Дата конвертації30.05.2018
Розмір48.32 Kb.
Типреферат

Скачати 48.32 Kb.

Застосування економіко-математичних методів для вирішення економічних завдань

зміст

Вступ. 4

1.Область застосування економіко-математичних методів. 6

2.Методіческіе основи економіко-математичних методів. 12

3.Ісследованіе завдань вибору виробничого рішення. 22

Висновок. 28

Список літератури .. 31

Вступ

Споживачі все в більшій мірі стають нетерпимими до низької якості, тривалих термінів поставки.

Компанії, яким не вдається забезпечити необхідний рівень якості, несуть високі витрати і піддають свій бізнес значному ризику. Щоб задовольнити покупців і бути конкурентоспроможними, керівництву підприємств необхідно вишукувати найменш витратні шляху безперервного поліпшення якості продукції. Керівництво підприємств в цих умовах господарювання зосереджує свою дієве увагу на проблемі якості, що призводить до скорочення витрат і збільшує задоволеність споживача. Власники бізнесу та керівники фірмами усвідомлюють, що управління якістю продукції (послуг), засноване на плануванні, обліку, аналізі і аудиті витрат, "вкладених" в якість - єдина основа їх процвітання.

Одним із напрямів удосконалення аналізу господарської діяльності для всіх видів підприємств є впровадження економіко-математичних методів. Їх застосування підвищує ефективність економічного аналізу за рахунок розширення факторів, обгрунтування прийнятих управлінських рішень, вибору оптимального варіанту використання господарських ресурсів, виявлення і мобілізації резервів підвищення ефективності виробництва.

Основною метою написання курсової роботи є визначення області застосування економіко-математичних методів в діяльності підприємства.

У зв'язку з поставленою метою необхідно вирішити наступні завдання:

· Вивчити основи економіко-математичного аналізу;

· Визначити завдання підприємства;

· Визначити області застосування економіко-математичних методів;

· Описати методичні основи економіко-математичних методів;

· Застосувати метод теорії ігор для завдання вибору виробничого рішення;

· Застосування симплексного методу для задачі вибору виробничого рішення.

Актуальною тему застосування економіко-математичних моделей при вирішення економічних завдань робить те, що застосування математичних методів істотно розширює можливості економічного аналізу, дозволяє сформулювати нові постановки економічних задач, підвищує якість прийнятих управлінських рішень.

Математичні моделі економіки, відображаючи за допомогою математичних співвідношень основні властивості економічних процесів і явищ, представляють собою ефективний інструмент дослідження складних економічних проблем.

1.Область застосування економіко-математичних методів

Економіка - розвивається в рамках суспільно-історичної формації на базі сформованих продуктивних сил і виробничих відносин стратегія і тактика господарської діяльності, що охоплюють всі ланки товарного виробництва, розподілу, руху товару і споживання матеріальних благ.

Причиною появи економіко-математичних методів послужило ускладнення економіки та управління господарством. Прийняті в сфері господарської діяльності рішення вже не можуть грунтуватися виключно на досвіді і інтуїції. Практика виявила багатогранні можливості економіко-математичних методів в розробці і виконанні планів на різних рівнях управління.

До середини 60-х років дослідження по застосуванню математичного методу в радянській економічній науці мали вже тривалу історію. Економіко-математичний напрямок розвивалося від встановлення та перегляду окремих моделей в 20-і роки, через негативне ставлення економістів до математики в період з 1930 до 1953 год к швидкому формуванню сильної радянської економіко-математичної школи в кінці 50-х - початку 60-х років .

Винятково важливою рисою економіко-математичних досліджень другої половини 60-х років став перехід від постановки завдань оптимального планування до вироблення концепції оптимального функціонування соціалістичної економіки (СОФЕ).

Найважливішими вихідними положеннями цієї концепції були наступні: визнання неможливості повністю централізованого планування економіки, що є складною системою; ідея існування цільової функції соціалістичного виробництва, що визначала необхідність оптимізації; розгляд економіки як ієрархічної системи, що призводило до ітеративним процесам складання плану, а його виконання стимулювався госпрозрахунковими відносинами.

Протягом 70-х - початку 80-х років тезу про соціалістичну економіку як свідомо оптимізується системі приходив все в більшу суперечність з реально проходили сповзанням до економічної кризи.

Той крутий перелом в розвитку радянського суспільства, що стався на рубежі 1929 - 1930 роки, який привів до фактичної заборони на застосування математики в економіці, зробив глибокий вплив на всю економічну науку, вплив, масштаб і наслідки якого ще належить вивчити історикам економічної думки.

Для того щоб економіко-математичні методи отримали дійсно широке поширення, необхідне поєднання різних факторів. Головний з них - здійснення економічної реформи. Командно-адміністративна система управління не потребує математичних методах. Економічні ж методи управління припускають здійснення розрахунків щодо раціонального використання ресурсів. Прийнято вважати, що математичні моделі найкраще застосовуються для вирішення техніко-економічних завдань.

Новий імпульс розвитку економіко-математичних розробок дала перебудова і почалася економічна реформа. Вона висуває перед економістами-математиками ряд нових проблем, вимагає того, щоб економічна наука стала нарешті точною наукою. [12, 21-52]

Економічні завдання, які вирішуються в процесі економічного аналізу, планування, проектування, пов'язані з визначенням шуканих невідомих величин на основі вихідних даних, на відміну від математичних задач економічні завдання не завжди вдається формалізувати, звести тільки до розрахунку. Їх рішення супроводжується пошуком відсутніх даних, експертними оцінками, обговоренням, прийняттям рішень.

За загальним цільовим призначенням економіко-математичні моделі діляться на теоретико-аналітичні, що використовуються при вивченні загальних властивостей і закономірностей економічних процесів, і прикладні, що застосовуються у вирішенні конкретних економічних завдань аналізу, прогнозування та управління. Різні прикладні економіко-математичні моделі і будуть розглядатися.

Подібні економічні завдання представлені в економіці підприємства в цілому, а так само в її динаміці і розвитку.

В процесі своєї діяльності підприємство повинно приймати ряд рішень:

· Який товар або номенклатуру товарів слід випускати і продавати;

· На які ринки треба виходити з цим товаром і як зміцнити свої позиції на ринку;

· Як вибрати оптимальну технологію виробництва;

· Які матеріали купувати і як їх використовувати;

· Як розподілити наявні моделі і фінансові ресурси;

· Яких показників своєї діяльності підприємство надає перевагу (має) досягти щодо технічних характеристик товару, що випускається, його якості, ефективності виробництва.

На всіх рівнях управління підприємством, у всіх галузях використовуються для вирішення виробничих, організаційних та господарських задач виробництва використовують методи економіко-математичного моделювання. Можна виділимо умовно наступні напрямки їх практичного застосування, за якими підприємства отримують найбільші економічні ефекти.

На окремому підприємстві зазвичай випускаються різні види продукції, використовуються різні технології, питомі витрати залежать від обсягу випуску і в тих чи інших межах допускається заміна одного сировини іншим. Для розробки планів випуску і споживання продукції подібні умови нездійсненні, тим більше не вірні вони для розробки планів на галузь. Тому робляться такі припущення:

1) всі продукти, вироблені однією галуззю, однорідні і розглядаються як єдине ціле, тобто фактично передбачається, що кожна галузь виробляє один продукт;

2) в кожній галузі є єдина технологія виробництва;

3) норми виробничих витрат не залежить від обсягу продукції, що випускається;

4) не допускається заміщення одного сировини іншим.

При даних припущеннях набув широкого поширення метод міжгалузевого балансу і, як показала практика, вони цілком адекватні і застосовні для складання планів випуску продукції.

Діяльність підприємства практично завжди не просто усвідомлена, а цілеспрямована робота чинена заради досягнення певної мети (в основному отримання прибутку). Звичайно, практично завжди ресурси, необхідні для виконання даної роботи, обмежені. Досить часто існує кілька можливостей розпорядиться ресурсами, і для отримання найкращого результату діяльності необхідно зробити вибір.

Найбільш зручним і раціональним методом знаходження оптимальної стратегії виробництва є симплексний метод. На його ж основі можна провести аналіз залишків ресурсів і розрахувати прибуток при розшивки вузьких місць виробництва.

На цьому ж етапі необхідно визначитися з запасом сировини і матеріалів. Для діяльності будь-якої організації будь-які запаси необхідні. Якщо їх не буде, то при найменшому порушенні збуту вся діяльність зупиниться. Зберігати ж занадто багато запасів економічно невигідно, а закупівля невеликими партія істотно збільшить транспортні видатки. Знаходженню балансу між цими крайнощами присвячений метод управління запасами.

З методом управління запасами, тільки вже в динамічної його інтерпретації пов'язано вирішенні завдання підприємства при виробництві кінцевого продукту партія. Проблематика полягає в тому, що продукція виробляється на замовлення, розміри яких можуть значно варіюватися від періоду до періоду. В цьому випадку потрібно прорахувати чи вигідніше провести замовлене кількість продукції на кілька періодів вперед, а потім зберігати, ніж виконувати замовлення саме в ті періоди, коли вони повинні бути відправлені. Розрахунок проводиться з урахуванням кількості періодів, а також витрат на виробництво і зберігання. [10, 165]

Для опису комплексу робіт проекту, його планування, аналізу, прогнозування і контролю ходу виконання з урахуванням логічних взаємозв'язків між роботами і подіями проекту, а також тимчасових, ресурсних, вартісних та інших внутрішніх і зовнішніх обмежень на роботи і проект в цілому використовують метод мережевого планування і управління.

Даний метод дозволяє:

· Сформувати календарний план робіт;

· Виявити і реалізувати резерви часу, а також трудових, матеріальних і грошових ресурсів;

· Здійснювати управління роботами за принципом «провідної ланки» з прогнозуванням і попередженням можливих зривів в ході робіт;

· Підвищити ефективність управління в цілому, при чіткому розподілі відповідальності між керівниками різного рівня.

В ситуації коли відомо наявність ресурсів, необхідні обсяги і витрати, постановка завдання полягає у визначенні оптимального плану перевезення товару від виробника до замовника. Оптимізація плану перевезень може бути складена як для досягнення мінімум витрат на реалізацію, так і для скорочення часу, що витрачається. Для цього використовується метод лінійного програмування - транспортна задача.

Важливим завданням підприємства є вкладення коштів в проекти, що розробляються або фінансування окремих підрозділів і цехів. З урахуванням розміру капітельних вкладень і відомої суми прибутку від них необхідно, так розподілити кошти, щоб сумарний дохід від них був найбільшим. Для цього використовується метод динамічного програмування. Цим же метод можна скористатися для складання календарних планів поточного і капітального ремонту складного обладнання та його заміни, а так само при розробці довгострокових правил заміни тих, що вибувають з експлуатації основних фондів. [9, 253]

Для великого числа підприємств і організацій основним методом вирішення завдань є моделі теорії масового обслуговування.Основними розглянутими одиницями в подібних моделях є канали обслуговування (лінії зв'язку, робочі точки, верстати і т.п.), їх продуктивність і характер потоку заявок.

Можливість застосування теорії масового обслуговування для дослідження предметної області визначається наступними факторами:

1. Кількість заявок в системі має бути досить велика (масово).

2. Всі заявки, що надходять, повинні бути однотипними.

3. Потоки заявок повинні бути пуассоновским.

4. Послідовність обробки заявок, повинна бути жорстко зафіксована.

Застосування теорії масового обслуговування дозволяє оцінити пропускну здатність підприємства або організації, кількість замовлень, що знаходяться у виробництві, час перебування заявок і т.д.

2.Методіческіе основи економіко-математичних методів

В економіко-математичному аналізі використовуються математичні моделі, які описують досліджуване явище чи процес з допомогою рівнянь, нерівностей, функцій та інших математичних засобів. Розрізняють математичні моделі з кількісними характеристиками, записаними у вигляді формул; числові моделі з конкретними числовими характеристиками; логічні, записані за допомогою логічних виразів, і графічні, виражені в графічних образах.

Систематизувати застосовуються в аналізі діяльності підприємства методи можна за різними ознаками. Найбільш доцільною є класифікація економіко-математичних методів за змістом методу, тобто за належністю до певного розділу сучасної математики.

Сформульована математична задача економічного аналізу може бути вирішена одним з найбільш розроблених математичних методів. Тому класифікація значною мірою умовна. Тобто, як уже говорилося раніше, завдання управління запасами можуть вирішуватися методами математичного програмування і з застосуванням динамічних методів.

Економетричні методи будуються на синтезі трьох областей знань: економіки, математики і статистики. Основа економетрії - економічна модель, під якою розуміється схематичне представлення економічного явища або процесу за допомогою наукової абстракції, відображення їх характерних рис. Найбільшого поширення набув метод аналізу «витрати - впуск» (міжгалузевого балансу). Це матричні (балансові) моделі, що будуються за шаховою схемою і дозволяють в найбільш компактній формі представити взаємозв'язок витрат і результатів виробництва. Зручність розрахунків і чіткість економічної інтерпретації - головні особливості матричних моделей.

Математичне програмування - важливий розділ сучасної прикладної математики. Методи математичного програмування служать основним засобом вирішення завдань оптимізації виробничо-господарської діяльності. За своєю суттю ці методи є засіб планових розрахунків. Їх цінність для економічного аналізу виконання планів в тому, що вони дозволяють оцінювати напруженість планових завдань, визначати лімітуючі групи обладнання, види сировини і матеріалів, одержувати оцінки дефіцитності вироблених ресурсів і т.п. Основними є методи лінійного програмування (симплексний метод, транспортна задача) і динамічного програмування.

Під дослідженням операцій розуміються розробка методів цілеспрямованих дій (операцій), кількісна оцінка отриманих рішень і вибір найкращого з них. Предметом дослідження операцій є економічні системи, в тому числі виробничо-господарська діяльність підприємств. Мета - таке поєднання структурних взаємопов'язаних елементів систем, що найбільшою мірою відповідає завданню отримання найкращого економічного показника з ряду можливих. Найбільш поширені методи управління запасами, теорії ігор і масового обслуговування, мережеві методи планування і управління.

Математичне моделювання економічних явищ і процесів є важливим інструментом економічного аналізу. Воно дає можливість отримати чітке уявлення про досліджуваний об'єкт, охарактеризувати і кількісно описати його внутрішню структуру і зовнішні зв'язки. [22, 43-47]

Економіко-математична модель повинна бути адекватною дійсності, відображати істотні сторони і зв'язки досліджуваного об'єкта. Відзначимо принципові риси, характерні для побудови економіко-математичної моделі будь-якого виду. Процес моделювання можна умовно поділити на три етапи:

1. аналіз теоретичних закономірностей, властивих досліджуваному явищу або процесу, і емпіричних даних про його структуру й особливості; на основі такого аналізу формуються моделі;

2. визначення методів, за допомогою яких можна вирішити задачу;

3. аналіз отриманих результатів.

Теорія ігор досліджує оптимальні стратегії в різних ситуаціях, в яких може перебувати підприємство. До них відносяться ситуації, пов'язані з вибором найбільш вигідних виробничих рішень системи наукових і господарських експериментів, з організацією статистичного контролю, господарських взаємовідносин між підприємствами промисловості та інших галузей. Формалізуючи конфліктні ситуації математично, їх можна представити як гру двох, трьох і т. Д. Гравців, кожен з яких має на меті максимізації своєї вигоди, свого виграшу за рахунок іншого. Тому для пошуку виробничо-господарських рішень на підприємствах частіше використовують саме теорію ігор.

Рішення подібних завдань вимагає визначеності в формулюванні їх умов: встановлення кількості гравців і правил гри, виявлення можливих стратегій гравців, можливих виграшів (негативний виграш розуміється як програш). Важливим елементом в умови задач є стратегія, тобто сукупність правил, які в залежності від ситуації в грі визначають однозначний вибір даного гравця. Кількість стратегій у кожного гравця може бути кінцевим і нескінченним, звідси і гри поділяються на кінцеві і нескінченні. При дослідженні кінцевої гри задаються матриці виграшів, а нескінченною - функції виграшів. Для вирішення завдань застосовуються методи алгебри, засновані на системі лінійних рівнянь і нерівностей, ітераційні методи, а також зведення задачі до деякої системи диференціальних рівнянь.

На промислових підприємствах теорія ігор може використовуватися для вибору оптимальних рішень, наприклад при створенні раціональних запасів сировини, матеріалів, напівфабрикатів, в питаннях якості продукції та інших економічних ситуаціях. У першому випадку протиборствують дві тенденції: збільшення запасів, в тому числі і страхових, які гарантують безперебійну роботу виробництва; скорочення запасів, що забезпечують мінімізацію витрат на їх зберігання; у другому прагнення до випуску більшої кількості продукції, що веде до зниження трудових витрат; до підвищення якості, що супроводжується часто зменшенням кількості виробів і, отже зростанням трудових витрат. У машинобудівному виробництві протиборчими напрямками є прагнення до максимальної економії металу в конструкціях, з одного боку, і забезпечення необхідної міцності конструкцій з іншого.

Природні умови (умови невизначеності) нерідко позначаються на ефективності роботи промислових підприємств.

Дані, необхідно для прийняття рішення в умови невизначеності, зазвичай задаються в формі матриці, рядки якої відповідають можливим діям, а стовпці - можливим станам системи. [2, 270]

Нехай, наприклад, з деякого матеріалу потрібно виготовити виріб, довговічність якого при допустимих витратах неможливо визначити. Навантаження вважаються відомими. Потрібно вирішити, які розміри має мати виріб з даного матеріалу.

Варіанти вирішення такі:

Е1 - вибір розмірів з міркувань максимальної довговічності;

Еm- вибір розмірів з міркувань мінімальної довговічності;

Ei- проміжні рішення.

Умови вимагають розгляду такі:

F1 - умови, що забезпечують максимальну довговічність;

Fn- умови, що забезпечують min довговічність;

Fi- проміжні умови.

Під результатом рішення eij = е (Ei; Fj) тут можна розуміти оцінку, відповідну варіанту Eiі умов Fjі характеризують прибуток, корисність або надійність.

Тоді сімейство (матриця) рішень має вигляд :

F1 F2 . . . Fn
E1 e11 e12 . . . e1n
E2 e21 e22 . . . e2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Em em1 em2 . . . emn

Щоб прийти до однозначного і по можливості найвигіднішому варіанту вирішення необхідно ввести оцінну (цільову) функцію. При цьому матриця рішень зводиться до одного стовпцю.

При пошуку оптимальних рішень, з огляду на специфіку ігор, звертаються до різними критеріями, які дають деяку логічну схему прийняття рішення. Критерії дозволяють оцінити прийняте рішення з різних позицій, тому дозволяють уникнути грубих помилок у господарській діяльності.

1. мінімаксне критерій.

Правило вибору рішення відповідно до мінімаксним критерієм (ММ-критерієм) можна інтерпретувати в такий спосіб:

Матриця рішень доповнюється ще одним стовпцем з найменших результатів кожного рядка. Необхідно вибрати ті варіанти в рядках яких коштують найбільше значення цього стовпця.

Обрані таким чином варіанти повністю виключають ризик. Це означає, що приймає рішення не може зіткнутися з гіршим результатом, ніж той, на який він орієнтується. Це властивість дозволяє вважати ММ-критерий одним з фундаментальних.

Застосування ММ-критерію буває виправдано, якщо ситуація, в якій приймається рішення наступна:

1. Про можливість появи зовнішніх станів Fj нічого не відомо;

2. Доводиться рахуватися з появою різних зовнішніх станів Fj.

2. Критерій Лапласа.

Припустимо, що гравець не має достовірну інформацію про апріорних ймовірності станів природи. Оптимальною вважається чиста стратегія, що забезпечує максимальний середній виграш гравця за однакової кількості всіх апріорних ймовірностей . Цей прийом називається принципом недостатнього підстави Лапласа.

матриця рішень доповнюється ще одним стовпцем що містить математичне очікування значень кожної з рядків. Вибираються ті варіанти, в рядках яких коштує найбільше значення цього стовпця.

3. Критерій Севіджа.

Величину aij можна трактувати як максимальний додатковий виграш, який досягається, якщо в стані Fj замість варіанта Ei вибирати інший, оптимальний для цього зовнішнього стану варіант. Величину aij можна інтерпретувати і як втрати (штрафи) виникають в стані Fj при заміні оптимального для нього варіанти на випадок Ei. В останньому випадку максимально можливі (за всіма зовнішніми станів Fj, j = ) Втрати в разі вибору варіанту Ei.

Відповідне критерієм Севіджа правило вибору тепер трактується так:

1) Кожен елемент матриці рішень віднімається з найбільшого результату maxeij відповідного стовпчика.

2) Різниці aij утворюють матрицю залишків . Ця матриця поповнюється стовпцем найбільших різниць. Вибирають ті варіанти, в рядках яких коштує найменше для цього стовпця значення.

З критеріїв стає ясно, що в слідстві їх жорстких вихідних позицій вони можуть бути застосовані тільки для ідеалізованих практичних рішень. У разі, коли можлива занадто сильна ідеалізація, можна застосовувати одночасно по черзі різні критерії. Після цього серед декількох варіантів вибирає остаточне рішення. Такий підхід дозволяє, по-перше, краще проникнути в усі внутрішні зв'язки проблеми прийняття рішень і, по-друге, послаблює вплив суб'єктивного фактора.

Для лінійного програмування характерні математичний вираз змінних величин, певний порядок, послідовність розрахунків (алгоритм), логічний аналіз. Застосовувати його можна тільки в тих випадках, коли досліджувані змінні величини і фактори мають математичну визначеність і кількісну обмеженість, коли в результаті відомої послідовності розрахунків відбувається взаємозамінність факторів, коли логіка в розрахунках, математична логіка поєднуються з логічно обгрунтованим розумінням сутності досліджуваного явища.

Всі економічні завдання, які вирішуються з застосуванням лінійного програмування, а зокрема симплексного методу, відрізняються альтернативністю рішення і певними обмежуючими умовами. Вирішити таку задачу - значить вибрати з усіх допустимо можливих (альтернативних) варіантів кращий, оптимальний. Важливість і цінність використання в економіці методу лінійного програмування полягають у тому, що оптимальний варіант вибирається з вельми значної кількості альтернативних варіантів. За допомогою інших способів вирішувати такі завдання практично неможливо. [2, 260]

Підприємство може випускати n видів продукції, використовуючи m видів ресурсів. нехай - витрата i ресурсу на одиницю j продукції, - наявна кількість i ресурсу, - прибуток на одиницю j продукції, - шукана кількість одиниць j продукції. Завдання полягає в тому, щоб знайти виробничу програму

максимізує прибуток

(1)

при обмеженнях по ресурсах

, I = 1, ... m (2)

де за змістом завдання

(3)

Вирішуємо задачу симплексним методом, для цього:

1. Наводимо завдання до канонічного вигляду

· Максимізували цільову функцію

· Наводимо обмеження до виду

· Складаємо систему рівнянь шляхом введення додаткових змінних

якщо , то

якщо , то

2. складаємо попереднє рішення і таблицю

базис план

вільні змінні

дозволяє коефіцієнт
f

3. перевіряємо отримане рішення на оптимальність

Критерій оптимальності виконаний і задача вирішена якщо всі коефіцієнти індексного рядка . Якщо хоча б один коефіцієнт індексного рядка <0, то рішення не оптимально, його можна поліпшити побудовою іншого рішення.

Для побудови нового рішення потрібно:

1. серед <0 коефіцієнтів індексного рядка вибрати найбільше за абсолютною величиною. Стовпець в якому знаходиться обраний коефіцієнт - дозволяє.

2. для всіх елементів дозволяє стовпця мають однакові знаки зі значенням знаходяться дозволяють коефіцієнти

3. серед усіх дозвільних коефіцієнтів вибирають найменший, йому відповідає роздільна рядок і змінна виводиться з базису.

4. на перетині роздільною рядки і дозволяє стовпця знаходиться дозволяє елемент

5. відбувається перерахунок симплексной таблиці

· Змінюється одна базисна змінна

· Перебувають елементи роздільної рядка

· Коефіцієнти системних обмежень при базисних змінних утворюють одиничну матрицю

· Всі інші клітини симплексной таблиці, включаючи індексний рядок, знаходяться за правилом прямокутника

Кожному новому рішенню завдання відповідає один ітераційний процес і одна симплексна таблиця.

3.Ісследованіе завдань вибору виробничого рішення

При утворенні підприємства основним питанням є, що робити. Визначившись з зразковим напрямком виробництва і асортиментом необхідно прорахувати, грунтуючись на статистики або на даних працюють в даній галузі підприємств, найбільш рентабельний вид продукту використовуючи теорію ігор.

Підприємству, що проводить вироби з водовідштовхувальних тканин, необхідно прийняти рішення про виробництво парасольок, плащів, туристичних наметів і сумок в залежності від того, чи буде погода помірною або дощової. Доходи від реалізації при кожному з станів погоди, в млн. У.о. склали:

Таблиця 3.1.

дощова помірна
парасолі 1,05 0,96
плащі 1,3 1,02
намети 0,8 0,9
сумки 1 1,2

Необхідно прийняти рішення про вкладення коштів у виробництво тієї продукції, яка забезпечить найбільшу можливу прибуток.

Пошук рішення за допомогою мінімаксного критерію.

Складається платіжна матриця:

Таблиця 3.2.

F1 F2
Е1 1,05 0,96 0,96
Е2 1,3 1,02 1,02
Е3 0,8 0,9 0,8
Е4 1 1,2 1
1,3 1,2

Отримуємо що нижня чиста ціна гри = max = 1.02,

а верхня чиста ціна гри = min = 1.2

Таким чином отримуємо, що α ≠ β отже сідлова точка відсутня. Згідно ММ-критерію слід проводити повну перевірку, тому що спростити платіжну матрицю не можна, тому що немає домінованих стратегій. Взагалі, в іграх з природою не можна відкидати ті чи інші стану природи, оскільки вона може реалізувати будь-який свій стан незалежно, вигідно воно підприємству чи ні.

Критерій Байеса - Лапласа.

У нашій задачі . Середні виграші поміщені в стовпці .

Таблиця 3.3.

F1 F2
Е1 1,05 0,96 1,005
Е2 1,3 1,02 1,16
Е3 0,8 0,9 0,85
Е4 1 1,2 1,1

Оптимальною по Байеса-Лапласа є чиста стратегія Е2. В інтересах об'єктивності можна знайти середні значення ймовірностей, визначених кваліфікованими експертами для кожного стану на основі їх суб'єктивного досвіду.

Т.ч. критерій Байеса-Лапласа більш оптимістичний, ніж мінімаксний критерій, однак він припускає велику інформованість і досить тривалу реалізацію.

Критерій Севіджа.

В іграх з природою не можна що небудь передбачити, тому що вона може реалізувати будь-який стан.

Перейдемо до матриці ризиків, вона дозволяє зрозуміти перевага однієї стратегії перед іншою.

Таблиця 3.4.

F1 F2
Е1 0,25 0,24 0,25
Е2 0 0,18 0,18
Е3 0,5 0,4 0,5
Е4 0,3 0 0,3

.

Вибираємо стратегію Е2, з мінімальною величиною ризику.

Зі свідчень критеріїв видно, що найбільш прибутковим для підприємства буде виробництво парасольок, при будь-яких погодних умовах.

Не менш важливим і складним завданням підприємства є визначення необхідного обсягу продукції, що випускається, особливо якщо найменувань кілька. У подібних випадках використовують симплексний метод.

Підприємство виробляє 3 види продукції: А1, А2, А3, використовуючи сировину двох типів. Відомі витрати сировини кожного типу на одиницю продукції, запаси сировини на планований період, а також прибуток від одиниці продукції кожного виду.

Таблиця 3.5.

сировина Витрати сировини на одиницю продукції запас сировини
А1 А2 А3
I 3,5 7 4,2 1400
II 4 5 8 2000
Прибуток від ед.прод. 1 3 3

Необхідно визначити скільки виробів кожного виду необхідно зробити, щоб отримати максимум прибутку.

Складемо математичну модель задачі. Нехай x1, х2, х3 відповідно - кількість одиниць продукції А1, А2, А3, яку виробляє підприємство. За змістом задачі ці змінні невід'ємні.

Тоді f (x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 - сукупний прибуток від продажу виробленої продукції, яку потрібно максимізувати.

Підрахуємо витрати сировини:

Сировина 1-го типу: 3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3, за умовою витрати не перевершують 1400,

Сировина 2-го типу: 4 х1 + 5 х2 + 8 х3, за умовою витрати не перевершують 2000.

Прийшли до задачі лінійного програмування:

f (x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Перетворимо перше обмеження:

3,5 х1 + 7 х2 + 4,2 х3 ≤ 1400, (поділимо на 7)

0,5 х1 + 1 х2 + 0,6 х3 ≤ 200, (помножимо на 10)

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000.

Отримали завдання:

f (x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 ≤ 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 ≤ 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Вирішимо цю задачу симплекс-методом. Введемо додаткові змінні х4, х5 для приведення завдання до канонічного вигляду:

f (x1, x2, x3) = x1 + 3 x2 + 3 x3 → max,

5 х1 + 10 х2 + 6 х3 + х4 = 2000,

4 х1 + 5 х2 + 8 х3 + х5 = 2000,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0.

В якості опорного плану виберемо Х = (0, 0, 0, 2000., 2000). Складемо симплекс-таблицю:

Таблиця 3.6.

базис план х1 х2 х3 х4 х5 δ ij
х4 2000 5 10 6 1 0 200
х5 2000 4 5 8 0 1 400
f 0 -1 -3 -3 0 0

В останній оціночної рядку є негативні оцінки, тому потрібно робити крок симплекс-методу. Вибираємо стовпець з найменшою оцінкою, а потім дозволяє елемент - по найменшому відношенню вільних членів до коефіцієнтів стовпця (відносини записані в останньому стовпці). Результат кроку запишемо в таблицю (дозволяє елемент будемо виділяти жирним). Аналогічно будемо повторювати кроки, поки не прийдемо до таблиці з невід'ємними оцінками.

Таблиця 3.7.

базис план х1 х2 х3 х4 х5 δ ij
х2 200 1/2 1 3/5 1/10 0 1000/3
х5 1000 3/2 0 5 -1/2 1 1000/5
f 600 1/2 0 -6/5 3/10 0

Таблиця 3.8.

базис план х1 х2 х3 х4 х5 δ ij
х4 80 8/25 1 0 4/25 -3/25 200
х3 200 3/10 0 1 -1/10 1/5 400
f 840 43/50 0 0 9/50 6/25

В останньому плані рядок f не містить від'ємних значень, план x1 = 0, x2 = 80, x3 = 200оптімален, цільова функція приймає максимальне значення 840 (сукупний прибуток).

Дамо економічну інтерпретацію оптимального плану. Згідно з цим планом необхідно провести 0 одиниць продукції типу А1, 80 одиниць продукції типу А2, 200 одиниць продукції типу А3.

У рядку f оптимального плану в шпальтах додаткових змінних y * = (9/50, 6/25).

Двоїсті оцінки визначають дефіцитність сировини. Так як y1 * = 9/50> 0, y2 * = 6/25> 0, то, згідно з другою теоремою двоїстості сировину і 1го, та 2-го типів повністю використовується в оптимальному плані і є дефіцитною сировиною.

Крім того, значення двоїстих оцінок показують, наскільки зростає дохід підприємства при збільшенні дефіцитного сировини на одиницю (відповідно, на 9/50 і на 6/25).

висновок

Говорячи про застосування економіко-математичних моделей, ми маємо на увазі не просто виконання різного роду економічних розрахунків, а використання математики для знаходження найкращих економічних рішень, вивчення економічних закономірностей, отримання нових теоретичних висновків (синтез економічних і математичних знань розкриває нові можливості економічного аналізу). Головні переваги математики як засобу наукового пізнання розкриваються при побудові математичних моделей, які вигідно відрізняються в певному відношенні досліджувані об'єкти. Економіко-математичні моделі, що відображають за допомогою математичних співвідношень основних властивостей економічних процесів і явищ, представляють собою ефективний інструмент дослідження економічних проблем.

Метою написання курсової роботи було визначення області застосування економіко-математичних методів в діяльності підприємства.

У зв'язку з поставленою метою були вирішені наступні завдання:

· Вивчені основи економіко-математичного аналізу;

· Визначені завдання підприємства;

· Визначено області застосування економіко-математичних методів;

· Описані методичні основи економіко-математичних методів;

· Застосований метод теорії ігор для завдання вибору виробничого рішення;

· Застосований симплексний метод для вирішення завдання вибору виробничого рішення.

Економіко-математичне моделі є невід'ємною частиною будь-якого дослідження в області економіки. Бурхливий розвиток математичного аналізу, дослідження операцій, теорії ймовірностей і математичної статистики сприяло формуванню різного роду моделей економіки.

За останні 30-40 років методи моделювання економіки розроблялися дуже інтенсивно. Вони будувалися для теоретичних цілей економічного аналізу і для практичних цілей планування, управління і прогнозу. Змістовно моделі економіки об'єднують такі основні процеси: виробництво, планування, управління, фінанси і т.д. Однак у відповідних моделях завжди упор робиться на який-небудь один процес (наприклад, процес планування), тоді як всі інші представляються в спрощеному вигляді.

Можна говорити про ефективність застосування методів моделювання в багатьох областях тому, що, по-перше, економічні об'єкти різного рівня (починаючи з рівня простого підприємства і закінчуючи макроуровнем - економікою країни або навіть світовою економікою) можна розглядати з позицій системного підходу. По-друге, такі характеристики поведінки економічних систем:

- мінливість (динамічність)

- суперечливість поведінки

- тенденція до погіршення характеристик

- схильність до впливу навколишнього середовища зумовлюють вибір методу їх дослідження.

Проаналізувавши сукупність існуючих методів, можна зробити наступні висновки. Традиційне управління виробничо-господарською та фінансовою діяльністю закритих систем здійснюється за допомогою загальновідомих методів планування і управління.

Теорія ігор як розділ дослідження операцій - це теорія математичних моделей, прийняття оптимальних рішень в умовах невизначеності або конфлікту декількох сторін, що мають різні інтереси. Вона досліджує ситуації, пов'язані з вибором найвигідніших виробничих рішень, організацією статистичного контролю, господарських взаємовідносин між підприємствами і т. Д.

На прикладі видно як з використанням теорії ігор можна розрахувати виробництво, яких найменувань продукції буде найбільш вигідно незалежно від кліматичних умов.

Методи математичного програмування - основний засіб вирішення завдань оптимізації виробничо-господарської діяльності. Всі економічні завдання, які вирішуються з застосуванням методів математичного програмування, відрізняються можливістю вибору рішення з альтернатив і певними обмежуючими умовами. Вирішити таку задачу - значить вибрати з усіх допустимо можливих варіантів найкращий. Частіше за інших для цього використовується симплексний метод.

З розрахунків видно, що вибір плану виробництва з використанням симплексного методу дає можливість не тільки розрахувати який максимальний обсяг прибутку зможе отримати підприємство при наявних виробничих показниках, але і зробити висновки про зміну виробничих запасів, для більшої ефективності виробництва.

Таким чином, можна сказати, що область застосування економіко-математичних методів, в даний час, є чималі масштаби, що здебільшого пов'язано з розвитком підприємництва у всіляких сферах, для становлення, розвитку та процвітання яких необхідні раціональні економічні рішення.

Список літератури

1. Алесінская Т.В. Навчальний посібник за рішенням задач по курсу Економіко-математичні методи і моделі. Таганрог,: ТРП, 2002.

2. Баканов М. І., Мельник М. В., Шеремет А. Д. Теорія економічного аналізу. - М .: Фінанси і статистика, 2005,

3. Гранберг А.Г. Математичні моделі соціалістичної економіки. -М .: Економіка, 2008.

4. Добриніна Г.І., Тарасевич Л.С. Економічна теорія: підручник для вузів - СПб .: Питер 2009.

5. Дубов А.М., Лагоша Б.А. і ін. Моделювання ризикових ситуацій в економіці та бізнесі: Навчальний посібник для вузів / Загальна редакція Б.А. Лагоші. - М .: Фінанси і статистика 2010

6. Замків О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи в економіці: Підручник. - М .: МГУ ім. М.В. Ломоносова, ДІС 2009.

7. Кантаровіч Л.В., жменька А.Б. Оптимальні рішення в економіці. -М .: Наука 2009

8.Карандаев І.С. та ін. Математичні методи дослідження операцій в прикладах і задачах. - М .: ГАУ, 2007.

9. Ковальов В.В. Фінансовий аналіз: методи і процедури. -М., Фінанси і статистика, 2006.

10. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин І.М. і ін. Дослідження операцій в економіці: Навчальний посібник для вузів / Загальна редакція Н.Ш. Кремера. - М .: Банки і біржі, ЮНИТИ, 2007.

11. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин І.М. та ін. Вища математика для економістів: Навчальний посібник для вузів / Загальна редакція Н.Ш Кремера. - М .: Банки і біржі, ЮНИТИ, 2007.

12. Лотов А.В. Введення в економіко-математичне моделювання. - М.: Наука, 2008.

13. Малихін В.І. Математичне моделювання економіки: Навчально-практичний посібник для вузів. - М .: УРАО, 2008.

14. Малихін В.І. Математика в економіці: Навчальний посібник. - М: Инфра-М 2009.

15. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браїлів А.В. Математика в економіці: Підручник: у 3 частинах. - М .: Фінанси і статистика, 2008.

16. Суліцкій В.Н. Методи статистичного аналізу в управлінні: Навчальний посібник. - М .: Справа, 2006.

17. Пинегина М.В. Математичні методи і моделі в економіці: Навчальний посібник для вузів. - М .: Изд-во «Іспит», 2007.

18. Трояновський В.М. Математичне моделювання в менеджменті: Навчальний посібник. - М .: Изд-во РДЛ, 2005.

19. Фомін Г.П. Математичні методи і моделі в комерційній діяльності: Підручник. - М .: Фінанси і статистика, 2005.

20. Хазанова Л.Е. Математичне моделювання в економіці: Навчальний посібник. - М .: Изд-во Бек, 2008.

21. Чавкін А.М. Методи і моделі раціонального управління в ринковій економіці: розробка управлінських рішень. - М .: Фінанси і статистика 2010

22. Шеремет А.Д. Теорія економічного аналізу: Підручник.-2-е вид., Доп. -М .: ИНФРА-му, 2005.

23. Економіко-математичні методи і моделі: Навчальний посібник для Вузів / Загальна редакція А.В. М, БГТУ, 2006


Головна сторінка


    Головна сторінка



Застосування економіко-математичних методів для вирішення економічних завдань

Скачати 48.32 Kb.