• 1 Типові впливу
  • 2 Імпульсна перехідна функція
  • 3 Єдина перехідна функція
  • 4 Звязок між вхідним і вихідним процесами в тимчасовій області
  • 5 Графічні подання частотних характеристик
  • 1 Годограф Найквіста.
  • 2 Діаграми Боде


  • Дата конвертації24.03.2017
    Розмір23.06 Kb.
    Типреферат

    Скачати 23.06 Kb.

    Тимчасові характеристики і функція часу. Графічне представлення частотних характеристик

    Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки

    Кафедра ІТАС

    РЕФЕРАТ

    На тему:

    «Тимчасові характеристики і функція часу. Графічне представлення частотних характеристик »

    МІНСЬК, 2008


    На противагу частотним методам, які оперують частотними характеристиками, існують методи, які оперують функціями часу. Всі дії, взагалі кажучи, є функціями часу. Серед них в класичній теорії управління особливу роль відіграють так звані типові впливу.

    Строго кажучи, і в частотних методах деякі впливи відіграють особливу роль. Ми маємо на увазі в першу чергу так звані гармонійні впливу. Всі частотні характеристики системи, так чи інакше, описують її реакцію на гармонійні впливу різної частоти. У тимчасових методах також існує невелика кількість типових впливів, реакція на які представляє першочерговий інтерес. Майже всі вони базуються на одиничному східчастому вплив, яке описується одиничною ступінчастою функцією.


    1 Типові впливу

    Одинична ступінчаста функція 1 (t). З описової точки зору це функція, яка дорівнює нулю в негативні моменти часу і одиниці - в позитивні. Принциповим недоліком таких функцій є те, що вони не мають похідні, тоді як основний математичною моделлю теорії автоматичного управління є диференціальне рівняння.

    Найпростішим математичним описом цієї функції часу є наступне:

    Вона розглядається як межа безперервних і диференціюються часу , Що залежать від параметра b. Прикладом можуть бути функції арктангенса

    .

    функція при кожному конкретному значенні параметра b дифференцируема. Це властивість переноситься і на граничне значення цієї функції при . Іншими словами, можна визначити значення похідної функції 1 (t).


    Малюнок 1 - Єдина ступінчаста функція

    Дельта - функція (d-функція або функція Дірака) визначається як похідна від одиничної ступінчастої функції. Іншими словами,

    ,

    де в якості опції може бути взята будь-яка послідовність безперервних функцій, що диференціюються, що сходиться до одиничної ступінчастої функції.

    Зокрема, одним з визначень d-функція є наступне:

    .

    Послідовності функцій, що сходяться до одиничної ступінчастої функції і до d-функції при однакових значеннях параметра b, показані на малюнках 1 і 2 відповідно.

    Не дивлячись на наведене визначення, d-функції нерідко розглядається просто як похідна одиничної ступінчастої функції .

    Найпростіше визначення d-функції як функції, що дорівнює нескінченності на початку координат і нулю при інших значеннях аргументу мало продуктивно. Широко використовуються властивості d-функції, які випливають з його визначення як границі послідовності безперервних функцій.


    Малюнок 2 - d-функція

    По-перше, інтеграл від d-функції з будь-якої кінцевої області, що включає початок координат, дорівнює одиниці. Зокрема

    .

    Це майже очевидно: d-функція є межею похідних послідовності функцій, кожна з яких прагне до одиниці.

    Інший не менш важлива властивість виражається рівністю

    ,

    яке теж майже очевидно для безперервних функцій, якщо згадати попереднє властивість.

    Поряд з цими двома типовими впливами іноді застосовуються тісно пов'язані з ними дії: одинична швидкість , Одиничне прискорення і т.п.

    Не важко довести, що перетворення Лапласа для цих впливів:

    , , , ....

    2 Імпульсна перехідна функція

    передавальна функція лінійної системи повністю її характеризує. Дійсно, по передавальної функції не важко відновити диференціальне рівняння, що описує цю систему. Передавальна функція системи є зображенням певної функції часу

    ,

    яка називається імпульсної перехідною характеристикою цієї системи.

    Таким чином, імпульсна перехідна функція системи - це зворотне перетворення від її передавальної функції. Вона настільки ж повно характеризує систему, що і передавальна функція, так як ці дві функції пов'язані між собою як оригінал і зображення.

    Імпульсна перехідна характеристика може бути визначена не тільки як зворотне перетворення Лапласа, але і як зворотне перетворення Фур'є, оскільки воно пов'язане з ним тим же співвідношенням - прямим і зворотним перетворенням Фур'є

    , .

    Фактично, імпульсна перехідна функція майже ніколи не обчислюється відповідно до цих визначень. Для цієї мети використовуються чудові властивості самої імпульсної перехідної функцією і її зв'язком з іншими тимчасовими характеристиками системи.

    Нагадаємо, що перетворення Лапласа вихідного процесу одно передавальної функції, помноженої на перетворення Лапласа вхідного процесу:

    ,

    і що зображення d - функції дорівнює одиниці. Підставами в останній вираз середнє арифметичне значення зображення вхідного процесу і переконаємося, що імпульсна перехідна функція дорівнює реакції системи при дії на її вході d -імпульса.

    Під d - імпульсом, як неважко здогадатися, розуміється імпульс, математичною моделлю якого є d - функція. Це пояснює походження назви даної тимчасової характеристики.

    Імпульсна перехідна функція має низку чудових властивостей. Одне з них стосується умови стійкості, а інше - умови фізичної здійсненності.

    Імпульсна перехідна функція будь-стійкої системи повинна не тільки прагнути до нуля при збільшенні аргументу, а й бути абсолютно інтегрованою

    .

    Імпульсна перехідна функція ) Будь-якої фізично здійсненною системи повинна бути дорівнює нулю при негативних значеннях аргументу

    .

    Дійсно, в будь-який фізично здійсненною системі реакція системи не може наступити раніше причини, її викликала. В даному випадку вхідним впливом, реакцією на яке є імпульсна перехідна функція, служить d - імпульс, який дорівнює нулю при негативних значеннях аргументу. Отже, і реакція на такий вплив має дорівнювати нулю при негативних значеннях аргументу.

    Фактичне визначення імпульсної перехідної функції, як реакції на d - вплив, пов'язане з певними труднощами.

    По-перше, d - імпульс нескінченно великої амплітуди, нескінченно малої тривалості і одиничної площі можна реалізувати тільки наближено. При цьому судження про те, чи достатньо мала тривалість і чи достатньо велика амплітуда, щоб реакція системи була досить близькою до імпульсної перехідної функції, сказати важко. Крім того, не всяка система допускає подачу на її вхід імпульсу вище певної величини. Все сказане про подібному способі визначення має відношення тільки до експериментів над математичними моделями, але не над фізичними об'єктами. Наступна тимчасова характеристика, з одного боку, має дуже просту зв'язок з тільки що розглянутим, а з іншого боку, допускає порівняно просту реалізацію.

    3 Єдина перехідна функція

    Під одиничної перехідною функцією розуміють реакцію системи на одиничне поетапне вплив.

    Оскільки зображення по Лапласа одиничної ступінчастої функції відомо, то не важко визначити зображення по Лапласа ) Одиничної перехідної функції :

    при нульових початкових умовах. Ясно, що оригінал може бути отриманий за допомогою зворотного перетворення знайденого зображення. Однак простіше скористатися будь-яким іншим способом визначення реакції системи на настільки просте вплив.

    Запропонована інтерпретація одиничної перехідної функції як реакції на одиничне поетапне вплив може служити і основою експериментального визначення цієї характеристики. Одиничне поетапне вплив, як і дельта-функція, є математичною ідеалізацією реальних сигналів, які гранично різко змінюють своє значення з одного рівня на інший. Єдина відмінність між ідеалізованому сигналом і реальним - це час переходу з одного стану в інший. Маючи уявлення про швидкодію досліджуваної системи завжди можна сказати, дуже малий воно чи ні.

    Між одиничної перехідною характеристикою і імпульсної перехідної функцією існує дуже проста зв'язок.Досить визначити одну з них як визначення іншої вже не становить труднощів.

    Не важко показати, що

    .

    Таким чином, імпульсна перехідна і одинична перехідна функції пов'язані межу собою як похідна і інтеграл. Іншими словами, поряд з щойно наведеним виразом справедливо і вираз

    .

    4 Зв'язок між вхідним і вихідним процесами в тимчасовій області

    Зображення вихідного процесу дорівнює добутку зображення вхідного процесу на зображення імпульсної перехідної функції :

    .

    Згідно з однією з теорем про перетворення Лапласа, твору зображень відповідає згортка оригіналів, тобто з останнього виразу випливає

    (1)

    і

    . (2)

    У цих виразах нерідко верхня межа інтегрування вважається рівним нескінченності. При певних умовах це можна робити.

    Для фізично здійсненних систем значення імпульсної перехідної функції дорівнює нулю при негативних значеннях аргументу, тобто для таких систем

    .

    Тому верхня межа в вираженні (1) можна спрямувати до нескінченності, тобто покласти

    Саме в такій формі зазвичай використовується вираз вихідного процесу через вхідний в тимчасовій (в дійсній) області.

    Нерідко в якості вхідного впливу приймається не просто вплив при нульових початкових умовах, а рівне нулю при негативному часу.

    Однак, якщо при , то і верхня межа в вираженні (2) можна спрямувати до нескінченності, не змінивши значення інтеграла, тобто покласти

    .

    У наведених вище виразах немає уточнення, що вважати вхідним, а що вихідним процесом. Ці поняття визначають разом з визначенням передавальної функції. Якщо під вхідним процесом розуміти керуючий вплив, а в якості виходу розглядати сигнал помилки, то для отримання зображення сигналу помилки слід скористатися функцією передачі помилково. Зворотне перетворення Лапласа від такої передавальної функції називається імпульсної перехідної функцією помилково. Вона дозволяє визначити сигнал помилки за висловом вхідного сигналу (в тимчасовій області):

    .

    тут - Імпульсна перехідна функція системи помилково, зворотне перетворення по Лапласу від передавальної функції помилково.

    І взагалі, якщо розглядати вираження вихідного сигналу через зовнішні впливи в частотної області як суму творів зображень, то в дійсній області кожному такому твору буде відповідати згортка.

    Іншими словами, вихідний процес системи, на яку діють управляє і що обурює впливу зі своїми передавальними функціями і , В дійсній області можна представити у вигляді

    ,

    .


    5 Графічні подання частотних характеристик

    Як уже зазначалося, частотні подання є основою класичних методів теорії автоматичного управління. З частотних характеристик і почалося знайомство з теорією управління. Ведення і використання передавальних функцій не означає відхилення від частотного напрямки. Різниця між введеними раніше поняттями частотної характеристики і передавальної функції чисто формальне. Як тільки заходить мова про графічному поданні, неважливо, частотних характеристик або передавальних функцій, змінна s в вираженні передавальної функції замінюється на змінну jw і зображенню підлягає тільки частотна характеристика.

    Серед усіх графічних уявлень частотних характеристик особливою популярністю користуються годографи Найквіста і діаграми Боде. В даний час більш споживані діаграми Боде, але вони є похідними від годографов Найквіста, тому розглянемо спочатку годографи Найквіста.

    1 Годограф Найквіста.

    Подання частотної характеристики

    на площині комплексної змінної в залежності від частоти називається амплітудно-фазової частотної характеристикою (а.ф.ч.х.). Взагалі кажучи, зі зміною частоти w від нуля до нескінченності (0 в площині комплексної змінної буде повертатися і його кінець опише деяку криву, яка називається годографом. Стосовно з частотним характеристикам цей годограф називається годографом Найквіста (а.ф.ч.х.).

    На малюнку 1 наведено типовий приклад годографа Найквіста в позитивному діапазоні частот (0

    Іноді, (наприклад, в ППП ControlSystemToolbox) годограф будується у всьому діапазоні частот (- ¥


    Малюнок 1 - Годограф Найквіста

    2 Діаграми Боде

    Логарифмічні амплітудні і фазові частотні характеристики (ЛЧХ), звані діаграмами Боде, отримали набагато більшого поширення, ніж годографи Найквіста.

    Прологаріфміровав вираз частотної характеристики (через амплитудную і фазову), отримаємо, що її логарифм дорівнює сумі логарифма амплітудної характеристики і фазової характеристики:

    .

    дві характеристики і , Побудовані в логарифмічному масштабі частот ( ), Називаються натуральними логарифмічними амплітудними і фазовими частотними характеристиками.

    У теорії автоматичного управління використовуються десяткові логарифми. За одиницю виміру приймається децибел ( ) І розглядають дві характеристики: і , Побудовані в логарифмічному масштабі частот. Саме вони називаються логарифмічними амплітудними і логарифмічними фазовими характеристиками відповідно.

    Логарифмічний масштаб частот пов'язаний з деякими особливостями в термінології. При дворазовому зміні частот кажуть, що частота змінилася на октаву, а при десятикратному - на декаду. Інакше кажучи, октава - відрізок логарифмічною осі частот, між довільним значенням частоти і її подвоєним значенням.

    Декада - відрізок логарифмічною осі частот між довільним значенням частоти і в десять разів більшим значенням:

    .

    При графічному зображенні логарифмічних характеристик дотримуються деяких правил. Точка, відповідна нульового значення частоти лежить зліва в нескінченності, тому що lg0 = - ¥. Тому вісь ординат проводиться через будь-яку точку осі частот так, щоб справа була розташована та частина ЛЧХ, яку потрібно досліджувати, а зліва - для опису якої досить якісних характеристик. Зліва зазвичай залишається та частина фазової характеристики, яка мало відрізняється від нуля (або іншого постійного значення). Те ж саме можна сказати і про коефіцієнт нахилу амплітудної характеристики. Зліва зазвичай залишають ту частину амплітудної характеристики, коефіцієнт нахилу якої мало відрізняється від нульового значення (або іншого постійного значення.

    Амплитудную і фазову характеристики зображують на одному малюнку із загальною віссю частот. Вісь частот розбивається на декади і, може бути, октави, причому кожна декада розбивається на октави окремо. Для зручності під точками цієї осі прийнято записувати не значення логарифмів частот, а значення самих частот. Обидві характеристики мають спільну вісь ординат, але дві різні розмітки: в децибелах для амплітудної характеристики і в радіанах (або градусах) для фазової.

    Зручність логарифмічних характеристик полягає в можливості простого визначення амплітудних характеристик послідовного з'єднання ланок і випрямлення амплітудних характеристик, як буде показано нижче.

    Передавальна функція послідовного з'єднання ланок дорівнює добутку передаточних функцій з'єднуються ланок. Тому

    .

    Разом з тим

    .

    Визначимо звідси вираз логарифмічних характеристик послідовного з'єднання ланок:

    ,

    Таким чином, логарифмічні характеристики послідовного з'єднання складаються. Це відноситься як до амплітудних, так і до фазових характеристиках.

    На малюнку 2 як приклад зображені логарифмічні характеристики (діаграми Боде) системи з передавальної функцією


    Малюнок 2 - Логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ)


    ЛІТЕРАТУРА

    1.Мірошник І.В. Теорія автоматичного управління. Лінійні системи. - СПб .: Питер, 2005.

    2. Філліпс Ч., Харбор Р. Системи управління зі зворотним зв'язком. М .: Лабораторія Базових Знань, 2001..

    3. Методи класичної та сучасної теорії автоматичного управління в 3-х т. Т.1: Аналіз і статистична динаміка систем автоматичного управління / Под ред. Н.Д. Егупова. - Изд. МГТУ ім. Н.е. Баумана, 2000..


    Головна сторінка


        Головна сторінка



    Тимчасові характеристики і функція часу. Графічне представлення частотних характеристик

    Скачати 23.06 Kb.