Дата конвертації23.06.2017
Розмір43.45 Kb.
Типконтрольна робота

Скачати 43.45 Kb.

Використання методів лінійного програмування і економічного моделювання в технологічних процесах


завдання 1

Нафтопереробний завод в своєму розпорядженні два сортами нафти:

сортом А в кількості 10 одиниць,

сортом В - 15 одиниць.

При переробці з нафти виходять два матеріали: бензин (позначимо Б) і мазут (М).

Є три варіанти технологічного процесу переробки:

I: 1ед.А + 2ед.В дає 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дає 1ед.Б + 5ед.М

III: 2ед.А + 2ед.В дає 1ед.Б + 2ед.М

Ціна бензину - 10 дол. За одиницю, мазуту - 1 дол. За одиницю.

Визначити найбільш вигідне поєднання технологічних процесів переробки наявної кількості нафти.

Рішення

"вигідність" - отримання максимального доходу від реалізації продукції

"вибір (прийняття) рішення" полягає у визначенні того, яку технологію і скільки разів застосувати.

Позначимо невідомі величини:

х i --колічество використання i-го технологічного процесу (i = 1,2,3).

Інші параметри моделі (запаси сортів нафти, ціни бензину і мазуту) відомі.

Для вектора х = (х 1, х 2, х 3),

виручка заводу дорівнює (32х 1 + 15х 2 + 12х 3) дол.

Тут 32 дол. - це дохід, отриманий від одного застосування першого технологічного процесу (10 дол. · 3ед.Б + 1 дол. · 2ед.М = 32 дол.).

Аналогічний сенс мають коефіцієнти 15 і 12 для другого і третього процесів.

Облік запасу нафти призводить до наступним умовам:

для сорту А:

для сорту У :,

де в першому нерівності коефіцієнти 1, 2, 2 - це норми витрати нафти сорту А для одноразового застосування технологічних процесів I, II, III відповідно.

Математична модель

Знайти такий вектор х = (х 1, х 2, х 3), щоб

максимізувати f (x) = 32х 1 + 15х 2 + 12х 3

при виконанні умов:

.

Скорочена запис:

Отримали завдання лінійного програмування.

Модель (1.4.2.) Є прикладом оптимізаційної моделі детермінованого типу (з цілком певними елементами).

На дім

Приклад. Інвестору потрібно визначити найкращий набір з акцій, облігацій та інших цінних паперів для придбання їх на деяку суму з метою отримання певного прибутку з мінімальним ризиком для себе. Прибуток на кожен долар, вкладений в цінний папір j - го виду, характеризується двома показниками: очікуваним прибутком і фактичною прибутком. Для інвестора бажано, щоб очікуваний прибуток на один долар вкладень була для всього набору цінних паперів не нижче заданої величини b.

Позначимо відомі параметри завдання:

n - число різновидів цінних паперів;

а j - фактична прибуток (випадкове число) від j-го виду цінних паперів

j - очікуваний прибуток від j-го виду цінних паперів.

Позначимо невідомі величини:

y j - кошти, виділені для придбання цінних паперів виду j.

За нашими позначенням вся інвестована сума виражається як

Для спрощення моделі введемо нові величини

Таким чином, х i - це частка від усіх коштів, що виділятимуться для придбання цінних паперів виду j.

Зрозуміло, що

З умови задачі видно, що мета інвестора - досягнення певного рівня прибутку з мінімальним ризиком.

Змістовно ризик - це міра відхилення фактичного прибутку від очікуваної. Тому його можна ототожнити з ковариацию.

прибутку для цінних паперів виду i і виду j. Тут М - позначення математичного очікування.

Математична модель

min

при обмеженнях

Отримали модель Марковіца для оптимізації структури портфеля цінних паперів.

Модель (1.4.3.) Є прикладів оптимізаційної моделі стохастичного типу (з елементами випадковості).

завдання 2

Бройлерні господарство птахівничої ферми налічує 20000 курчат, які вирощуються до 8-тижневого віку і, після відповідної обробки, надходять у продаж. Хоча тижневий витрата корму для курчат залежить від їх віку, в подальшому будемо вважати, що в середньому (за 8 тижнів) він становить 1 фунт.

Для того щоб курчата досягли до восьмому тижні необхідних вагових кондицій, кормовий раціон повинен відповідати певним вимогам за поживністю. Цим вимогам можуть відповідати суміші різних видів кормів, або інгредієнтів. В якості інгредієнтів розглянемо три: вапняк, зерно і соєві боби. Вимоги до поживності раціону сформулюємо, враховуючи три види поживних речовин: кальцій, білок і клітковину. У таблиці наведено дані, що характеризують зміст (по вазі) поживних речовин в кожному з інгредієнтів і питому вартість кожного інгредієнта. Зауважимо, що вапняк не містить ні білка, ні клітковини.

Суміш повинна містити:

1. не менше 0,8%, але не більше 1,2% кальцію;

2. не менше 22% білка;

3. не більше 5% клітковини.

Потрібно визначити для птахівничої ферми кількість (в фунтах) кожного з трьох інгредієнтів, що утворюють суміш мінімальної вартості при дотриманні вимог до загальної витрати кормової суміші і її поживності.

Рішення

Введемо наступні позначення:

x 1 - утримання вапняку (в фунтах) в суміші,

- зміст зерна (в фунтах) в суміші,

- зміст соєвих бобів (в фунтах) в суміші.

Як (мінімізується) цільової функції виступає загальна вартість суміші, яка визначається за формулою.

Мінімальний загальна вага суміші, щотижня витрачається на годування 20000 курчат дорівнює 20000 фунтів. Так як, і представляють ваги трьох інгредієнтів, які використовуються для складання суміші, то загальна вага суміші буде дорівнює, причому ця сума не повинна бути менше 20000 фунтів.

Тепер звернемо увагу на вимоги, що пред'являються до суміші з точки зору поживності. Так як загальна витрата кормів дорівнює, то вміст кальцію повинно знаходитися в межах від 0,008 до 0,012 . Відповідно до таблиці вихідних даних вміст кальцію, обумовлене включенням в суміш фунтів вапняку, фунтів зерна і фунтів соєвих бобів, так само. Звідси випливає, що обмеження, пов'язані з вмістом кальцію в кормовому раціоні, можна представити в наступному вигляді:

1. суміш повинна містити не менше 0,8% кальцію:

2. суміш повинна містити не більше 1,2% кальцію:

Ці обмеження можна записати в більш простій формі, об'єднавши в лівих частинах нерівностей члени, що містять, і:

Аналогічно записуються умови за рештою поживними речовинами.

Остаточна математична формулювання завдання може бути представлена в наступному вигляді:

завдання 3

Промислова фірма виробляє виріб, що представляє собою збірку з трьох різних вузлів. Ці вузли виготовляються на двох заводах. Через відмінності в складі технологічного обладнання продуктивність заводів з випуску кожного з трьох видів вузлів неоднакова. У наведеній нижче таблиці містяться вихідні дані, що характеризують як продуктивність заводів з випуску кожного з вузлів, так і максимальний сумарний ресурс часу, яким протягом тижня має кожен із заводів для виробництва цих вузлів.

Ідеальною є така ситуація, коли виробничі потужності обох заводів використовуються таким чином, що в результаті забезпечується випуск однакової кількості кожного з видів вузлів. Однак цього важко добитися через відмінності в продуктивності заводів. Більш реальна мета полягає в тому, щоб максимізувати випуск виробів, що, по суті, еквівалентно мінімізації дисбалансу, що виникає внаслідок некомплектності поставки по одному або двом видам вузлів.

Можливий обсяг виробництва кожного з трьох видів вузлів залежить від того, який фонд часу виділяє кожен завод для їх виготовлення.

Потрібно визначити щотижневі витрати часу (в годинах) на виробництво кожного з трьох видів вузлів на кожному заводі, що не перевищують в сумі тимчасові ресурси кожного заводу і забезпечують максимальний випуск виробів.

Рішення.

Нехай - тижневий фонд часу (в годинах), що виділяється на заводі i для виробництва вузла j. Тоді обсяги виробництва кожного з трьох комплектуючих вузлів дорівнюватимуть

Так як в кінцевій збірці кожен з комплектуючих вузлів представлений в одному екземплярі, то кількість кінцевих виробів має дорівнювати кількості комплектуючих вузлів, обсяг виробництва яких мінімальний. Тому кількість кінцевих виробів можна виразити через число комплектуючих вузлів наступним чином:

Умови даної задачі встановлюють обмеження тільки на фонд часу, яким володіє кожен завод. Тоді математичну модель можна представити в наступному вигляді:

завдання 4

На підприємстві виробляються два види продукції з двох видів сировини. Виробництво одиниці продукту 1 (першого виду) приносить підприємству дохід, рівний 10 одиницям, а виробництво одиниці продукту 2 (другого виду) - дохід в 8 одиниць. Переробка сировини виробляється апаратами двох типів, які умовно називаються надалі машинами і агрегатами. На переробці сировини першого виду зайнято п'ять машин, причому виробничі умови не допускають, щоб сумарний час використання машин на цій роботі перевищувало 40 год (за деякий період). На переробці сировини другого виду зайнято 25 агрегатів; сумарний час їх використання протягом того ж періоду не повинно перевищувати 200 ч. При виробництві одиниці продукту 1 на переробку сировини першого виду витрачається 4 ч і на переробку сировини другого виду - 9 год, в той час як виробництво одиниці продукту 2 вимагає витрати 3 ч на переробку кожного з видів сировини.

На підприємстві приймається рішення збільшити випуск продукції як за рахунок придбання нового обладнання тих типів, що і наявні, так і за рахунок понаднормових годин роботи.

Максимальне число понаднормових годин, що припадають на період, дорівнює восьми, причому цей годинник повинні розподілятися на переробку першого і другого видів сировини рівномірно. Доплата за годину понаднормової роботи на переробці будь-якого з видів сировини однакова; повна оплата за годину понаднормової роботи дорівнює 2 одиницям. Підвищення витрат за період, пов'язаний з придбанням однієї машини, переробної сировину першого виду, становить 10 одиниць. Агрегати, що переробляють сировину другого виду, додатково не купуються.

Необхідно максимізувати дохід від випуску продукції.

Рішення

Завдання максимізації доходу від випуску продукції можна записати як задачу математичного програмування:

Тут через та позначені відповідно шукані кількості вироблених продуктів першого і другого видів, через - кількість придбаних додаткових машин для переробки сировини першого виду і через - число годин понаднормової роботи. Цільова функція являє собою величину сумарного доходу. Перше обмеження пов'язане з неможливістю перевищити ліміт часу на переробку сировини першого виду, друге - з неможливістю перевищити ліміт часу на переробку сировини другого виду, третє обмеження і умова невід'ємності змінних самоочевидні.

завдання 5

Для забезпечення нормальної роботи обладнання необхідно закупити n видів запасних частин на суму d рублів.Вартість j -ої деталі дорівнює, потреба в ній є випадкова величина, що має показовий закон розподілу з параметром. Використання j -ої деталі дозволяє отримати прибуток. Відсутність деталі в разі потреби приводить до збитків. Якщо деталь не використовується в даний час, то збиток становить. Як розподілити наявні кошти, щоб загальний прибуток була найбільшою?

Рішення

Нехай - кількість закуплених деталей j-го виду. Так як потреба в цих деталях дорівнює, то доходи і витрати визначаються в залежності від співвідношення між величинами і:

Значить, прибуток від деталей j-го виду можна визначити наступним чином:

Але так як - величина випадкова, то і прибуток - теж випадкова величина. Отже, ми повинні максимізувати не саму прибуток, а її математичне очікування

.

тут

-

щільність розподілу випадкової величини. тоді

.

Загальна очікувана прибуток обчислюється як сума математичних очікувань прибутків від деталей всіх видів. Обмеження завдання пов'язані з неможливістю перевищити суму, виділену на закупівлю деталей. Крім того, з характеру змінних випливають умови їх позитивності і целочисленности. В результаті отримуємо наступну математичну модель:

завдання 6

Фірма А виробляє певний товар, який користується попитом протягом n одиниць часу. Цей товар надходить на ринок в момент i (i = 1, ..., n). Для конкурентної боротьби з фірмою А дочірня фірма В концерну Д, не піклуючись про власні доходи, виробляє аналогічний товар, який надходить на ринок в момент j (j = 1, ..., n). Її мета - руйнування першої фірми, після чого їй буде легко, спираючись на капітал D, надолужити згаяне. Для цієї мети найпростіше продавати товари за зниженою ціною. Однак є закони (угоди), що забороняють діяти таким чином. В цьому випадку єдиним законним інструментом цієї фірми є вибір моменту надходження товару на ринок. Будемо вважати, що якість конкуруючих товарів залежить від часу їх надходження на ринок відносно один одного - чим пізніше товар викидається на ринок, тим якість його вище, а реалізується тільки товар вищої якості. Кожна фірма повинна заздалегідь готувати своє виробництво до випуску і продажу товару в зазначений період часу. А щоб розорити першу фірму, друга фірма повинна мінімізувати її доходи

Рішення

У наявності зіткнення інтересів двох фірм - А і В. Найбільш підходящим математичним апаратом для моделювання їх поведінки є теорія ігор.

Викладена в умові завдання ситуація конкуренції двох однакових фірм є антагоністичним конфліктом. Для побудови математичної моделі цього конфлікту - кінцевої антагоністичної гри - приймемо за гравців 1 і 2 відповідно фірми А і В. Очевидно, що безлічі чистих стратегій гравців 1 і 2 - це безлічі: фірма А вибирає i -ий момент надходження товару на ринок, намагаючись максимізувати свій дохід, а фірма В вибирає j -ий момент, переслідуючи прямо протилежні цілі - мінімізувати доход фірми А.

Позначимо через c дохід від продажу товару в одиницю часу. Тоді, якщо фірма А викидає свій товар в момент i, а фірма В - в момент j> i, то фірма А, не маючи конкурента протягом ji одиниць часу, отримає за цей час дохід c (ji). У момент часу j на ринку з'являється товар фірми В, який має більш високу якість. Тому з моменту j фірма А втрачає ринок і надалі доходу не отримує. Якщо ж i> j, то фірма А, викинувши на ринок більш якісний товар, буде отримувати дохід протягом всього відрізка [i, n]. Так як число залишилися одиниць часу одно n-i + 1, то дохід фірми А буде дорівнює c (n-i + 1). У тому випадку, коли i = j, тобто на ринок одночасно надходять обидва товари, ці товари мають однаковий попит, і тому фірма А отримає дохід, рівний. В результаті функцію виграшу гравця 1 можна представити в наступному вигляді:

Отримуємо матричну гру, яка визначається матрицею.

завдання 7

Автотранспортна компанія для перевезення вантажів в своєму розпорядженні чотири автомашинами наступної вантажопідйомності: машина 1 - 2 т, машина 2 і машина 3 - по 5 т, машина 4 - 8 т. Для кожної автомашини відома вартість її експлуатації за день: для машини 1 - 15 одиниць, для машини 2 - 20 одиниць, для машини 3 - 19 одиниць, для машини 4 - 30 одиниць. Необхідно протягом одного дня розвести вантажі чотирьом одержувачам. В книжковий магазин потрібно доставити вантаж вагою в 1 т, в меблевий магазин - в 3 т, в фермерське господарство - в 5 т і на сталеливарний завод - в 8 т. Припустимо, що одна і та ж машина не може доставляти вантаж в книжковий або меблевий магазин і на ферму. Потрібно так призначити автомашини для доставки всіх вантажів, щоб сумарні витрати були мінімальними.

Рішення

Завдання мінімізації сумарних витрат на перевезення вантажів можна записати як задачу математичного програмування:

Тут через x ij позначений факт поставки i -му споживачеві вантажу j -ої машиною, тобто

Всі одержувачі вантажів пронумеровані: 1 - книжковий магазин, 2 - меблевий магазин, 3 - фермерське господарство, 4 - сталеливарний завод. Цільова функція являє собою сумарні витрати. Перші чотири обмеження пов'язані з необхідністю доставити одержувачам потрібну їм кількість вантажу, такі - з неможливістю одночасного використання однієї машини на деяких маршрутах.

завдання 8

Нехай економіка представлена ​​двома галузями народного господарства, кожна з яких випускає свою продукцію і витрачає на відтворення працю, кошти праці та предмети праці. Валовий продукт кожної галузі за рік розподіляється відповідно на кінцевий продукт і виробниче споживання, причому в процесі виробництва даної галузі може застосовуватися продукція обох галузей. Відомо, що споживання однією галуззю продукції іншої пропорційно обсягу валового випуску першої з них. Кінцевий продукт обох галузей ділиться на валові капітальні вкладення і невиробниче споживання. Без урахування амортизаційних відрахувань, можна вважати, що валові капітальні вкладення з однієї галузі в іншу щороку пропорційні приросту валової продукції другий галузі.

Визначити, як повинна функціонувати розглянута економічна система в часі.

Рішення

Зауважимо, що оскільки критерій оптимальності в задачі не вказано, то математична модель буде описової. Позначимо через валову продукцію галузі i в рік t, через - її кінцевий продукт в рік t, а через - виробниче споживання галуззю i продукції галузі j в рік t (всі величини тут і далі виражені в вартісному еквіваленті). З умови задачі випливає

.

Нехай - норма витрат продукції j -ої галузі на виробництво одиниці продукції i -ої галузі. тоді

.

Позначивши - валові капітальні вкладення галузі i в галузь j в рік t, - невиробниче споживання галузі i в рік t, отримаємо

.

Пропорційність валових капітальних вкладень приросту валової продукції запишемо у вигляді

.

Остаточно, отримуємо двухпродуктовую модель економіки

.

Ставлячи в початковий момент і припускаючи відомими в часі споживання, i = 1,2, бачимо, що завдання розвитку економіки, заданої двома галузями, зводиться до системи лінійних неоднорідних рівнянь.


Головна сторінка


    Головна сторінка



Використання методів лінійного програмування і економічного моделювання в технологічних процесах

Скачати 43.45 Kb.