Дата конвертації24.03.2017
Розмір27.92 Kb.
Типконтрольна робота

Скачати 27.92 Kb.

Приклади розв'язання економетричних завдань

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ

ДЕРЖАВНЕ ПРОФЕСІЙНЕ установа вищої професійної освіти

Російський державний гуманітарний університет

ФІЛІЯ У М. ЗАЛІЗНИЧНОМУ

Спеціальність «Фінанси і кредит»

Контрольна робота з економетрики

Варіант № 14

Залізничний 200 9


завдання 1.2

Завдання 1.

Знайти середнє число державних вузів, якщо статистичні дані такі:

роки 1994 1995 1996 1 997 1 998
Кількість ВНЗ 548 553 569 573 578

Знайти: х -?

Рішення:

1. Визначимо кількість спостережень: n = 5

2. Запишемо формулу:

х = 1 / n Σ n i = 1 * x i

3. x = (1 * (548 + 553 + 569 + 573 + 578)) / 5 = 2821/5 = 564,2

Відповідь: 564,2

Завдання 2.

Розрахувати ковариацию між 2-ма рядами:

Поголів'я ВРХ (млн.т) 57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
Пр-во молока (тис.т) 1,49 1,38 1,29 1,1 0,99 0,9 0,88

Знайти: Cov -?

Рішення:

1. Визначимо кількість спостережень: n = 7

2. Визначимо вибіркове середнє для худоби:

х = (1 * (57 + 54,7 + 52,2 + 48,9 + 43,3 + 39,7 + 35,1)) / 7 = 330,9 / 7 = 47,271

3. Визначимо вибіркове середнє для молока:

y = (1 * (1,49 + 1,38 + 1,29 + 1,1 + 0,99 + 0,9 + 0,88)) / 7 = 8, 03/7 = 1,147

4. Запишемо формулу для визначення коваріації:

Cov (x; y) = 1 / n Σ n i = 1 (x i - x) (y i - y)

5. Обчислимо ковариацию:

Cov (x; y) = [1 * ((57-47,271) * (1,49-1,147) + (54,7-47,271) * (1,38-1,147) + (52,2-47,271) * ( 1,29-1,147) + (48,9-47,271) * (1,1-1,147) + (43,3-47,271) * (0,99-1,147) + (39,7-47,271) * (0, 9-1,147) + (35,1-47,271) * (0,88-1,147))] / 7 = 11,439 / 7 = 1,634

Відповідь: 1,634

Завдання 3.

Визначити вибіркову дисперсію для ряду даних про споживання м'яса (в кг на душу населення в рік).

69 60 69 57 55 51 50

Знайти: Var -?

Рішення:

1. Визначимо кількість спостережень: n = 7

2. Визначимо вибіркове середнє:

х = (1 * (69 + 60 + 69 + 57 + 55 + 51 + 50)) / 7 = 411/7 = 58,714

3. Запишемо формулу для визначення варіації:

Var (x) = 1 / n Σ n i = 1 (x i - x) 2

4. Визначимо варіацію:

Var = (1 * (69-58,714) ^ 2 + (60-58,714) ^ 2 + (69-58,714) ^ 2 + (57-58,714) ^ 2 + (55-58,714) ^ 2 + (51-58,714) ^ 2 + (50-58,714) ^ 2) / 7 = 365,429 / 7 = 52,204

Відповідь: 52,204

Завдання 4.

Оцінити параметри передбачуваної лінійної залежності обсягів виробництва м'яса по поголів'ю худоби, якщо:

х (виробництво м'яса) = 6,8

y (поголів'я худоби) = 47,3

Cov = 11,2

Var = 56,9

оцінити параметри

Рішення:

1. b = Cov (x; y) / Var (x)

b = 11,2 / 56,9

b = 0,196

2. a = y - bx

a = 47,3 - 0,196 * 6,8

a = 45,968

3. y = 45,968 + 0,196x

Завдання 5.

Визначити залишок в 1-му спостереження, якщо рівняння регресії має вигляд:

y = 0,20 x - 2,24

57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
8, 37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85

Знайти: g 1 =?

Рішення:

1. Вибір № спостережень: i = 1

2. х i = 57

3. y i = 8, 37

4. Обчислимо:

y * = 0,20x - 2,24

y * = 0,20x 1 - 2,24

y * = 0,20 * 57 - 2,24

y * = 9,16

5. Визначимо залишок в 1-му спостереження:

g i = y i - x i

g 1 = 8, 37 - 9,16

g 1 = - 0,79

Відповідь: - 0,79

Завдання 6.

Для рядів 1,2 рівняння регресії y = 0,20 - 2,24 (завдання 5), знайти не можна було пояснити суму квадратів відхилень.

57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
8, 37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85

Знайти: RSS =?

Рішення:

1. Визначимо число спостережень: n = 7

2. Обчислимо: y i = a + bx i, отримаємо

y 1 * = 0,20 * 57 - 2,24, y 1 * = 9,16

y 2 * = 0,20 * 54,7 - 2,24, y 2 * = 8,7

3. Визначимо залишки:

g 1 = 8, 37 - 9,16, g 1 = - 0,79

g 2 = 8,26 - 8,7, g 2 = - 0,44

4. Визначимо RSS для 1 і 2 ряду:

RSS = Σ n i = 1 g i 2

RSS = (- 0,79) 2 + (-0,44) 2

RSS = 775, 2592

Відповідь: 0,8177


Завдання 7.

Визначити пояснення суму квадратів відхилень для рядів і рівняння регресії y = 0,20 - 2,24 (завдання 5).

57 54,7 52,2 48,9 43,3 39,7 35,1
8, 37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85

Знайти: ESS =?

Рішення:

1. Визначимо число спостережень: n = 7

2. Обчислимо: y i = a + bx i, отримаємо

y 1 = 0,20 * 57 - 2,24, y 1 = 9,16

y 2 = 0,20 * 54,7 - 2,24, y 2 = 8,7

y 3 = 0,20 * 52,2 - 2,24, y 3 = 8,2

y 4 = 0,20 * 48,9 - 2,24, y 4 = 7,54

y 5 = 0,20 * 43,3 - 2,24, y 5 = 6,42

y 6 = 0,20 * 39,7 - 2,24, y 6 = 5, 7

y 7 = 0,20 * 35,1 - 2,24, y 7 = 4,78

3. Визначимо вибіркове середнє y = 1 / n Σ n i = 1 * y i отримаємо:

y = (1 * (9,16 + 8,7 + 8,2 + 7,54 + 6,42 + 5,7 + 4,78)) / 7

y = 7,214

4. Обчислимо ESS:

ESS = Σ i = 1 n (y i * - y i) 2

ESS = (9,16 - 7,214) 2 + (8,7 - 7,214) 2 + (8,2 - 7,214) 2 + (7,54 - 7,214) 2 + (6,42 - 7,214) 2 + (5, 7 - 7,214) 2 + (4,78 - 7,214) 2

ESS = 15,921

Відповідь: 15,921

Завдання 8.

У завданнях 6 і 7 розраховані RSS і ESS. Визначити TSS і перевірити виконання співвідношення між цими 3-ма характеристиками.

RSS = 0,8177

ESS = 15,921

Рішення:

1. Розрахуємо загальну суму квадратів відхилень:

TSS = Σ i = 1 n (y i - y) 2

TSS = 12,016

у i 8,37 8,26 7,51 6,8 5,79 5,33 4,85 Σ = 46,91 Σ / n = 6,701
(Y i - y) 2 2,784 2,429 0,654 0,010 0,831 1,881 3,428 Σ = 12,016

2. Перевіримо:

TSS = ESS + RSS

TSS = 15,921 + 0,8177

TSS = 16,7387

16,7387 ≠ 12,016 - розбіжність значень.

Завдання 9.

Для розрахованого рівняння регресії визначено ESS = 15,37 / Знайти коефіцієнт детермінації, якщо TSS = 16,21.

Знайти: R 2 =?

Рішення:

1. Визначимо коефіцієнт детермінації:

R 2 = ESS / TSS

R 2 = 15,37 / 16,21

R 2 = 0,948

Відповідь: 0,948


завдання 10

Визначити вибіркову кореляцію між 2-ма величинами, якщо ковариация становить 11,17, варіація першого ряду становить 59,86, а другого 2,32.

Cov (x, y) = 11,17

Var (x) = 59,86

Var (y) = 2,32

Знайти: Z xy -?

Рішення:

1. Запишемо формулу для визначення вибіркової кореляції:

Z xy = Cov 2 (x, y) / √ Var (x) * Var (y)

2. Обчислимо вибіркову кореляцію:

Z xy = (11,17) 2 / √ 59,86 * 2,32

Z xy = 124,769 / 11,785

Z xy = 10,588

Відповідь: 10,588


завдання 2.2

Завдання 1.

виробництво х1 30,8 34,3 38,3 37,7 33,8 39,9 38,7 37,0 31,4
імпорт х2 1,1 1,2 0,4 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,33
споживання у 15,7 16,7 17,5 18,8 18,0 18,3 18,5 19,1 18,0

Знайти: Var =? і парну Cov =?

Рішення:

1. Визначимо число спостережень: n = 9

2. Знайдемо вибіркове середнє для рядів: х = 1 / n Σ n i = 1 * x i

х 1 = (1 * (30, 8 + 34,3 + 38,3 + 37,7 + 33,8 + 39,9 + 38,7 + 37,0 + 31,4)) / 9

х 1 = 35,767

х 2 = (1 * (1,1 + 1,2 + 0,4 + 0,2 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,2 + 0,33)) / 9

х 2 = 0,414

у = (1 * (15,7 + 16,7 + 17,5 + 18,8 + 18,0 + 18,3 + 18,5 + 19,1 + 18,0)) / 9

у = 17,844

3. Розрахуємо Var для рядів: Var = 1 / n Σ n i = 1 * (x i - x i) 2

(x 1 - x 1) -4,967 -1,467 2,533 1,933 -1,967 4,133 2,933 1,233 -4,367

Σ = 87,120

Σ / n = 9,680

(x 1 - x 1) 2 24,668 2.151 6,418 3,738 3,868 17,084 8,604 1,521 19,068
(x 2 - x 2) 0,686 0,786 -0,014 -0,214 -0,314 -0,314 -0,314 -0,214 -0,084

Σ = 1,483

Σ / n = 0,165

(x 2 - x 2) 2 0,470 0,617 0,000 196 0,046 0,099 0,099 0,099 0,046 0,007
(Y - y) -2,144 -1,144 -0,344 0,956 0,156 0,456 0,656 1,256 0,156

Σ = 9,202

Σ / n = 1,022

(y- y) 2 4,599 1,310 0,119 0,913 0,024 0,208 0,430 1,576 0,024

4.Обчислимо Cov: Cov (x, y) = 1 / n Σ n i = 1 * (x i - x) * (y i - y)

(x 1 -x 1) (yy) 10,651 1,679 -0,873 1.847 1,923 1,549 -0,679 Σ = 17,673 Σ / n = 1,964
(x 2 -x 2) (yy) -1,470 -0,899 0,005 -0,205 -0,206 -0,269 -0,013 Σ = -3,250 Σ / n = -0,361
(x 1 -x 1) (x 2 -x 2) -3,405 -1,152 -0,037 -0,415 -0,922 -0,264 0,369 Σ = -6,508 Σ / n = -0,723

Відповідь: Var 1 = 9,680 Cov 1 = 1,964

Var 2 = 0,165 Cov 2 = -0,361

Var 3 = 1,022 Cov 3 = -0,723

Завдання 2.

Визначити коефіцієнти при пояснюють змінних, для лінійної регресії, що відбивають залежність споживання картоплі від його виробництва та імпорту, використовуючи дані з завдання 1.

Знайти: b 1,2 =?

Рішення:

1. Визначимо Var рядів пояснюють змінних:

Var (х 1) = 9,680

Var (х 2) = 0,165

2. Визначимо Cov:

Cov (x 1; y) = 1,964

Cov (х 2; у) = -0,361

Cov (х 1; х 2) = -0,723

3. Обчислимо b 1 і b 2 за формулами:

b 1 = Cov (x 1; у) * Var (х 2) - Cov (х 2; у) * Cov (х 1; х 2) / Var (х 1) * Var (х 2) - (Cov (х 1; х 2)) 2

b 2 = Cov (х 2; у) * Var (х 1) - Cov (x 1; у) * Cov (х 1; х 2) / Var (х 1) * Var (х 2) - (Cov (х 1; х 2)) 2

b 1 = (1,964 * 0,165) - (-0,361 * -0,723) / (9,680 * 0,165) - (-0,723) 2

b 1 = 0,059

b 2 = (-0,361 * 9,680) - (1,964 * -0,723) / (9,680 * 0,165) - (-0,723) 2

b 2 = - 1,931

Відповідь: 0,059; - 1,931

Завдання 3.

Розрахувати коефіцієнт А для регресії, що відображає залежність споживання картоплі від його виробництва і імпорту (ісп. Дані з завдання 1 і 2)

Знайти: а =?

Рішення:

1. визначимо середні значення:

х 1 = 35,767 х 2 = 0,414 у = 17,844

2. Визначимо коефіцієнти b 1 і b 2:

b 1 = 0,059 b 2 = -1,931

3. Обчислимо значення коефіцієнта а: а = у - b 1 x 1 - b 2 x 2

a = 17,844 - 0,059 * 35,767 - (-1,931 * 0,414)

a = 16,533

Відповідь: 16,533

Завдання 4.

Розрахувати значення особистого споживання картоплі, використовуючи отримані в завданні 2 і 3 коефіцієнти регресії.

Рішення:

1. Визначимо коефіцієнти b 1 і b 2:

b 1 = 0,059 b 2 = -1,931

2. Визначимо коефіцієнт а:

а = 16,533

3. Визначимо вектор регресійного значення за формулою:

[Х *] = а + b 1 [x 1] + b 2 [x 2]

1 2 3 4 5 6 7 8 9
[Х *] 16,226 16,2 40 18,020 18,371 18,334 18,694 18,623 18,33 17,748

Завдання 5.

Розрахувати загальну, пояснення і не пояснення суму квадратів відхилень для розрахованої раніше регресії за споживанням картоплі.

Знайти: RSS, TSS, ESS -?

Рішення:

1. Визначимо средненаблюдаемое у і середньо розрахункове у * незалежних змінних:

споживання у 15,7 16,7 17,5 18,8 18 19,1 18 Σ = 160,6 Σ / n = 17,84
у * 16,226 16,240 18,020 18,371 18,334 18,330 17,748 Σ = 160,6 Σ / n = 17,84

у = y *

2. Визначимо загальну суму квадратів відхилень за формулою:

TSS = Σ i = 1 n (y i - y) 2

TSS = 9,202

(Y i - y) 2 4,60 1,31 0,12 0,91 0,21 0,43 1,58 0,02 Σ = 9,202

3. Визначимо пояснення суму квадратів відхилень за формулою:

ESS = Σ i = 1 n (y i - y *) 2

ESS = 7,316

(Y i - y *) 2 2,614 2,571 0,031 0,279 0,241 0,724 0,609 0,237 0,009 Σ = 7,316

4. Визначимо не пояснення суму квадратів відхилень за формулою:

RSS = Σ i = 1 n (y i - y *) 2

RSS = 1,882

(Y i - y *) 2 0,277 0,212 0,271 0,184 0,112 0,155 0,015 0,593 0,063 Σ = 1,882

Відповідь: 9,202; 7,316; 1,882

Завдання 6.

Обчислити коефіцієнт детермінації, використовуючи дані з завдання 5

Знайти: R-?

Рішення:

1. Обчислимо TSS і ESS:

TSS = 9,202

ESS = 7,316

2. Знайдемо R 2 за формулою:

R 2 = ESS / TSS

R 2 = 7,316 / 9,202

R 2 = 0,795

Відповідь: 0,795

Завдання 7.

Для оцінки можливої ​​мультіколлініарності, розрахувати ко. кореляції між рядами даних (завдання 1).

Рішення:

1. Знайдемо Var:

Var (х 1) = 9,680

Var (х 2) = 0,165

2. Знайдемо Cov:

Cov (х 1; х 2) = -0,723

3. Розрахуємо коефіцієнт кореляції:

r (x 1; х 2) = Cov (х 1; х 2) / √ Var (х 1) - Var (х 2)

r (x 1; х 2) = -0,723 / 3,085

r (x 1; х 2) = - 0,234

Відповідь: - 0,234

Завдання 8.

Визначити несмещенную оцінку дисперсії випадкового члена регресії для споживання картоплі.

Знайти: S u 2 (u) -?

Рішення:

1. Знайдемо RSS:

RSS = 1,882

2. Знайдемо число ступенів вибірки

k = nm - 1

k = 9-2-1

k = 6

3. Знайдемо несмещенную оцінку випадкового члена:

S u 2 (u) = RSS / nm-1

S u 2 (u) = 1,882 / 9-2-1

S u 2 (u) = 0,3136

Відповідь: 0,3136

Завдання 9.

Розрахувати стандартні помилки оцінок коефіцієнта при об'ясняющ. змінних для моделі множин. регресії за споживанням картоплі.

Знайти: С.О. (b 1), C. O. (B 2) -?

Рішення:

1. Знайдемо дисперсію випадкового члена:

S u 2 (u) = 0,3136

2. Знайдемо Var:

Var (х 1) = 9,680

Var (х 2) = 0,165

3. Знайдемо ко. кореляції:

r (x 1; х 2) = - 0,234

4. Обчислимо стандартні помилки С.О. (b 1), C. O. (B 2):

С.О. (b 1) = (√ (S u 2 (u) / n * Var (х 1)) * (1/1 r 2 (x 1; х 2))

С. Про. (B 1) = (√ (0,3136 / 9 * 9,680)) * (1/1 - (- 0,234))

CO (b 2) = (√ (S u 2 (u) / n * Var (х 2)) * (1/1 r 2 (x 1; х 2))

CO (b 2) = (√ (0,3136 / 9 * 0,165)) * (1/1 - (- 0,234))

С. Про. (B 1) = 0,0486

C. O. (B 2) = 0,3724

Відповідь: 0,0486; 0,3724.

Завдання 10.

Розрахувати статистику Дарбіна-Уотсона.

Знайти: DW -?

Рішення:

1. Визначимо залишки в спостереженнях:

e k = y k - y * k; k = (1: n)

y (k) 15,7 16,7 17,5 18,8 18 18,3 18,5 19,1
y (k) * 16,226 16,240 18,020 18,371 18,334 18,694 18,623 18,330
e (k) -0,526 0,461 -0,520 0,429 -0,334 -0,394 -0,123 0,770
ek-e (k-1) -0,987 0,981 -0,949 0,763 0,060 -0,271 -0,893 0,519
ek-e (k-1) ^ 2 0,973 0,962 0,901 0,582 0,004 0,073 0,798 0,269
e (k) ^ 2 0,277 0,212 0,271 0,184 0,112 0,155 0,015 0,593

(e k - e k - 1) 2 = 4,562

e k 2 = 1,882

2. Обчислимо статистику Дарбіна-Уотсона:

DW = Σ (e k -e k - 1) 2 / Σ e k 2

DW = 2,424

DW> 2

Відповідь: тому що DW> 2, то автокорреляция негативна.


завдання 3.2

Завдання 1.

Розрахувати вибіркове середнє для ряду даних з особистих споживчих витрат на косметику (млрд. Руб.):

6.3 6.6 6.8 7.0 7.1 7.4 7.9 7.8 7.4

Знайти: а

Рішення:

1. Запишемо формулу: a = 1 / N * Σ N t = 1 * x (t)

2. Обчислимо:

а = 1 * (5.9 + 6.3 + 6.6 + 6.8 + 7.0 + 7.1 + 7.4 + 7.9 + 7.8 + 7.4) / 10

а = 7,02 (млрд. руб.)

Відповідь: 7,02 (млрд. Руб.)

Завдання 2.

Розрахувати вибіркову дисперсію за даними завдання 1.

Знайти: σ =?

Рішення:

1. а = 7,02

2. Запишемо формулу для обчислення дисперсії: σ 2 = 1 / N * Σ N t = 1 x (t) - a

3. Обчислимо:

х (t) 5,9 6,3 6,6 6,8 7 7,1 7,4 7,9 7,8
х (t) -a -1,120 -0,720 -0,420 -0,220 -0,020 0,080 0,380 0,880 0,780
(х (t) -a) 2 1,254 0,518 0,176 0,048 0,0004 0,006 0,144 0,774 0,608

σ = 3,676

Відповідь: 3,676

Завдання 3.

Знайти оцінку ковариации для τ = 0,1,2 (використовуючи дані з завдання 1)

х (t) -a -1,120 -0,720 -0,420 -0,220 -0,020 0,080 0,380 0,880
(Х (t) -a) ^ 2 1,254 0,518 0,176 0,048 0,000 0,006 0,144 0,774
(Х (t) -a) * (х (t + 1) -a) 0,8064 0,3024 0,0924 0,0044 -0,0016 0,0304 0,3344 0,6864
(Х (t) -a) * (х (t + 2) -a) 0,4704 0,1584 0,0084 -0,0176 -0,0076 0,0704 0,2964 0,3344

Σ τ (0) = 3,676

Σ τ (1) = 2,552

Σ τ (2) = 1,313

ρ (τ) = 1 / (N - τ) Σ t = 1 N - τ (x (t) -в) * (x (t +1) -в)

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

Відповідь: 0,367; 0,283; 0,164.

Завдання 4.

Розрахувати вибіркову автокореляції для τ = 1,2, використовуючи дані з завдання 1

Знайти: r =? для τ = 1,2

Рішення:

1. Знайдемо τ = 0,1,2

ρ (0) = 0,367

ρ (1) = 0,283

ρ (2) = 0,164

2. Розрахуємо вибіркову автокореляції для τ = 1,2, за формулою:

r (τ) = ρ (τ) / τ (0)

r (1) = 0,283 / 0,367

r (1) = 0,771

r (2) = 0,164 / 0,367

r (2) = 0,446

Відповідь: 0,771; 0,446

Завдання 5.

Розрахувати вибіркову приватну автокореляції 1-го порядку, використовуючи дані з завдання 1.

Знайти: r приватна (2) =?

Рішення:

1. Знайдемо вибіркову автокореляцій

r (1) = 0,771

r (2) = 0,446

2. Розрахуємо вибіркову приватну автокореляції 1-го порядку:

r приватна (2) = r (2) - r 2 (1) / 1 - r 2 (1)

r приватна (2) = 0,446 - (0,771) 2/1 - (0,771) 2

r приватна (2) = - 0,365

Відповідь: - 0,365

Завдання 6.

За допомогою критерію заснованого на медіані, перевірити гіпотезу про незмінність середнього значення часового ряду:

1 6200 -
2 6300 -
3 6400 -
4 6600 +
5 6400 -
6 6500 не розглядаємо
7 6600 +
8 6700 +
9 6500 не розглядаємо
10 6700 +
11 6600 +
12 6600 +
13 6300 -
14 6400 -
15 6000 -

Рішення:

1. Визначимо число спостережень: n = 15

2. Отранжеруем тимчасові ряди в порядку зростання:

6000 6200 6300 6300 6400 6400 6400 6500 6500 6600 6600 6600 6600 6700 6700

3. Обчислимо медіану:

n = 15;

х мед = n + 1/2 = 15 + 1/2

x мед = 8

x мед = 6500

4. Створюємо ряд з + і -, у відповідність з правилом:

якщо х (i) <х мед, то +; якщо х (i)> х мед, то -.

5. Визначимо загальна кількість серій:

v (15) = 6

6. Протяжність найдовшої серії:

τ (20) = 3

7. Перевіримо нерівності:

v (n)> (1/2 * (n + 2) -1,96 * √n-1)

v (n) = (1/2 * (15 + 2) - 1,96 * √15-1)

v (n) = 1,166

6> 1 - виконується

τ (n) <(1,43 * ln (n + 1))

τ (n) <(1,43 * ln (15 + 1))

τ (n) = 3,96

3 <3,96 - виконується

Так як виконуються обидві нерівності, гіпотеза про незмінність середнього значення часового ряду приймається.

Відповідь: гіпотеза приймається.