 9, буде мати оптимальну змішану стратегію, що забезпечує йому в будь-якому випадку середній доход в сумі

    6800-8 / 17 + 26000-9 / 17 16965 руб .; ця величина і буде в даному випадку ціною гри.

    Легко розрахувати, яка кількість костюмів і платтів має випускати підприємство при оптимальній стратегії:

    (600 костюмів + +1975 суконь) * 8/17 + (1000 костюмів + 625 суконь) * 9/17 = 812 костюмів + 1260 суконь.

    Отже, оптимальна стратегія підприємства уклади у випуску 812 костюмів і 1260 платтів, що забезпечить три будь-якої погоди середній дохід в сумі 16 965 руб.


    висновок

    На підставі вище викладеного матеріалу можна зробити висновок про те, що особлива увага при дослідженні економіко-математичних методів необхідно приділяти таким моментам:

    - Фактору сезонності в економічних процесах;

    - Приведення формул і прикладів розрахунків;

    - Розгляду ряду прикладних задач маркетингу, менеджменту та інших областей управління в економіці;

    - Моделювання попиту і споживання;

    - Наукового управління запасами;

    - Аналізу мережевого планування і управління;

    - Аналізу динамічного програмування;

    - Аналітичного моделювання систем масового обслуговування;

    - Прийняття рішень на основі теорії ігор.

    Так як я в своїй роботі особливу увагу приділила теорії ігор, то, після розгляду її більш детально, і в цій конкретній галузі можна зробити певні висновки. Тут представлені, на мій погляд, більш актуальні завдання:

    - Як зробити так, щоб природа працювала на тебе, а не ти на неї;

    - Як отримати набольшую вигоду або облік твоїх інтересів конкурентом, або постачальником;

    - Який товар краще виробляти і т.д.

    Список використаної літератури

    1. Економіко-математичні методи і прикладне моделювання / В.В. Федосєєв. - М .: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.

    2. Математичне моделювання макроекономічних процесів / О.М. Котов. - Л .: ЛДУ, 1980

    3. Основи економіко-математичного моделювання / Ю.Г. Семенов.1976

    4. Економіко-математичні методи / Л.Л. Терехов.- М .: Статистика-одна тисячі дев'ятсот сімдесят дві