• Обєкт регулювання АПЗ-2
  • 309808 математична модель метод площа


  • Дата конвертації24.03.2017
    Розмір22.26 Kb.
    ТипКурсова робота (т)

    Скачати 22.26 Kb.

    Процес створення математичної моделі об'єкта

    зміст


    1. Введення

    2. Завдання на курсову роботу

    1.Обработка вихідних даних методом площ

    2.Частотние характеристики

    3. За заданим законом регулювання знайти математичну модель ЗСАУ

    4. Визначення стійкості ЗСАУ

    5.Нахожденіе перехідною характеристики ЗСАУ і основних ПКР

    6.Функціональная схема

    7.Вивод

    3. Висновок

    4. Список літератури

    5. Додаток

    Вступ


    Управління станом складних систем завжди пов'язане з необхідністю отримання інформації про цей стан і його цілеспрямованих і хаотичних змінах.

    У даній роботі було запропоновано змоделювати просту систему регулювання тиску. Дані системи використовуються в багатьох галузях промисловості, тому дослідження їх класичних моделей є досить виправданими. Також, часто, проектувальники стикаються з тим, що в системі вже впроваджені деякі функції контролю, але їх адекватність і якість роботи не завжди легко визначити. Тому було запропоновано визначити об'єкти регулювання в системах за наявними вихідним характеристикам, використовуючи метод площ для визначення їх передавальних функцій, а також впровадження нових регуляторів, з заданими коефіцієнтами, з перевіркою системи на стійкість.

    Подібні дослідження в даний час проводяться часто, в зв'язку з тим, що втрачається та чи інша документація по системам, і проектувальникам для модернізації необхідно знати, з чим вони мають справу з самого початку.

    Завдання на курсову роботу.


    1. За експериментальними даними знайти математичну модель об'єкта (системи) методом площ у вигляді ланки 2-го або 3-го порядку. Оцінити точність апроксимації.

    2. Знайти і побудувати частотні характеристики об'єкта (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ) і провести детальний аналіз цих характеристик.

    3. За заданим законом регулювання знайти математичну модель ЗСАУ.

    4. Визначити стійкість ЗСАУ по одному з критеріїв. Якщо система нестійка, то домогтися її стійкості.

    5. Знайти перехідну функцію ЗСАУ і побудувати її. Знайти по кривій основні ПКР.

    6. Привести структурну схему САУ відповідно до вимог ГОСТ.

    7. Дати висновки по роботі.


    t

    0

    0.25

    0.3

    0.35

    0,5

    0,75

    1

    1.25

    1,5

    1.75

    2

    2.25

    2,5

    s

    0

    0.05

    0.07

    0.09

    0.11

    0.13

    0.16

    0.19

    0.21

    0.25

    0.29

    0.35

    0.4


    t

    2.7

    3

    3,2

    4,25

    4.5

    4.75

    5

    5,25

    5.5

    5.75

    6

    s

    0.45

    0.5

    0.55

    0.6

    0.7

    0.75

    0.8

    0.85

    0.9

    0.95

    1


    Регулятор ПІД: До п = 1; До і = 0,5; Т д = 15сек; К = 2

    Об'єкт регулювання АПЗ-2

    1. Обробка вихідних даних Методом площ.

    Даний метод був розроблений М.П. Сімою. Метод служить для визначення передавальної функції об'єкта по експериментальній кривій розгону.

    В основі методу лежить припущення, що досліджуваний об'єкт може бути описаний лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами:


    (2)

    W (p) = S b i p i / S a j p j [-], b 0 = 0, a 0 = 1

    Завдання полягає в тому, щоб визначити невідомі коефіцієнти

    а 1 ¸ а n і b 1 ¸ b m.

    Коефіцієнти a i будуть визначатися за такими формулами:


    а 1 = F 1 + b 1

    а 2 = F 2 + b 2 + F 1 b 1

    а 3 = F 3 + b 3 + b 2 F 1 + b 1 F 2

    ................

    а i = F i + b i + S b j F i - j


    В системі рівнянь, наведеної вище i = m + n. Складові елементи системи визначаються з наступних формул:


    F 1 = D t {S (1 s) - 0.5}

    F 2 = F 1 2 D Q {S [1 - s] * [1 - Q] - 0.5}

    F 3 = F 1 3 D Q {S [1 - s] * [1 - 2 * Q + Q 2/2] - 0.5}

    і т.д.

    Для знаходження передавальної функції даного об'єкта по його кривій перехідного процесу, скористаємося методом площ (Сімою).

    За початкової кривої значення Y i для кожного значення часу заносимо в таблицю Exсel і знаходимо значення, необхідні для обчислення значень Fi.

    Виходячи з отриманих даних, маємо:


    F 1 = 3,2875, F 2 = 5,31953, F 3 = 7,30796. F 4 = -7,61321


    За отриманими значеннями видно, що різниця між F 3 і F 4 істотна, при цьому F 4 є числом від'ємним, що дає нам підставу говорити про те, що значення коефіцієнта а 4 = 0.

    Виходячи з наведених вище формул знаходження а i, отримуємо коефіцієнти b 1, a 1, a 2, а 3:


    b 1 = 1,042; a 1 = 4,32927; a 2 = 8,74435, а 3 = 12,8497.


    Передавальна функція має вигляд:


    W (p) = (1,042 + 1) / (12,8497р 3 + 8,74435р 2 + 4,32927р + 1).


    Побудуємо цю передавальну функцію в пакеті VisSim, отримаємо характеристику і знайдемо всі помилки (середньоквадратичне відхилення, абсолютну і відносну (наведену) помилки). Графік отриманої характеристики наведено в додатку.


    t

    УЕ

    ур

    h i = Уе - Ур

    Dh i 2

    1

    0,25

    0,05

    0,06

    0,01

    0,0001

    2

    0,5

    0,11

    0,13

    0,02

    0,0004

    3

    1

    0,16

    0,18

    0,02

    0,0004

    4

    1,5

    0,21

    0,24

    0,03

    0,0009

    5

    2

    0,29

    0,3

    0,01

    0,0001

    6

    3

    0,5

    0,518

    0,018

    0,000324

    7

    4,25

    0,6

    0,73

    0,13

    0,0169

    8

    4,5

    0,7

    0,8

    0,1

    0,01

    9

    5

    0,8

    0,85

    0,05

    0,0025

    10

    5,5

    0,9

    0,94

    0,04

    0,0016

    11

    5,75

    0,95

    0,953

    0,003

    0,000009


    Зробимо всі необхідні обчислення.


    d = √ Σ0,033233/11 = 0,001


    абсолютна помилка D = max {| Yр - Yе |} = 0,003

    відносна помилка D = D * 100% / (| Ymax - Ymin |) = 0,0101%.

    Судячи з отриманими значеннями помилок, можна зробити висновок, що отримана перехідна характеристика моделі є досить адекватною щодо вихідним експериментальними даними.

    2. Частотні характеристики.


    Для побудови частотних характеристик необхідно отриману передавальну функцію представити в частотному вигляді шляхом заміни p = jw. Після зробленої заміни, необхідно виділити реальну і уявну частини даної передавальної функції ланки.

    Виробляючи прості математичні перетворення і обчислення, отримуємо функцію ланки у вигляді:


    W (jw) = Re + jIm

    W (jw) =


    За отриманим висловом отримуємо значення для побудови АЧХ, ФЧХ і АФЧХ. Для цього знову скористаємося програмою MSExcel для зручності проведення громіздких розрахунків (Таблиця значень АЧХ і ФЧХ приведена в додатку). Графік АФЧХ - є залежність Im (Re). За отриманими значеннями і з вигляду графіка можна бачити, як змінюється ця залежність.

    За отриманими графіками можна зробити висновок, що дане ланка є фільтром низьких частот. Воно пропускає амплітуду сигналу на більш низьких частотах. На високих частотах це пропускання прагне до нуля. Про це говорить графік АЧХ. Графік ФЧХ показує те, що зі збільшенням частоти подається на вхід сигналу, відбувається зниження неузгодженості фаз вихідного і вхідного значень сигналу. АФЧХ, в свою чергу, має цікавий вигляд. Графік перетинає одиничну окружність двічі, і прагне до нуля. Якщо в разі замкнутої системи це говорить про її стійкості по Ляпунову, то в разі розімкнутої це також свідчить про стійкість. Дане твердження підтверджує і вид перехідної характеристики, побудованої за допомогою пакета VisSim30 (графіки АЧХ, ФЧХ, АФЧХ і графік перехідної характеристики отриманого ланки наведені в додатку).


    3. За заданим законом регулювання знайти математичну модель ЗСАУ.


    Використовуючи заданий ПІД-регулятор, необхідно знайти математичну модель замкнутої системи автоматичного управління (ЗСАУ). ПІД - закон має наступні задані параметри і вид передавальної функції:


    ПІД - До п = 0,8 К і = 0,1 Т д = К д = 10

    Складемо структурну схему даної САУ:

    ПІД W (P)




    Опис роботи системи: керуючий сигнал подається на вхід регулятора. Регулятор перетворює вхідний сигнал і перетворений за своїм законом сигнал подає на вхід об'єкта регулювання. Вихідний сигнал знову подається на вхід системи, але тільки на, так зване, пристрій порівняння, і з урахуванням отриманої різниці вихідного сигналу подається на вхід регулятора.

    З урахуванням структури системи визначимо передавальний функцію ЗСАУ. Для зручності спочатку визначимо W РСАУ (P) з урахуванням передавальної функції наявного регулятора, а потім запишемо передавальну функцію ЗСАУ.



    передавальна функція замкнутої системи буде мати вигляд:



    (Графік перехідної характеристики наведено в додатку)


    4. Визначення стійкості ЗСАУ.


    Складання математичної моделі системи є важливим етапом математичного моделювання. Але також не маловажним умовою отриманої моделі є її стійкість. Для уникнення несприятливих наслідків під час експлуатації систем, на стадії моделювання обов'язковою стадією дослідження є дослідження моделі системи на стійкість. Для визначення стійкості є кілька критеріїв, названих в честь їх творців: Найквіста, Михайлова, Рауса, Гурвіца, Ляпунова. Пізніше критерій Гурвіца стали називати критерієм Рауса - Гурвіца, тому що їх способи не однакові, але принцип визначення ідентичний, в обох випадках для знаходження стійкості визначається матриця коефіцієнтів.

    У зв'язку з тим, що критерії Найквіста, Михайлова і Ляпунова є кореневими методами, а ми маємо справу з функцією передачі 4-го порядку, то для спрощення визначення стійкості скористаємося критерієм Рауса - Гурвіца, який не вимагає знаходження коренів.

    Теорема Гурвіца стверджує, що для того, щоб дійсні частини всіх коренів характеристичного рівняння (знаменника передавальної функції)



    c дійсними коефіцієнтами і b 0> 0 були негативними, необхідно й досить, щоб були позитивними всі визначники D1, D2, ..., Dm, складені з коефіцієнтів рівняння за наступною схемою:

    309808 математична модель метод площа

    і т.д.


    При складанні визначників за вказаною схемою, коефіцієнти з індексом, що перевищує ступінь характеристичного рівняння, замінюють нулями.

    Згідно з критерієм Рауса - Гурвіца, знайдемо визначники характеристичного рівняння ЗСАУ:



    Характеристичне рівняння має вигляд:


    D 1 = b1 = 72,4> 0;

    D 4 = 0,1 * D 3> 0


    Так як всі визначники позитивні, то згідно з критерієм стійкості Гурвіца, замкнута система автоматичного управління є стійкою.


    5. Знаходження перехідної функції ЗСАУ і основних ПКР.


    Знаходження перехідною характеристики ЗСАУ можливо провести двома способами: рішення ДУ класичним методом або методом зворотного перетворення Лапласа.

    Вирішимо одним із способів (зворотним перетворенням Лапласа) отриману передавальну функцію ЗСАУ.



    Для початку знайдемо всі можливі коріння даного рівняння, скориставшись чисельною методом знаходження коренів.


    р 1 = -4,048, р 2 = -0,1878.


    Для знаходження залишилися 2 комплексних коренів розділимо характеристичне рівняння на квадратний тричлен, отриманий шляхом множення двох знайдених коренів. Розділивши, отримаємо коріння:


    р 3,4, = -0,071 ± j0,054


    Перепишемо вихідне рівняння у вигляді і зробимо необхідні обчислення:



    Складемо систему рівнянь і визначимо невідомі коефіцієнти А, В, С і D.



    Вирішуючи отриману систему, отримуємо коефіцієнти:

    А = 1, В = -0,8108, С = 0,0029, D = -0,192, Е = -0,0788

    Замінюючи літерні значення коефіцієнтів чисельними, і виробляючи зворотне перетворення Лапласа, отримаємо:


    Підставами різні значення t в отримане рівняння і отримаємо перехідну характеристику. Для цього знову скористаємося пакетом MS Excel. Графік матиме вигляд:



    Як показали дослідження, графік перехідної функції побудований в пакеті VisSim30 аналогічний наведеному вище. Можна зробити висновок, що отримана перехідна функція знайдена вірно.

    Для знаходження основних показників якості регулювання (ПКР), скористаємося графіком, отриманим за допомогою пакета VisSim30.

    Основними ПКР є:

    · Час перехідного процесу t п / п

    · Вид перехідного процесу (апериодический, коливальний, монотонний)

    · Абсолютна перерегулирование s абс

    · Статична помилка e ст

    · Ступінь загасання y (визначається в разі коливального процесу)

    1. Час перехідного процесу.

    Часом перехідного процесу вважається той час, коли графік перехідної функції потрапляє в область значень від 0,95Y вуст до 1,05Y вуст, тобто ± 5% від встановленого значення й не виходить із цієї області. Судячи з графіком перехідного процесу, і за значеннями, отриманими в результаті розрахунку при побудові графіка, видно, що час перехідного процесу дорівнює 40 секундам (t рег = t п / п = 40 сек).

    2. За графіком видно, що перехідний процес є коливальним. Коливання даного процесу настільки малі, що зміни значень відносно Y вуст = 1 складають тисячні частки.

    3. Абсолютна перерегулирование s абс = Y max - Y вуст = 0,006218572.

    4. Статична помилка. Система є статичною якщо e ст> 0. Якщо e ст = 0, то система є астатичній. Судячи з отриманими значеннями і з вигляду перехідної характеристики, дана система є астатичній, тому що e ст = 0.

    5. Оскільки перехідний процес є коливальним і має А 1 і А 3 (перша і третя амплітуди перехідного процесу), то можна знайти і ступінь загасання.


    6. Функціональна схема

    Системи Автоматичного Управління в загальному вигляді виглядає наступним чином:





    7. Висновок

    Математична модель об'єкта регулювання системи, отримана в роботі, є досить адекватною вихідними даними. Про це говорять значення отриманих абсолютної і відносної похибок (D = 0,0001 і D = 0,0101%). За частотним характеристикам самого об'єкта можна визначити його деякі властивості (смуга пропускання сигналу, стійкість, відставання вихідного сигналу від вхідного).

    При отриманні математичної моделі всієї системи був використаний ПІД - регулятор. Сигнал змінений по заданому закону подається на об'єкт регулювання і об'єкт працює зі зміненим сигналом. Отримана замкнута система є стійкою.

    Показники якості регулювання, певні в роботі, говорять про те, що перехідний процес має: мале перерегулювання, що дуже важливо в системах подібного роду (контроль температури та інше); низький ступінь колебательности, що також є показником якості; система є астатичній, тобто система досягає необхідного вихідного значення; що стосується часу регулювання, то воно становить 40 сек. Таке час перехідного процесу є негативним в системах реального часу, що ж стосується систем контролю температури, то цей показник є досить адекватним, тому що неможливо досягти миттєвого зміни температури в реальних системах.

    висновок


    У цій роботі було проведено математичне моделювання системи контролю температури. Потрібно зауважити, що даний підхід не тільки можливий, а й з успіхом застосовується у всіх галузях технічного виробництва і контролю. Цей класичний підхід до розробки подібних систем заснований на простих лінійних ланках. У реальних же системах процеси набагато складніше і лінійністю не відрізняються. Подібна методика розрахунку дозволяє засвоїти ази теорії управління і заглибитися в її математичну моделює сторону. Це дає можливість отримати теоретичний навик в роботі з подібними системами, а головне, що подібні дослідження дозволяють більш сміливо підходити до різного роду розробок.

    При дослідженні системи були отримані різні показники системи, зокрема основні ПКР.Були зроблені висновки про якість регулювання, а по виду перехідних характеристик (побудованих за вихідними даними і отриманим в результаті дослідження) можна було судити про адекватність отриманих моделей (про це говорять різного роду похибки).

    Система, розрахунок якої був проведений, навряд чи буде працювати в реальному середовищі, з огляду на те, що наведені методики розрахунків були застосовані, в даному випадку, для систем, на які не виявляються зовнішні впливи. У свою чергу, хід розрахунку системи, його послідовність цілком реально можуть і застосовуються в даний час в дослідженнях систем.

    Список літератури


    1. Курс лекцій «Моделювання систем управління», Магомедов М.Я.

    2. Курс лекцій «Ідентифікація та діагностика систем», Омаров О.М.-С.

    3. Курс лекцій «Теорія автоматичного управління», Омаров М.-С.М.


    Розміщено на /