• Список використаної літератури


  • Дата конвертації30.03.2017
    Розмір22.57 Kb.
    Типзадача

    Скачати 22.57 Kb.

    Теорія ймовірностей у виробництві

    15

    завдання №1

    Мале підприємство має два цехи - А і В. Кожному встановлений місячний план випуску продукції. Відомо, що цех А свій план виконує з ймовірністю р 1 = 0,6. Ймовірність виконання плану цехом В за умови, що цех А виконає свій план, дорівнює р 2 = 1/3. Відомо також, що з імовірністю р 3 = 0,1 може трапитися ситуація, коли ні один з цехів свій план не виконає.

    Якщо обидва цеху виконають свої плани в майбутній місяць, то підприємство збільшить свій рахунок в банку на 5 одиниць; якщо обидва не виконають - зніме з рахунку 4 одиниці; якщо цех А виконає, а цех В не виконає - збільшить рахунок тільки на 2 одиниці; якщо ж цех А не виконає, а цех У виконає - скоротить свій рахунок на 1 одиницю.

    потрібно:

    1) визначити ймовірність виконання плану цехом В;

    2) з'ясувати, чи залежить виконання плану цехом А від того, чи виконає або не виконає свій план цех В;

    3) знайти ймовірність того, що підприємству доведеться знімати гроші з рахунку в банку;

    4) визначити, на скільки і в який бік (збільшення або зменшення) зміниться в середньому рахунок підприємства в банку за результатами роботи в майбутньому місяці (очікувана зміна рахунку в банку).

    Рішення

    1) Зазначені в завданні події представимо графічно за допомогою діаграми Ейлера-Венна.

    15

    Малюнок 1 - Діаграма Ейлера-Венна

    Чи справедливі рівності:

    За умовою Р (А) = 0,6; Р А (В) = 1/3; Р () = 0,1.

    Знайдемо Р (В):

    ;

    , отже

    Р (А · В) = 0,2

    Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (А · В) = 1 - Р

    Р (В) = Р (А + В) - Р (А) + Р (А · В)

    Р (А + В) = 1 - 0,1 = 0,9

    Р (В) = 0,9 - 0,6 + 0,2 = 0,5.

    Ймовірність виконання цехом В плану Р (В) = 0,5.

    2) Р (А) = 0,6; Р (В) = 0,5; Р (А · В) = 0,2; Р (А) · Р (В) = 0,3

    Так як Р (А · В)? Р (А · В), то події А і В залежні. Виконання плану цехом А залежить виконає чи ні свій план цех В.

    3) Підприємству доведеться знімати гроші в банку якщо:

    а) обидва цеху не виконають свій план,;

    б) якщо цех А не виконає план, а цех В-виконає,.

    Знайдемо ймовірності цих подій:

    Р () = 0,1 - за умовою;

    Р () = Р (В) - Р (А · В) = 0,5 - 0,2 = 0,3

    Р () = 0,1 + 0,3 = 0,4.

    Імовірність того, що підприємству доведеться знімати гроші з рахунку в банку дорівнює 0,4.

    4) За умовою задачі випливає, що за своїм характером зміна рахунку підприємства в банку величина х - дискретна. Безліч її можливих значень складається з чотирьох елементів, які доцільно розташувати в порядку зростання і позначити відповідно через:

    х 1 = - 4; х 2 = - 1; х 3 = 2; х 3 = 5.

    Таблиця 1 - Ряд розподілу випадкової величини х

    х i

    - 4

    - 1

    2

    5

    р i

    0,1

    0,3

    0,4

    0,2

    р 1 = Р () = 0,1 - за умовою;

    р 2 = Р () = 0,3;

    р 3 = Р () = Р (А) - Р (А · В) = 0,6 - 0,2 = 0,4;

    р 4 = Р (А · В) = 0,2.

    Знаючи ряд розподілі випадкової величини х, її математичне сподівання m х знайдемо за формулою:

    m х = - 4 · 0,1 - 1 · 0,3 + 2 · 0,4 + 5 · 0,2 = 1,1.

    Значить, в середньому підприємство збільшить свій рахунок в банку на 1,1 одиниці.

    відповідь:

    1) ймовірність виконання цехом В плану Р (В) = 0,5;

    2) події А і В залежні;

    3) ймовірність того, що підприємству доведеться знімати гроші з рахунку в банку дорівнює 0,4;

    4) в середньому підприємство збільшить свій рахунок в банку на 1,1 одиниці.

    завдання №2

    Оптова база укладає договори з магазинами на постачання товарами. Відомо, що від кожного магазину заявка на обслуговування на черговий день може надійти на базу з ймовірністю р = 0,3, причому незалежно від інших магазинів.

    потрібно:

    1) визначити мінімальну кількість магазинів (n б), з якими база повинна укласти договори, щоб з ймовірністю не менше б = 0,95 від них надійшла хоча б одна заявка на обслуговування на черговий день;

    2) при знайденому в пункті 1 значенні n б визначити:

    а) найбільш ймовірне число заявок (m *) на обслуговування на черговий день і ймовірність надходження такої кількості заявок;

    b) ймовірність вступу щонайменше (n - 1) заявок;

    с) математичне сподівання і дисперсію числа заявок на обслуговування на черговий день.

    Рішення

    1) Мінімальний обсяг n б серії випробувань, при якому ймовірність настання події А хоча б один раз буде не менше 0,95, визначимо з умови, за допомогою нерівності:

    отримаємо:

    Звідси n б = 9.

    Мінімальна кількість магазинів, з якими база повинна укласти договори, щоб з ймовірністю не менше 0,95 від них надійшла хоча б одна заявка на обслуговування на черговий день дорівнює 9.

    2)

    а) Найбільш ймовірне значення m * випадкової величини х знайдемо з умови:

    У нашому випадку n = 9, р = 0,3, q = 1 - р = 1 - 0,3 = 0,7 воно набуває вигляду:

    Звідси m * = 3, тоді за формулою Бернуллі:

    Найбільш ймовірне значення числа заявок на обслуговування на черговий день m * = 3 і ймовірність Р = 3) надходження такої кількості заявок дорівнює 0,2668.

    b) Знайдемо ймовірність вступу щонайменше 8 заявок.

    Скористаємося формулою:

    Обчислимо ймовірності, що стоять в цій рівності праворуч.

    Можливість надходження щонайменше 8 заявок

    с) Для випадкової величини х, розподіленої по біномінальної закону з параметрами n і р, її математичне сподівання і дисперсія визначаються за формулами:

    отримаємо:

    відповідь:

    1) мінімальна кількість магазинів, з якими база повинна укласти договори, щоб з ймовірністю не менше 0,95 від них надійшла хоча б одна заявка на обслуговування на черговий день дорівнює 9;

    2)

    а) m * = 3; Р = 3) = 0,2668;

    b)

    с)

    завдання №3

    В автосалоні щодня виставляються на продаж автомобілі двох марок - А і В. Протягом дня продається Х машин марки А і Y машин марки В, причому незалежно від того, скільки їх було продано в попередні дні. Машина марки А коштує 5 од., Машина марки В - 7 од.

    Закон розподілу ймовірностей системи (Х; Y) заданий таблицею 2.

    Таблиця 2 - Розподіл ймовірностей системи (Х; Y)

    х i

    p i

    0

    1

    2

    0

    P 11 = 0,08

    P 12 = 0,09

    P 13 = 0,04

    1

    P 21 = 0,08

    P 22 = 0,27

    P 23 = 0,19

    2

    P 31 = 0,04

    P 32 = 0,16

    P 33 = 0,05

    потрібно:

    1) визначити, яка марка машин користується в автосалоні найбільшим попитом;

    2) з'ясувати, чи залежить число проданих автомашин марки А від числа проданих автомашин марки В;

    3) знайти очікувану (середню) денну виручку автосалону;

    4) оцінити (за допомогою дисперсії) можливі відхилення денної виручки щодо середнього значення.

    Пояснення: вважати, що якщо Р (Х> Y)> P (Y> X), то машини марки А користуються великим попитом, ніж машини марки В.

    Рішення

    1) Знайдемо ймовірність Р (X> Y) і P (Y> X).

    Р (X> Y) = Р (х = 1, у = 0) + Р (х = 2, у = 0) + Р (х = 2, у = 1);

    Р (X> Y) = 0,08 + 0,04 + 0,16 = 0,28.

    P (Y> X) = Р (х = 0, у = 1) + Р (х = 0, у = 2) + Р (х = 1, у = 2);

    P (Y> X) = 0,09 + 0,04 + 0,19 = 0,32.

    Таким чином Р (X> Y)

    X), так як 0,28 <0,32. Отже машини марки В користуються в автосалоні найбільшим попитом.

    2) Випадкова величина х визначає число проданих протягом дня машин марки А, випадкова величина у - число проданих машин марки В. Знайдемо розподіл випадкової величини х: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = 2.

    Р = х 1) = р 1 = 0,08 + 0,09 + 0,04 = 0,21;

    Р = х 2) = р 2 = 0,08 + 0,27 + 0,19 = 0,54;

    Р = х 3) = р 3 = 0,04 + 0,16 + 0,05 = 0,25.

    Таблиця 3 - Ряд розподілу випадкової величини х

    х i

    0

    1

    2

    p i

    0,21

    0,54

    0,25

    Складаємо розподіл випадкової величини у: у 1 = 0; у 2 = 1; у 3 = 2.

    Р (y = y 1) = р 1 = 0,08 + 0,08 + 0,04 = 0,2;

    Р (y = y 2) = р 2 = 0,09 + 0,27 + 0,16 = 0,52;

    Р (y = y 3) = р 3 = 0,04 + 0,19 + 0,05 = 0,28.

    Таблиця 4 - Ряд розподілу випадкової величини y

    y j

    0

    1

    2

    p j

    0,2

    0,52

    0,28

    Якщо p i · P j = p ij для всіх (i; j), то випадкові величини х і у є незалежними.

    Наприклад: для i = 1 і j = 1

    p i · P j = 0,21 · 0,2 = 0,042, а p 11 = 0,08.

    Так як p 1 · P 1? p 11, то випадкові величини х і у є залежними.

    3) Нехай випадкова величина z визначає денну виручку автосалону. так як за умовою завдання машина марки А коштує 5 од., машина марки В - 7 од., то величина z матиме вигляд z = 5 · х + 7 · у.

    m z = 5 · m x + 7 · m y

    m z = 5 · 1,04 + 7 · 1,08 = 5,2 + 7,56 = 12,76 (од.).

    Очікувана (середня) денна виручка автосалону складе 12,76 од.

    4) Знайдемо дисперсію випадкової величини z = ах + b у за формулою:

    У нашому випадку а = 5, b = 7.

    D х = 0 2 · 0,21 + 1 2 · 0,54 + 2 2 · 0,25 - 1,04 2 = 0,54 + 1 - 1,0816 = 0,4584,

    D у = 0 2 · 0,2 + 1 2 · 0,52 + 2 2 · 0,28 - 1,08 2 = 0,52 + 1,12 - 1,1664 = 0,4736,

    використовуючи вихідні дані таблиці 2, отримаємо:

    ,

    Можливі відхилення денної виручки щодо середнього значення рівні 6,16 од.

    відповідь:

    1) машини марки В користуються в автосалоні найбільшим попитом;

    2) число проданих автомашин марки А залежить від кількості проданих автомашин марки В;

    3) очікувана (середня) денна виручка автосалону складе 12,76 од .;

    4) можливі відхилення денної виручки щодо середнього значення рівні 6,16 од.

    завдання №4

    Торгова фірма має в своєму розпорядженні розгалужену мережу філій і є підстави вважати, що її сумарна денна виручка х є нормально розподіленою випадковою величиною. Виявлені значення цієї величини по 100 робочих днях представлені у вигляді наступного інтервального ряду (таблиця 5).

    Таблиця 5 - інтервальний ряд

    I

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    (x i-1; х i)

    (0; 5)

    (5; 10)

    (10; 15)

    (15; 20)

    (20; 25)

    (25; 30)

    (30; 35)

    (35; 40)

    n i

    3

    5

    20

    24

    22

    15

    7

    4

    потрібно:

    1) побудувати гістограму відносних частот;

    2) визначити незсунені оцінки для невідомих математичного очікування m x і дисперсії, випадкової величини х;

    3) знайти 95-процентні довірчі інтервали для m x і д х.

    Рішення

    1)

    Всі вісім інтервалів вибірки мають одну й ту ж саму довжину? Х = 5.

    Щільність частот на цих інтервалах знайдемо за формулою:

    Площа кожного i -ого прямокутника дорівнює відносній частоті i -ого інтервалу, яка визначається за формулою:

    Отримаємо таблицю 6.

    Таблиця 6 - Розрахункова таблиця для побудови гістограми

    i

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    (x i-1; х i)

    (0; 5)

    (5; 10)

    (10; 15)

    (15; 20)

    (20; 25)

    (25; 30)

    (30; 35)

    (35; 40)

    n i

    3

    5

    20

    24

    22

    15

    7

    4

    0,03

    0,05

    0,20

    0,24

    0,22

    0,15

    0,07

    0,04

    0,006

    0,01

    0,04

    0,048

    0,044

    0,03

    0,014

    0,008

    Малюнок 2 - Гістограма наведених відносних частот

    Вид цієї гістограми дозволяє вважати дане розподіл ймовірностей нормальним.

    2) Незміщені оцінки для невідомих математичного очікування m x і дисперсії, випадкової величини х знайдемо за формулами:

    де х i - середина i-ого інтервалу.

    m x = 0,01 · (2,5 · 3 + 7,5 · 5 + 12,5 · 20 + 17,5 · 24 + 22,5 · 22 + 27,5 · 15 + 32,5 · 7 + 37,5 · 4) =

    = 0,01 · (7,5 + 37,5 + 250 + 420 + 495 + 412,5 + 227,5 + 150) =

    = 0,01 · 2000 = 20 ум. ден. од.

    (ум. гр. од.) 2

    3) Довірчий інтервал для невідомого m x має вигляд:

    Так як вибірка взята з нормальною сукупності з відомим середнім квадратичним відхиленням, то величина д х визначається за формулою:

    де n = 100, а є аргумент функції Лапласа Ф (х), при якому

    По таблиці знаходимо

    тоді:

    Довірчий інтервал для має вигляд:

    де s = 7,96, а величина q = 0,143 визначається по таблиці по г = 0,95 і n = 100.

    відповідь:

    1) рисунок 2;

    2) m x = 20 ум. ден. од .; (ум. гр. од.) 2;

    завдання №5

    За результатами n = 16 замірів часу Х виготовлення деталі визначені вибіркове середнє і виправлена дисперсія s 2 = 16. Вважаючи розподіл випадкової величини Х нормальним, на рівні значущості б = 0,1 вирішити, чи можна прийняти а 0 = 90 в якості нормативного часу виготовлення деталі.

    Пояснення: Основну гіпотезу Н 0: m x = а 0 перевірити при альтернативній гіпотезі Н а: m x? а 0.

    Рішення

    1. Н 0: m x = а 0 = 90.

    2. Н а: m x? 90.

    3. Так як вибірка витягнута з нормальною генеральної сукупності з невідомими m x і у х, то в якості критерію перевірки гіпотез виберемо розподіл Стьюдента з k = n - 1 = 16 - 1 = 15 ступенями свободи.

    4. По виду Н 0, Н а і К робимо висновок, що критична область в даному випадку буде двосторонньою.

    5. Тоді 1,75, знаходимо за критичними точками розподілу Стьюдента (Додаток), при рівні значущості 0,1 і 15 ступенями свободи.

    1,75; 1,75

    6. Обчислимо спостережуване значення критерію К:

    7. Так як || >, 2,16> 1,75 - гіпотеза Н 0 відхиляється.

    Відповідь: Нульова гіпотеза відкидається.

    Список використаної літератури

    1. Гмурман, В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці: Учеб. посібник для студентів вузів / В. Є. Гмурман. - 9-е вид.- М .: Вища школа, 2004. - 404 с.

    2. Гмурман, В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика: Учеб. посібник для студентів вузів / В.Є. Гмурман. - М .: Вища школа, 1998. - 542 с.

    3. Вентцель, Е.С. Теорія ймовірностей: Учеб. для вузів / Є.С. Венцель. - 6-е изд. стер. - М .: Вища школа, 1999. - 576 с.

    4. Кремер, Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика / Н.Ш. Кремер. - М .: ЮНИТИ, 2000. - 498 с.

    5. Сизова, Т.М. Статистика: Навчальний посібник / Т.М. Сизова. - СПб .: СПб ГУІТМО, 2005. - 80 с.