Дата конвертації01.08.2018
Розмір94.82 Kb.
Типреферат

Скачати 94.82 Kb.

Взаємозв'язку економічних переменених

Взаємозв'язку ек змін-х.

З того вр-ні як ек-ка стала самост наукою, дослідні-чи намагаються дати предст-ия про возм-их шляхах разв-ия ек-ки, передбачити буд знач ек пок-лей, знайти інстр-ти, що дозволяють вим-ть ситуацію в желат-м напр-ії і спрогнозує-ть її розвиток.

Але разл ек школи пропонуючи-т різні, а часто противопол-е методи вирішення цих завдань. Пол-ки або управ-ие вибираючи-т 1 з пропонуючи-х методів рішень. В рез-теполуч-т якийсь ефект. Поганий він чи гарний і м.б. дьбіться кращого рез-та перевірити затруд-но, тому що ек ситуація ніколи не повт-ся точно, тобто немає возм-ти застосувати 2 різні стратегії при одних і тих же усл-ях і порівняти конеч рез-ти.

Тому 1-й з центр завдань економетр аналізу яв-ся ПРЕДСКАЗ-ие або прогнозування-ие розвитку 1 і то1 же ситуації при створенні тих чи інших ум-ий.

Поведінка люб ек пок-ля залежить від бага-ва фак-рів. Всі їх врахувати реально неможливе але, але в цьому і не метушня-т необ-ти. Зазвичай тільки огран кількість фак-рів пов-т на дослідні-й ек пок-ль. Частка впливу ост-х незнач-на.

Введення в модель огрнан кол-ва ф-рів реально доминир-х в ек процесі яв-ся серйозно-й передумовою для качест аналізу прогнозування-я і упр-ия ситуацією.

Ек теорія виявила мно-під устойч завис-тей. Нап-р добре вивчена зав-ть попиту або потр-ия від ур-ня доходу і цін на товари; зав-ть м / у безраб-й і инфл-їй ...

Люб ек пол-ка закл-ся в ре-ії ек перем-х і д базує-ся на знанні того як ці перем перші пов'язані з ін ключовими для прийнятого рішення політиком або предприн-лем.

Пр-р: Не можна непоср-но регул-ть темп инфл-ії, але на неї м пов-ть ср-ми фіскальної і монетар пол-ки. Тому перш за все изуч-ся взаємозв'язок м / у пропоз-му дененг і ур-ньому цін.

Але в реал ситуації навіть усталені зав-ти м прояв-ся по-різному. Ще більш слож завданням яв-ся аналіз маловивчений і знову метушня-их нестаб-х завис-тей в ек-ці. Саме для них наиб-її актуально побудова економетр моделей. Їх неможливе але будувати, перевіряти і здійснений-ть без стати аналізу реал емпіреї даних. Але сам по собі стат аналіз не розкриває ситуації, метушня-їй в ек-ці, він дає тільки відповід-ие НЕ показ-ия в силу якихось причин 1 перем-ая впливає на ін.

Вирішення цього завдання яв-ся рез-том качест аналізу получ-х відпо-ий, кіт-ий д сопровож-ся або предшест-ть стат аналізу.

У естест науках иссл-ли мають справу зі строго устан-мися зав-тями, коли опр знач-ю 1-й перем-й відпо-т цілком опр знач-е ін y = f (x). У бол-ве ек завис-ях такого взаємозв'язку немає. Пр-р: немає суворої зав-ти м / у ур-ньому доходу і потр-ия. Це пов'язано зі сно-вом причин. У част-ти з тим, що при аналізі не вчить-ся цілий ряд р ф-рів, що впливають на пере-ті.

Крім того вплив м.б. не прямим, а опосередковує-м. У треьіх недо-ті впливу оказ-ся просто вип-ми, тому в ек-ці гов-т нема про функц-х, а про КОРРЕЛ-х або стат завис-тях.

Кореляційна залежність.

Стат наз-ся зав-ть, пр кот-й зм-ие 1-й з величин тягне вим-ие розподіл-ия ін вів-ни. У част-ти стат зав-ть, прояв-ся в тому, що при зм-ії 1-й вів-ни, изм-ся матем очікування (пор знач) ін вів-ни, наз-ся кореляції-м.

Тому сутність КОРРЕЛ аналізу м.б. продемонструє-на на 2-х вар-тах взаємозв'язку м / у перем-ми.

I). Предпол-м, що ми розглянути-му поведінку 2-х перем-х У і Х, кіт-ті яв-ся рівноцінними в тому сенсі, що серед них не можна виділити первинну (независ) і вторинну (завис) перем-ую. Нап-р: попит на товар і його ціна. При дослі-ії сили зав-ти м / у такими перем-ми зверну-ся до КОРРЕЛ аналізу, основ-й мірою в кот-м яв-ся коеф-т вибороч КОРРЕЛ-ії -1≤rxy≤1.

Цілком вір-но, що зв'язок в цих випадках м не носити направ хар-ра, а м показ-ть і одинак ​​направ-ть, коли зростання 1-й перем-й опору-ся зростанням знач-я ін перем-й або навпаки .

II). Коли ми м виділити так звані-ю об'ясняющ (независ) перем-ю і що пояснюється (завис). В цьому випадку вим-ие 1-й з них яв-ся причиною для вим-ия 2-й, але така зав-ть яв-ся одннознач. Пр-р: виділ-ся неск-ко сімей з одинак ​​складом її членів і одинак ​​ур-ньому доходу Х. Ур-нь потр-ия в цих семях м.б. різним в1, в2 ... ук., тобто кожному значенню Х соот-т недо-е вип розподіл-е ​​У, тобто У - яв-ся случ вів-ної (СВ).

Аналіз-ся як в середньому об'яняющ перем-я Х впливає на знач-ие пояснюється перем-й У.

М (у / х) = f (х). М - мат очікування. m = 1. Таке висловлю-е зв-ся ф-ией реграм-ии у на х.

Якщо ми розглянути-м пару пок-лей Х і Y, то мова йде про парної регресії.

Якщо ми розглянути-м ф-ію, в кот-й поведінку У зав-т від недо-го мно-ва фак-в М (У / х1, х2 ... х m) = f (x 1, x2 ... xm), то ми маємо справу з множест реграм-їй.

Для відображення того факту, що реал знач-я завис перем-й не завжди збігаються з її ум мат очікуванням, ця зав-ть доп-ся недо-м слоган, яка є прибутковим-ся случ вів-ної, що указ-т а стахостіч ( стат) суть цієї зав-ти.

У = М (У / г) + ε

У = М (У / х1, х2 ... хn) + ε

У такому вигляді запису, соот-ия наз-ся регресійний рівнян-ми лин регрес моделями.

Осн причинами включ-ия в модель вип ф-ра (викл-ия) яв-ся:

1). Невключ-е в модель всіх об'ясняющ перем-их. Будь-яка модель - вседа спрощ-е реал ситуації і тому ми не м однозн-но гов-ть про знач-ях пояснюється перем-й в цих ситуаціях.

2). Не має рації-й вибір функц форми моделі, що найчастіше метушня-т в усл-ях слабкою вивчений-ти ек процесу.

III). Агрегує-ие перем-их.

У багатьох моделях исп-ся зав-ти м / у якимись фак-ми, кіт-ті самі предс-т складність комб-ії ін простіших фак-рів. Вим-ие цих простих фак-рів м вплинути на поведінку обопщения пок-лей, але ми в моделі цього не врахуємо. Пр-р: сов попит і сов пропоз.

IV). Помилки вим-ий, кіт-ті отраж-ся на несоответ-тт мо знач-й емпіреї даними (з / п в конверті).

V). Огранич-ть стат даних.

Ми будуємо лин модель, яка є прибутковим-ся непрерив-й, але для її постр-ия исп-ем огран вибірку з масиву ген сов-ти даних, що наклад-т огран-ия на відповід-ие моделі емпіреї даними.

VI). Непредказ-ть чол фак-ра.

Ця причина м зіпсувати люб саму качест модель.

Т.ч. случ слоган в моделі отраж-т вплив мно-ва суб'єктів-их ф-рів. І рішення задачі постр-ия моделі, соот-їй емпіреї даними і цілям дослі-ия яв-ся складність многоступен-й процесом, кіт-ий м розбити на 3 етапи:

1). Вибір форми рівнян-ия реграм-ії.

2). Опр-ие парам-в обраного ур-ия.

3). Аналіз кач-ва постр-го ур-ия і перевірка його соотв-ия (адекват-ти) емпіреї даними, на основі кіт-ихвозм-но соверш-ие ур-ий.

Вибір форми зав-ти - специфікація ур-ия.

У лучае парної реграм-ії він осущ-ся з допомогою постр-ия КОРРЕЛ поля.

Графік

В осях координує т y = M (У / x) + ε для зав-ти наносяться точки вибірки х1у1; х2у2; х3у3 ... хiyi ... xnyn. (Xiyi) i = 1; n.

Отримали КОРРЕЛ поле або діаграму малювання.

Возм-ни разл ситуації.

3 Графіка

На 1) зв'язок м / у х і у близька до лин-й.

На 2) її не можна предст-ть як лин зав-ть Швидше за все це парабола.

На 3) явна зав-ть м / у х і у відсутність про-т. Яку б зав-ть ми не вибрали рез-ти моделює-ия б незадовільно-ни.

У разі множест реграм-ии У = М (У / х1, х2 ... хn) + ε

Завдання опр-ия виду зав-ти усклад-ся.

Парна лінійна регресія.

Якщо ф-ія реграм-ії лінійна, то гов-т про лин реграм-ии, кот-ая соот-т вимогу линів-ти отн-но її парам-ра.

У таких моделях теорет ур-ие реграм-ии У = М (У / г) + ε = β0 + β1х + ε, коеф-ти β0 і β1 наз-ся теоретич коеф-ми, ε - вип теорет откл-ие.

Для будь-якої вибороч пари х і yi, yi = β0 + β1хi + ε, тобто індив знач-е у предст-ни у вигляді суми 2-х компонентів: систем-ой β0 + β1хi і випадкової εi.

У соот-ии з загальної генер сов-ма всевозм-х сполучень у і х, модель запису-ся в формі У = β0 + β1Х + ε і завдання побудови рівнян-ия сост-т в тому, щоб по имеющ-ся вибірці огран -го обсягу (хi; yi) i = 1, n отримати емпіреї ур-ие реграм-ії = b 0 + b 1 x, де b0 і b1 - оцінки для коеф-тів теорет ур-ия.

Тоді за даними вибірки ỹi = b0 + b1xi, получ-е знач-е для у б.отл-ся від теорет-го на недо-ую вів-ну, харак-ую точність оцінки емпіреї рівнян третьому теорет знач-ия завіс- й пере-ой yi - i = ei. => В загальному вигляді ми получ-м yi = b0 + b1xi + ei.

Але тому що оцінки для коеф-та β0 → b0 і β1 → b1 розр-ся по конкр-му вибірках, то для різних вибірок з однієї і тієї ж генер сов-ти м.б. получ-ни отлічающеся-ся знач-ия.

Завдання сост-т в тому, щоб знайти найкращі з цих оцінок.

Оскільки нас не інтер-т різницю знач-ий завис перем-й по теорет і емпіреї ур-иям (ми не знаємо теорет Ур-ия), то під откл-ми б.понімать М (У / хк) -ук (теорет откл- і) = εк. εк- це откл-ие точки вибірки від її теорет вів-ни, а ук-ỹк = ек - (емпіреї откл-і) откл-ие емпіреї знач-я від соотв-їй вів-ни, получ-ої по побудуй-ой моделі. І не б.ставіть близько ук вибірки.

Завдання моделює-я сост-т в тому, щоб мінімізації-ть все откл-ия емпіреї знач-ий завис пере-ой від відповід-их вів-н рассчит-х по моделі.

Це м зробити за рахунок мінімізації 1-й з след-х Σ:

1). Σei = Σ (yi-ỹi) = Σ (yi-b0-b1xi)

Мінімум такий Σ не м. Яв-ся мірою кач-ва рівнян-ия, тому що сущ-т мно-під прямих ліній, для кіт-их Σei = 0, в част-ти у = у ср

2). Σ | ei | = Σ | yi-ỹi | = Σ | yi-b0-b1xi |. Зазвичай називають методом найменших модулів (МНМ). Реализ-ия цього завдання справ-ся методом градієнтного спуску.

3). Σei² = Σ (yi-ỹi) ² = Σ (yi-b0-b1xi) ²

Мінімізація такої Σ яв-ся найбільш разраб-й. Отримала назву методу найменших квадратів (МНК). Вичисл процедури найбільш прості по срав-ію з усіма ост-ми методами. І при виконан-ии опр-х передумов оцінки парам-ів ур-ия b0 і b1 облад-т оптим св-вами.

Крім 3-х названих ще исп-ся метод моменту (тер вер) і методи max правдоподібності.

Метод найменших квадратів (МНК).

Складається в мінімізації недо-й ф-ії Q (bo, b1) = Σei² = Σ (yi-bo-b1xi) ². Завжди, коли нічого ін не вказано, суммир-ие від 1 до n. З рівнян-ия очевидно, що це квадрат-я ф-ія, у кот-ой сущ-т екстремум в формі мінімуму. Ф-ия Q непрер-на і увігнута ↓.

Необх-м ум-ем для нахожд-я точки її min яв-ся рав-во вироб-х ф-ий по пар-рам bo, b1, 0. ∂-част вироб-ая.

Коли перем-я тільки одна вів-на, а все ост перші знач-ия xi розглянути-ся як const.

bo і b1 - const, тому вони винос-ся з знака Σ.

Розділимо обидва ур-ия на n.

Отримали сис-му з 2-х ур-ий з 2 неизв-ми. Вона має единст рещеніе, якщо її опр-ль ≠ 0.

- дисп-ия розкиду поясню-й перем-й. Вона в случ вибірках ніколи ≠ 0. А якщо це происх-т, то дост-но з вибірки вилучити 1 пару або додати і ум-ие б вип-ся.

D ≠ 0

Висловлю-е, що стоїть в числ-ле предс-т собою ковариацию м / у перем-ми х і у.

Звідси ковариация перем-ой самої з собою предст-т дисп-ію

Щоб отримати bo його знач-ия

У числ-ле додамо і віднімемо

=> Bo і b1 розр-ся по вибірці і bo тільки гаран-т проходження лінії реграм-ії ч / з ср точку вибірки.

Рас-м коеф-т

Помножимо і розділимо на Sу /

Це коеф-т вибороч корре-і м / у х і у.

=> B1 пропорц-ен коеф-ту вибороч КОРРЕЛ-й, а коеф-м пропорц-ти яв-ся отн-ие стандартів откл-ий рассматр-х фак-рів, що дозволяє порівняти ці ф-ри навіть при ум-ії , що вони яв-ся різнорозмірними вів-ми.

Тобто в лин ур-ии ỹ = bo + b1x х і у м мати різн од-ці зм-ия. Припустимо х - тис руб, у -%. Якщо r вже розрахований, то ми м легко знайти ур-ия парної реграм-ии у на х і побудувати ур-ие х на у.

Звідси

Проведені рассуж-ия дозволяють зробити неск-ко висновків:

1). Оцінки коеф-тів по МНК твердженням-т їх легко розр-ть, тому що яв-ся ф-ями від вибірки.

2). Оцінки яв-ся точковими (числовими) оцінками теорет-х коеф-в.

3). Обчислення коеф-та bo завжди пок-т, що люб ур-ие реграм-ії завжди проходить ч / з ср точку вибірки

4). Ур-ие реграм-ії будується так, що Σei = 0 =>

Покажемо це. З сис-ми ур-ий для коеф-в д вип-ся ум-ие

-2Σ (yi-bo-b1xi) = 0

-2Σ (yi-ỹi) = 0

-2Σei = 0 => Σei = 0

5). Случ откл-ия ei некоррел-ни (не залежить) зі случ вів-ми yi.

6). Случ откл-ие ei НЕ КОРРЕЛ-т з пояснюють перем-ми, тобто Sxe = 0.

Для опр-ия виду зав-ти побудуємо поле КОРРЕЛ-ії.

Для обчислення по МНК стр-ся табл.

Для аналізу правил-ти опр-ия коеф-в необ-мо розр-ть ỹi і ei = (yi-ỹi)

Для аналізу сили лин зав-ти обчислюємо коеф-т КОРРЕЛ-ії.

Під інтерпретацією пон-ся словесний опис получ-х рез-тов з трактуванням знайдених коеф-в так, щоб получ зав-ть стала зрозуміла ч-ку, що не має навичок економетр аналізу. Після інтерпретації рез-тов завжди постає питання про кач-ве оцінок і самого ур-ия в цілому.

Перевірка якості рівняння регресії.

Регрес-й аналіз позвол-т знайти точкові оцінки коеф-в ур-ий реграм-ії. При цьому ми знаємо, що знач-е завис-й перем-й yi = βo + β1xi + εi залежить від вип откл-ий εi => У случ вів-ни, завис-ие від цих откл-ий. І поки ми не опр-м яким законом розподіл-ия підпорядковані случ вів-ни εi, ми не м.б. впевнені в кач-ве оцінок коеф-в рівнян-ия, а => і самого ур-ия ỹ = bo + b1x.

Причому б показано, що , Тобто це теж случ вів-на, причому якщо х м вважати екзогенних (задавши-м із зовні) фак-ром, то у - вип вів-на.

Теорет-ки b1 м розкласти на неслучівшегося і случ составл-ую. Для цього розглянути-м ковариацию м / у х і у.

і восполь-ся недо-ми правилами для вичисл-ия ковариации:

1). cov (u, a) = 0

2). cov (u, av) = a cov (u, v)

Тоді = cov (x, βo) + cov (x, β1x) + cov (x, ε) = β1cov (x, x) + cov (x, ε) = β1S²x + cov (x, ε)

Звідси

β1 - недо-ая const, а 2 слогани предст-т случ составл-ую, що входить в вів-ну коеф-та.

Але тому що ми не знаємо теоретич-х откл-ий ε, то рассч-ть це слоган непоср-но не можна.

Точно також м показати, що коеф-т do має случ і неслучівшегося склад-ую.

Доаказано, що для отримання по МНК наилуч-х рез-тов необ-мо, щоб виконан-ся ряд вимог отн-но вип вів-ни ε.

Передумови МНК (умови Гаусса-Маркова).

1). Матем очікування случ откл-ия ε = 0 для всіх набл-ий М (εi) = 0 для люб εi. Це ум-ие озн-т, що в ср случ откл-ие НЕ оказ-ють вплив на завис пере-ую, хоча в кожному з набл-ий вони м.б. покладе або отрицат, больш або малими, але не д.б.н. причини, щоб εi мало системат-ие откл-ия.

2). Мен-ії откл-ий пост-ни.

D (εi) = D (εj) = σ² = const i ≠ j.

Має на увазі, що не дивлячись на те, що в кожному з набл-ий вип откл-ия м.б. различ-ми, немає ніякої причини, що викликає більшу чи меншу помилку при опр-ії откл-ий.

Здійснимість цієї передумови наз-т гомоскедастичність, її невикона-ие гетероскедастичності.

Рассм-м, що це озн-т.

D (εi) = M (εi-M (εi)) ² =

По 1 ум-ію M (εi) = 0, тому = M (εi) ²

І => ум-ие м записати M (εi) ² = σ².

Причини і наслідок невикона-ия цієї передумови б розглянути-ть в загальному аналізі.

3). Случ откл-ие εi і εji ≠ j не залежить ін від ін. Це означає, що відсутність про-т систем-я зв'язок м / у 2 будь-якими парами откл-ий, тобто

Якщо це ум-ие вип-ся, то гов-т про відсутність про-ії а / КОРРЕЛ м / у вип откл-ми.

Це співвідносячи-ие ще перепис-т в формі M (εi, εj) = 0 (i ≠ j).

4). Случ откл-ие д.б.н. неза-мо від об'ясняющ-х пере-х. Зазвичай це ум-ие вип-ся автомат-ки, якщо пояснювати перем другі - відомі вів-ни.

Але м показати, що в принципі це виконан-ся в будь-яких мделях даного типу.

пояснення

5). Модель яв-ся лінійної отн-но її парам-ів βо β1.

Теорема Гаусса-Маркова.

Основ-ся на передумовах МНК.

Якщо все 5 предпос-к вип-ся, то оцінки коеф-в, получ-е за допомогою МНК облад-т слід сво-вами:

А). Оцінки яв-ся незміщеними, тобто

Б). Оцінки яв-ся заможними, тому що дисп-ии їх з ростом обсягу вибірки стрем-ся до 0.

Тобто ↑ обсягу вибірки призводить до стійкості оцінок коеф-в ур-ия. Рах-ся, що обсяг вибірки д удовл-ть соот-ію n> 3m-1, де m-кількість пояснюють пере-х.

В). Оцінки еф-ни, тобто вони мають найменшу дисп-ію розкиду отн-но теорет-х вів-н по срав-ію з такими ж оцінками отриманих з застосува-м і люб ін методів розрахунку.

У англомовний науч літературі ці оцінки получ-ли назву BLUE (блакитні оцінки) по первия буквах (наилуч лин складаються ефект). Якщо наруш-ся передумови 2 і 3, то дисп-ії откл-ий НЕ пост-ни, вип откл-ия пов'язані ін з ін і коеф-ти втрачають св-ва несмещен-ти і ефек-ти.

При етос б зроблені слід припущення:

1). Об'ясняющ перем перші НЕ яв-ся вип.

2). Случ вів-ни εi мають норм розпод-ие з пар-ми 0 і ε²

εi² ~ N (0; σ²)

Число набл-ий n> 3m-1 сущ-но> числа об'ясняющ перем-х. Відсутність про-т помилки специф-ії. М / у об'ясняющ перем-ми в разі m≥2 відсутність про-т зав-т (мультікол-ть).

Аналіз точності визначення оцінок коефіцієнтів регресії.

Изв-но, що мат очікування розрахунок коеф-в збігаються з їх теоретич вів-ми

При цьому чим <откл-ие оцінок від цих теоретичних вів-н, тим надійніше побудоване ур-ие.

Покажемо, що дисп-ії оцінок D (b1) і D (bo) непоср-но пов'язані з дисп-їй случ откл-ий в теоретич моделі D (εi) = D (εj) = σ² = consti ≠ j.

Для цього запишемо вів-ну b

позначимо за

= ΣСiyi

Аналог-но преобр-м знач-е для bo.

позначимо

= Σdiyi

Причому Ci і di -нек перші const рассчит-е за вибіркою, що очевидно з їх позначень.

Оцінимо тепер вів-ну дисп-ий для коеф-та b1

D (b1) = D (ΣCiyi) =

І тому ми знаємо значення для дисп-ії розкиду случ откл-ий, то м записати

= Σ²ΣСi² =

Т.ч. ми нали знач-ие дисп-ії на основі дисп-ії теоретич откл-ия ε.

Аналог-но для bo.

Ми м отримати, що вона дорівнює

D (bo) = D (b1) x²

Т.ч. дисп-ия розкиду коеф-та прямопропорц-на дисп-ії случ откл-ий => ніж> фак-р вип-ти, тим менш точними б оцінки і чим> число набл-ий у вибірці, тим менше б ці вів-ни розкидані.

Крім того дисп-ії обратнопропорц-ни вибороч дисп-ії об'ясняющ перем-й S²x, тобто чим ширше область вим-ий об'ясняющ перем-й, тим точніше б оцінки. Але в силу того, що дисп-ії случ теоретич откл-ий σ² нам неіз-ни, ми б їх замінювати несмещен-й дисп-їй розрахунок случ откл-ий.

,

де m- число об'ясняющ пере-х. Для парної реграм-ії .

Тоді стандарт откл-ия

Наз-ся стандартною помилкою в случ откл-ії. І для того, щоб рассч-ть дисп-ію розкиду коеф-в емпіреї-го ур-ия реграм-ії, ми б исп-ть формули

Перевірка гіпотез відносять-но коеф-ів лин ур-ия реграм-й.

Емпір ур-ия реграм-ії будуються на основі конеч вибірки, извлеч-й з генер сов-ти вип чином, тому як б показано коеф-ти ур-ия яв-ся случ вів-нами.

При проведенні ек аналізу перед иссл-лями оч часто метушня-т необ-ть порівняти розрахунок коеф-ти bo і b1 з недо-ми тео коеф-ми βо і β1.

Це срав-ие осущ-ся за схемою перевірки гіпотез. Предпол-м, пере-ся гіпотеза Але :, яка полягає в тому, що ці вів-ни збігаються.

Але: = b1 = β1. Тоді з нею конкуруючи перша гіпотеза Н1: не збігається. Як изв-но з тер.вера для перевірки таких гіпотез рассч-ся t стат-ка Стьюдента, кот-ая при справед-ти гіпотези але має розподіл-ие Стьюдента з числом ступенів свободи з парної реграм-їй

tb1 = (b1-β1) / Sb1

ν = n-2 (nm-1)

n - обсяг вибірки

m- кількість об'ясняющ перем-х

Гіпоеза Але б відхилена, якщо розрахунок знач-ие по модулю, тому що нам безрал-но в яку сто-ну відбулося откл-ие, опинимося-ся> або = вів-ної, знайденої з табл Стьюдента.

α-ур-нь знач-ти.

Рах-ся, що в ек завданнях α м приймати знач-я 0,05 або 0,01, тобто ми повіряти гіпотезу з вер-ма 95 або 99%.

α / 2 береться в зв'язку з тим, що откл-ие м.б. як негативні, так і покладе.

При невип-ії цього ум-ия рах-ся, що немає осн-ий для откл-ия гіпотези Але. Однак вів-ни теорет коеф-в як правило неіз-ни, тому на почав етапі аналізу розглянути-ся завдання про наявність зав-ти м / у фак-ми х і у. Ця проблема пере-ся на основі гіпотези Але: b1 = 0 зв'язку немає. З нею конкур-т H1: b1 ≠ 0 зв'язок присут-т.

У такий пост-ке гов-т, що пере-ся гіпотеза про стат знач-ти коеф-та ур-ия реграм-ії.

Якщо прихід-ся прийняти гіпотезу Але, то ми гов-м коеф-т незначну (занадто близький до 0) і відпо-ю об'ясняющ перем-ую швидше за все з ур-ия слід викл-ть. У проти разі коеф-т стат-ки значущий. Н указ-т на наявність опр-й лин зав-ти м / у фак-ми.

Тоді розр-ся стат-ка Стьюдента по співвідносячи-ю і за таблицями Стьюдента знаходять відповід-но вів-ну .

Якщо вона ≤ розрахунок вів-ни, то ми м сказати, що є осн-ия відхилити гіпотезу Але і прийняти Н1.

Коеф-т відмінний від 0. Для парної реграм-ии ми не б перевіряти стат знач-ть bo, тому що він тільки гаран-т проходження лінії реграм-ії ч / з ср точку вибірки.

Сущ-т грубе правило, позвол-її робити первонач висновки про поведінку коеф-в ур-ия при відсутність про-ії таблиць Стьюдента.

По ньому срав-ся вів-на помилки Sb1, допущеної при знаходженні коеф-та з вів-ної цього коеф-та.

А). Якщо станд помилка> ніж коеф-т, то 0 <| tb1 | ≤1. В цьому випадку гов-т коеф-т незначну.

Б). Якщо роботу не превосх-т половини вів-ни коеф-та, то 1 <| tb1 | ≤2. Гов-т коеф-т слабозначім.

В). Якщо вони відпо-ся в діапозоні 2 <| tb1 | ≤3, то коеф-т значущий.

Г). Якщо помилка <1/3 коеф-та, то 3 <| tb1 |, коеф-т сильно значущий. Це гарантія наявності практ-ки лин зав-ти м / у досліджуваними фак-ми.

Безусл- але на tb1 сущест вплив оказ-т обсяг вибірки n.

Чим> n, тим <погр-ть.

Але при n> 10 виписане грубе правило оцінки раб-т практично завжди.

Інтервальні оцінки коефіцієнта лінійного рівняння регресії.

Якщо для емпіреї ур-ия виконан-ся предпос-ки Гауса-Маркова, то ми м утвер-ть, що знайдені оцінки коеф-в б подчин-ся норм закону розпод-ия, в соот-ии з кот-м теоретич откл- ие εi розпод-ни нормально з пар-ми 0 і σ².

εi ~ N (0; σ²)

Це ум-ие соглас-ся з ум-ми центр межа теореми тер.вера, в соот-ии з кот-ой якщо вип вів-на випробувальний-т вплив оч великого числа независ-х вип вів-н, вплив кожної з кіт -их на цю случ вів-ну мало, то рассматр-ая случ вів-на має розподіл-ие близьке до нормального (асимптотично нормальний).

А ми пок-ли, що εi якраз відображають вплив, який чиниться на завис перем-ую фак-ми не включили-ми в модель, кіт-их в ек-ці як правило оч багато. Але їх вплив на у мало, інакше ми д.б.н. б їх вкл-ть в модель.

=> Якщо n≥3-1, то у нас вип-ся ум-ия центр перед теореми. Ми м гов-ть, що εi розпод-ни нормально, а це твердженням-т не тільки знайти найкраще BLUE оцінки для коеф-та, а й побудувати для них інтервальні оцінки, що дає визна-ті гарантії перевірки точності знаходження коеф-в при зміні результат-й вибірки.

Причому до-т b1 = ΣCiyi також як і у поясню-я перем-я, будучи лин комб-їй його вибороч вів-н yi при Ci = const, також б мати норм розподіл-ие. Причому ми пок-ли вже, що його мат очікування совп-т з вів-ної теорет к-та, а дисп-ия

=> До-т b1 має норм розпод-ие з пар-ми β1, D (d1).

Тому t стат-ка для коеф-та підпорядкована розпод-ію Стьюдента з довірить-й вір-ма γ = 1-α, що відпо-т утвер-ію

Тоді ми м записати, що вер-ть

У граф-м висловлю-ие, що стоїть в дужках

-tкрSb1≤b1-β1≤tкрSb1

-b1-tкрSb1≤-β1≤tкрSb1-b1

-b1-tкрSb1≤β1≤b1 + tкрSb1

Получ соот-ие дає довірить-й інт-л, кіт-ий з надеж-ма 1-α покриває теорет коеф-т β1.

Довірчі інтервали для залежної змінної.

Однією з осн-х завдань економетр аналізу яв-ся прогнозування-ие знач-ий завис перем-ой при опр-их знач-ях Хпр поясню-й перем-ой.

Тут возм-н двоякий підхід. Або ПРЕДСКАЗ-ся ум-е мат очікування поясню-й перем-ой при недо-ой поясню-й перем-ой Хпр. М (У / х = Хпр). Або прогноз-ся недо-е конкр значення завис перем-ой при відомого-му значенні поясню-й перем-ой. Тоді гов-т про пророкування конкр вів-ни

1). Передбачення ср значення.

Предпол-м, що ми побудували недо емпіреї значення парної реграм-ії ỹi = b0 + b1xi, на основі кіт-го хочемо передбачити ср вів-ну завис перем-й у при х = Хпр. В даному випадку рассчит-е по рівнян-ію вів-на ỹпр = b0 + b1xпр яв-ся тільки оцінкою для шуканого мат очікування.

Постає питання наскільки му ця оцінка откл-ся від ср мат очікування для того, щоб їй м.б. довіряти з надеж-ма γ = 1-α.

Щоб побудувати довірить інт-л, покажемо, що вип вів-на ỹпр має норм розпод-ие з недо-ми конкр пере-ми.

Ми знаємо, що ỹпр = b0 + b1xпр. Підставами в це ур-ие знач-ие для bo і b1, знайдене у вигляді лин комбінацій вибіркових вів-н поясню-й перем-й yi.

Тобто ми пок-ли, що розрахунок вів-на яв-ся лин комб-їй нормально розподіл-й вип вів-ни yi => вона дію-але має норм розподіл-ие і ми м рассч-ть пар-ри цього розподіл-ия М (Ỹпр) і D (Ỹпр).

М (Ỹпр) = M (bo + b1Xпр) = М (bo) + XпрM (b1) = βo + Xпрβ1

D (Ỹпр) = D (bo + b1Xпр) =

Оскільки bo вичисл-ся ч / з значення для b1, то вони м / у собою залежать і тому

= D (bo) + X²прM (b1) = 2cov (bo, b1Xпр) *** =

Рас-м вів-ну ковариации.

Замінимо вів-ну bo ч / з правило її обчислення з емпіреї ур-ия реграм-ии, аналог-но зробимо зі знач-му βо, записавши його знач-ие ч / з теорет ур-ие реграм-ії.

тоді отримуємо

-

це дисп-ия для значення b1

Ми знаємо вів-ну дисп bo і b1. Підставами сюди їх значення:

Перетворимо дане вир-ие додавши і віднявши до скобці

У цьому вир-ії замінюємо σ² несмещенной оцінкою по емпіреї ур-ію реграм-ії σ² = Σei² / n-2 і тоді ми м розрахувати Т стат-ку

, Одержуваного з значення теорет дисп-ії заміною дисп теорет откл-ия σ² на So², обчислюва-е за вибіркою Σei² / n-2. А тоді ми м, використовуючи табл Стьюдента, вич-ть вер-ть того, що | T | ≤tрасч

тоді ν = n-2.

І м порахувати, зробивши такі ж преобр-ия як для коеф-в ур-ия, що мат очікування нах-ся в інт-ле:

2). Передбачення індів знач-ий завис перем-й.

Припустимо, що нас інтер-т недо-е конкр-е знач-ие вів-ни завис-й перем-й yo. При її сопост-ии зі знач-м, кіт-е м.б. рассч-но по ур-ію реграм-ії.

Ми знаємо, що yo б норм розпод-но з пар-ми ỹ ~ N (βo + β1xпр; σ²). Одновр-но з цим

з таким же ср і дисп-їй, рассч-й для ỹпр.

Побудуємо новий перем-ую U = ỹo- ỹпр і нас б інтер-ть поведінку такої случ вів-ни.

М (ỹо- ỹпр) = М (ỹо) -М (ỹпр) = 0

D (ỹо- ỹпр) = D (ỹо) + D (ỹпр) =>

Кожну з кіт-их ми м оцінити, використовуючи вибір значення.

=> S² (ỹj-ỹпр) = S² (ỹо) + S² (ỹпр)

Кожна з них нам изв-на. Перша вів-на оціню-ся

Т.ч. ми м розр-ть стандарт її откл-ия в рез-ті чого отримали Трасч даної случ вів-ни.

Перевірка загального кач-ва ур-ия регресії. Коеф-т детермінації R ².

Розрахунок ур-ие реграм-ії завжди проходить так, що не всі точки вибірки належать цій прямій. Зазвичай воно лише частково пояснює поведінку точок вибірки. Сущ-т діаграма Венна, що дозволяє інтерпретує-ть ур-нь цієї оцінки.

5 графіків:

На з чим 1 х ніяк не впливає на поведінку У. 2, 3, 4 пок-т все подальше посилення впливу пояснює перем-й на що пояснюється. На 5 ф-р х повністю пояснює поведінку У.

Сумарної мірою загального кач-ва ур-ия реграм-ії яв-ся коеф-т детермінації R².

Пояснимо його сенс і покажемо методику обчислення.

Предпол-м, що ми рассч-ли емпіреї ур-ие РЕР-ії ỹ = bo + b1x.Тоді yi = ỹ + ei.

Рассм-м вів-ну откл-ия точок вибірки завис-й перем-й від їх ср вів-ни.

Перетворимо цю різницю додавши і віднявши від неї відпо-е знач-ие, рассчит-е по ур-ію реграм-ії.

Тоді 2 слогани - та частина, кот-ая не пояснили в цьому откл-ие ур-ем реграм-ії, а 1 це частина пояснена ур-ем реграм-ії. Получ вир-ие зведемо в квадрат.

і підсумуйте-м по всьому знач-м i.

Рассм-м середовищ слоган

Ми отримали знач-ие для мат очікування вів-ни

Розділимо це рав-во на лев частина.

В лев сто-ні записана частка розкиду точок вибірки отн-но ур-ия реграм-ии і частка розкиду не пояснена цим ур-ем.

Тобто пояснена частка розкиду, якщо її прийняти за коеф-т детер-ії ур-ия б опр-ся як

Очевидно, що 0≤R²≤1, тобто коли Σei² = 0, всі крапки вибірки лежать а прямій лінії реграм-ії, то R² = 1 ідеальний вар-т.

А якщо збігається з дисп-їй розкиду пояснюється перем-й, тобто ур-ие реграм-ії нічого не пояснило в поведінці завис перем-й R² = 0.

Возм-ни ум-ия наруш-ия цього співвідносячи-ия, при кіт-их R²≤0. Вони пов'язані з тим, що не маю рації-но обрана специф-ия моделі, тобто вид зав-ти м / у х і У.

Якщо модель будується на основі даних брешемо-х рядів, то R² як правило нах-ся в діапазоні 0,6≤R²≤0,7.

Покажемо як в разі парної реграм-ії коеф-т детер-ії пов'язаний з вів-ної вибороч-й КОРРЕЛ-ії м / у перем-ми х і У.

Для цього випишемо частку розкиду, пояснення ур-ем реграм-ії.

Запишемо замість b1 його вів-ну:

Числ-ль і бозна-ль преоб-м для чого помножимо їх на Σ квадратів откл-ий по об'ясняющ перем-й

Зауважимо, що

Тоді ми в нашому висловлю-ії

Множинна лінійна регресія.

Общеіз-но, що на люб ек пок-ль найчастіше оказ-т вплив не 1, а якісь мно-під ф-рів. Тоді ми д исп-ть ур-ие множест реграм-ії y = βo + β1x1 + β2x2 ... + βmxm + ε, те.е знач-ие у залежить від m ф-рів.

При m≥2, реграм-ия рах-ся множест-й. Якщо ми складемо недо-ий вектор

m х 1, то ми м розглянути-ть як ур-ие заданий в векторно-матричної формі, сформувавши з значень об'ясняющ-х перем-их якусь матрицю, рядками кіт-ий яв-ся значення поясню-й перем-й, що входять до 1 вибіркову компоненту.

Стовпці представлені наборами значень кожного з фак-рів, що входять в модель.

Тоді сов перші знач-ия завис перем-й м.б. предст-ни у вигляді по-ра стовпчика.

Случ откл-ия також м розглянути-ся як недо-ий стовпець

Але виходячи з того, що в моделі при βо завжди коеф-т = 1, то матрицю значень поясню-их перем-их поповнюють 1-м стовпцем, що складається з 1 і позначу-т за Х.

Ця матриця має розмірність nx (m + 1).

Ур-ие реграм-ії в матрично-вей формі ми м представити як У = Хβ + ε

При цьому д вип-ся ум-ие n≥3m-1 і все ум-ия Гауса-Маркова, кіт-ті коротко запишемо у формі

1). М (εi) = 0 для люб i.

2). D (εi) = D (εi) = σ² для люб i і j

3). Відсутність про-т зв'язок м / у откл-ми

4). Случ откл-ВМ не залежать від об'ясняющ перем-их cov (εi; xi) = 0.

5). Модель лінійна отн-но розрахунок пар-ів, але в ур-ях множест реграм-ії метушня-т необ-ть виконан-ия ще одного ум-ия.

6). У моделі відсутність про-т соверш мульт-ть м / у об'ясняющ перем-ми. Нап-р: в модель не можна одновр-но включати дані річні і квартальні в цьому ж році, тому що річні склад-ся з поквартальних.

7). Як уже б показано для исп-ия t стат-ки і розрахунку стандартів откл-ий д вип-ся вимога про те, що вип откл-ия εi мають норм розпод-ие εi ~ N (0; σ²). Здійснимість цієї передумови дає возм-ть при соотв-ии моделі осн вимогам моделі Гауса-Маркова утвер-ть, що ми знайшли найкращі оцінки коеф-в ур-ия, ніж м б їх отримати, використовуючи люб ін метод знаходження.

Предпол-м, що ми вирахували оцінки коеф-та, тоді ур-ие множест реграм-ии, побудоване на основі вибірки, б запису-ть в формі аналогич записи в парній реграм-ії.

ỹ = bo + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm

y = bo + b1x1 + b2x2 + ... + bmxm + e, де е - вектор розрахункових откл-ий

І для будь-якого набору значень ф-рів в вибірці б вип-ся

ỹi = bo + b1xi1 + b2xi2 + ... + bmxim

yi- ỹi = ei

А тоді за методом МНК ми м опр-ть ф-ію Q = Σei² = Σ (yi-bo-b1xi1-b2xi2- ... -bmxim) ²

І знайти від цієї ф-ії част похідні по її парам-м (коеф-там ур-ия).

Отримуємо сис-му з m + 1 ур-ия з m + 1 неизв-м. Якщо її прирівняні до 0, то отримаємо сис-му лин ур-ий отн-но коеф-в ур-ия реграм-ии, кот-ая завжди б мати єдності рішення, тому що ми м домогтися того, щоб опр-ль сис-ми був ≠ 0.

Але в тих випадках, коли кількість об'ясняющ перем-х m> 2, рішення таких сис-м нач-т викликати труднощі, тому розрахунок коеф-в роблять в матрчно-ВЕКТА-й формі.

Розрахунок коефіцієнтів множинної лінійної регресії.

Предпол-м, що результат вибірка предст-на як

Век-р шуканих коеф-в і вектор откл-ий

Тоді вів-на Q м.б. запису-на у вигляді произв-ия 2-х століття-рів як

А Ỹ б опр-ся як

=> Е = У-Ỹ

, Тому що транспонування озн-т, що рядки стан-ся стовпцями і навпаки.

Але тому що Q -нек-е число, то кожне з висловлю-й тут також з себе предс-т число.

При трансп-ії матриця сост-ая з 1 ел-та переходить сама в себе.

Восполь-ся цим св-вом і доведемо, що 2 і 3 слоган в вир-ії совп-т. Для цього транспон третьому будь-яке з них.

2).

Знайдемо похідну від цього вир-ия по кожній із компонент в-ра В.

Розпишемо в явному вигляді значення для 2 і 3 висловлю-ий, т.кк виробниц від 1-го склад-го по люб bj = 0.

Тоді виробниц-я по люб з значень bj м.б. предст-на як ел-ти твори з відповід рядки цієї матриці (століття-ра-стовпчика), тобто

Рассм-м тепер останнє з слоган, але спочатку розпишемо матрицю

Розмір-ть 1-й (m + 1) n, 2-й n (m + 1)

Розмір-ть підсумкової (m + 1) (m + 1)

Отримана матриця завжди симетрії-на отн-но глав діагоналі, тому що під знаком суммир-я множники м поміняти місцями.

Б вважати, що ел-ми матриці Z яв-ся Zij, причому, щоб не запису-ть нульові рядок і стовпець, додані до вибірки.

Z = (Zij) i = 1, m + 1

j = 1, m + 1

Б вважати, що ел-ти Z мають індекси:

,

де індекс 0 соотнес з цієї доданої рядком і стовпцем.

Тоді все висловлю-ие б одно

Тоді при вичіл-ії виробниц-й від такого висловлю-ия кожна виробниц-я по bj б зустрічей-ся двічі: 1-й раз у зовн суммир-ії, 2-й у внутр.

Тому виробниц-й від 3-го слоган б рав-на:

І щоб знайти значи-я для повік-ра В, ми д цю виробниц-ю прирівняти до 0.

Загальна вираз для знаходження коеф-в в ур-ях множест регресії.

Значення для ел-тів століття-ра B при m = 1 і m = 2получіть на практиці в загальному матричному вигляді, що дозволить зрозуміти принцип знаходжу-ия коеф-в ур-ий з люб кол-вом об'ясняющ перем-их.

Але при вирішенні завдань з 2 об'ясняющ перем-ми (m = 2) ми б користей-ся перетворений-ми знач-ми, получ-ми із загального вигляду m = 2 в формі:

Для b2 отримуємо симетрично

bo - ум-ие проходження ч / з середню точку вибірки.

1-3 (дисп-ії откл-ий) м.б. отрицат. 4-6 (ковариации) м.б. люб

Дисперсії і стандартні помилки коефіцієнтів.

Їх знання позвол-т аналіз-ть точність знайдених оцінок коеф-в, будувати їх довірить інтер-ли і перевіряти відпо-ие гіпотези.

Найбільш зручним для такої перевірки знач-я дисп-ий і станд откл-ий, записи-й в матр-но-векторній формі.

Якщо ми запишемо вектор теорет откл-ий

,

введемо допоміжні століття-р I, що складається з од-ц

,

то ми зможемо, використовуючи единич матрицю, записати матрицю ковариаций случ откл-ий в формі:

D (εi) = D (εj) = σ²

Виходячи з цього К (ε) = σ²Е, де Е-единич матриця.

Ум-ия Гауса-Маркова б виглядати:

1). Мε) = 0

2). D (ε) = σ²I (століття-р единич)

3). К (ε) = σ²Е

Рассм-м, коли знач-я для коеф-в з урахуванням їх співвідносячи-ия з тео коеф-ми з ур-ия реграм-ії.

Вимкнути-ие теорет століття-ра від розрахунок

Побудуємо ковариационную матрицю для теорет коеф-в, використовую получ-е соот-ие.

Оскільки матриця симетрії-на віднесенні-но глав діагоналі, то обрат до неї матриця теж сіммет-на =>

Крім ε все значення яв-ся const з вибірки. Тому множ-ли можна винести з мат очікування, зберігши порядок множення.

=> Для люб знач-ия коеф-та bj ми можемо уявити единич дисп-ію його вів-ни ч / з вибороч знач-я, знаючи що оцінкою для σ² яв-ся

σ² → So² = Σei² / nm-1, а з матриці зворотного ми візьмемо відпо-й ел-т з глав диаг-ли матриці Z.

А тоді ми получ-ем возм-ть рассч-ть t-стат-ку.

При перевірці гіпотез отн-но коеф-в ур-ие множ реграм-ії також як і для ур-ия парної реграм-ії. Відмінність полягає в тому, що при побудові довірить інт-ла отн-но завис-й перем-й у.

. Для мат очікування →

В іншому, висловлю-е для довірить інтер-в повністю відпо-т значенням довірить інт-в в ур-ях парної реграм-ії.

Аналіз якості емпіричних рівнянь і безлічі лінійних регресій.

Побудова емпіреї ур-ия яв-ся початковим етапом емпіреї аналізу. 1-е побудоване Ур-ие за наявною вибірці оч рідко яв-ся удовл-м по всьому хар-м. Тому слід найважливіше завдання - перевірка кач-ва ур-ия.

У економет-ке прийнята усталена схема такого аналізу. Вона провод-ся по слід напр-ям:

1). Перевірка стат знач-ти коеф-в рассматр-го ур-ия реграм-ії.

2). Перевірка загального кач-ва ур-ия.

3). Перевірка св-в даних, здійсненність кіт-их призначалася при оцінюванні ур-ий, тобто це перевірка ум-ий Гауса-Маркова.

1). Перевірка стат знач-ти коеф-в рассматр-го ур-ия реграм-ії.

Як і в парних ур-иях, ця перевірка справ-ся на основі t-статистик.

Тобто рассч-ся tbj = | bj / Sbj |.

І якщо | tbj |> tкр, то коеф-т рах-ся значущим.

Якщо | tbj |

Його присут-ие в ур-ии невиправдано зі стат точки зору, і він м лише спотворювати реальн картину взаємозв'язків. Тому рекоменд-ся такі ф = ри з ур-ия виключати.

Найчастіше, сувору перевірку м не робити. Досить і грубої оцінки.

| Tbj | ≤1 - не означає

1 <| tbj | ≤2 - слабо значущий

2 <| tbj | ≤3 значущий

3 <| tbj | - сильно значущий.

Коеф-т викл-т, якщо | tbj | ≤1

2). Перевірка загального кач-ва ур-ия.

Для цього, як і в парній реграм-ии, исп-ся F стат-ки.

Fкр = Fα1, υ1, υ

υ1 = mυ2 = nm-1

І також, як в t стат-ке, якщо Fрасч> Fкр, то ур-ие рах-ся значущим.

Як б показано, 0

Але для того, щоб співвіднести ур-нь детермин-ии з кожним з поясню-их ф-рів, його коррет-т на число ступенів свободи у вихідній вибірці. Вводять скоррек-й коеф-т

Тобто в знаменнику записана несмещенная оцінка загальної дисп-ії независ-й змін-й. А в числ-ле ми рас-м вів-ну, відпо-ую So² = Σei² / (nm-1).

В цьому випадку соот-ие м.б. предст-но ч / з вихідне значення коеф-та детермінації:

Зазвичай привід-ся дані як для одного, так і для ін коеф-та детерм-ії. Але абсолютизувати ці пок-ли не можна.

Сущ-т мно-під вар-тов, коли при високому знач-ії R² (R² → 1), не б вип-ся ум-ий Гаусса-Маркова, і ур-ие опинимося-ся низького кач-ва.

Аналіз статистичної значущості коефіцієнта детермінації.

Він пере-ся по Fтат-ке. Перевірка соот-т гіпотезі Ho: β1 = β2- ... βm = 0.

Якщо Fрасч≤Fкр, то Десаї висновок, що сукупність вплив всіх поясню-х пере-х, ісп-х в моделі, яка не залежатиме пере-ю стат-ки не означає. У ур-ия низьке кач-во.

Якщо ж гіпотеза откл-ся (Fр> Fкр), то пояснена дисп-ия розкиду завис-ой пере-й порівнянна з дисп-їй, викликаної случ откл-ми. Очевидно, що R і R² = 0 або ≠ 0 одновр-но. А це означає, що по МНК наилуч-я линяючи реграм-ії ỹ = yср, а => у лин не залежить від поясню-их пере-х.

У випадках парної реграм-ии, перевірка нульової гіпотези для R² рівносильна перевірці на стат значимість t стат-к зі співвідношення

тому m = 1, ar² = (rxy) ²

Перевірка рівності 2-х коефіцієнтів детермінації.

Заснована на ісп-ії стат-ки Фішера для перевірки необх-ти включення або викл-ия в ур-ии множест реграм-ії доп осягнути-их пере-х.

Припустимо, що ізнач-но побудовано ур-ие, утримуючі-її m поясню-их пере-х:

і для нього обчислимо коеф-т детерм-ії R²I. Виключимо з вих-ой вибірки все об'ясняющ пере-ті, що мають номер> ніж до. Тоді, за ост вибірці ми м побудувати ін ур-ие реграм-ії:

ŷ і для нього опр-м R²II. Завжди R²II≤R²I, тому що включ в модель кожн доп пере-й поясню-т ще якусь частку її розкиду отн-но ур-ия реграм-ії. Тоді нас інтер-т на скільки кач-во одного ур-ия отлич-ся від кач-ва ін ур-ия.

Тому гіпотеза Але полягає в тому, що коеф-ти детер-ії збігаються (кач-во однакове), а з нею конкур-т Н1.

R²I = R²II - кач-різному.

У відпо-ии з ними рассч-ся R²стат:

, Де mk - кількість исключ поясню-х пере-х.

Якщо Fрасч≤Fкр, то кач-во ур-ий наблизить однаково, значить пере-ті исключ-ни правильно.

Якщо F розр> Fкр, кач-во ур-ий сущ-но разл-но, і ми не д.б.ісключать ці пере-ті.

Зауваження: зазвичай на практиці не викл-ся одновр-но кілька поясню-х пере-их. Їх беруть по одному і кожен раз рах-т F стат по співвідносячи-ю:

, Де k - кількість исключ поясню-х пере-х. Як правило k = 1.

При цьому м викл-ть наступні поясню пере-е, а будь-яку, починаючи з тих, у кіт-их mint стат.

Таким же чином м йти перевірка целесообр-ти включення доп поясню-х пере-х в результат модель.

Припустимо, що це б модель I, і ми до неї додали Р поясню-х пере-х.

Розр-ли 3-ю модель:

і у нього коеф-т детерм-ії R²III.

Тоді рах-т Fстат = (R²III-R²I) / (1-R²III) * [n- (m + p)] / p і її перевіряють по F кр Фішера.

Перевірка гіпотези про збіг рівнянь 2-х різних вибірок.

Це ще одне напр-ие исп-ия F-стат Фішера. Така перевірка справ-ся тестом Чоу, кіт-ий сост-т в:

Нехай є 2 вибірки обсягу n1 і n2. У кожної постоїть своє ур-ие реграм-ії

для n1

для т2.

І ми хочемо перевірити отл-ие і

тоді:

Припустимо, що ми рассч-ли Σ квадратів откл-ий для цих ур-ий

Потім по об'єд-й вибірці (n1 + n2) побудуємо ур-ие реграм-ії.

і для нього також обчислимо

і потім вважаємо Fстат, що порівнює ці суми квадратів откл-ий.

. Тоді Fкр = Fα. υ1 = m + 1 υ2 = (n1 + n2) -2m-2. Тому що для S ми маємо (n1 + n2) -m-1 ступенів свободи.

для + ступенів свободи

= (N1 + n2-2m-2).

Тоді, якщо Fрасч

І ми м исп-ть будь-яка з ур-ий, рассч-х по цим вибірках, тобто вибірки м.б. об'єднувати.

Таку перевірку прихід-ся робити при побудові дин рядів. Припустимо, ми будуємо ур-ие парної реграм-ії обсягами продажів. min авто з to до t2. При цьому знаємо, що в t1 змінені мита, те.е. вим-сь інституцій середу.

За (to до t1) є вибірка n1 і ур-ие .

За (t1; t2) вибірка n2 і ур-ие

А потім по об'єд вибірці будуємо обязат ур-ие ỹ

Графік.

Якщо Але не откл-ся, то ми реально м будувати ỹ по сов-й вибірці без урахування інституцій вим-ий і исп-ть його для прогнозу на ((t2-to) / 3)

Перевірка здійсненності передумов МНК.

Перевірка на відсутність про-ие а / КОРРЕЛ залишків (ста-ка DW)

Стат знач-ть коеф-в ур-ия реграм-ии і близькість од-ці к-та детерм-ії ще не гаран-т вис кач-во побудованого ур-ия, тому що му не вип-ся якісь з передумов Гауса-Маркова.

Однією з таких предпос-к яв-ся неза-ть вип откл-ий ін від ін, що гаран-ся ум-ем

Послід-ая КОРРЕЛ-я откл-ий наз-ся а / КОРРЕЛ і показ-т, що якщо побудована упорядоч-я по вр-ні (або номерами вибірки) послід-ть откл-ий, то це озн-т, що або у вибірці викон-ни перехрещення знач-я або заданий часів-й ряд, в кот-м послід-ие вів-ни генерує-ся Попер-ми. Тому в викладках м исп-ся обозначеія

, Тобто откл-ия сусідні по вр-ні.

В ек завданнях як правило зустрічей-ся покладе а / КОРРЕЛ і дуже рідко возм-на отрицат.

В больш-ве випадків це пов'язано з тим, що в моделі відсутність про-т недо-ий ф-р, кіт-ий пов-т на поясню-ую пере-ую в постоян напр-ії.

Сутність а / КОРРЕЛ м пояснити на слід прикладі.

Предпол-м иссл-ся попит У на прохолоду напої в зав-ти від доходу Х для домохоз-ва по среднемес даними. Предпол-м, що трендова зав-ть, побудований-я по цій вибірці у вигляді ур-ия парної реграм-ії.

б описание-ся недо-ой лінією

Графік.

Але реал потреб-ие прохолоду напоїв безуслов-но залежить від пори року й-ні роки. Тобто фактич-е т вибірки в зав-ти від сезону року б нах-ся або все вище або все нижче лінії.

Аналог картина набл-ся в макро по циклам ділової акт-ти.

Покладе а / КОРРЕЛ озн-т, що в бол-ве випадків за покладе откл-ми слід-т полож, а за негативні негативні перші, що і озн-т однонапр-ую зв'язок м / у откл-ми - коваріація полож- на.

Серед осн-их причин, викликаючи-х наявність а / КОРРЕЛ зазвичай вид-т:

1). Помилки специф-ии моделі, тобто не врахування в моделі якоїсь важливої ​​поясню-й пере-й або неправий-й вибір форми зав-ти.

2). Інерція в изм-ие ек пок-лей. Багато ек пок-ли (інф-ія, безробітного-ца, обсяг ВНП) облад-т опр-й циклич-ма, зв-й з волнообр-ма.

Нап-р ек підйом призводить до зростання зайнятий-ти, скор інф-ії, ↑ ВНП. Він продов-ся до тих пір, поки вим-ия кон'юнктури ринку та ряду ін ек хар-к ринку не приведуть до спізнюся-ію зростання, потім його ост-ке і далекої-му зниження пок-лей. Але в люб випадку ця трансформ-ия осущ-ся спізнюся-но і облад-т опр-й інерцією.

3). Ефект павутини. У багатьох ек процесах і в пр-ве пок-ли реаг-т на изм-ие ек ум-ий з тимчасовим Лабом.

Нап-р: пропоз-ие с / г прод-ії реаг-т на изм-ие ціни на неї з запазд третьому = періоду до отримання нов врожаю.

Велика ціна в минулому році викличе зростання про-ва в цьому році. Швидше за все вироб-т її Переприймання-під => ціна ↓, в слід році б ісп-ни під зернові <площ => ціна ↑ і т.д. поки не уст-ся рівновагу.

4). Згладжування даних. Общеізв-но, що брешемо тренди стр-ся на основі згладжені-ия даних за часом рядах.

=> Кожна слід перша середня в нашому вар-ті входити 2 Попередній знач-ия, тобто ср зав = т ін від ін. І це служить причиною наявності покладе а / КОРРЕЛ у брешемо рядів.

Наслідки і способи виявлення автокореляції. Графічний метод.

Якщо регрес-я модель рассч-сь по МНК, то

1). Оцінки пар-рів ур-ия залишаючись несмещ-ми отн-но середнього перестають бути еф-ми, тобто найкращими з усіх возм-х.

2). Мен-ії цих оцінок вичисл перші по станд формулами б зміщеними в сто-ну убування, що спричинить за собою зр-е t-статистик.

що м привести до визнання стат-ки знач-ми (tbj> tкр) тих пере-х в ур-ии, кіт-ті такими, що не яв-ся.

3). Вів-на So² = Σei² / (nm-1) також надамо-ся зміщеною отн-но теоретич дисп-ії откл-ий σ², а тому застосування t і F статистик опинимося-ся необоснов-м, б отримані неправий-е висновки по моделі і ухуд-ся її прогозние кач-ва.

Щоб виявити а / КОРРЕЛ ісп-т неск0ко методів.

Графічний метод.

В цьому випадку стр-ся графіки, зв'язок-ие номер вибору вибіркової компоненти або час, для кіт-го взята пере-я і відпо-ие знач-ия для откл-ий, получ-х виходячи з рассчит-го ур-ия реграм -ії.

4 графіка.

На перших 3-х графіках зобр-на недо-ая зав-ть вів-ни откл-ия від № вибіркової пари. М предпол-ть, що в моделі присут-т а / КОРРЕЛ залишків. На 4 графке такий зав-ти немає, тому ми м предпол-ть відсутність про-ие а / коррк. Причому рах-ся, що ≈ 10% точок м.б. неподчінени осн зав-ти і а / КОРРЕЛ відсутність про-т.

Метод Дарбіна-Уотсона.

По ньому рассч-ся до-т а / КОРРЕЛ залишків першого пір-ка, кіт-ий совп-т зі знач-м коеф-та вибороч-й КОРРЕЛ

Але ми знаємо, що мат очікування (пор знач) откл-ий = 0 в методі МНК => отримали

Але на практиці для такого аналізу ісп-т стат-ку DW, для кот-й ім-т розрахунок-е таблиці

Покажемо, що ці вів-ни дію-але совп-т. Для цього преобр-м числ-ть

Остання Σ отл-ся від першої на 1 слоган. А тому знач-е ei невеликі, то ми м предпол-ть, що вони м / у собою совп-т. тоді

≈2Σei² -2Σeiei-1

тоді

А тому ми предпол-ли, що Σei² ≈Σei-1², то

=> Ста-ка DW б вести аналог-но поведінки вибір коеф-та КОРРЕЛ м / у откл-ми.

Якщо r eiei-1 = 1, DW = 0

r eiei-1 = 0, DW = 2

r eiei-1 = -1, DW = 4

Тобто все знач-я цієї стат-ки нах-ся в інт-ле (0; 4) при 2 а / КОРРЕЛ залишків відсутність про-т. І питання закл-ся в тому, наскільки му ця стат-ка відкл-ся від 2, щоб ми м утвер-ть, що а / КОРРЕЛ відсутність про-т.

Таблиці DW побудовані С.О., що в соот-ии з заданим n вибираючи-ся опр-ая таблиця, входами в кот-ую яв-ся m-число пояснюють пере-х і n- обсяг вибірки

Таблиця

Предпол-м n = k і в моделі ісп-ни m = 2. Тоді з таблиці б знайдені 2 числа dl і du, dl

У зав-ти від того, куди потрапить значення DW, ми м робити висновки про наявність або відсутність про-ії а / КОРРЕЛ залишків в моделі. Але тому що за цим методом ми нічого не м сказати закінчать-но при попаданні в зони неопр-ти.

Метод рядів.

Заснований на обліку чергування знаків у відхилень ei. Для цього надходять С.О. Нап-р для нашої задачі, рассч-й для парної реграм-ии, виставимо остан-ть знаків по откл-ію.

(-) (++) (-) (+++) (-) (++) n = 12

Потім об'єд-ся інте-ли співпадаючих знаків. Кожна з образ-их послід-тей наз-ся рядів (ряд одинак ​​знаків). У нашій задачі к = 6. Кількість одинак ​​знакв в відділ-му ряду наз-ся довжиною ряду. Якщо рядів сущ-но мало по отн-ію до обсягу вибірки n, то вір-на покладе а / КОРРЕЛ, а якщо їх багато, то возм-на отрицат а / КОРРЕЛ.

Для більш детального аналізу поступ-т С.О. Нехай n - обсяг вибірки. n1 - кількість покладе знаків. n2 - отрицат. У нашому випадку n1 = 7 n2 = 5.

При досить великій кількості спостережень n> 20, ми м порахувати мат очікування кількості рядів знаків.

і дис-ію розкиду цього кол-ва рядів

Тоді, якщо прийняти, що мат очікування м оцінити ч / з таблиці розподіл-ия кількості рядів, кіт-е д нах-ся в інт-ле , То при попаданні в цей інт-л а / КОРРЕЛ залишків б відсутність про-ть.В іншому випадку, якщо , То у нас покладе а / КОРРЕЛ, а якщо k≥ - отрицат. Для такого розподіл-я б побудовані таблиці Екхарда, в соот-ии з кот-ми м опр-ть нижню і верхню гр-цу числа К. К1

Таблиці мають стр-ру

Нижня межа К1

Таблиця має своб поля. Якщо потрапляємо в своб поле, то к1 вибираємо найменший в цьому рядку.

Верхня гр-ца К2.

Вибір осущ-ся також як для К1 і знач-я беруться для своб полів також як і в 1 випадку.

В отл-ии від критерію DW цей метод дає однозначний відповідь, причому н пам'ятати, що метод DW застосуємо для регрес моделей, утримуючі-х в кач-ве поясню-х пере-х недо-ті лагові поясню вів-ни. Навіть якщо цей лаг має 1 пер-д. Нап-р в моделі . Для таких моделей исп-ся спец n-стат-ка Дарбина, по кот-й , де - обчислюва-ся з стат-ки DW. Зазвичай її приймають = 1-1 / 2DW, тому що .

зазвичай при-т рівній квадрату станд-й помилки коеф-та при лаговой змінної. У нашому прикладі .

Методи усунень автокорреляции.

Изв-но, що осн причиною наявності в ур-ие реграм-ії случ откл-ия яв-ся не врахування всіх об'ясняющ перем-х в моделі і помилки у виборі зав-ти.

Тому усувати а / КОРРЕЛ поч-т з того, що пробують ввести в модель ще якусь сущест (значиму) об'ясняющ пере-ую. Якщо це не допомагає, то намагаються виходячи з теоретичних знань вим-ть форму зав-ти в моделі.

Але якщо всі розумні прийоми совершенст-я моделі вичерпані, а а / КОРРЕЛ все-таки сохр-ся, то м предпол-ть, що вона пов'язана з якимись внутр св-вами пере-й.

Тоді в моделях вдаються до а / регресійний преобр-м, суть кіт-их закл-ся в слід третьому.

А / реграм преобр-е 1 пор-ка получ-т С.О. Запис-т теорет модель для нек-го року t

yt = βo + β1xt + εt

Тоді для попереднього року вона б мати вигляд

Віднімемо з 1 ур-ия 2.

В цьому випадку ми отримуємо модель, побудовану на прирощених пере-х на рік t.

Δyt = β1Δxt + Ut, де Ut - вип вів-на = εt - εt-1

Для таких моделей результат вибірка скор-ся на 1 і якщо n-1> 3m + 1, то ми м побудувати нову модель включає в себе своб член bo, кіт-ий б гаран-ть проходження ч / з ср точку новий вибірки.

Δỹt = bo + b1Δxt + Ut

Δỹt * = bo + b1Δxt * + Ut

У такій моделі а / КОРРЕЛ остаткв вже напевно б відсутність про-ть. Якщо ж обсяг вибірки не дозволю-т зменшити її на 1, то вдаються до допом преобр-ям вих-х пере-х з исп-ем стат-ки DW.

У цих випадках також а / Крело з моделі б.устран-ся.

Крім методу різниці прим-ся ще неск-ко методів. Нап-р коли в кач-ве новий пере-й вводяться непов напівсуми значень пере-х по вибірці, а тільки їх половинні вів-ни.

yt * = (yt + yt-1) / 2

xt * = (xt + xt-1) / 2

Метод исп-ия згладжені по люб кількістю інтервалів вим пере-их. Але все-таки перш ніж исп-ть ці допом методи, необ-мо спочатку спробуйте-ть зм-ть специф-ІБ моделі.

Мультіколлініарность.

Якщо об'ясняющ пере-ті пов'язані суворої лин зав-ма, то гов-т, що м / у ними сущ-т соверш мульт-ть. На практиці м столконуться ні з соверш, а з сильною мульт-ма, тобто коли ур-нь корелює-ти м / у об'ясняющ-ми пере-ми> 0,7.

| Rxkxj |> 037

0≤ | rxkxj | ≤1

Мульт-ть яв-ся проблемою для ур-ий множест реграм-ії. Покажемо як вона прояв-ся в ур-ии множест реграм-ії при m = 2 і при ум-ії, що м / у х2 і х1 сущ-т сувора лин зав-ть.

х2 = γo + γ1x1

Тоді ỹ = βo + β1x1 + β2x2 + ε

ỹ = βo + β1x1 + β2 (γo + γ1x1) + ε = (βo + β2γo) + (β1 + β2γ1) x1 + ε =

Позначимо вир-ия, чтоя в дужках за АТ і а1 = АТ + а1х1 + ε

Отримали ур-ие парної реграм-ії, в соот-ии з кот-м, використовуючи метод МНК, знайдемо значення для оцінок а0 і а1. Але від цих оцінок ми не зможемо перейти до оцінок коеф-в вих ур-ия βo β1 β2, тому що отримали для їх опр-ия всього 2 ур-ия.

{АТ = βo + β2γo

{А1 = β1 + β2γ1

γo і γ1 нам изв-ни.

Т.ч. соверш муль-ть позвол-т однозначно опр-ть коеф-ти в ур-ии множест реграм-ии, тому що таких коеф-в завжди б на 1>, ніж ур-ий => не зможемо зробити висновки про знач-ти цих коеф-в і не зможемо опр-ть який внесок дає кожна з поясню-х перем-х в поведінку завис перем- й.

Але соверш мульт-ть буває тільки на теорії, на практиці зазвичай возм-на сильна мульт-ть. В цьому випадку зав-ть наз-ся несоверш мульт-ть.

Графічно це сост-ие м проіллюстр-ть с.о .:

4 графіка:

1) Муль-ть відсутність про-т. Кожна з поясню-х перем-х оказ-т изолир-е вплив на у. 2) і 3) м / у х1 і х2 сущ-т зав-ть, кот-ую м зм-ть ч / з коеф-т вибороч КОРРЕЛ rх1х2.

Тоді 1) | rx1x2 | <0,3

2) 0,3≤ | rx1x2 | ≤0,7 - м / у поясню-ми перем-ми возм-на несоверш мульт-ть.

3). | Rx1x2 |> 0,7 - м / у перем-ми сущ-т несоверш мульт-ть.

Остан-ия наявності мульт-ти:

1). Великі вів-ни дисп-ії оцінок, а => станд помилок коеф-в. Це расшир-т інт-ли для коеф-в ур-ий і м вплинути на правильність висновку про стат знач-ти коеф-та.

2). Оскільки ↓ t стат-ка, то ми м невірно опр-ть стат знач-ть осягнути-их перем-х і не взяти в модель ту з них, кот-ая дію-але опр-т поведінку завис перем-й. Крім того коеф-ти ур-ия стан-ся дуже чувствит-ми до будь-яких зм-ям у вибірці.

3). Возм-но отримання невірного знака і коеф-та рівняння.

Визначення мультіколлініарності.

Сущ-т неск-ко методів, по кот-м м.б. уст-но наявність в моделі мульт-ти пере-х. Непрямими ознаками її наявності М.Б:

1). До детерм R² високий, але недо-ті з коеф-тів реграм-ії стат не значимі, тобто мають низькі t стат-ки.

2). Парна КОРРЕЛ-я м / у об'ясняющ перем-ми rxixj дост-но висока. Ця ознака б надійність-м тільки в разі 2-х поясню-х пере-х. При їх> кол-ве більш целесообр-но вико-ие частн коеф-в КОРРЕЛ-ії.

3). Част к-ти КОРРЕЛ високі. Вони опр-т силу лин зав-ти м / у будь-якими 2 перем-ми без урахування впливу на них ін пере-х.

Вимір-е сили такої лин зав-ти, коли rxy очищений від впливу всіх ост-х пере-х наз-т част коеф-м КОРРЕЛ. Нап-р, в разі ур-ия множест реграм-ии з 3 об'ясняющ пере-ми, ми м розрахувати коеф-т част КОРРЕЛ м / у пере-ми х1 і х2 без урахування впливу 3 перем-ой. Такий коеф-т позначу-ся

З цього співвідносячи-ия вже м зробити висновок, що коеф-т част КОРРЕЛ сущ-но отл-ся від коеф-та парної КОРРЕЛ-ії r12.

У загальному випадку коеф-т част КОРРЕЛ м / у поясню-ми пере-ми xi і xj при ум-ії, що i .

Наведемо без док-ва формулу для розрахунку люб к-та част КОРРЕЛ в моделі, утримуючі-й m-поясню-х пере-х.

Для цього запишемо матрицю парних коеф-в КОРРЕЛ

Причому ця матриця сіммет-на, тому що rij = rji.

Потім до цієї матриці склад-т зворотну матрицю

,

кот-ая також сіммет-на отн-но гл діагоналі.

Тоді к-т

І в цьому випадку квадрат такого дотта б опр-ть част коеф = т детерм-ии, кіт-ий опр-т% вим-ия i змінної в след-ії впливу на неї змінного-й з №j, що позвол- т при ум-ії, що ми 1-й № зафіксує-чи за завис-й перем-й, а 2-1 співвіднесли з х1, а 3-й з х2, з'ясувати вплив тільки однієї з цих перем-х на завіс- ю зм-ю без урахування впливу ін перем-й.

Тоді коеф-т част детерм-і , а

4). Сильна допоміжні (доп) реграм-ия.

Мульт-ть м.б. рез-том того, що будь-яка з поясню-х перем-х яв-ся лин комб-їй ін поясню-х перем-х.

Щоб це з'ясувати для кожної з поясню-х перем-х стр-ся ур-ия реграм-ии цієї перем-й отн-но ост-х перем-их.

Ур-ие множест реграм-ии m-1 пояс-й перем-й.

Для такого ур-ия вичисл-т f-стат-ку як

І якщо оказ-ся, що F стат-ка Fр≤Fкр, то ми говоримо, що R² незначну, лин зав-ти xi від ост-х поясню-х пере-х немає, муль-ть відсутність про-т.

Якщо Fр> Fкр, то ми откл третьому гіпотезу про відсутність про-ії такий зав-ти, гов-ім, що вона присут-т в моделі => має місце мульт-ть.

Методи усунення мультіколлініарності.

Перш ніж розглянути-ть ці методи, необ-мо відзначити, що в нек-их випадках мульт-ть яв-ся таким серйозно перешкодою для исп-ия моделі, щоб докладати зусиль до її опр-ію і усунення.

Якщо осн завдання моделює-ия сост-т в прогнозі-ії буд знач-ий завис пере-й, то при дост-но великих вів-нах к-та детерм-ии ( або R²≥0,9) мульт-ть ніяк не скажу-ся на кач-ве прогнозу.

Якщо ж метою дослі-ия яв-ся виявляючи-ие кожної з поясню-х перем-их на завис перем-ую мульт-ть не дозволить цього зробити, тому що вона іскозіт t стат-ки, тобто стан-ся серйозно проблемою.

Єдиного методу усунення мульт-ти в моделі не сущ-т. Це пов'язано з тим, що причини наявності мульт-ти неоднозначні. У багатьох випадках вона зав-т від имеющ-ся вибірки.

Рас-м найбільш часто застосовуються методи усунення мульт-ти поясню-х пере-х в моделях множ лин реграм-ії.

1). Виняток перем-й з моделі.

Найбільш простий метод, коли з моделі викл-ся 1 або неско-ко пере-х, але при його прим-ії необ-ма осторов-ть, тому що можл-ни помилки специф-ії.

Нап-р: ми будуємо модель попиту на якесь благо, вибираючи в кач-ве поясню-х перем-х його ціну і ціни товарів-замінить. Ці ціни часто КОРРЕЛ-т ін з ін. Але якщо з моделі викл-т ціну замінить-ля, то ми швидше за все допустимо помилку специф-ии, отримаємо зміщений оцінки та зроблені висновки опинимося-ся невірно.

Тому в приклад-х економетр-х дослі-х желат-але не викл-ть пояс-е перем-е до тих пір, поки їх Коллін-ть не стане всерйоз-й проблемою. У част-ти в рассмот-ї моделі, якщо необ-м прогноз обсягу реал-ии викл-ть ціну замін-ля не можна, але якщо хочемо оцінити при якому співвідносячи-ії цін на благо і його замін-ли попит б наибол-м , необ-мо макс-но знижувати ур-нь зав-ти м / у цими поясню-ми перем-ми.

2).Отримання додаткових даних або новий вибірки.

Оскільки мульт-ть непоср-но залежить від вибірки, то можл-но що при зм-ії вибірки вона перестане бути серйозно пробл-й. Іноді для цього дост-но ↑ обсяг вибірки або скор-ть вів-ну периодич-ти набл-ий, тобто від погодовой вибірки перейти до покварт або помесяч, іноді щод.

Але отримання нов вибірки або расшир-е старої возм-но не завжди або пов'язане з великими матер витратами.

Крім того такий підхід, усунувши мульт-ть, з викликати наявність в моделі а / КОРРЕЛ-ю залишків, що огран-т возм-ть застосування цього методу.

3). Вим-ие специф-ии моделі.

Коли чи змінюється форма зав-ти або добавл-ся поясню перем-е не враховані в превонач моделі, але при цьому вони д надати сущест вплив на поясню-ю зм-ю, тобто якщо Хк - доп перем-я, то | ryxk | ≥0,3. Испол-ие такого методу призводить до зменшення Σ квадратів откл-ий в моделі Σei² ↓, тим самим скор-ся станд откл-ия к-та Sbi і як слід-ие вік-т стат знач-ть цих к-тів і зростає R².

4). Испол-ие предвар інф-ії про недо-их парам-х моделі.

Йдеться про те, що при побудові моделі множест реграм-ії виходячи з уже вико-ия моделях парної реграм-ії ỹ = bo + b1x1, коли b1 = 0,82, ми добав-м в модель осягнути-ю зм-ю х2 , кот-ая м.б. корредо-на з поясню-й перем-ой х1. Теоретич ур-ие реграм-ии з 2 поясню-ми перем-ми відразу запишемо у формі y = βo + 0,82x1 + β2x2 + ε

В цьому випадку ур-ие факт-ки б яв-ся ур-ем парної реграм-ии, для кіт-го проблеми мульт-ти не ім-т. Огранич-ть вико-ия цього методу обумовлюються на тим, що:

1. найчастіше утруднено отримання достовірний передуватиме інф-ії.

2. Вер-ть того, що прийнятий изв-й коеф-т б одним і тим же в різн моделях невисокий

5). Перетворення пере-х.

Цей метод в недо-их випадках позвол-т повністю пристрої ть мульт-ть. Предпол-м, що по имеющ-ся вибірці ми рассч-ли емпіреї ур-ие реграм-ії ỹ = bo + b1x1 + b2x2 і з'ясували, що х1 і х2 КОРРЕЛ-ни м / у собою.

У цій ситуації м опр-ть регул-ие зав-ти отн-но кожної з цих пере-их в відділ-ти, використовуючи в кач-ве новий вибірки не абсолют вів-ни зм-х, а їх отн-ия. Тоді результат вибірку (xi1, xi2, yi) i = 1; n, ми ділимо або на праву або на 2 з поясню-х перем-х.

Тоді в соот-ии з цими вибірками ми зможемо побудувати або ур-ие або

Цілком вір-но, що в такій моделі мульт-ть уже б відсутність про-ть.

гетероскедастичності

Порушення передумови про те, що в моделі відсутність про-т зв'язок м / у вип откл-ми і осягнути-ой пере-й.

Метушня-т питання про кіках дисперсіях Д (εi) Д (εj) йдеться. Справа в тому, що завдання реш-ся по конкр-й вибірці сформул-й на основі генер-й сов-ти і м / у знач-ми ввійшли у вибірку м нах-ся будь-яку кількість ел-тів і ген сов ти.

Предпол-м, що на основі вибірки б побудовано ур-ие реграм-ії.

Графік

Тоді отн-но т перетину лінії реграм-ии з прямою x = xii = 1; n. Для точок, що лежать м / у xi і xi + 1 в кожному з подінт-в розбиття в свою чергу м.б. розр-на дисп-ия розкиду откл-ий цих точок від лінії реграм-ії.

Саме про таких дисп-ях, а не про дисп-ях самих откл-ий в моделі йде мова в усл-ях

Гаусса-Маркова, що все норм розподіл-ия в проміжках д.б.н. однакові.

Якщо ця вимога не вип-ся, то тому в кач-ве оцінки для σ² за вибіркою So² = Σei² / (nm-1), то метушня-т необ-ть перевірити сущ-т зв'язок м / у отд-ми знач-ми ei і xi хоча б в нашій вибірці .

Естест-но якщо вона є, то норм розпод-ие при переході від однієї т. Вибірки до ін б міняти своє пведеніе.

Якщо ж цей еф-т відсутність про-т, то ми м предпол-ть з недо-м ур-ньому достовірний-ти, що він відсутність про-л і в генер сов-ти. Те ж саме стосується мат очікування конкр значення М (εi) = 0.

Виявлення гетероскедастичності. Графічний метод.

У нек-их практич ситуаціях знаючи хар-р даних, поява проблеми гетероск-ти м передбачити заздалегідь і спробувати усунути цю причину заздалегідь, але частіше її приходять-ся вирішувати вже після постр-я ур-ия реграм-ії.

Виявлення гетероск-ти яв-ся складним завданням, тому що для розрахунку дисп-ії откл-ий по ур-ію σ² (ei) необ-мо знати розподіл-ие случ вів-ни У при опр-му значенні xi.

Як правило в вибірці зустрічей-ся min ел-тів, в кіт-их одному значенню пояс-й пере-й відпо-т неп-е мно-під значень У.

А тому ми не м оцінити як поводиться ця случ вів-на, тому що в табл конкр-му знач-ю xi соот-т единст або 2, а max 3 знач-я для yi. А тому ми не м вибрати єдностей метод.

Графічний метод.

Зазвичай ісп-ся для ур-ий парної реграм-ії. Коли стр-ся графіки квадратів откл-ий по відповід-их їм знач-ям поясню-й пере-й.

5 графіків

В цьому випадку, якщо кількість т мають откл-ие або не увійшли в загальну закономірний-ть не перевищує 10% обсягів вибірки, то ми м зробити дост-но достовірний висновки.

На 1 графіку всі квадрати откл-ий НЕ зав-т від знач-ия xi, тому що нах-ся в 1 і тому ж діапазоні. Ми м сказати, що у парній реграм-ії в цьому випадку гетер-ть відсутність про-т.

На всіх ост-х графіках простежено-ся зав-ть вів-ни квадрата откл-ия від вів-ни поясню-ся пере-й.

На 2 і 3 - це пряма зав-ть. На 4 вони спочатку зростання-т, потім спад-т з якогось знач-ия х. На 5 вони спадання-т з ростом xi.

Тобто сущ-т якась зав-ть, тому м зробити предпол-е, що гетер-ть залишків в моделі присут-т.

Але як правило граф метод сопровож-т ін специф-ми методами обнаруж-я гетероск-ти.

Тест рангової кореляції Спірмена.

Зав-ть м / у откл третьому ei і пере-й xi опр-ся на основі t стат-ки отн-но коеф-та вибір-й КОРРЕЛ-ії.

, Де di - різниця номерів місць, кіт-ті займаємося виготовленням-т I значення поясню пере-й і откл-ия з однієї і тієї ж вибіркової пари при ранжируванні цих пок-лей по вік-ю.

Тоді розр-ся t стат-ка.

І якщо оказ-ся за грубою оцінкою, що tр≤1, ми м напевно не використовуючи табл Стьюдента утвер-ть, що коеф-т вибір КОРРЕЛ-ії не означає, гетер-ть залишків в моделі відсутність про-т.

При люб ін знач-х необ-мо срав-ть розрахунок знач-е з критич.

tкр = tα / 2, υ

І якщо tp

Тест Парку.

Він предпол-л опр-ть гетер-ть на основі порів-ия знач-ия σ² (ei), де i- будь з недо-ой функц зав-ма

, Де vi - вів-ни откл-ий для даної Нелін зав-ти, кот-ая м.б. зведена до лінійної методом логарифмування.

lnσ²i = lnσ² + βlnxi + Vi.

І якщо ми позначимо відпо-ие знач-ия за недо-ті вів-ни, то отримаємо лин модель.

Zi = αo + βxi * + Vi, кот-ую м оцінити методом МНК, якщо замість σ²i взяти вів-ни ei², а xi * знайти прологаріфміровав вих-цю вибірку zi = lnei².

Якщо опинюся-ся, що коеф-т при пере-ой xi * значущий, то зв'язок м / у поясню-й пере-й і квадратами откл-ий сущ-т, а => в моделі присут-т гетер-ть залишків. Сущ-т ще неск-ко тестів, яка є прибутковим-ся різновид-ма тесту Парку.

Тест Голдфельда-Квандта.

Все набл-ия в вибірці упорядоч-ся отн-но вів-ни пояс-й пере-й xi.

Потім вибірка розбивши-ся на 3 необяз-но рівні частини k, n-2k, k, але так, щоб 3m + 1≤k≤n / 3 і окремо оціню-ся ур-ие реграм-ії для 1 і 3 частини вибірки , для кіт-их потім оціню-ся Σ квадратів откл-ия

і стр-ся Fстат-ка для вів-ни

F = (S3 / km-1) / (S1 / km-1) = S3 / S1.

Нах-ся Fкр = Fα, υ1 = υ2 = km-1 і якщо Fр> Fкр, то гетер-ть в моделі присут-т. У проти другому випадку вона відсутність про-т.

Зауваження: Якщо при розрахунках оказ-сь, що S1> S3, то стр-ся обрат вів-на, тому що в цьому випадку зав-ть б виду 5 (граф метод), а в вих вар-ті види 2 або 3.

Методи пом'якшення проблеми гетероскедастичності.

Метод зважених наіменьщіх квадратів МВНК.

Заснований на педпол-ії, що нам изв-ни знач-ия σi² для генер сов-ти.

Тоді результат рівнян-ие y = βo + β1xi + εi ділять на відпо-ю вів-ну.

,

тобто ми стандартизуючи кожен ел-т вих-й вів-ни стандарту откл-ия поясню-й перем-й отн-но ур-ия реграм-ии (xi / σi; yi / σi)

Але в цьому випадку в моделі появ-ся ще 1 поясню-я перем-ая zi = 1 / σi, кот-ую також необ-мо розр-ть.

Підсумкове ур-ие емпіреї реграм-ии б содер-ть 2 поясню-ие перем перші, але в ньому не б своб члена. Якість оцінок коеф-в такого ур-ия б гарантир-м.

Але тому що знач-ие σi² для генер сов-ти в подавл третьому бол-ве випадків неизв-ни, то исп-т 2 ін методу, в кіт-их дисп-ії откл-ий неизв-ни.